平面向量基本概念与运算法则(含基础练习题)

平面向量1 1.数量和向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；②用字母b a ,等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB ；向量AB

的大小——长度称为向量的模，记作|AB |。

3.有向线段：

具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。 向量与有向线段的区别：

⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；

⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。

4.零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0。

②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

5.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明：⑴向量a 与b 相等，记作a =b ；

⑵零向量与零向量相等；

⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。

6.平行向量的定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行。

说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义；

⑵向量c b a 、、

平行，记作c b a ////。 二、向量的运算法则

1.向量的加法

某人从A 到B ，再从B 到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+；

⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 ⑵三角形法则：AC BC AB b a =+=+

⑶四边形法则：OC AC OA OB OA b a =+=+=+

三角形法则 四边形法则

练习：化简（1）

CD BC AB ++）（ （2）OM BO MB AB +++)( （3）CO BO OC OA +++

2.向量的减法

⑴相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。

①a a =--)(；

②任一向量与其相反向量的和是零向量，即：0)()(=+-=-+a a a a ；

③如果b a ，

是互为相反的向量，则：0,,=+-=-=b a a b b a 。 ⑵向量的减法：

向量a 加上b 的相反向量，叫做a 和b 的差。即)(b a b a -+=-

向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向

量。

练习：（1）AC AB - （2）OA OD - （3）AD OD OA +- （4）DC AD AB --

例1.平行四边形ABCD 中，b AB a AD ==,，用a 、b 表示向量DB AC ,。

例2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ，试用向量a 、b 、c 表示OD 。

3.向量的数乘运算

实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：

⑴||||||a a λλ=；

⑵当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；特别的，

当λ=0或a =0时，λa =0。

注意：实数λ与向量a ，可以做积，但不可以做加减法，即λ+a ，λ-a 是无意义的。 实数与向量的积的运算律：

a 4)3).(1(⨯-； a

b a b a ---+)(2)(3).2(； )23()32).(3(

c b a c b a +---+

例2.计算

(1).);2(2)(3b a b a +-- (2).)243(3)362(2c b a c b a -+---+

例3.向量212122,e e b e e a +-=-=是否共线？

例 4.平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b AD a AB ==,,你能用b a ,表示

MD MC MB MA ,,,吗？

二、向量运算法则的应用

向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数21μμλ、、，恒有

b a b a 2121)(λμλμμμλ+=+。

1.有关向量共线问题

例1.已知向量b a 、

满足)23(5

1

253b a b a b a +=--+，求证：向量b a 和共线。

例2.已知BC DE AB AD 3,3==,试判断AE AC 与是否共线？

定理的应用：

(1).有关向量共线问题；

(2).证明三点共线：C B A BC BC AB 、、→≠=)0(λ三点共线； (3).证明两直线平行问题。

例 3.已知任意两个非零向量b a 、

，试作b a OC b a OB b a OA 3,2,+=+=+=，你能判断C B A 、、三点间的位置关系吗？为什么？

例4 .在四边形ABCD 中，b a CD b a BC b a AB 35,4,2--=--=+=，求证：四边形ABCD 为梯形。

高中数学必修4同步练习

(2.1-2.2平面向量的概念及线性运算)

姓名______班级______学号______

一.选择题(每题5分)

1.设b →

是a →

的相反向量,则下列说法错误的是( ) A .a →与b →

的长度必相等 B .b a =

C .a →

与b →

一定不相等 D .a →

是b →

的相反向量

2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a →

、b →

、c →

,则向量OD 等于( ) A .a b c ++ B .a b c -+ C .a b c +- D .a b c --

3.(如图)在平行四边形ABCD 中,下列正确的是( ). A .AB CD = B .AB AD BD -= C .AD AB AC += D .AD BC 0+=

4.CO BO OC OA +++等于( ) A .AB B .BA C .AC D .CA

5.化简SP PS QP OP ++-的结果等于( ) A 、QP B 、OQ C 、SP D 、SQ

6.(如图)在正六边形ABCDEF 中,点O 为其中心,则下列判断错误的是( ) A AB OC = B AB ∥DE

C A

D B

E = D AD FC =

7.下列等式中,正确的个数是( ) ①a b b a +=+②a b b a =--③0a a -=- ④(a )a --=⑤a (a )0+-= A .5 B .4 C .3 D .2

8.在△ABC 中,AB a =,AC b =,如果a ||b |=|, 那么△ABC 一定是( ). A .等腰三角形B .等边三角形 C .直角三角形D .钝角三角形

9.在ABC ∆中,BC a =,CA b =,则AB 等于( ) A .a b + B .(a b )-+ C .a b - D .b a - 10.已知a 、b 是不共线的向量,AB a b λ=+,AC a b μ=+(λ、R μ∈),当且仅当( )时, A 、B 、C 三点共线.

()1A λμ+=()1B λμ-=()1C λμ=-()1D λμ=

二.填空题(每题5分)

11.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是______ 12.ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a,AD b ==,则MA =______,

MB =______,MC =______,MD =______.

13.已知向量a 和b

不共线,实数x ,y 满足

b y x a b a y x

)2(54)2(-+=+-,则=+y x ______

14.化简:①AB BC CD ++=______; ②AB AD DC --=______;

③()()AB CD AC BD ---=______

15.化简下列各式:

(1)=++++FA BC CD DF AB ______; (2)()()AB MB BO BC OM ++++=______.

16.在ABCD 中,AB a,AD b ==,则

AC =______,DB =______.

17.在四边形ABCD 中有AC AB AD =+,则它的形状一定是______

18.已知四边形ABCD 中,1

AB DC 2

=,且AD BC

=则四边形ABCD 的形状是______.

19.化简:=-++-)()(BD CP BA DP AC ______.

20.在△ABC 中,设BC a →

=,CA b →

=,则AB =______

三.解答题(每题10分)

21.某人从A 点出发向西走了10m ,到达B 点,然后改变方向按西偏北︒60走了15m 到达C 点,最后又向东走了10米到达D 点.

(1)作出向量AB ,BC ,CD (用1cm 长线段代表10m 长);(2)求DA

B

D