Mathematica软件介绍及其应用
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常用数学软件选讲
Mathematica是美国Wolfram研究公司生产 的一种数学分析型的软件，以符号计算见长， 也具有高精度的数值计算、强大的图形功能 和动画等多媒体集成功能。在物理、化学、 机械制造、建筑等专业都展露出异样的风采 ..... Mathematica被美国Macword杂志誉为 “不只是一个软件，更是一场划时代的革 命”。
复数可以分成实部和虚部两个部分
30
Mathematica可以使用Head函数区分数据类型
31
Mathematica提供了一些判断数类型的函数：
函数 NumberQ[x] IntegerQ[X] EvenQ[x] OddQ[x] 功能 测试x是否是一个数 测试x是否为整数 测试x是否为偶数 测试x是否为奇数
PrimeQ[x] Head[x]
测试x是否为质数 测试数的类型
(1) EvenQ[2] (*判断2是否为偶数*) (2) OddQ[3.0] (*判断3.0是否为奇数*)
务必小心
32
Mathematica在不同类型数之间的转换： 不同类型的数之间是可以相互转化的，涉及到数的 类型转换的函数主要有： 函数 N[x,n] Rationalize[x] Rationalize[x,dx] 功能 把数x转化成为具有n为精度的实数 把数x转化成为有理数 把数x转化成为有理数，但是允许 有dx的公差
6
输入相对简单
7
Mathematica软件的基本命令
在命令窗口中输入命令，如Sin[Pi/2]，然后同时 按下Shift+Enter键即可执行相应的命令。 在输入的命令前出现提示符“In[1]:=”,其中“In”, 表示“输入”，数字“1”表示输入命令的序号； 在运行结果之前会自动出现提示符“Out[1]=”,表 示输出
26
2.集合的运算
命令 First[list] Last[list] Part[list,i](Part[list,-i]) Take[list,n](Take[list,n]) Take[list,{m,n}] 取list的第m到第n个元素 Drop[list,{m,n}] 去掉list的第m到第n个元素 （1）First[t2] (*取t2的第一个元素*) （2）Part[t4,4]
(1) 2<3<4<3
(2) 3!=2!=3!=4 (3) x>=y
2:逻辑运算
!p p||q 否 或
23
p&&q
且
(5.8>4.1)&&!(3.2==2.0)
集合运算
Mathematica软件中的集合是形如{a,b,c,….}的结构。 其中的元素有多种形式，可以是常数、变量、函数、方 程 图形等。在Mathematica软件中向量、矩阵都可以看作 为集合。
9
比较如下的输入方式
若采用浮点数输入，则计算结果为近似值 （1）1./3+2/5 （2）2^100 （3）2.^100
一个是精确计算2的100次方，一个是近似计算2 的100次方
10
2：常数与函数
Mathematica软件中提供了数学上通用的一些常 数,下表中给出了其中一部分常数 常数 Pi E I 数学含义 圆周率 常数 Infinity 数学含义 正无穷大
x
arccos x
ln x
log a x
max(x1 , x2 ,)
Argz(辐角主值)
m Cn
min(x1 , x2 ,)
x 的 n 位有效数字 第 n 个素数 [0,1]之间均匀随机 数 z 的实部 最接近于 x 的整数
Fra Baidu bibliotek
不小于 x 的最小整数 z 的共扼复数 Cos(x)
13
（1）Round[-3.5] (*下取整*) （2）Random[] （3）Random[Integer,{-1000,1000}] (*产生-1000到1000之间的一个随机整数*)
语句定义：可用Range与Table语句来定义集合 Range[imin,imax,di]给出的是一个数的集合，第一项为 imin,最后一项不超过imax，步长为di。 （3）t3=Range[1,30,3] Table[expr,{i,imin,imax,di}]给出的是一般的集合，它 由表达式expr在i依步长di从imin取到imax时得到的值构 成 （4）t4=Table[i^2,{i,2,21,2}] 25
(2): ?u (3): ?v 可以看出，上例中函数u[x]被定义为Sin[x]，而v[x]被定 义为常函数0.909297（=Sin2.0） 变量与函数在定义后可以用Clear命令清除其内容 (4): Clear[f,g,x];?f 在编写程序时,一般在每个程序段的开始将程序中所用的 21 符号的内容都用Clear命令加以清除,以防出错.
