非齐次方程组解的结构
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数矩阵的齐次线性方程组的一个基础解系，例如：1,2 ,L ,nr ;
4) 非齐次线性方程组的通解即为： X k11 k22 L knr nr 0, ki R, i 1,2,...,n r.
线性代数
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
矩阵表示形式
Amn X
r(AM ) r(A) r n 有无穷多解
W X Amn X ,r(AM ) r(A) r n 不是子空间！！
线性代数
非齐次方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1 非齐次线性方程组 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn b2
定义 设齐次线性方程组 Amn X 0 为非齐次线性方程组 Amn X
的导出方程组.
Amn X 有唯一解 Amn X 有无穷多解
导出方程组 Amn X 0 仅有零解 导出方程组 Amn X 0 有非零解
线性代数
非齐次方程组解的结构
定理 设非齐次线性方程组 Amn X 有无穷多解 r(AM ) r(A) r n, 0 为方程组一个特解，而 1,2,L ,nr 为导出组 Amn X 0 的一组基础 解系，则非齐次方程组的通解为：
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
矩阵表示形式
Amn X
设0 为非齐次线性方程组的某一解向量，称其为特解,即有 Amn0 . 对于方程组的任意解向量X，Amn X ，显然有：X (X 0 )+0， A(X 0 ) AX A0 0
线性代数
非齐次方程组解的结构
X k11 k22 L knr nr 0, ki R, i 1,2,...,n r.
线性代数
非齐次方程组解的结构
例 通过导出组的基础解系，构造非齐次 线性方程组的通解.
x1 2x2 3x3 1 2x1 4x2 4x3 x4 3 5x1 10x2 17 x3 x4 4
矩阵表示形式
Amn X
系数矩阵
a11
A
aBiblioteka Baidu1
L
a12 L a22 L LL
am1
am 2
L
a1n
a2n
L
amn
未知向量
x1
X
x2
M
xn
常数向量
b1
b2
M
bm
线性代数
非齐次方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1 非齐次线性方程组 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn b2
深圳大学 数学与统计学院
线性代数
第五章 向量空间和线性方程组解的结构
5.4 非齐次线性方程组解的结构
非齐次方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1 非齐次线性方程组 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
线性代数
非齐次方程组解的结构
解：
1 2 3 0 1 1 2 3 0 1
2
4
4
1
3
0
0
21
1
5 10 17 1 4 0 0 0 0 0
1
等价同解的线性方程组为：
x1 2x2 x3 1
2x3 x4 1
0 0
取自由变元
x2 x3
0 0
,
得特解0
0
0
;
1
对应的化简后的导出组为：
x1 2x2 x3 0
2x3 x4 0
0 0
2 1
令
x2 x3
1
0
和
x2 x3
0 1
,
得到导出组的基础解系：1
1
,
0
2
0 1
.
0
2
则非齐次方程组的通解为：X k11 k22 0 , k1, k2 R.
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
矩阵表示形式
Amn X
r(AM ) r(A) r(AM ) r(A) r
线性方程组无解 线性方程组有解
r n 有唯一解 r n 有无穷多解
线性代数
非齐次方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1 非齐次线性方程组 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn b2
线性代数
非齐次方程组解的结构
总结：求非齐次线性方程组的通解的步骤如下：
1) 将其增广矩阵经初等行变换化为行阶梯形后判断是否有解； 2) 有解时，进一步将此阶梯形矩阵化为行最简形,再利用此行最 简形矩阵为增广矩阵求对应的非齐次线性方程组的一个特解0 令自由变元全取零即 可（便于计算）； 3) 并利用此行最简形 的系数矩阵部分(去掉最后一列)求以此为系
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
r(AM ) r(A) r n 有无穷多解
W X Amn X ,r(AM ) r(A) r n
矩阵表示形式
Amn X
线性代数
非齐次方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1 非齐次线性方程组 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn b2
4) 非齐次线性方程组的通解即为： X k11 k22 L knr nr 0, ki R, i 1,2,...,n r.
线性代数
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
矩阵表示形式
Amn X
r(AM ) r(A) r n 有无穷多解
W X Amn X ,r(AM ) r(A) r n 不是子空间！！
线性代数
非齐次方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1 非齐次线性方程组 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn b2
定义 设齐次线性方程组 Amn X 0 为非齐次线性方程组 Amn X
的导出方程组.
Amn X 有唯一解 Amn X 有无穷多解
导出方程组 Amn X 0 仅有零解 导出方程组 Amn X 0 有非零解
线性代数
非齐次方程组解的结构
定理 设非齐次线性方程组 Amn X 有无穷多解 r(AM ) r(A) r n, 0 为方程组一个特解，而 1,2,L ,nr 为导出组 Amn X 0 的一组基础 解系，则非齐次方程组的通解为：
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
矩阵表示形式
Amn X
设0 为非齐次线性方程组的某一解向量，称其为特解,即有 Amn0 . 对于方程组的任意解向量X，Amn X ，显然有：X (X 0 )+0， A(X 0 ) AX A0 0
线性代数
非齐次方程组解的结构
X k11 k22 L knr nr 0, ki R, i 1,2,...,n r.
线性代数
非齐次方程组解的结构
例 通过导出组的基础解系，构造非齐次 线性方程组的通解.
x1 2x2 3x3 1 2x1 4x2 4x3 x4 3 5x1 10x2 17 x3 x4 4
矩阵表示形式
Amn X
系数矩阵
a11
A
aBiblioteka Baidu1
L
a12 L a22 L LL
am1
am 2
L
a1n
a2n
L
amn
未知向量
x1
X
x2
M
xn
常数向量
b1
b2
M
bm
线性代数
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a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1 非齐次线性方程组 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn b2
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第五章 向量空间和线性方程组解的结构
5.4 非齐次线性方程组解的结构
非齐次方程组解的结构
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am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
线性代数
非齐次方程组解的结构
解：
1 2 3 0 1 1 2 3 0 1
2
4
4
1
3
0
0
21
1
5 10 17 1 4 0 0 0 0 0
1
等价同解的线性方程组为：
x1 2x2 x3 1
2x3 x4 1
0 0
取自由变元
x2 x3
0 0
,
得特解0
0
0
;
1
对应的化简后的导出组为：
x1 2x2 x3 0
2x3 x4 0
0 0
2 1
令
x2 x3
1
0
和
x2 x3
0 1
,
得到导出组的基础解系：1
1
,
0
2
0 1
.
0
2
则非齐次方程组的通解为：X k11 k22 0 , k1, k2 R.
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
矩阵表示形式
Amn X
r(AM ) r(A) r(AM ) r(A) r
线性方程组无解 线性方程组有解
r n 有唯一解 r n 有无穷多解
线性代数
非齐次方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1 非齐次线性方程组 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn b2
线性代数
非齐次方程组解的结构
总结：求非齐次线性方程组的通解的步骤如下：
1) 将其增广矩阵经初等行变换化为行阶梯形后判断是否有解； 2) 有解时，进一步将此阶梯形矩阵化为行最简形,再利用此行最 简形矩阵为增广矩阵求对应的非齐次线性方程组的一个特解0 令自由变元全取零即 可（便于计算）； 3) 并利用此行最简形 的系数矩阵部分(去掉最后一列)求以此为系
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
r(AM ) r(A) r n 有无穷多解
W X Amn X ,r(AM ) r(A) r n
矩阵表示形式
Amn X
线性代数
非齐次方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1 非齐次线性方程组 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn b2