作业一传热与流体流动的数值方法
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流动与传热的数值方法作业（一）
姓名：徐世杰 学号：120351
题目1： 用Galerkin 方法求以下方程在内部节点的离散化方程。
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1
22[]0i i x x d T
T dx dx +-+=⎰ 取线性插值函数，1111()()()()i i i i i i T x l x T l x T l x T -+-+=++，其中节点间距x ∆是均匀的。
111111()[,]()()()(,]()0i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x l x x x x x x ---+++⎧⎫
-∈⎪
⎪
-⎪⎪⎪⎪-⎪⎪
=∈⎨
⎬-⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎩⎭
其它
题目2：考虑
220001
1
d T
T dx dT
x dx x T +=⎧==⎪⎨⎪==⎩ ① 用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程； ② 写出代数方程组的迭代求解程序； ③ 研究空间步长x ∆对数值精度和收敛性的影响。
题目一
解：Galerkin 方法就是将对应某个点上的插值函数作为权函数。Galerkin 方法是有限元方法。 可知有：
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22[]*()0i i x i x d T
T l x dx dx +-+=⎰， i=2，….,n -1 按照习惯，上述积分写成：
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222222[]*()[]*()[]*()i i
i i i i
x x
x i i i x x x d T d T
d T
T l x dx T l x dx T l x dx dx dx dx ++--+=+++⎰⎰⎰ 可以推得：
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2221122211[]*()[]*[]*i i
i i i i
x x
x i i i i i i i x x x x x x x d T d T
d T
T l x dx T dx T dx dx dx x x dx x x ++---+-+--+=+++--⎰⎰⎰由弱解变换可以得
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22()[]*()[()]()()i i i i i i i i i i x x x
i i i x x x x x i i x x dl x d T d dT dT l x dx l x dx dx dx dx dx dx dx dl x dT dT l x dx
dx
dx dx +++---++--=-=-⎰⎰⎰⎰
可以得
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2
2()
[
]*()[()]0i i i i x x i i i x x dl x d T dT T l x dx Tl x dx dx dx dx ++--+=-+=⎰⎰，i=2，…,n -1 上式继续推导有：
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2211()[]*()[()]*()[2]()i i i i i i x x
i i i i x x x
i i i i x dl x d T dT T l x dx Tl x l x dx dx dx dx T T T Tl x dx
x ++--+-+-+=-+-+=+∆⎰⎰⎰
其中，
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1
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111
111
1111
1111
11
()[()()()]()[()()()()()()][()()()()()()][()()i i i i i i i
i x x i i i i
i i i i x x x i i i i i i i i i x x i i i i
i i i i i x i
i Tl x dx l
x T l x T l x T l x dx
l x l
x T l x l x T l x l x T dx l x l
x T l x l x T l x l x T dx l x l
x ++--+---+-+-+-+-+-+-=++=++=
+++
⎰⎰⎰⎰1
111()()()()]i i
x i i i i i i i x T l x l x T l x l x T dx
+-++++⎰
化简可以得：
1
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21111211[2]121
[]*()636112211
()()()0636i i x i i i i i i i x i i i T T T d T T l x dx xT xT xT dx x x T x T x T x x x
+-+--+-+-++=+∆+∆+∆∆=∆++∆-+∆+=∆∆∆⎰ i=2，….,n -1
题目二
①用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程：
首先进行离散化，先确定节点，再确定控制容积。将0-1划分为N 段，共N+1个节点，N 个控制容积，其中1x
N
∆=
。 对原方程建立差分方程，内部节点：
*
12011E p P W P P T T T T T T N N N N
----+= E w a a N == 1p E w a a a N =++ 12p a N N =+ *2
p b T N
=
p p E E W W a T a T a T b =++ pi pi Ei Ei Wi Wi i a T a T a T b =++ *
1112(2)()i i i P N T N T T T N N
-++=++
边界节点 1x
= 11N T +=
p p E E W W a T a T a T b =++
E w a a N == 1p E w a a a N =++ 12p a N N =+
*11112N N N N N N P a T a T a T T N ++--=++ *
112(2)N N P N T N NT T N N
-+=++
边界节点 0x = 0dT
dx
=
(())0e P d dT T dx dx dx +=⎰ *
1(2)012P E P P T T T T N N
-+-=
E a N = *1P b T N = 11
22P E a a N N N =-
=- p p E E a T a T b =+ *11221P a T a T T N =+ *
1211()2P
N T NT T N N
-=+