配方法及其应用(题目)

配方法及其应用

初一（ ）班 学号：_______ 姓名：____________

一、配方法：

将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。

配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2

，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ；

a 2＋a

b ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝(a －b )2

＋3ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32b 2； a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝12

[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]．

下面举例说明配方法的应用：

一、求字母的值

【例1】已知a ，b 满足a 2＋2b 2－2ab －2b ＋1＝0，求a ＋2b 的值．

分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式,从而求出两个未知数的值. 解：∵a 2＋2b 2－2ab －2b ＋1＝0，

∴a 2＋b 2－2ab ＋b 2－2b ＋1＝0，

∴(a －b )2＋(b －1)2＝0.

∵(a －b )2≥0，(b －1)2≥0，

∴a －b ＝0，b －1＝0，

∴a ＝1，b ＝1，

∴a ＋2b ＝1＋2×1＝3，

∴a ＋2b 的值是3.

变式练习：

1、已知,6134222x xy x y x =+++则x,y 的值分别为___ ___.

2、已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则3a 2＋5b 2－4的值为___ ___.

3、已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则x +y +z 的值为___ ___.

4. 已知096622

2=+--++y x y xy x ，则y x +的值为___ ___. 5、若a 、b 为有理数，且0442222=+++-a b ab a ，则22ab b a +的值为___ ___.

6、已知a 、b 、c 满足722=+b a ，122-=-c b ，1762-=-a c ，则a +b +c 的值为______．

7、已知0962222222=+---++c bc ab c b a ，则abc 的值为___ ___.

8. 已知b a ab b a ++=++122，则b a 43-的值为___ ___.

二、证明字母相等

【例2】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足,0222=---++ac bc ab c b a ，判断这个三角形的形状．

分析:等式两边乘以2,得,022*******=---++ac bc ab c b a

配方，得()()(),022*******=+-++-++-a ca c c bc b b ab a

即()()().0222=-+-+-a c c b b a 由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,

a=b,b=c,c=a,即a=b=c.

故△ABC 是等边三角形.

变式练习：

1、已知()

()22223c b a c b a ++=++，求证：c b a == 2、已知：a 4＋b 4＋c 4＋d 4

＝4abcd ，其中a ，b ，c ，d 是正数，求证：a=b=c=d 。

三、比较大小

【例3】若代数式,15,87102222+++=+-+=a b a N a b a M 则M-N 的值( )

A. 一定是负数

B.一定是正数

C. 一定不是负数

D.一定不是正数 分析: M-N=)15(1)8710(2222++++-+a b a a b a

=1587102222----+-+a b a a b a

=().0323341292

2 +-=++-a a a 故选B. 变式练习：

已知a 、b 满足等式2022++=b a x ，()a b y -=24，则x ，y 的大小关系是（ ） A ．y x ≤ B ．y x ≥ C ．y x < D ．y x >

四、证明代数式非负

【例4】用配方法证明:不论x 为任何实数,代数式5.442+-x x 的值恒大于0.

分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒大于0,说明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a +正数”的形式.

证明: ∵()()22

225.025.4445.44+-=++-=+-x x x x x , 又∵()022

≥-x ,∴05.442 +-x x ∴不论x 为任何实数,代数式5.442+-x x 的值恒大于0.

变式练习：

1、求证: 不论x 、y 为何值, 多项式25222+

+-+-y x y xy x 的值永远大于或等于0。 2、小萍说，无论x 取何实数，代数式x 2＋y 2－10x ＋8y ＋42的值总是正数．你的看法如何？

请谈谈你的理由．

五、求代数式的最值

【例5】利用配方法求7422--=x x y 的最大值或最小值.

分析:求最大值或最小值,必须将它们化成()c b x a y ++=2

的形式,然后再判断,当a ＞0时,它有最小值c;当a ＜0时,它有最大值c.

解: ()()912271227422

22--=--+-=--=x x x x x y ∵(),0122≥-x ∴(),99122

--- x ∴它的最小值是-9.

变式练习：

1、证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2

－x －1的值总是负数，并求它的最大值．

2、对关于x 的二次三项式x 2＋4x ＋9进行配方得x 2＋4x ＋9＝(x ＋m )2＋n .

(1)求m ，n 的值；

(2)当x 为何值时x 2＋4x ＋9有最小值？并求最小值．

3、当a ，b 为何值时，多项式a 2＋2ab ＋2b 2＋6b ＋18有最小值？并求出这个最小值．

六、证明完全平方数

【例6】已知9x 2＋18(n －1)x ＋9n 2＋n 是完全平方式，求常数n 的值．

解：9x 2＋18(n －1)x ＋9n 2＋n

＝9[x 2＋2(n －1)x ]＋9n 2＋n

＝9[x 2＋2(n －1)x ＋(n －1)2]－9(n －1)2＋9n 2＋n

＝[3(x ＋n －1)]2－9(n －1)2＋9n 2＋n .

已知9x 2＋18(n －1)x ＋9n 2＋n 是一个完全平方式，

∴－9(n －1)2＋9n 2＋n ＝0，

化简，得19n -9＝0，解得n ＝9/19.

变式练习：

1、一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数__________．

2、四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？

3、求证：五个连续整数的平方和不可能是一个整数的平方.