逻辑运算
Mathematica软件也提供了逻辑运算功能。逻辑运算可 用于程序中的条件控制。 Mathematica软件中的逻辑运 算符与C语言中的逻辑运算符基本一致
1:关系运算 （1）3>2 x==y x!=y 相等 不相等 x>y x>=y 大于 大于等于
X<y
小于
X<=y
小于等于
22
相同的关系运算符可以用来重复运算
3
本章内容
1. 2. 3. 4. 5. 7. 8. Mathematica软件概述 Mathematica软件的使用 数列极限 函数的最值与导数 定积分计算 级数 线性方程组和矩阵的应用
4
0 引言
Mathematica是什么 ?
Mathematica是什么? Mathematica是一位数学家，她能做一位物理系大 学毕业生能做的几乎所有的数学题，从简单的代数运算 直到解偏微分方程。 Mathematica不能做什么? Mathematica没有脑袋，所以她不能思考问题，也 不能主动解决问题。她只能按照人类的指令一步一步地 去解决某一特定问题。Mathematica是研究人员和工程 技术人员的好朋友和最佳助手之一。
自然对数的 －Infinity 负无穷大 底e 虚数单位 ComplexIn 复平面上无 i 1 finity 穷远点
11
常数可以直接参与计算
（1）2*E （2）N[Pi,30] 给出30位有效数字
在函数中使用
（1）Sin[Pi/6] （2）Sqrt[3.3+1.5I] （3）Log[10,2.0]
28
数的类型和精度
在Mathematica中，有四种类型的数据类型： 类型 说明
Integer
Rational Real
任意长度的整数
有理数 实数，可以具有一定的精 度
Complex
复数，a+bI的形式
29
整数，不用解释 有理数：可以看成两个整数的比 实数可以用小数点来区分（在Mathematica中实数可以 有任意精度的。Mathematica的一大特点就是符号计算 功能强大，数值运算不限精度。）
5
Mathematica的主要功能及特色
符号计算
Mathematica以符号计算为主，能像人一样进行带字母 的计算，得到的是准确的结果。符号运算功能可以分成 4个部分。 (1):初等数学 各种数及初等函数式的计算和化简 (2):微积分 求极限、导数、不定积分和定积分、将函数展成 幂级数，无穷级数求和及积分变化 (3):线性代数 计算行列式、矩阵各种计算，解线性方程组、特 征值、特征向量等 (4):解方程组（包含微分方程）
19
如果需要计算函数f[x]在某一点x=x0的值: (1) f[Pi/2] Mathematica软件中的函数可以用递归的方法进行定义 h[0]=1;h[n_]:=n*h[n-1];h[5] 在这里定义了h函数的初始值,以及一般的函数定义,需要 计算h[5]的具体数值
20
(1): x=2.0;u[x_]:=Sin[x];v[x_]=Sin[x]
Table[expr,{i,imin,imax,di},{j,jmin,jmax,dj}]给出的是 与i,j有关的二层集合(类似地可定义多层集合) （4） t5=Table[x^i+y^j,{i,1,2},{j,1,2}] （5） t6=Table[k,{k,3.2,10}] (*步长为1时可省略*) （6） t7=Table[k,{k,3.2}] (*步长为1，初值为1时都 可省略*) （7） t8=Table[5,{4}] (*若expr与i无关，只要写出元素 的个数*)
可见，使用表达式”x=.”可以消除变量的赋值
17
Mathematica软件还可以定义函数
(1): f[x_]=Sin[x] (*被定义的函数的自变量后需跟下划线“_”*) (2)?f (*此命令用来查看f的含义*)
18
? 的其他用途
1、获取帮助信息
2、获取更多的帮助信息
3、获取更多的帮助信息
2
Mathematica的进一步说明
它吸取了不同类型软件的一些优点： （1）具有BASIC的简单易学的交互式方法 （2）具有MathCAD\Matlab那样强的数值计算能力 （3）具有Maple的和SMP那样的符号计算能力 （4）具有APL和LISP那样的人工智能列表处理能力 （5）像C和PASCAL那样的结构化设计语言 Mathematica的开发者 Stephen Wolfram是Mathematica的创始人，并被公认为是 当今科学计算的先驱。 Wolfram1959年出生于伦敦。他曾在 牛津大学和加州理工学院接受教育，15岁发表了第一篇科技 论文，1979年20岁时在加州理工学院获得理论物理学博士学 位。 他从1973年开始使用计算机，1981年主持开发了第一个计算 机代数系统SMP。
{1,2,3,4,5} (*向量*) {{1,2},{1,3},{1,4}} (*矩阵，是一个二层集合*) {f[x],g[x],h[x]} (*函数*) {x-y==1,x+y==3} (*该集合表示方程组*)
24
1集合定义
直接定义：直接用大括号将相关元素放在一起就得到一 个集合 （1）t1={1,2,3,4,5,6,7} （2）t2={Sin[u],Cos[u]}
