九年级数学反比例函数中的面积问题导学案
人教版九年级数学下册26.1.2：反比例函数比例系数K的几何意义 导学案
1【学习目标】1．知道反比例函数y=k/x （k ≠0）中k 的几何意义； 2．能解决简单的面积问题。
3.自己尝试在y=k/x 的图象上任取一点P(x 、y)，过P 点分别向X 轴、Y 轴作垂线，从而探究求出两垂线与坐标轴形成的矩形的面积及三角形的面积，从而探究所形成的矩形与三角形的面积与k 的关系。
4.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。
【教学设计】一、每日一练1.反比例函数上一点A （4，3） （1）k 的值为： ，（2）作AB ⊥X 轴与点B ，作AC ⊥Y 轴与点A 则线段AB= ,AC=（3）矩形ABOC 的面积是： ，△AOB 的面积是：2.反比例函数上一点A （-4，3） （1）k 的值为： ，（2）作AB ⊥X 轴与点B ，作AC ⊥Y 轴与点A 则线段AB= ,AC= .（3）矩形ABOC 的面积是： ，△AOB 的面积是： 。
二、探究新知小结：反比例函数比例系数k 的几何意义是什么？三、探究应用1.(2019·无锡)反比例函数 的图象如图所示，点A 是该函数图象上任意一点，AB ⊥x 轴于点B ，如果S △AOB ＝2，请求k 值。
2.(2018·成都模拟)如图，点A 是反比例函数y ＝k x(x<0)的图象上的一点，过点A作AB⊥x 轴，垂足为B.点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC.若△ABC 的面积为4，则k 的值是 ．【中考链接】(2019·株洲)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 为反比例函数y ＝kx (k ＞0)上不同的三点，连接OA ，OB ，OC ，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B ，C 分别作BE ，CF ⊥x 轴于点E ，F ，OC 与BE 相交于点M ，记△AOD ，△BOM ，四边形CMEF 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则( )A ．S 1＝S 2＋S 3B ．S 1＞ S 2＝S 3C ．S 3＞S 2＞S 1D ．S 2＜S 1＜S 3四、变式训练1.(2018·营口)如图，点A 是反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y ＝kx (k≠0)的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，点C ，点D 在x 轴上．若S ▱ABCD ＝5，则k ＝ ．()ky k o x=≠1、设P （m,n ）是反比例函数上的一点,过P 点作PA ⊥x 轴于点A ，作PB ⊥y 轴于点B,如何用k 表示矩形OAPB 的面积呢？()ky k o xk =≠1、设P （m,n ）是反比例函数上的一点,过P 点作PA ⊥x 轴于点A ，连接OP ，如何用表示△AOP 的面积呢？()ky k o x=≠()ky k o x=≠22.(2019·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y ＝1x 上，顶点B 在反比例函数y ＝5x 上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是( ) A.32 B.52 C ．4 D ．6想一想：（1）以下图中阴影面积如何求：（2）你编一道类似的题目吗？ 五、教学小结说说你今天的收获和感悟六、达标测试1.(2014·滨州中考)如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y ＝ (x<0)的图象经过点C ，则k 的值为 ．2.如图所示，反比例函数()00>≠=x k xk y ，的图象经过矩形OABC 的对角线AC 的中点D ，若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为 。
九年级数学上册 反比例函数全章导学案(暑假专用)
《5.1反比例函数》第1课时导学案【学习目标】会判断一个函数是反比例函数，能举例辩析一个变化过程中两个变量之间符合反比例函数的特征；会求简单问题中反比例函数的表达式．【学习重点】感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型【学习难点】利用反比例函数关系解决实际问题一、知识回顾：1、一般地.在某个变化中,有两个 x和y,如果给定一个x的值,相应地,那么我们称y是x的函数,其中x叫,y 叫。
2、我们已经学过一次函数，还记得相关知识吗？⑴形如y= 的函数，叫做一次函数；⑵图像的性质是：当k＞0时，图像经过第象限，y随x的逐渐增大而，这时图像是图像（上升或下降）。
当k<0时，图像经过第象限，y随x的逐渐增大而；当k=0时，它变成函数，图像的性质与的性质相同。
二、创设情境、导入新课问题提出：1、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U＝220V时，（1）你能用含有R的代数式表示I吗？（2）利用写出的关系式完成下表：R/Ω20 40 60 80 100I/A当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？（3）变量I是R的函数吗？为什么？2、汽车从南京出发开往上海（全程约为300km），全程所用的时间t(h)随速度v(km/h)的变化而变化.（1）你能用含有v的代数式表示t吗？（2）利用（1）中的关系式完成下表：v/(km/h) 60 80 90 100 120t/h随着速度的变化，全程所用的时间发生怎样的变化？．（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？概念：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成的形式，那么y是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零。
练习．下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，系数k是多少？①4yx=；②12yx=-；③1y x=-；④1xy=；⑤2xy=；⑥13y x-=；⑦21yx=-做一做1、 个矩形的面积为202cm ，相邻的两条边长分别为xcm 和ycm 。
人教版数学九年级(下)第二十六章《反比例函数》导学案
人教版数学九年级（下）第二十六章《反比例函数》导学案26.1反比例函数学习目标、重点、难点【学习目标】1、理解反比例函数的定义；2、用待定系数法确定反比例函数的表达式；3、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；【重点难点】1、用待定系数法确定反比例函数的表达式；2、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；知识概览图反比例函数的定义反比例函数反比例函数的图象与性质新课导引【生活链接】学校课外生物小组的同学准备自己动手，用围栏建一个面积为24m2的矩形饲养场（如右图所示），设它的一边长为x(m)，求另一边长y(m)与x(m)之间的函数关系式.【问题探究】这个函数有什么特点?自变量的取值有什么限制?教材精华知识点1反比例函数的定义重点;理解一般地,形如kyx(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数,y的取值范围也是不等于0的一切实数,k叫做比例系数,另外,反比例函数的关系式也可写成y=kx-1的形式.y是x的反比例函数⇔kyx=(k≠0)⇔xy=k(k≠0) ⇔变量y与x成反比例,比例系数为k.拓展 (1)在反比例函数kyx=(k≠0)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如1yx=,312yx=等都是反比例函数,但21yx=+就不是关于x的反比例函数.