离散数学及其应用课件第8章第1节
合集下载
离散数学及其应用课件第5-8章
2i5(2x)25i
(3y)i
令i＝13得到展开式中x12y13的系数，即
1235212 (3)13
25! 212313 13!12!
5.3 容斥原理
定理5.3.1 （容斥原理）设 , , , 是有穷集。那么
A1 A2 An Ai
Ai I Aj
1in
1i jn
Ai I Aj I Ak (1)n1 A1 I A2 I I An
例题
例5.1.3 TCP/IP网络中，A类地址中，全0和全1不做网络地 址，A、B、C三类地址中全0和全1都不作为主机地址。在 Internet中有多少个可统一分配的有效的IP地址？
解 在Internet中有可统一分配的有效的IP地址为A、B、C 三类地址，令这三类地址总数为N，A类、B类、C类的有效IP 地址数分别为NA、NB、NC。由加法法则，N= NA+NB+NC。令 Wi和Ci(i{A,B,C})表示每类地址的网络地址数和主机地址数， 由乘法法则，Ni=WiCi (i{A,B,C})。
n! (n r)!r!
因此左边=右边，得证。 对于一个n元素集合的r-组合数也有另一种常用的记号，即C（n， r）可写为 。
这个数也叫做二项式系数。
推论2
推论2 帕斯卡恒等式。设n，r为正整数，n r 0，则
C(n,r) C(n 1,r 1) C(n 1,r)
证明 利用定理5.2.2得
C(n 1, r 1) C(n 1, r) (n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n 1 r)!
例题
例5.1.2 m个男孩，n个女孩排成一排，如果女孩不相邻，有 多少种方法？
解 先排好男孩，这对应于m元集合的全排列问题，有m！种 方法。为使得女孩不相邻，将男孩看作格子分界，将女孩放入 格子中间，m个男孩构成了m十1个格子（包含男孩的全排列之 外的头尾两个位置在内），从中选出n个放入女孩，选法数是 P（m＋1，n）。根据乘法法则所求的方法数是m！P（m＋1， n）。
离散数学第8章 图论及其应用
重要课题。
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
离散数学完整版课件全套ppt教学教程最全整套电子讲义幻灯片(最新)
(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
83图的矩阵表示
P称为图G的可达性矩阵。
方法① 利用矩阵Bn（Bn-1）确定P： 当bij=0时，pij=0；否则，pij=1。
方法② 直接由邻接矩阵确定可达矩阵： P=A∨A2∨…∨An，
其中Ak为A的布尔方幂。
计算可达矩阵举例：
0 1 0 1
0 0 1 1
1 1 0 1
0 1 1 2
A
0
1
0
1
1
A (2)
1
1 0 1
0
1 1
0 1
1
A (3)
0
2
1
1 1
1 1
2
2
A ( 4 ) 1 1
1 2
1 1
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
方法1：先由邻接矩阵A求B4， B4=A+A(2)+A(3)+A(4) 然后写出可达矩阵P。
1325 1111 B4 32533386 P11111111
0
0
1
0
1
v1
0 0 0 1 0
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 P A A2 A3 A4 A5 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
3.可达矩阵的应用
利用一个图的可达性矩阵，求出这个图的所有强分图。 方法：图G的强分图可从矩阵P∧PT求得
0 0 0 0 0
0 1 0 1
A
0
0 11
0 1 0 1
0
1
0
0
0 1 11
方法① 利用矩阵Bn（Bn-1）确定P： 当bij=0时，pij=0；否则，pij=1。
方法② 直接由邻接矩阵确定可达矩阵： P=A∨A2∨…∨An，
其中Ak为A的布尔方幂。
计算可达矩阵举例：
0 1 0 1
0 0 1 1
1 1 0 1
0 1 1 2
A
0
1
0
1
1
A (2)
1
1 0 1
0
1 1
0 1
1
A (3)
0
2
1
1 1
1 1
2
2
A ( 4 ) 1 1
1 2
1 1
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
方法1：先由邻接矩阵A求B4， B4=A+A(2)+A(3)+A(4) 然后写出可达矩阵P。
1325 1111 B4 32533386 P11111111
0
0
1
0
1
v1
0 0 0 1 0
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 P A A2 A3 A4 A5 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
3.可达矩阵的应用
利用一个图的可达性矩阵，求出这个图的所有强分图。 方法：图G的强分图可从矩阵P∧PT求得
0 0 0 0 0
0 1 0 1
A
0
0 11
0 1 0 1
0
1
0
0
0 1 11
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
离散数学屈婉玲第八章ppt课件.ppt
f g={<a1,c1>,<a2,c2>,<a3,c2>}
g:B→C 和 f g:A→C是满射的, 但 f:A→B不是满射的.
