n维向量及其运算

(a1, a2 ,L , an )
=
=
例4
设1

(2, 4,1, 1),2

(3,
1, 2,
5 ), 如果 2
线
向量满足 31 2( 2 ) 0,求向量.
解: 由题设条件,有 31 2 22 0
性
所以

3 2
1
2

3 2
(2, 4,1, 1)
n维向量的实际意义
线
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
性
机身的仰角
ππ
( )
机翼的转角
(π2 π2)
代
机身的水平转角 (0 2π)
数
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
=
a ( x, y, z, , , )
=
向量相等： = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)
线
= ai = bi
零向量： = (0, 0, …, 0)
性
负向量： - = (-a1, -a2, …, -an )
代
Rn :
n 维向量的全体.
n维向量的线性运算:
数
= (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)，

M
,
其中1
,

2
,L
, m为矩阵A的行向量.
m
线 性
a1 j
代
同理,A的每一列

a2
j

M
(
j
1, 2,L
, n)是m维列向量,
数
amj
=
称为A的列向量.故A也可以表示为
A=(1,2,L ,n )
=
其中1,2,L ,n为A的m维列向量.
数
实（复）向量: 分量为实（复）数
同时,我们可以将行向量看成一行矩阵,列向量看成 =
一列矩阵.对于矩阵A=(aij )mn中的每一行(ai1, ai2 ,L , ain )
(i 1, 2,L , m)都是n维行向量, 称为矩阵A的行向量.
=
因此, 矩阵A可表示为
1
A



2
3) 对任一向量 , 有 0 ;
性
4) 对任一向量 , 有 ( ) 0;
(2) 向量的数乘运算满足
代
1) 1 =;
2) k(l ) l(k ) (kl);
数
(3) 向量的线性运算成立分配律
1) k( )=k k ;
=
2) (k l) =k l;
(3, 1, 2,
5) 2
代
=(6,-5,- 1 ,1)
数
2
=
=
为n维单位坐标向量组,求a11 a22 L ann.
线
解: 由向量的加法和数乘运算得
性
a11 a22 L ann
代
=a1(1, 0,L , 0) a2 (0,1,L , 0) L an (0, 0,L ,1)
=(a1, 0,L , 0) (0, a2,L , 0) L (0, 0,L , an ) 数
a11
a12
a1n b1
代
即
x1

a21

x2

a22


xn

a2n
ห้องสมุดไป่ตู้


b2 ,


数
am1
am2
amn bm
即 x11 x22 xnn b,
引进了向量的概念，并进一步引进了向量的加法和数 =
乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系
后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对
应关系。所以，由所有三维数组构成的集合
线
{(a1, a2 , a3) | a1, a2 , a3 R}
性
即代表了点空间，也代表了三维向量空间。因而，
点空间的许多几何性质，例如点的共线、共面，直 线和平面的平行、相交等等，都可以用向量空间的 代
语言来刻划。
一、n 维向量空间的概念 数
几何空间中： a: OP (a1,a2,a3)
=
点P的坐标
=
n 维向量空间 ( Rn ):
n 维向量: (a1,a2, ,an ) (有序数组)
线
的分量
n 维行向量
b1
性
n 维列向量:



b2
代

bn
=
+ = (a1 +b1, a2 +b2, …, an+ bn),
k • =(ka1, ka2, …, kan ), k R.
=
容易验证向量的线性运算满足下面的运算规律:
(1) 向量加法满足
1) 交换律 ;
线
2) 结合律 ( ) ( );
=
上述, , 均为n维向量, k,l均为实数.
线性方程组与n维向量的线性运算：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
线

a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
性
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
x1
b1
=
即 (1, 2 , , n ) X b,
X


x2 ,
b


b2

=
AX b.
xn
bm
二、 Rn 的子空间
定义 若 V Rn,且， V , k R, 有
线
V , k V ,
第三章 向量组的线性相关性
线
本章将介绍n维向量的基本概念及其运 算，讨论n 维向量的线性相关性，并利用 性
矩阵的秩与有关知识来研究向量组的线性
相关性。这些都是线性代数和近代数学中 代
的最基本概念和基本性质，并为学习后面
的内容提供了必要的预备知识。
数
§3.1 n维向量及其运算
=
在空间(或平面)解析几何中，从有向线段出发，
则称V是 Rn 的一个子空间.
性
代
例1 设V = {(x1, x2) | x1+x2 = 0 }, V是否是 R2 的子
空间？
数
例2 设V = {(x1, x2) | x1+ x2 = 1 }, V是否是 R2 的 子空间？
=
=
例 3 称1 (1, 0,L , 0),2 (0,1,L , 0),L ,n (0,L , 0,1)