(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y=kx-1或xy=k 的形式.(3)反比例函数中,两个变量成反比例关系.知识点2用待定系数法确定反比例函数的表达式难点:运用由于反比例函数kyx=中只有一个待定系数,因此只要有一对对应的x,y值,或已知其图象上一点坐标,即可求出k,从而确定反比例函数的表达式.其一般步骤:(1)设反比例函数关系式kyx=(k≠0).(2)把已知条件(自变量和函数的对应值)代入关系式,得出关于k的方程.(3)解方程,求出待定系数k的值.(4)将待定系数k的值代回所设的关系式,即得所求的反比例函数关系式.知识点3反比例函数图象的画法难点;运用反比例函数图象的画法是描点法,其步骤如下:(1)列表:自变量的限值应以0为中心点,沿0的两边取三对(或三对以上)相反数,分别计算y 的值.(2)描点:先描出一侧,另一侧可根据中心对称的性质去找.(3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点,双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交.说明:在图象上注明函数的关系式.拓展(1)反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它的两个分支是断开的.(2)当k＞0时,两个分支位于第一、三象限；当k﹤0时，两个分支位于第二、四象限.(3)反比例函数kyx=(k≠0)的图象的两个分支关于原点对称.(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0.知识点4反比例函数kyx=(k≠0)的性质难点；灵活应用(1)如图17-2所示，反比例函数的图象是双曲线，反比例函数kyx=的图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
最新九年级中考数学：一次函数和反比例函数中的面积问题
最后，愿大家在百日的征途里
吃好！
喝好！
休息好！
更要学好！练好! 成绩好！
要学的认真！
练的刻苦！
成绩更上一层楼！
于点A(1，3)和B(3，1)
1.若△POD的面积为S，求S的取值范围．
课堂总结
质疑之星 ：
评价之星：
编题之星 ：
思维之星：
诺奖希望小组：
今日总结
知识点：
函数中面积的计算方法
思想方法：
1.数形结合
2.方程思想
3. 转化思想
作业基础练习 第1题优来自训练 第2题亲爱的同学们，
愿我们这个学习加油站可以帮
2. 完成相关知识点的思维导图
A
活动二-----解疑合探
−
如图，一次函数 y＝－x＋4 和反比例函数 =
交于P,Q两点
求△POQ的面积
活动二-----解疑合探
如图，一次函数 y＝－x＋4 与反比例函数 =
条件：AB=BP
结论：求△AOP的面积
活动三-----质疑再探
如图，一次函数y＝－x＋4与反比例函数 = (x＞0)的图象交
学习加油站
开动脑筋
认真听课喽
一次函数和反比例函数
中的面积问题
学习目标:
1.会计算反比例函数与一次函数图像所涉及的常见三角形的面积问题
，并熟练解题能力。
2.经历解决反比例函数与一次函数综合面积问题的过程，进一步提高
分析和解决问题的能力，体会“数形结合”数学思想。
活动一-----设疑自探
P
B
Q
1.请你求出三角形面积
九年级数学上册《反比例函数的应用》教案、教学设计
6.小组合作，拓展提高
设置小组合作任务，让学生在合作中探讨反比例函数的更深入问题，如反比例函数与一次函数、二次函数的关系等。培养学生团队合作精神和创新能力。
7.课堂小结，总结提升
在课堂尾声，引导学生对所学知识进行总结，梳理反比例函数的定义、性质和应用。教师进行点评，强调重点，突破难点。
1.请同学们完成课本第十章第3节后的练习题，特别是第1、3、5、7、9题，这些题目涵盖了反比例函数的基本概念和性质，通过练习，加深对反比例函数的认识。
2.结合生活实际，设计一个反比例函数的应用问题，并尝试自己解决。这个问题可以涉及行程、面积、比例分配等方面，要求学生在解决过程中明确反比例函数的应用步骤和关键点。
九年级数学上册《反比例函数的应用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的一般形式，了解常数k的几何意义。
2.能够绘制反比例函数的图像，掌握反比例函数图像的对称性、渐近线等性质。
3.学会运用反比例函数解决实际生活中的问题，如行程问题、面积问题等。
（二）过程与方法
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结反比例函数的定义、图像性质和应用。
2.强调反比例函数在实际问题中的应用，让学生认识到数学知识在生活中的重要性。
3.提醒学生课后复习，巩固所学知识。
4.布置课后作业，适当拓展，提高学生的自主学习能力。
五、作业布置
为了巩固学生对反比例函数的理解和应用，特布置以下作业：
3.加强师生互动，关注学生的个体差异，给予每个学生足够的关注和指导。
新人教版九年数学下导学案(26.1 反比例函数)
班姓名成绩：优良差学习目标1．理解并掌握反比例函数的概念2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想4．经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念以及意义。
5．培养观察、推理、分析能力，体验数形结合的数学思想，认识反比例函数的应用价值。
学习重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式学习难点：理解反比例函数的概念【导读指导】1.情景导入2.明确目标3.预习检测回忆一下什么是一次函数、二次函数？它们的一般形式是怎样的？【导学指导】4.展示探究（1）体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？（2）看教材P2页思考中的三个问题，三个函数的解析式分别是怎样的？（3）电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U＝220V时，（1）你能用含有R的代数式表示I吗？（2）利用写出的关系式完成下表：R/Ω20406080100I/A当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？（3）变量I是R的函数吗？为什么归纳：反比例函数：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成的形式，那么y 是x 的反比例函数，其中x 是自变量，反比例函数的自变量x 的取值范围是 。
【导练指导】5.拓展测评1．下列等式中，哪些是反比例函数（1）3x y = （2）xy 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-= （6）31+=xy （7）y ＝x －4 2．当m 取什么值时，函数23)2(m xm y --=是反比例函数？3．苹果每千克x 元，花10元钱可买y 千克的苹果，求出y 与x 之间的函数关系式。
【导思指导】6.小结收获反比例函数、一次函数、二次函数的一般形式？7.点评激励8.课后作业1.若函数28)3(m xm y -+=是反比例函数，求m 。
安阳中学反比例函数复习导学案
反比例函数复习导学案姓名 班级【一、学习目标】：1.系统复习《反比例函数》并应用；2.在复习过程中，渗透待定系数法、分类、数形结合等数学思想方法. 【二、学习重点与难点】：重点：反比例函数知识的应用;难点：反比例函数知识的综合运用 三、【考点透视】1.能根据已知条件利用待定系数法确定反比例函数的表达式；2.能正确画出反比例函数的图象，结合图象或表达式说出其性质，并能运用其性质解决简单的实际问题；3.能结合反比例函数图象计算简单图形的面积。