18
反函数
反函数存在的条件 (1) 任给函数F, 它的逆F 1不一定是函数, 只是一个二元关系. (2) 任给单射函数 f:A→B, 则f 1是函数, 且是从ranf 到A的双
Z： 0 1 1 2 2 3 3 …
↓ ↓↓↓↓ ↓ ↓
N： 0 1 2 3 4 5 6 …
这种对应所表示的函数是：
f：Z
N,
f
(x)
2x 2x
1
0 x0
(4) 令 f :[π/2,3π/2]→[1,1] f(x) = sinx
10
某些重要函数
定义8.7 (1)设 f:A→B, 如果存在c∈B使得对所有的 x∈A都有 f(x)=c,
射函数, 但不一定是从B到A的双射函数 (3) 对于双射函数 f:A→B, f 1:B→A是从B到A的双射函数.
定理8.4 设 f:A→B是双射的, 则f 1:B→A也是双射的. 证明思路： 先证明 f 1:B→A，即f 1是函数，且domf 1=B, ranf 1=A. 再证明f 1:B→A的双射性质.
|A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm A=, 则BA=B={} A≠且B=, 则BA=A=
3
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA.
BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
离散数学第八章第1讲课件.ppt
B
C
例：
一个3阶有向图的度序列是2，2，4，入度序列是
2，0，2，出度序列是
.
定理3：在任何有向图中，所有结点的入度和等于所有结点 的出度之和。
证：因为每一条有向边必对应一个入度和出度，若一个 结点具有一个入度或出度，则必关联一条有向边，所以， 有向图中各结点入度和等于边数，各结点出度和也是等 于边数，因此，任何有向图中，入度之和等于出度和。
A
最大度,记为：△(G)=max{d(v)| vV} B
E
最小度,记为：δ(G)=min{d(v)| vV}
D
C
定理1 (握手定理) ：每个图中，结点度数的总和等于边 数的两倍。即
deg(v) 2 E
vV
证：∵每条边必关联两个结点，而一条边给于关联的每 个结点的度数为1。 故上述定理成立。
例：在一次10周年同学聚会上，想统计所有人握手的 次数之和，应该如何建立该问题的图论模型？
如下图，（a）和（b）互为补图。
v1
v1
v2
v5
v4
v3 （a）
v2 v3
v5 v4 （b）
例：对于n阶简单无向图G，若其边数为m，试计算G 的补图 的边数。
（12）子图：设图G =<V，E>，如果有图G=<V，E>， 且EE，VV，则称 G 为 G 的子图。
如下图， =<V，E>及图G=<V，E>，如果存在一双射函 数g：vi→vi且e=（vi，vj）是G的一条边，当且仅当 e=（g（vi ），g（vj））是 G 的一条边，则称G与G同 构，记作G≌G。
两个图同构的充要条件是：两个图的结点和边分别存在 着一一对应的关系，且保持关联关系。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
返回本章首页
11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
返回本章首页
23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
返回本章首页
17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
返回本章首页
18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
返回本章首页
30 2021/6/7
第六节 形式演绎
离散数学离散数学第8章 一些特殊的图 PPT课件
在23岁时，他发表了他还是一个17岁的孩子时作出的“奇怪的发 现”，…即《光线系统理论》第一部分，这是一篇伟大的杰作，它对于 光学，就象拉格朗日的《分析力学》之于力学。
哈密尔顿最深刻的悲剧既不是酒精，也不是他的婚姻，而是他顽固地
相信，四元数是解决物质宇宙的数学关键。…从来没有一个伟大的数学
家这样毫无希望地错误过。
2
1
3
4
(2) 有限面与无限面：面积有限的区域称为有 限面(或内部面)，否则为无限面(或外部面) 。 上图中，面4是无限面。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
24
(3) 面的次数等于面边界的边数(注意：悬挂边算2 次)，记为deg(R).