注意： 在Mathematica软件中，英文字母大小写严格区 分,函数与命令的第一个字母必须大写。函数与 命令后面的表达式要放在中括弧里
14
赋值与函数定义
Mathematica软件中可以直接给变量赋值，并进行 运算 （1）a=1 （2）b=2;c=3 Mathematica软件中的语句可以写在同一行里，中 间用分号隔开，分号之前的 命令不显示结果 （3）d=a+b*c 此外，还可以采用 延迟赋值的方式 延迟赋值并不显示结果，只有调用变量时，才进行 计算并赋值。
15
上侧输出结果是一样，全部为0.937314。
下侧输出结果不一样，分别为0.440112和0.980106
16
消除变量的值
用户给某个变量(比如x)赋值，以后的计算中再遇到x， Mathematica将自动替换x为其值。给变量赋的值可以是数 ，也可以是表达式。但是用户如何消除一个变量的赋值呢？
12
常用函数-列举(不完整)
函数 Abs[x] ArcCos[x] Max[x1,x2,….] Arg[z] Binomial[n,m] Ceiling[x] Conjugate[z] Cos[x] 数学含义 函数 Log[x] Log[a,x] Min[x1,x2,….] N[x,n] Prime[n] Random[] Re[z] Round[x] 数学含义
27
说明(list是一个给定的集合 ) 取list的第一个元素 取list的最后一个元素 取list的(倒数)第 i个元素 取list的前(后)n个元素
（1）Take[t3,5]
（2）Take[t3,{3,5}] （3）Drop[t3,-2]
在Mathematica软件中可用％表示前一个命令的结 果,%%表示前面倒数第二个命令的结果，%n表示第 n个命令的结果
8
1:算术运算
Mathematica软件的算术运算是指加减乘除以及 乘方、开方运算。 例如： （1）3*(5-2)+4^(6-3)/2 （2）3^(1/3) （3）1/3+2/5
精确计算与近似计算： 在Mathematica软件中，若输入的数据是精确的 ，计算结果保留精确数字。若计算近似值，可以 采用下面的方法： （4）N[3^(1/3)] 函数N[x]表示x的近似值
Mathematica是美国Wolfram研究公司生产 的一种数学分析型的软件，以符号计算见长， 也具有高精度的数值计算、强大的图形功能 和动画等多媒体集成功能。在物理、化学、 机械制造、建筑等专业都展露出异样的风采 ..... Mathematica被美国Macword杂志誉为 “不只是一个软件，更是一场划时代的革 命”。
复数可以分成实部和虚部两个部分
30
Mathematica可以使用Head函数区分数据类型
31
Mathematica提供了一些判断数类型的函数：
函数 NumberQ[x] IntegerQ[X] EvenQ[x] OddQ[x] 功能 测试x是否是一个数 测试x是否为整数 测试x是否为偶数 测试x是否为奇数
PrimeQ[x] Head[x]
测试x是否为质数 测试数的类型
(1) EvenQ[2] (*判断2是否为偶数*) (2) OddQ[3.0] (*判断3.0是否为奇数*)
务必小心
32
Mathematica在不同类型数之间的转换： 不同类型的数之间是可以相互转化的，涉及到数的 类型转换的函数主要有： 函数 N[x,n] Rationalize[x] Rationalize[x,dx] 功能 把数x转化成为具有n为精度的实数 把数x转化成为有理数 把数x转化成为有理数，但是允许 有dx的公差
6
输入相对简单
7
Mathematica软件的基本命令
在命令窗口中输入命令，如Sin[Pi/2]，然后同时 按下Shift+Enter键即可执行相应的命令。 在输入的命令前出现提示符“In[1]:=”,其中“In”, 表示“输入”，数字“1”表示输入命令的序号； 在运行结果之前会自动出现提示符“Out[1]=”,表 示输出
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2.集合的运算
命令 First[list] Last[list] Part[list,i](Part[list,-i]) Take[list,n](Take[list,n]) Take[list,{m,n}] 取list的第m到第n个元素 Drop[list,{m,n}] 去掉list的第m到第n个元素 （1）First[t2] (*取t2的第一个元素*) （2）Part[t4,4]
(1) 2<3<4<3
(2) 3!=2!=3!=4 (3) x>=y
2:逻辑运算
!p p||q 否 或
23
p&&q
且
(5.8>4.1)&&!(3.2==2.0)
集合运算
Mathematica软件中的集合是形如{a,b,c,….}的结构。 其中的元素有多种形式，可以是常数、变量、函数、方 程 图形等。在Mathematica软件中向量、矩阵都可以看作 为集合。
9
比较如下的输入方式
若采用浮点数输入，则计算结果为近似值 （1）1./3+2/5 （2）2^100 （3）2.^100