一、 反比例函数的解析式 基础知识回顾（课前完成）一般地，形如 ______________（ ）的函数称为反比例函数. （其中，自变量x 的取值范围为___________________________ ）反比例函数解析式还可以表示为_____________和_________________ 考点突破：1.下列函数中哪些是反比例函数? ① y=3x; ② y=2x 2; ③ xy=-2; ④ y=2x -1; ⑤ 2y 3x =; ⑥3y 2x= . 2.若函数 是反比例函数，则n=______.变式：若函数 是反比例函数，则n=______.3.已知y 与x 成反比例，当x=2时，y=3，则 y 与x 的关系式为________.变式：已知y 与x+2成反比例，当x=1时，y=-3，则 y 与x 的关系式为_______. 二、 反比例函数的图象以及性质基础知识回顾（课前完成）反比例函数的图象是 .4.若双曲线经过点(－3 ，2)，则其解析式是______.5.函数 的图象在第______象限，当x<0时，y 随x 的增大而______ .6.函数 的图象在二、四象限内，则m 的取值范围是______ .7.已知点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)（x 1＜0＜x 2 )都在反比例函数 的图象上,则y 1与y 2的大小关系(从大到小)为 .12n y x -=221n y n x -=-（）x y 5=x m y 2-=)0(<=k x ky变式：已知点A(-2,y 1),B(-1,y 2),C(4,y 3)都在反比例函数的图象上,则y 1 、y 2 、y 3 的大小关系(从大到小)为 .三、反比例函数中的面积问题8.如图1,点P 是反比例函数 图象上任意一点,PA ⊥x 轴于A ，PB ⊥y 轴于B.则矩形PAOB 的面积为___________.变式：如图2,点P 是反比例函数 图象上任意一点, PA ⊥x 轴于A ，连接PO,则S △PAO 为_____.归纳:点PPB ⊥y 轴于B.则矩形PAOB(如图1)的面积为_______，S △PAO （如图2）为_____.9.如图1,点P 是反比例函数图象上的一点, PA ⊥x 轴于A ，PB ⊥y 轴于B,四边形PAOB 的面积为12,则这个反比例函数的关系式是________ .变式：如图2,点P 是反比例函数图象上的一点, PA ⊥x 轴于A ，连接PO,若S △PAO=8,则这个反比例函数的关系式是________ .四、反比例函数与一次函数的综合运用10.(2013东莞.中考）如图，一次函数 的图象和反比例函数 的图象交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（2，1）.（1）试确定k 、m 的值；（2）连接AO,求△AOP 的面积; （3）连接BO,若B 的横坐标为-1，求△AOB 的面积.变式：如图：一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于M(2，m)、N(-1，-4)两点.（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）当x)0(>=k xky xy 2-= xxy 2-=b ax y +=y =1y kx =-my x=）【当堂检测】1．某反比例函数的图象经过点(23)-，，则此函数图象也经过点（ ） A ．(23)-， B ．(33)--，C ．(23)，D ．(46)-，2.若反比例函数y=kx经过点(-1,2),则一次函数y=-kx+2的图象一定不经过第____ _象限.3. 如图所示,已知一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,且与反比例函数y=mx(m ≠0)的图象在第一象限交于C 点, CD 垂直于x 轴,垂足为D.若OA=OB=OD=1,(1)求点A 、B 、D 的坐标;(2)求一次函数和反比例函数的解析式.4.如图,Rt △ABO 的顶点A 是双曲线y=kx与直线y=-x-(k+1)在第二象限的交点.AB ⊥x 轴于B,且S △ABO =32. (1)求这两个函数的解析式;(2)求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积.【中考链接】1、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面时，面条的总长度y （m ）是面条的粗细(横截面积)S （mm 2图所示． ⑴ 写出y （m ）与S （mm 2）的函数关系式； ⑵ 求当面条粗1.6 mm 2时，面条的总长度是多少米？2、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m 3)的反比例函数，其图象如图所示. 当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（ ）. （A ）不大于3m 3524；(B)不小于3m 3524； (C)不大于3m 3724；(D)不小于3m 3724yOxDC B Ay Ox C B A。
初中数学-反比例函数与一次函数的交点面积问题教学设计学情分析教材分析课后反思精选全文
可编辑修改精选全文完整版《反比例函数与一次函数的交点面积问题》教学设计学科数学课题反比例函数与一次函数的交点面积问题课型复习教学 目标知识目标 1. 能够熟练求解一次函数与反比例函数的表达式与交点坐标； 2. 能够熟练求解反比例函数中三角形的面积。
能力目标通过讨论交流，合作学习，培养学生研究问题和解决问题能力。
情感目标培养学生自主探究、合作交流的能力及渗透数型结合，转化等数学思想。
教学重点 能够熟练求解反比例函数中三角形的面积 教学难点 分割法，转化法的应用，规范书写证明过程。
教学用具多媒体教学方法小组合作探究教学课时1课时教 学 过 程 设 计教学过程学生活动 一、自主复习诊断1、整理反比例函数中常见的三角形图形及求面积的方法2、预习诊断1) 已知一次函数y=kx+b 经过点A （0,3）和B （-3,0）则函数的表达式为______________.2) 已知反比例函数经过点A （1,4）则反比例函数的表达式为_________3) 如图，过反比例函数)0(>=x xky 的图象上一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S △AOB =2，则k的值为________学生复习常见的反比例函数与一次函数围成的三角形面积。
学生思考，导入课题。
学生自主完成相关内容。
yxy x y x y x yx y x4）如图,点P 是反比例函数图象上的一点,PD ⊥x轴于D.则△POD 的面积为5）面积不变性S=S=注意：（1）面积与P 的位置无关（2）当k 符号不确定的情况下须分类讨论6)曲直结合△BDA 的面积是多少？ 7）（2011•临沂）如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B（﹣3，n ）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．二、教材分析中考试卷中的反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的学生掌握公理的原则，并不是越多越好。
成都市东湖中学九上数学反比例函数面积问题专项导学
成都市东湖中学九上数学反比例函数面积问题专项导学一、问题探究１、已知点P 是双曲线上任意一点，过点P 作x 轴的垂线PA ，y 轴的垂线PB,垂足分别为A,B.矩形OAPB的面积会随P 点的移动而发生改变吗？若不变，请求出其面积；若改变，试说明理由。
２、K 的几何意义： ①、过双曲线)0(≠=k x k y 上一点P(x,y)分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，则 S 矩形OAPB=OA·AP=|x| ·|y|=|k|②、则垂足为轴的垂线作过有上任意一点是双曲线设,,)1(:,)0(),(A x P k xk y n m P ≠= ||21||||2121k n m AP OA S OAP =∙=⋅⋅=∆ 二、经典例题１．如图，点P 是正比例函数y=x 与反比例函数y=在第一象限内的交点，PA ⊥OP 交x 轴于点A ，△POA的面积为2，求k 的值．2．如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，求该反比例函数的解析式。
