第六讲几个重要的不等式

几个重要的不等式

柯西不等式及其推论

排序不等式

切比雪夫不等式

热身 1. 已知22,26,a a b R b +∈=，则a b +的最小值为？

2.

求函数y =.

3. 解方程组222

94862439

x x y z z y ⎧=

⎪⎨⎪-+-=+⎩+.

4. m 个互不相同的正奇数与n 个互不相同的正偶数的总和为1000，则3m+4n 的最大值为多少？

5. 已知实数a ，b ，c ，d 满足2

2

2

2

3,2365a b c d a b c d +++=+++=，求a 的最值.

6. 若0,0x y >>且491x y x y ++≤+

，则14

x y

+的取值范围为？

7. 在四面体ABCD 中，各顶点到对面的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4，四面体的内切球半径为r ，求证：123416d d d d r +≥++.

8. 设a ，b ，c 为正数，求证：

333

a b c bc ac ab

a b c ++≥++.

例

求函数y =

例 ,,a b c R +∈，求证：223

42a b c a b c a b c a b c ++++++++≥.

进一步证明：

223

4

2a b c a b c a b c a b c ++++++≤++.

例a ，b 为正实数，且有111a b

+=，试证：对每一个n N ∈，都有21()22n n n n n a b a b +≥+---.

例 设,1i R n a i +∈≤≤，求证：

2

12

11

111

11111111n

n

a a a a a n

a -

++++++++≥

+.

例 已知(1,2,,;2)i R x i n n ∈=≥满足1

1

1,0n n i i i i x x ====∑∑.求证：1

1122i n

i x i n

=≤-∑

.

作业

1. 边长为a ，b ，c 的三角形，其面积为

1

4

，而外接圆半径为1

，若令s =111

t a b c

=

++，则s ，t 的大小关系是？

2. 求三个实数x ，y ，z 满足下列方程2222313,49215382x y z x y z x y z ++=++-++=.

3. 在三角形ABC

cos cos cos

222

4. 正数a ，b ，c ，d 满足2

2

2

2

1a b c d =+++，则432a b c d ---的取值范围是？

5. 设,,,0a b c d >且3a b c d +++=，则3333

a b c d b c d a c d a b d a b c

+++++++++++的最

小值为？

6. 设a ，b ，c ，d 都是正实数，证明不等式

232323232

3

a b c d b c d c d a d a b a b c ++++++++++≥+

7. 已知,,a b c R +

∈，且a b c abc ++≤

3

2

≤.

8. 若n 是不小于2

的正整数，求证4111112122

17234

n n <-+-++

-<

-

.

9. 已知0,0a b >>，求证：

111

2a nb a b

b a +

<

+++++.

10. 已知对任意,cos cos 21R a x b x x ∈+≥-

恒成立，求a+b 的最大值.

11. 设12,,,n a a a 都是正数(n ≥2)，且1

1i n i a ==∑，求证：1

11i n n

i n ==≥.

12. 设12,,

,n x x x 与12,,,n a a a 是任意两组实数（2n ≥）

，它们满足条件：(1) 120n x x x +++=，(2) 121n x x x +++=；(3) 12n a a a ≥≥≥，为了使不等式

11221()n n n a a x a x x a A a ++

-+≤成立，那么数A 的最小值是多少？

13. 设0a b c d e ≤≤≤≤≤，且1a b c d e ++++=，求证：15

ad dc cb be ed +++≤

+.