(4) 平面图中面的次数之和等于边数m的两倍，即
d(u)+d(v)≥n-1 则G是半哈密尔顿图。
注意:
此定理条件显然不是必要条件，如n≥6的n边形，对于 任意不相邻的顶点u, v, d(u)+d(v)=4，4<n-1，而n边形显 然有哈密尔顿通路。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
18
哈密尔顿图的充分条件
❖ 设G是n(n≥3)阶无向简单图，若G中 任意不相邻的顶点对u,v均满足： d(u)+d(v)≥n 则G是哈密尔顿图。
a
bc
d
e
f g
h
i j
k
l
ba
d
g
e j
f
l
b
a
c
d
g
j
i
e
h
f
k
7/1/2020 9:05 PM
离散数学及应用PPT课件
作业每星期一交，作为平时成绩。
28.04.2020
引 言（续）
六、参考教材：
1.《离散数学及其应用》魏雪丽等编著 机械工业出版社 2 .《离散数学》 左孝凌等著 上海科技文献出版社 3. 《离散数学 — 理论·分析·题解》 左孝凌等著
上海科技文献出版社 4. 《Discrete Mathematics and Its Applications》 （英文
1.1 命题及其表示方法
命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元 之分。 命题常量：表示确定命题的命题标识符。 命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标
志，就称为命题变元。 原子变元：当命题变元表示原子命题时，该变元称为
原子变元。 命题变元也用A,B,…,P,Q,P1,P2,P3 , …, 表示。
1.1 命题及其表示方法
小结：本节主要介绍了命题、命题的真值、 原子命题、复合命题、命题标识符、命题常量、 命题变元和原子变元的概念。 重点理解和掌握命题、命题变元、简单（原子） 命题、复合命题四个概念。
作业：P2 1,2
28.04.2020
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
展创建新的理论，就要寻找合适的数学工具。
例：为了描述新开拓的应用领域中的各
28.04.2020
引 言（续）
六、参考教材：
1.《离散数学及其应用》魏雪丽等编著 机械工业出版社 2 .《离散数学》 左孝凌等著 上海科技文献出版社 3. 《离散数学 — 理论·分析·题解》 左孝凌等著
上海科技文献出版社 4. 《Discrete Mathematics and Its Applications》 （英文
1.1 命题及其表示方法
命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元 之分。 命题常量：表示确定命题的命题标识符。 命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标
志，就称为命题变元。 原子变元：当命题变元表示原子命题时，该变元称为
原子变元。 命题变元也用A,B,…,P,Q,P1,P2,P3 , …, 表示。
1.1 命题及其表示方法
小结：本节主要介绍了命题、命题的真值、 原子命题、复合命题、命题标识符、命题常量、 命题变元和原子变元的概念。 重点理解和掌握命题、命题变元、简单（原子） 命题、复合命题四个概念。
作业：P2 1,2
28.04.2020
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
展创建新的理论，就要寻找合适的数学工具。
例：为了描述新开拓的应用领域中的各
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
离散数学及其应用课件第8章特殊图
例8.1.2 在下图中，哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？
欧拉图
欧拉图
半欧拉图
欧拉有向图
定义8.1.2 如果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边 的有向回路，称它为欧拉有向回路，称图G为欧拉有向图。如 果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边的有向通路，称 它为欧拉有向通路，称图G为半欧拉有向图。