3．如图，在平面直角坐标系中直线y=x﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．（1）求反比例函数的关系式；（2）将直线y=x﹣2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．4．如图，已知正比例函数y=2x 和反比例函数的图象交于点A （m ，﹣2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围；（3）若双曲线上点C （2，n ）沿OA 方向平移个单位长度得到点B ，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论．【问题解决】１．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC ＝2AB ，A ，B 两点的坐标分别是（－1，0），（0，2），C ，D 两点在反比例函数)0(<=x xk y 的图象上，求k 的值．２．若反比例函数过面积为9的正方形AMON的顶点A，且过点A的直线y2=mx﹣n的图象与反比例函数的另一交点为B（﹣1，a）（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．３．如图，反比例函数图象在第一象限的分支上有一点C（1，3），过点C的直线y=kx+b〔k＜0〕与x 轴交于点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）当直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点的横坐标为3时，求△COD的面积．４．如图，点P（4，3）是双曲线y=上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=（k2＞0）于E、F两点．（1）k1=_________，四边形PAOB的面积S=_________；（2）试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．。
26.1.3 反比例函数k的几何意义导学案 九年级数学下册(人教版)
人教版九年级下册第26章《反比例函数》导学案[26.1.3 反比例函数k的几何意义]1．理解并掌握反比例函数有关面积的三个性质；(难点)2．能灵活利用反比例函数“K”的几何意义解决问题.(重点)复习回顾1.反比例函数的图象是什么？2.反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？知识精讲反比例函数中“k”的几何意义如图，是y=6的图象，点P是图象上的一个动点.x1.若P(1，a)，则矩形OAPB的面积＝________;2.若P(3，b)，则矩形OAPB的面积＝_________;3.若P(5，c)，则矩形OAPB的面积＝_________.想一想：若P(x，y)，则矩形OAPB的面积＝_____.【归纳】面积性质（一）的图象上任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A，B,则：设P(m,n)是y=kx=_______.S矩形OAPB过反比例函数图象上任一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A,B，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的.典例解析【例1】如图，A,B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A,B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若121S S S =+=阴影，则 .【针对练习】1.如图，在函数1y x=(x ＞0)的图像上有三点A ，B ，C ，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为S A ，S B ，S C ，则 ( )A. S A >S B >S CB. S A <S B <S CC. S A =S B =S CD. S A <S C <S B2.在双曲线ky x=上任一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴y 轴围成矩形面积为12，求函数解析式__________.3.如图,点P 、Q 是反比例函数图象上的两点,过点P 、Q 分别向x 轴、y 轴作垂线,则S 1(黄色三角形）S 2(绿色三角形）的面积大小关系是：S 1 ____ S 2.4.如图，点A 在双曲线 y=1x 上，点B 在双曲线y=3x 上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上,若四边形ABCD 为长方形，则它的面积为_______.知识精讲面积性质（二）设P(m,n)是y =kx （k ≠0）的图象上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为A,连接OP ，则：________.OAP S ∆=过P 作x 轴(y 轴)的垂线，垂足为A,则它与坐标轴形成的三角形的面积是不变的.典例解析【例2】如图所示，点A 在反比例函数ky x=的图象上，AC 垂直 x 轴于点 C ，且 △AOC 的面积为 2，求该反比例函数的表达式．【针对练习】1.如图，过反比例函数ky x=图象上的一点 P ，作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .2.双曲线y 1 ,y 2在第一象限的图象如图所示.已知y 1﹦1x , 过y 1上的任意一点A 作x 轴的平行线交y 2与点B ，交y 轴于点C.若S △AOB =1,则y 2的解析式是_______.3.如图，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数4y x=-和 2y x=的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则∆ABC 的面积为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 64.如图，点A 是反比例函数2y x=(x ＞0)的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数 3y x=-的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，其中C 、D 在轴上，则S 平行四边形ABCD 为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5知识精讲面积性质（三）设P(m,n)关于原点的对称点是P ’(-m,-n)，过P 作x 轴的垂线与过P ’作y 轴的垂线交于A 点，则：______.='SΔPAP【针对练习】 如图，A 、B 是函数1y x=的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，∆ABC 的面积为S ，则( )A.S = 1B.1<S<2C.S = 2D.S>2达标检测1.若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M ，N ，若四边形PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 .2.如图，点 A 是反比例函数2y x= (x ＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数3y x=- (x ＜0) 的图象于点 B ，以 AB 为边作平行四边形 ABCD ，其中点 C ，D 在 x 轴上，则 S 平行四边形ABCD =_________.3.如图所示，直线与双曲线交于 A ，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S 1、△ BOD 的面积 S 2、 △ POE 的面积 S 3 的大小关系为 .4.如图，函数 y ＝－x 与函数4y x=-的图象相交于 A ，B 两点，过点 A ，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则四边形ACBD 的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 85.如图(上面)，在反比例函数2y x=（x>0)的图象上，有点P 1、P 2、P 3、P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4.分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123___.S S S ++=。