一个是精确计算2的100次方，一个是近似计算2 的100次方
10
2：常数与函数
Mathematica软件中提供了数学上通用的一些常 数,下表中给出了其中一部分常数 常数 Pi E I 数学含义 圆周率 常数 Infinity 数学含义 正无穷大
x
arccos x
ln x
log a x
max(x1 , x2 ,)
Argz(辐角主值)
m Cn
min(x1 , x2 ,)
x 的 n 位有效数字 第 n 个素数 [0,1]之间均匀随机 数 z 的实部 最接近于 x 的整数
Fra Baidu bibliotek
不小于 x 的最小整数 z 的共扼复数 Cos(x)
13
（1）Round[-3.5] (*下取整*) （2）Random[] （3）Random[Integer,{-1000,1000}] (*产生-1000到1000之间的一个随机整数*)
语句定义：可用Range与Table语句来定义集合 Range[imin,imax,di]给出的是一个数的集合，第一项为 imin,最后一项不超过imax，步长为di。 （3）t3=Range[1,30,3] Table[expr,{i,imin,imax,di}]给出的是一般的集合，它 由表达式expr在i依步长di从imin取到imax时得到的值构 成 （4）t4=Table[i^2,{i,2,21,2}] 25
(2): ?u (3): ?v 可以看出，上例中函数u[x]被定义为Sin[x]，而v[x]被定 义为常函数0.909297（=Sin2.0） 变量与函数在定义后可以用Clear命令清除其内容 (4): Clear[f,g,x];?f 在编写程序时,一般在每个程序段的开始将程序中所用的 21 符号的内容都用Clear命令加以清除,以防出错.
逻辑运算
Mathematica软件也提供了逻辑运算功能。逻辑运算可 用于程序中的条件控制。 Mathematica软件中的逻辑运 算符与C语言中的逻辑运算符基本一致
1:关系运算 （1）3>2 x==y x!=y 相等 不相等 x>y x>=y 大于 大于等于
X<y
小于
X<=y
小于等于
22
相同的关系运算符可以用来重复运算
3
本章内容
1. 2. 3. 4. 5. 7. 8. Mathematica软件概述 Mathematica软件的使用 数列极限 函数的最值与导数 定积分计算 级数 线性方程组和矩阵的应用
4
0 引言
Mathematica是什么 ?
Mathematica是什么? Mathematica是一位数学家，她能做一位物理系大 学毕业生能做的几乎所有的数学题，从简单的代数运算 直到解偏微分方程。 Mathematica不能做什么? Mathematica没有脑袋，所以她不能思考问题，也 不能主动解决问题。她只能按照人类的指令一步一步地 去解决某一特定问题。Mathematica是研究人员和工程 技术人员的好朋友和最佳助手之一。
自然对数的 －Infinity 负无穷大 底e 虚数单位 ComplexIn 复平面上无 i 1 finity 穷远点
11
常数可以直接参与计算
（1）2*E （2）N[Pi,30] 给出30位有效数字
在函数中使用
（1）Sin[Pi/6] （2）Sqrt[3.3+1.5I] （3）Log[10,2.0]
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数的类型和精度
在Mathematica中，有四种类型的数据类型： 类型 说明
Integer
Rational Real
任意长度的整数
有理数 实数，可以具有一定的精 度
Complex
复数，a+bI的形式
29
整数，不用解释 有理数：可以看成两个整数的比 实数可以用小数点来区分（在Mathematica中实数可以 有任意精度的。Mathematica的一大特点就是符号计算 功能强大，数值运算不限精度。）
5
Mathematica的主要功能及特色
符号计算
Mathematica以符号计算为主，能像人一样进行带字母 的计算，得到的是准确的结果。符号运算功能可以分成 4个部分。 (1):初等数学 各种数及初等函数式的计算和化简 (2):微积分 求极限、导数、不定积分和定积分、将函数展成 幂级数，无穷级数求和及积分变化 (3):线性代数 计算行列式、矩阵各种计算，解线性方程组、特 征值、特征向量等 (4):解方程组（包含微分方程）
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如果需要计算函数f[x]在某一点x=x0的值: (1) f[Pi/2] Mathematica软件中的函数可以用递归的方法进行定义 h[0]=1;h[n_]:=n*h[n-1];h[5] 在这里定义了h函数的初始值,以及一般的函数定义,需要 计算h[5]的具体数值
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(1): x=2.0;u[x_]:=Sin[x];v[x_]=Sin[x]