a
Dijkstra算法
8.2.3 中国邮路问题
– 一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每 个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过 他负责范围内的每一条街道，如何选择投递路线，邮递员可 以走尽可能少的路程？这个问题是由我国数学家管梅谷先生 （山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在 国际上称之为中国邮路问题．
中国邮路问题
首先注意到，若图G有奇数度结点，则G的奇数度结点必是偶数个． 把奇数度结点配为若干对，每对结点之间在G中有相应的最短路，将这 些最短路画在一起构成一个附加的边子集E1．令G1 =G+E1，即把附加边子 集E1 叠加在原图G上形成一个多重图G1，这时G1中没有奇度数结点．显然 G1是一个欧拉图，因而可以求出G1的欧拉回路．该欧拉回路不仅通过原图 G中每条边，同时还通过E1 中的每条边，且均仅一次． 邮递员问题的难点在于当G的奇数度节点较多时，可能有很多种配对方 法，应怎样选择配对，能使相应的附加边子集E1 的权数W(E1)为最小。
欧拉图
半欧拉图
8.1.2 哈密顿图
环游世界问题
哈密顿图
定义8.1.3 设图G=（V，E）是无向图或有向图。若G中有一 条包含G的所有结点(仅一次)的回路，称该回路为哈密顿回路， 称图G为哈密顿图。若图G有一条包含G的所有结点的通路， 称该通路为哈密顿通路，称图G为半哈密顿图。
欧拉图
欧拉图
半欧拉图
欧拉有向图
定义8.1.2 如果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边 的有向回路，称它为欧拉有向回路，称图G为欧拉有向图。如 果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边的有向通路，称 它为欧拉有向通路，称图G为半欧拉有向图。
a
Dijkstra算法
8.2.3 中国邮路问题
– 一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每 个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过 他负责范围内的每一条街道，如何选择投递路线，邮递员可 以走尽可能少的路程？这个问题是由我国数学家管梅谷先生 （山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在 国际上称之为中国邮路问题．
中国邮路问题
首先注意到，若图G有奇数度结点，则G的奇数度结点必是偶数个． 把奇数度结点配为若干对，每对结点之间在G中有相应的最短路，将这 些最短路画在一起构成一个附加的边子集E1．令G1 =G+E1，即把附加边子 集E1 叠加在原图G上形成一个多重图G1，这时G1中没有奇度数结点．显然 G1是一个欧拉图，因而可以求出G1的欧拉回路．该欧拉回路不仅通过原图 G中每条边，同时还通过E1 中的每条边，且均仅一次． 邮递员问题的难点在于当G的奇数度节点较多时，可能有很多种配对方 法，应怎样选择配对，能使相应的附加边子集E1 的权数W(E1)为最小。
欧拉图
半欧拉图
8.1.2 哈密顿图
环游世界问题
哈密顿图
定义8.1.3 设图G=（V，E）是无向图或有向图。若G中有一 条包含G的所有结点(仅一次)的回路，称该回路为哈密顿回路， 称图G为哈密顿图。若图G有一条包含G的所有结点的通路， 称该通路为哈密顿通路，称图G为半哈密顿图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例8.1.2 在下图中，哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？
欧拉图
欧拉图
半欧拉图
欧拉有向图
定义8.1.2 如果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边 的有向回路，称它为欧拉有向回路，称图G为欧拉有向图。如 果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边的有向通路，称 它为欧拉有向通路，称图G为半欧拉有向图。