数学北师大版九年级上册反比例函数中的面积问题
林甸县第四中学 李 海 宁
精导引标
学习目标：
1.进一步理解反比例函数的性质； 2.会应用反比例函数的性质解决相
关的面积问题；
3.在探索中归纳总结，分享成功的
乐ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
预学检测
小组内成员互相检查预学单， 组长汇报存在的问题。
基础探究
内容：助学单基础探究一或基础探究二。 要求： 1.南面两组完成基础探究一，北面两组 完成基础探究二； 2.小组合作完成； 3.时间：8分钟。 注：完成其中一项内容的小组可以继续 研究第二项内容。
y B M O M N M
R
k x
∴ S△AMO= S△ANO=
x B A A（ （a a， ，b b） ）
2
2
k
2
反比例函数图象上任意两点向任 意一条坐标轴作垂线，与垂足、原 相等 。 点构成的两个三角形面积_____ 即： S△ANO= S△BMO S△ARO= S梯形BMNR 即：
由反比例函数图像同一分支上任意两点向同一条坐 标轴作垂线，不重叠部分的三角形与梯形面积相等。
矩形
三角形
基础探究一：矩形面积
由反比例函数y= 图象上一点A（a，b）向 两坐标轴作垂线，分别交两轴于M、N，形成 S 矩形AMON，则： 矩形 AMO N k
y
B PP
k x
A R M N Q OO NQ M A（a，b）
反比例函数图象上任意两点向 两坐标轴作垂线，形成的两个矩 相等 。 形面积_______ 即： S矩形ANOM= S矩形BQOP x
y N FO P E M x
k x
拓展创新：反比例函数中的面积问题
反比例函数y=
(完整版)九年级数学反比例函数复习专题教案
在解题过程中，需要灵活运用反比例函数和一次函数的性质，如单调性、对称性、周期性 等。
注意细节处理，避免失误
在解题过程中，需要注意细节处理，如符号问题、计算问题等，避免因为细节失误导致整 个题目错误。
06
CATALOGUE
课程总结与拓展延伸
课程重点回顾与总结
01 02
解题能力评估
评估自己的解题能力，包 括审题、分析、计算等方 面，找出自己的不足之处 。
拓展延伸：反比例函数在其他学科中的应用
物理中的应用
在物理中，反比例函数可以用来 描述一些物理量之间的关系，如 电阻、电容、电感等。通过实例 让学生了解反比例函数在物理中
的应用。
化学中的应用
在化学中，反比例函数可以描述 一些化学反应的速率与浓度的关 系。通过实例让学生了解反比例
反比例函数的复合与分解
复合运算
将一个反比例函数作为另一个函 数的自变量进行复合，其结果可 能仍为反比例函数，也可能为其 他类型的函数。
分解运算
将一个复杂的反比例函数分解为 几个简单的反比例函数之和或之 积，以便进行进一步的运算或分 析。
反比例函数的图像变换
平移变换
将反比例函数的图像沿x轴或y 轴平移，不改变函数的形状和
01
联立两个函数的解析式，解方程组得到交点坐标。
判断交点个数及位置
02
通过比较函数值或观察图象，判断交点个数及在坐标系中的位
置。
利用交点解决问题
03
根据交点坐标，可以进一步求解与交点相关的其他问题，如面
积、长度等。
反比例函数与一次函数的综合题型
函数图象的绘制与分析
根据函数解析式，绘制反比例函数和一次函数的图象，并分析其 性质。
反比例函数中的面积问题学案
初四数学微专题：反比例函数中的面积问题模型一：一点一垂直模型例1. 如图，点A在反比例函数y＝－的图象上，AM⊥y轴于点M，点P是x轴上的一点，则△APM的面积为________．变式练习1．(2019·枣庄)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝k x(x＞0)的图象上．若AB＝1，则k的值为( )A．1 B.22 C. 2 D．2模型2一点两垂直模型例2. 如图，正方形ABCD的顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，且AB∥x轴，DC∥x轴，则正方形ABCD的面积为________．变式练习2．如图，A，B两点在双曲线y＝4x上，分别经过A，B两点向x轴、y轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1＋S2＝( )A．3 B．4 C．5 D．6模型3两点一垂直模型例3. 如图，直线y＝mx与双曲线y＝ (k≠0)交于点A，B.过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM.若S△ABM＝1，则k的值是( )A. 1B. m－1C. 2D. m变式练习3. 如图，已知一次函数y＝－2x＋12的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝－的图象交于C，E两点，过点C作CD⊥x轴于点D，求△CDE的面积．模型4两点两垂直模型4x1xkx80xkx例4. 如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x 轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN. 若S四边形AMBN＝1，则k的值是________．变式练习4．如图，A，B是函数y ＝2x的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则( )A．S＝2 B．S＝4C．2＜S＜4 D．S＞4达标检测：1. 如图，点A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，线段AB交反比例函数y＝的图象于点C，则△OAC的面积为( )A. 4B. 3C. 2D. 12. 如图，设点P在函数y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y＝的图象于点B，则四边形PAOB的面积为________．3. 如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN. 若S四边形AMBN＝1，则k的值是________．4. 如图，反比例函数y＝的图象与直线y＝kx(k＞0)相交于A，B两点，AC ∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积为________5. (2018贵阳)如图，过x轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝ (x＞0)，y＝－ (x＞0)的图象交于A点和B点，若C为y轴任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为________．6 x2x2x6x2 xkx5x3x6x。
69 反比例函数中的有关面积问题
反比例函数中的有关面积问题一、反比例函数k 的几何意义1.反比例函数k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k 。
