第八章空间解析几何答案(1)
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第八章 空间解析几何与向量代数
§8.1向量及其线性运算 1.填空题
（1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）.
（2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）.
2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.
解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=
M M ，方向余弦为2
2
cos =
α，22cos =
β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π
β=， 2
πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则
222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，
即⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+-+=-+2
2222
2)
3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得⎩⎨⎧==33y z ，则该点
为)3,3,0(.
4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.
解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为
29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29
1k j i e a -+±
=.
5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量.
解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为
9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为
k k a z 7-=.
6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
解：设所求的点为),,0(z y P ，由||||||CM BM AM ==可得
⎪⎩⎪⎨⎧-+++=+-++-+=-+-+2
22222222222)
1()1(1)1(2)1(2)1()2(1z y z y z
y z y ，解之得21=y ，0=z 故所求的点为)0,2
1,0(.
7. 已知点)6,2,1(-B 且向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-，求点A 的坐标.
解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-.
8.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角
形必与原三角形有相同的重心.
证明：若),,(111z y x A 、),,(222z y x B 、),,(333z y x C 是一个FGH ∆的三个
顶
点
，
设
三
角
形
的
重
心
为
E
，则
),,(3
1
)(31321321321z z z y y y x x x C B A E ++++++=++=
设ABC ∆的同比n
m
之分点分别为F 、G 、H ，分点的坐标为
),,(
2
12121m
n mz nz m n my ny m n mx nx F ++++++
),,(
3
23232m n mz nz m n my ny m n mx nx G ++++++
),,(
1
31313m
n mz nz m n my ny m n mx nx H ++++++
则三角形FGH ∆的重心为
,()(31
133221m
n mx nx m n mx nx m n mx nx H G F ++++++++=++)
,1
33221133221m
n mz nz m n mz nz m n mz nz m n my ny m n my ny m n my ny ++++++++++++++++),,(3
1
321321321z z z y y y x x x ++++++=. 所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心. §8.2 数量积 向量积 1.若3
),(,4||,3||π
=
==Λ
b a b a ，求b a
c 23-=的模.
解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2
⋅+⋅-⋅-⋅=-⋅-=
73443
cos
431239||412||92222=⨯+⨯⨯⨯-⨯=+⋅-=π
b b a a
所以73||=
c .
2.已知||||b a b a -=+，证明：0=⋅b a .