a
(2)为哈密尔顿图
(3)没有哈密顿通路，也没有哈 密顿回路
哈密顿图的必要条件
定理8.1.5 设无向图G=（V，E）是哈密顿图，则对于结点
集V的每一个真子集S均有：W(G-S)|S|, 其中，W(G-S)是G-S的
导出子图的连通分支数。
例如：彼德森图中对于结点集V的每一个真子集S均有：
W(G-S)|S|。但彼德森图不是哈密顿图。
定理8.1.1证明
定理8.1.1 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G的所有结点的度数都 是偶数。
证明：（必要性） 设G是欧拉图，则G有欧拉回路C。设a是图G的任一结点，欧拉回路 经过和a关联的边到结点a后又经过另一条和a关联的边离开到下一个结 点b，因此每经过一个结点a就给它的度数贡献2度。若欧拉回路k次经过 结点a，则d（a）=2k。所以，欧拉图的所有结点的度数都是偶数。 （充分性） 假设G中所有结点的度数都是偶数。从G中的任一结点v1开始，经过 任一和v1关联的边e1到另一结点v2，再经过另一和v2关联的边e2到另一结 点v3，依此类推，可以得到一条包含G的边的简单回路C1：v1 e1 v2 e2 v3 em v1。
图G的一条哈密顿回路是ABDFGECA，按这条哈密顿回路安排就坐成一圈, 每个 人都能与两旁的人交谈。
应用2-格雷码
例8.1.6 在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一 位二进制数不同，则称这种编码为格雷码。表8.1.1是2位格雷 码，表示数0~3，表8.1.2是3位格雷码，表示数0~7。
பைடு நூலகம்
格雷码
d
a
d
a
d
b
c
b
欧拉有向图
c
b
c
半欧拉有向图
欧拉有向图的判断
定理8.1.3 连通有向图G是欧拉图，当且仅当G中每个结点v 的入度等于它的出度。
定理8.1.4 连通有向图G是半欧拉图，当且仅当G中有且仅 有两个奇度数结点，其中一个结点的入度比出度大1，另一个 结点的入度比出度小1。
例题
例8.1.3 在图中，哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？
欧拉图
半欧拉图
8.1.2 哈密顿图
环游世界问题
哈密顿图
定义8.1.3 设图G=（V，E）是无向图或有向图。若G中有一 条包含G的所有结点(仅一次)的回路，称该回路为哈密顿回路， 称图G为哈密顿图。若图G有一条包含G的所有结点的通路， 称该通路为哈密顿通路，称图G为半哈密顿图。
(1)是半哈密尔顿图
定理8.1.2证明
定理8.1.2 连通无向图G为半欧拉图，当且仅当G中只有两 个奇度数的结点。
证明 在连通无向图G的两个奇度数的结点之间加一条边e得 到图G，则图G的所有结点的度数都是偶数，有欧拉回路。在 G的欧拉回路中删去这条边e，则可得到一条包含G中所有边 的欧拉通路。因此图G是半欧拉图。
例题
格雷码
要找到格雷码，可以用n立方体Qn来建模。在Qn图上找一条 哈密顿回路，按哈密顿回路上的结点顺序对应的二进制码序列
就是格雷码。例如，
10
11
110
111
010
011
00
01
100
101
000
001
离散数学及其应用
第8章 特殊图
8.1 欧拉图与哈密顿图 8.2 带权图 8.3 匹配和二分图 8.4 平面图
8.1 欧拉图与哈密顿图
哥尼斯堡七桥问题、周游世界问题
欧拉图
定义8.1.1 设G=（V，E）是无向图或有向图，若G中有一条 包含所有边（有向边）的简单回路，称该回路为欧拉回路，称 图G为欧拉图。若G中有一条包含G中所有边（有向边）的简 单通路，称它为欧拉通路，称图G为半欧拉图。
推论1 如果图G是有 n个结点的简单无向图，对于每一对不 邻接结点u和v，满足d(u) + d(v) n，那么G中存在哈密顿回路， 图G是哈密顿图。
推论2 如果G是有 n个结点的简单无向图，G中每个结点的 度数都至少为n/2，那么图G是哈密顿图。
例题
应用1
例8.1.5 有7个人, A会讲英语, B会讲英语和汉语, C会讲英语、 意大利语和俄语, D会讲日语和汉语, E会讲德语和意大利语, F 会讲法语、日语和俄语, G会讲法语和德语. 问能否将他们沿圆 桌安排就坐成一圈, 使得每个人都能与两旁的人交谈?