如图二，所围成三角形的面积为2k二、利用k 的几何意义进行面积转化1.如图，直线AB 与反比例函数k y x =（0k ≠）交于A 、B 两点，与x 、y 轴的交点分别为C 、D ，那么OAB OCD OBD OAC S S S S ∆∆∆∆=--，此方法是绝大部分学生选用的方法。
但是，从效率来讲，就比较低2.如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。
【针对训练】1、如图，△BOD 都是等腰直角三角形，过点B 作AB ⊥OB 交反比例函数y ＝（x ＞0）于点A ，过点A 作AC ⊥BD 于点C ，若S △BOD ﹣S △ABC ＝3，则k 的值为．解：设A 点坐标为（a ，b ），∵△ABC 和△BOD 都是等腰直角三角形，∴BC ＝AC ，OD ＝BD∵S △BOD ﹣S △ABC ＝3，OD 2﹣AC 2＝3，OD 2﹣AC 2＝6，∴（OD +AC ）（OD ﹣AC ）＝6，∴a •b ＝6，∴k ＝6．故答案为6．2、如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC ﹣S △BAD ＝．解：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，则点B 的坐标为（a +b ，a ﹣b ）．∵点B在反比例函数y＝的第一象限图象上，∴（a+b）×（a﹣b）＝a2﹣b2＝8．∴S△OAC﹣S△BAD＝a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝×8＝4．故答案为：4．3、如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y═kx（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．【答案】（1）y＝4x；（2）点P的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）．【解析】解：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1∴B（﹣1，﹣4）将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═kx（k≠0）中得：k＝4∴反比例函数的表达式为y＝4x；（2）如图：设点P的坐标为（m，4m）（m＞0），则C（m，m﹣3）∴PC＝|4m﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m∴△POC的面积＝12m×|4m﹣（m﹣3）|＝3解得：m＝5或﹣2或1或2∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m≠4又∵m＞0∴m＝5或1或2∴点P的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）．4、如图所示，函数y1＝kx+b的图象与函数（x＜0）的图象交于A（a﹣2，3）、B（﹣3，a）两点．（1）求函数y 1、y 2的表达式；（2）过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴，试问在线段AB 上是否存在点P ，使S △PAM ＝3S △PBN ？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【详解】解：（1）∵A 、B 两点在函数（x ＜0）的图象上，∴3（a ﹣2）＝﹣3a ＝m ，∴a ＝1，m ＝﹣3，∴A （﹣1，3），B （﹣3，1），∵函数y 1＝kx+b 的图象过A 、B 点，∴，解得k ＝1，b ＝4∴y 1＝x+4，y 2＝；（2）由（1）知A （﹣1，3），B （﹣3，1），∴AM ＝BN ＝1，∵P 点在线段AB 上，∴设P 点坐标为（x ，x+4），其中﹣1≤x≤﹣3，则P 到AM 的距离为h A ＝3﹣（x+4）＝﹣x ﹣1，P 到BN 的距离为h B ＝3+x ，∴S △PBN ＝BN•h B ＝×1×（3+x ）＝（x+3），S △PAM ＝AM•h A ＝×1×（﹣x ﹣1）＝﹣（x+1），＝3S△PBN，∵S△PAM∴﹣（x+1）＝（x+3），解得x＝﹣，且﹣1≤x≤﹣3，符合条件，∴P（﹣，），综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（﹣，）．【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，在（1）中掌握交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，在（2）中用P点坐标分别表示出△PBN和△PAM的面积是解题的关键．5、如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．（1）k1＝，k2＝，b＝．（2）直接写出不等式y2＞y1的解集；（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，求△PED的面积S 的最大值．解：（1）∵A（1，m），B（2，1）在双曲线y2＝上，∴k2＝m＝2×1＝2，∴A（1，2），则，解得：，∴k1＝﹣1，k2＝2，b＝3；故答案为：﹣1，2，3；（2）由图象得：不等式y2＞y1的解集是：0＜x＜1或x＞2；（3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2，∵PD＝﹣x+3，OD＝x，则，∵，∴当时，S有最大值，最大值为．6、如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+5的图象与函数y＝（k＜0）的图象相交于点A，并与x轴交于点C，S△AOC＝15．点D是线段AC上一点，CD：AC＝2：3．（1）求k的值；（2）根据图象，直接写出当x＜0时不等式＞﹣x+5的解集；（3）求△AOD的面积．解：（1）y＝﹣x+5，当y＝0时，x＝5，即OC＝5，C点的坐标是（5，0），过A作AM⊥x轴于M，＝15，∵S△AOC∴＝15，解得：AM＝6，即A点的纵坐标是6，把y＝6代入y＝﹣x+5得：x＝﹣1，即A点的坐标是（﹣1，6），把A点的坐标代入y＝得：k＝﹣6；（2）当x＜0时不等式＞﹣x+5的解集是﹣1＜x＜0；＝15，（3）∵CD：AC＝2：3，S△AOC＝＝5．∴△AOD的面积＝S△AOC7、如图，反比例函数y＝经过点D，且点D的坐标为（﹣，2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，交反比例函数图象于另一点C，若3OA＝4OB，求△BOC的面积．解：（1）∵反比例函数y＝经过点D（﹣，2）．∴k＝﹣＝﹣1，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，∴A（0，b），B（﹣，0），∴OA＝b，OB＝，∵3OA＝4OB，∴3b＝，∴a＝，∴y＝x+b，∵直线AB经过D（﹣，2），∴2＝×（﹣）+b，∴b＝，∴y＝x+，B（﹣2，0），解得或，∴C（﹣，），＝2×＝．∴S△BOC8、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC、AO．（1）求反比例函数解析式；（2）若四边形ACBO的面积为3，求点A的坐标．解：（1）作BD⊥OC于D，如图，∵△BOC为等边三角形，∴OD＝CD＝OC＝1，∴BD＝OD＝，∴B（﹣1，﹣），把B（﹣1，﹣）代入y＝得k＝﹣1×（﹣）＝，∴反比例函数解析式为y＝；（2）设A（t，），∵四边形ACBO的面积为3，∴×2×+×2×＝3，解得t＝，∴A点坐标为（，2）．9、如图，△AOB在平面直角坐标xOy中，反比例函数y1＝的图象经过点A，反比例函数y2＝的图象经过点B，作直线x＝1分别交y1，y2于C，D两点，已知A（2，3），B（3，1）．（1）求反比例函数y1，y2的解析式；（2）求△COD的面积．解：（1）∵反比例函数y1＝的图象经过点A（2，3），反比例函数y2＝的图象经过点B（3，1），∴k1＝2×3＝6，k2＝3×1＝3，∴y1＝，y2＝．