Table[expr,{i,imin,imax,di},{j,jmin,jmax,dj}]给出的是 与i,j有关的二层集合(类似地可定义多层集合) （4） t5=Table[x^i+y^j,{i,1,2},{j,1,2}] （5） t6=Table[k,{k,3.2,10}] (*步长为1时可省略*) （6） t7=Table[k,{k,3.2}] (*步长为1，初值为1时都 可省略*) （7） t8=Table[5,{4}] (*若expr与i无关，只要写出元素 的个数*)
可见，使用表达式”x=.”可以消除变量的赋值
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Mathematica软件还可以定义函数
(1): f[x_]=Sin[x] (*被定义的函数的自变量后需跟下划线“_”*) (2)?f (*此命令用来查看f的含义*)
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? 的其他用途
1、获取帮助信息
2、获取更多的帮助信息
3、获取更多的帮助信息
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Mathematica的进一步说明
它吸取了不同类型软件的一些优点： （1）具有BASIC的简单易学的交互式方法 （2）具有MathCAD\Matlab那样强的数值计算能力 （3）具有Maple的和SMP那样的符号计算能力 （4）具有APL和LISP那样的人工智能列表处理能力 （5）像C和PASCAL那样的结构化设计语言 Mathematica的开发者 Stephen Wolfram是Mathematica的创始人，并被公认为是 当今科学计算的先驱。 Wolfram1959年出生于伦敦。他曾在 牛津大学和加州理工学院接受教育，15岁发表了第一篇科技 论文，1979年20岁时在加州理工学院获得理论物理学博士学 位。 他从1973年开始使用计算机，1981年主持开发了第一个计算 机代数系统SMP。
{1,2,3,4,5} (*向量*) {{1,2},{1,3},{1,4}} (*矩阵，是一个二层集合*) {f[x],g[x],h[x]} (*函数*) {x-y==1,x+y==3} (*该集合表示方程组*)
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1集合定义
直接定义：直接用大括号将相关元素放在一起就得到一 个集合 （1）t1={1,2,3,4,5,6,7} （2）t2={Sin[u],Cos[u]}
注意： 在Mathematica软件中，英文字母大小写严格区 分,函数与命令的第一个字母必须大写。函数与 命令后面的表达式要放在中括弧里
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赋值与函数定义
Mathematica软件中可以直接给变量赋值，并进行 运算 （1）a=1 （2）b=2;c=3 Mathematica软件中的语句可以写在同一行里，中 间用分号隔开，分号之前的 命令不显示结果 （3）d=a+b*c 此外，还可以采用 延迟赋值的方式 延迟赋值并不显示结果，只有调用变量时，才进行 计算并赋值。
15
上侧输出结果是一样，全部为0.937314。
下侧输出结果不一样，分别为0.440112和0.980106
16
消除变量的值
用户给某个变量(比如x)赋值，以后的计算中再遇到x， Mathematica将自动替换x为其值。给变量赋的值可以是数 ，也可以是表达式。但是用户如何消除一个变量的赋值呢？
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常用函数-列举(不完整)
函数 Abs[x] ArcCos[x] Max[x1,x2,….] Arg[z] Binomial[n,m] Ceiling[x] Conjugate[z] Cos[x] 数学含义 函数 Log[x] Log[a,x] Min[x1,x2,….] N[x,n] Prime[n] Random[] Re[z] Round[x] 数学含义
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说明(list是一个给定的集合 ) 取list的第一个元素 取list的最后一个元素 取list的(倒数)第 i个元素 取list的前(后)n个元素
（1）Take[t3,5]
（2）Take[t3,{3,5}] （3）Drop[t3,-2]
在Mathematica软件中可用％表示前一个命令的结 果,%%表示前面倒数第二个命令的结果，%n表示第 n个命令的结果
8
1:算术运算
Mathematica软件的算术运算是指加减乘除以及 乘方、开方运算。 例如： （1）3*(5-2)+4^(6-3)/2 （2）3^(1/3) （3）1/3+2/5
精确计算与近似计算： 在Mathematica软件中，若输入的数据是精确的 ，计算结果保留精确数字。若计算近似值，可以 采用下面的方法： （4）N[3^(1/3)] 函数N[x]表示x的近似值