李同林 弹塑性力学 第七章 柱体的扭转

第七章 柱体的扭转

§7—1 任意等截面直杆的自由扭转

所谓柱体的扭转，是指任意形状等截面直杆只在端部横截面上作用着大小相等指向相反的力偶矩矢时的变形。

力偶矩矢（即扭矩矢）与柱体的轴线 z 相重合； 若杆件横截面的变形不受约束，则称为自由扭转。

通常约束扭转对于实体杆件影响不大，而对于开口或闭口薄壁杆件，将伴随有纵向弯曲。

本章讨论自由扭转问题。

圆形截面柱体的自由扭转，在材料力学课程中已经进行过讨论。

非圆形截面柱体的情况则要复杂得多。由于截面的非对称形式，在扭转过程中，截面将不再保持为平面，横截面上各点产生轴向位移，而发生截面的翘曲变形，即：

0),,( z y x w

上述函数 ),,(z y x w 称为翘曲函数，翘曲函数在一些弹性力学教科书中亦称为扭转函数 。

翘曲函数（扭转函数）在自由扭转问题中可进一步证明，仅是x 、y 的函数。 下面我们在讨论柱体的扭转问题中采用应力解法应力函数解法求解。 设有一任意截面柱体，受扭矩M T 作用，如图7—1所示，在计算中为简便起见，可假定杆的右端不能转动，但可以自由翘曲。这样就限制了柱体的刚性位移。

选取右手坐标系，坐标原点o 为右端横截面的形心，z 轴与杆轴重合，x 、y 轴为左端面内相互垂直的一对形心轴。

根据截面的翘曲变形与z 无关，即各截面的翘曲都一样，可以取z 为任意值处的横截面mn 研究，这就是说，翘曲函数w 仅为x ，y 的函数，即：

)

,(y x w w = （7—1）

此外，假设：柱体发生变形后截面只有绕z 轴的刚周边的刚性转动。单位长度的（相对）扭转角 θ 是一个常数。

因而，截面的总扭转角与该截面到右端固定端坐标原点

o

的距离z 成正比

（固定端没有转动但有翘曲），即 z 处截面的扭转角为 z θ 。

显然：总扭转角包括有累积的刚性转动位移；

而所引起的角应变 γ与柱体截面的位置坐标z 无关；

在图7—2中表示了 z θγ与 的关系。

现在考察离固定端为z 的截面上离形心o '为r 的任一点M (x , y , z ) ，扭转后位

移到 M '点，沿x , y 方向的位移分量（图7—3）有：

z y z r u θαθ-=-=sin )( ；

z x z r v θαθ==cos )( （7—2）

式中

α

为 o ' M 与x 轴正方向所成的角。

将式(7—1)、（7—2）代入几何方程，得：

θ

γ

θγεε

γ

εx y

w y x w zy

zx

z y

xy

x +∂∂=

-∂∂=====

0；； （7—3）

广义Hooke 定律简化为：

⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+∂∂==⎪⎭⎫

⎝⎛-∂∂====== 0θγτ

θγτ

τσσσx y w G G y x w G G zy zy

zx zx

xy z y x

；；

（7—4）

而平衡微分方程（不计体力）简化为：

0=∂∂z

zx

τ

=∂∂z

zy

τ

=∂∂+

∂∂y

x

zy

zx

τ

τ

（7—5）

已知空间问题的用应变表示的相容方程为：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛∂∂-

∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=∂∂+

∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂+

∂∂-∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=∂∂+

∂∂⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=∂∂+

∂∂z

y x z y x x z z

x

z

y x y x z z y y

z

z y x x z y y x x

y

xy zx yz z zx x z xy zx yz y

y z y

xy zx yz x

xy

y

x γγγεγεεγγγε

γ

εεγγγεγ

εε 2 2 2 2

22

22

22

z

2

2

22

22

2

2

2

2

2

；；；

若满足相容方程，则需将式（7—4）中

zx

τ

的表达式对

y 微分，zy

τ 的表达

式对 x 微分后相减，可得用应力表示的由几何方程转换的应变协调方程，即：

θ

τ

τ

G x

y

zy

zx

2-=∂∂-

∂∂ （7—6）

于是问题归结为：任意形状截面的柱体扭转时的应力解，可由式(7—5)、(7—6)两式联立求解，再满足问题的边界条件即可。

上述问题的解，可采用应力函数法。为此，如取一个函数 ψ，使得：

y

zx ∂∂=

ψτ

x

zy

∂∂-

=ψτ

(7—7)

此处 ψ 称（扭转）应力函数，．

为Prandtl 首先提出。 显然式（7—7）满足平衡方程。而应变协调方程（7—6）则简化为：

θ

ψψψG y

x

22

2

2

2

2

-=∂∂+

∂∂=

∇ （7—8）

由此知应力函数 ψ 应当满足偏微分方程（7—8），这种型式的方程称泊松(Poisson)方程。

于是问题归结为：关于任意形状截面的柱体扭转时的应力解，采用

应力函数的解法，首先令函数 ψ 满足泊松(Poisson)方程，证明是应力函数，再代入方程（7—7）求解应力分量，同时满足问题的边界条件即可。

现在我们来考察边界条件：建立边界条件时，注意到全部应力分量关系，关于柱体的侧面为自由表面（图7—4），有：