（2）由（1）可知两条曲线与直线x＝1的交点为C（1，6），D（1，3），∴CD＝6﹣3＝3，＝1＝．∴S△COD10、正方形ABCD的顶点A（1，1），点C（3，3），反比例函数y＝（x＞0）．（1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y＝（x＞0）的关系式；（2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′，边A'B'在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E，①求△A'EF的面积；②如图3，x轴上一点P，是否存在△PEF是等腰三角形，若存在直接写出点P坐标，若不存在明理由．解：（1）∵点A（1，1），点C（3，3），∴点D（1，3），将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3，故反比例函数表达式为：y＝；（2）平移后点A′、B′、C′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），则平移后点E纵坐标为3，则点E（3，1），同理点F（，2），﹣S△A′B′E﹣S△A′D′F﹣S△EFC′＝2×2×2×﹣2×1﹣××1＝；△A'EF的面积＝S正方形A′B′C′D′（3）点E、F的坐标分别为：（3，1）、（，2），设点P（m，0），则EF2＝（3﹣）2+（2﹣1）2＝，EP2＝（m﹣3）2+1，PF2＝（m﹣）2+4，当EF＝EP时，即＝（m﹣3）2+1，解得：m＝或；当EF＝PF时，同理可得：m＝（舍去负值）；当EP＝PF时，同理可得：m＝，故点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．11、如图，单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y＝kx+b与坐标轴交于A、B两点，反比例函数y＝（x＞0）经过一次函数上一点C（2，a）．（1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图象；（2）依据图象直接写出当x＞0时不等式kx+b＞的解集；（3）若反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b交于C、D两点，使用直尺与2B铅笔构造以C、D为顶点的矩形，且使得矩形的面积为10．解：（1）∵一次函数y＝kx+b过点A（0，4），点B（8，0），∴，∴，∴一次函数解析式为：y＝﹣x+4；∵点C在一次函数图象上，∴a＝﹣×2+4＝3，∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C（2，3），∴m＝6，∴反比例函数解析式为：y＝，图象如图所示：（2）∵反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+4交于C、D两点，∴＝﹣x+4，∴x1＝2，x2＝6，∴点D（6，1），由图象可得：当2＜x＜6时，y＝kx+b的图象在y＝图象的上方，∴不等式kx+b＞的解集为2＜x＜6；（3）如图，若以CD为边，则矩形ABDC，矩形A'B'DC为所求，若以CD为对角线，则矩形DEDF为所求．12、如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2），把A（1，2）代入反比例函数，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为；（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），设P（x，0），∴PC＝|3﹣x|，＝|3﹣x|×2＝5，∴S△APC∴x＝﹣2或x＝8，∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，理由如下：联立，解得：或，∴B点坐标为（2，1），∵点P在y轴上，∴设P（0，m），∴AB＝＝，AP＝，PB＝，若BP为斜边，∴BP2＝AB2+AP2，即＝2+，解得：m＝1，∴P（0，1）；若AP为斜边，∴AP2＝PB2+AB2，即＝+2，解得：m＝﹣1，∴P（0，﹣1）；综上所述：P（0，1）或P（0，﹣1）．13、如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为．（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；（2）求△AOD的面积；（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，∴点A，点B关于原点对称，∴点B的横坐标为1，∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；（2）连接OC，OE，由图象知，点A，点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴OC＝AB＝AO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC为∠BAD的平分线，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∴S △AEO ＝S △ACE ＝，∵AD ＝2DE ，∴AE ＝DE ，∴S △AOD ＝2S △AOE ＝3；（3）作EF ⊥x 轴于F ，作AH ⊥x 轴于H ，则EF ∥AH ，∵AD ＝2DE ，∴DE ＝EA ，∵EF ∥AH ，∴＝＝1，∴DF ＝FH ，∴EF 是△DHA 的中位线，∴EF ＝AH ，∵S △OEF ＝S △OAH ＝﹣，∴OF •EF ＝OH •HA ，∴OH ＝OF ，∴OH ＝HF ，∴DF ＝FH ＝HO ＝DO ，∴S △OAH ＝S △ADO ＝3＝1，∴﹣＝1，∴k＝﹣2，∴y＝﹣，∵点A在y＝﹣的图象上，∴把x＝﹣1代入得，y＝2，∴A（﹣1，2），∵点A在直线y＝mx上，∴m＝﹣2，∴P（﹣2，﹣2），在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，则OM＝2，∴点M的坐标为（0．﹣2）；当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，∴OM＝2PG＝4，∴点M的坐标为（0．﹣4）；综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．。
初三数学九年级下册《反比例函数》导学案
第26章 反比例函数26．1．1反比例函数的意义【学习目标】1、 经历抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念。
2、 理解反比例函数的意义，根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数关系式3、 让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会数学在解决实际问题中的作用 【学习重点】理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式 【学习难点】反比例函数的解析式的确定 【学法指导】自主、合作、探究【自主学习，基础过关】 一、自主学习： （一）复习巩固1.在一个变化的过程中，如果有两个变量x 和y ，当x 在其取值范围内任意取一个值时， y ，则称x 为 ，y 叫x 的 .2.一次函数的解析式是： ；当 时，称为正比例函数.3.一条直线经过点（2，3）、（4，7），求该直线的解析式. 以上这种求函数解析式的方法叫： . （二）自主探究提出问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？（1）京沪线铁路全程为1463km ，乘坐某次列车所用时间t （单位:h ）随该列车平均速度v （单位:km/h ）的变化而变化；（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m 2的矩形草坪，草坪的长为y 随宽x 的变化； （3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S （单位：平方千米/人）随全市人口n （单位:人）的变化而变化.1、上面问题中，自变量与因变量分别是什么？三个问题的函数表达式分别是什么？ （1） （2） （3）2、这三个函数关系式可以叫正比例函数吗？可以叫一次函数吗？ （三）归纳总结：1、三个函数表达式：v t 1262=、xy 1000=、S ＝n 41068.1⨯有什么共同特征？你能用一个一般形式来表示吗？2、对于函数关系式xy 1000=，完成下表：3、类比一次函数的概念给上述新的函数下一个恰当的定义 讨论：1、反比例函数xky =中自变量x 在分式的什么位置？自变量的取值范围是什么？2、你能再举出两个反比例函数关系的实例吗？写出函数表达式，与同伴进行交流。
新人教版九年级数学下册《二十六章 反比例函数 26.2 实际问题与反比例函数 生活中的反比例关系》教案_14
内外积差法秒杀反比例函数面积教学设计授课课题：反比例函数专题—内外积差法秒杀反比例函数面积授课时间：2019年4月16日 一、教学目标 知识与技能1、了解反比例函数的基本概念。
2、掌握反比例函数的几何意义。
1、利用数形结合的方法感悟反比例函数几何意义。
2、利用等积转化的方法探索出一类反比例函数面积问题解题技巧。
情感态度价值观 通过本节课的学习，回顾反比例函数基本概念；培养学生思变能力和初步探索问题的能力。
二、教学重点、难点1、重点：反比例函数的几何意义。
2、难点：内外积差公式推导和灵活应用。
三、教学准备 PPT 课件、练习题 四、教学方法教法：启发式，讨论式，讲练结合式 学法：自主式，合作式，探究式 五、教学流程比拼激趣--------复习旧知--------探索奥秘------通关密码-------应用新知-------拓展提升---------走进中考--------课堂总结-------巩固练习 六、教学过程（一）中考大擂台如图所示，直线 b kx y +=与反比例函数xky =相交于A ，B 两点，与x 轴相交于点C .A 点的坐标为（-2，4），B 点的横坐标为4-，则AOB ∆的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D.24（二）回顾旧知识1、基本概念：形如)0(≠=k xky 的函数叫反比例函数。
2、等价形式：xky =1-=kx y k xy =3、基本性质：设),(n m P 是双曲线)0(≠=k xky 上任意一点，有：过P 作x 轴的垂线，垂足为A ，则：k n m AP OA S OAP 212121=•=•=∆（三）探索奥秘如图所示，直线 b kx y +=与反比例函数xky =相交于A ，B 两点，与x 轴相交于点C .A 点的坐标为),(A A y x ，B 点的坐标为),(B B y x ，则AOB ∆的面积为 . （四）通关密码一次函数与反比例函数交于同一象限，求两交点A 、B 和坐标原点围成三角形的面积.只需求出A 、B 坐标带入内外积差公式：A B B A AOBy x y x S -=∆21（五）牛刀小试 1、如图，反比例函数xy 6-=在第二象限图像上有两点B A ,，它们的横坐标分别为-1、-3，直线AB 与x 轴交于点C ，则AOB ∆的面积为（ ）A.8B.10C.16D.24 （六）拓展提升1、如图，点A 、B 在反比例函数xky =上，A 、B 点的横坐标分别为a ,a 2(0>a ).x AC ⊥轴，垂足为C 。
中考数学专题复习--反比例函数中与面积有关的问题及其解析
反比例函数中与面积有关的问题及解答反比例函数解析式及图象的特殊性与面积结合起来，既能考查反比例函数本身的基础知识，又能充分体现数形结合的思想方法，考查涉及的题型广泛，方法灵活，可较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题及解析归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|。
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：k结论2：在直角三角形ABO中，面积S=2结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB 中，面积为S=|k|类型之一 k 与三角形的面积※问题1、如图，已知双曲线y=xk（k ＞0）经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为6，则k=______．答案解析：过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E ， 由双曲线上点的性质，得S △AOC =S △DOE = 21k, ∵DE⊥x 轴，AB⊥x 轴， ∴DE ∥ AB ，∴△OAB ∽ △OED， 又∵OB=2OD，∴S △OAB =4S △DOE =2k ，由S △OAB -S △OAC =S △OBC ，得2k -21k=6，解得：k=4．故答案为：4．问题2.如图，分别过反比例函数y=x2018(x ＞0)的图象上任意两点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2,，比较它们的大小，可得A.S 1＞S 2B.S 1=S 2C.S 1＜S 2D.S 1、S 2大小不确定。
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导学案
科目数学课题反比例函数中的面积问题
授课老师班级上课
时间
签审
领导节次
学习目标及
重难点
能用反比例函数解决相关的面积问题。
（重、难）
教学过程
一、解读学习目标
二、知识梳理
模型五：两点和原点（8min）
（一）类型一：两个交点在反比例函数同一支上
1、模型特征反比例函数与一次例函数的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一支上，用减法。
模型示例
方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD；
方法二：作AE⊥x轴于E，交OB于M，BF⊥x轴于F，
则S△OAM＝S四边形MEFB（划归到模型一），
则S△AOB＝S直角梯形AEFB.
方法一：当BE/CE或BF/FA＝m时，则S四边形OFBE＝m|k|；
方法二：作EM⊥x轴于M，则S△OEF＝S直角梯形EMAF（划归到上一个模型示例）.
2、生理解记忆知识点（2min）
3、针对性练习（5min）
如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的一个顶点O在坐标原点，一边OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB＝4/5，反比例函数y ＝48/x在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（）
A. 30
B. 40
C. 60
D. 80
（类型二）两交点分别在反比例函数两支上（5min）
1、模型特征反比例函数与一次例函数的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点分别在两支上，用加法。
模型示例
方法一：S△AOB＝1/2OD·|xB－xA|＝1/2OC·|yA－yB|（划归到模型三）；方法二：S△AOB＝S△AOC＋S△OCD＋S△OBD；
方法三：作AE⊥y轴，BF⊥x轴，AE与BF相交于点N，则S△AOB＝S△ABN －S△AOE－S△OBF－S矩形OENF.
2、生理解记忆知识点（2min）
3、针对性练习（5min）
如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y＝k/x（k≠0），连接
OA，OB.若S△ABO＝8，则k的值是（）
三、当堂检测（6min）
试题研究45页10题，
四、课堂小结（2min）
1、两交点在反比例函数同一支上
2、两交点在反比例函数两支上
五、作业布置
整理本节笔记。