1
27
5
8
6
2
7
5
8
6
9 10
3
4
3
4
1
7
8
6
3
4
例题
例8.1.4 说明下图 所示的无向图G不是哈密顿图。 解 在图中删去结点集S={v2，v4，v6，v8}，W(G−S)=5，不 满足W(G-S)|S|。所以G不是哈密顿图。
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
哈密顿图的充分条件
定理8.1.6 如果G是有 n个结点的简单无向图，对于每一对 不邻接结点u和v，满足d(u)+d(v) n-1，那么G中存在哈密顿通 路，图G是半哈密顿图。
用格雷码表示的最大数与最小数之间也仅一位数不同，即 “首尾相连”，因此这种编码又称循环码。在数字系统中，常要 求代码按一定顺序变化。例如，按自然数递增计数，若采用 8421码，则数0111变到1000时四位均要变化，而在实际电路中， 4位的变化不可能绝对同时发生，则计数中可能出现短暂的其 它代码（如0110、1111等）。在特定情况下可能导致电路状态 错误或输入输出错误。使用格雷码，变化到下一状态时只有1 位不同，可以避免这种错误。
欧拉图
半欧拉图
例题
例8.1.1 在下面的图中，哪些有欧拉回路？没有欧拉回路的图中，
哪些有欧拉通路？
a
a
a
b
cb
cb
c
d
ed
b-c-d-b-e-c-a-b
ed
e
b-d-c-e-b-a-c
欧拉图的判断
定理8.1.1 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G的所有结点 的度数都是偶数。
定理8.1.2 连通无向图G为半欧拉图，当且仅当G中只有两 个奇度数的结点。
欧拉图
欧拉图
半欧拉图
欧拉有向图
定义8.1.2 如果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边 的有向回路，称它为欧拉有向回路，称图G为欧拉有向图。如 果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边的有向通路，称 它为欧拉有向通路，称图G为半欧拉有向图。
a
(2)为哈密尔顿图
(3)没有哈密顿通路，也没有哈 密顿回路
哈密顿图的必要条件
定理8.1.5 设无向图G=（V，E）是哈密顿图，则对于结点
集V的每一个真子集S均有：W(G-S)|S|, 其中，W(G-S)是G-S的
导出子图的连通分支数。
例如：彼德森图中对于结点集V的每一个真子集S均有：
W(G-S)|S|。但彼德森图不是哈密顿图。
定理8.1.1证明
定理8.1.1 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G的所有结点的度数都 是偶数。
证明：（必要性） 设G是欧拉图，则G有欧拉回路C。设a是图G的任一结点，欧拉回路 经过和a关联的边到结点a后又经过另一条和a关联的边离开到下一个结 点b，因此每经过一个结点a就给它的度数贡献2度。若欧拉回路k次经过 结点a，则d（a）=2k。所以，欧拉图的所有结点的度数都是偶数。 （充分性） 假设G中所有结点的度数都是偶数。从G中的任一结点v1开始，经过 任一和v1关联的边e1到另一结点v2，再经过另一和v2关联的边e2到另一结 点v3，依此类推，可以得到一条包含G的边的简单回路C1：v1 e1 v2 e2 v3 em v1。
图G的一条哈密顿回路是ABDFGECA，按这条哈密顿回路安排就坐成一圈, 每个 人都能与两旁的人交谈。
应用2-格雷码
例8.1.6 在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一 位二进制数不同，则称这种编码为格雷码。表8.1.1是2位格雷 码，表示数0~3，表8.1.2是3位格雷码，表示数0~7。
பைடு நூலகம்
格雷码
d
a
d
a
d
b
c
b
欧拉有向图
c
b
c
半欧拉有向图
欧拉有向图的判断
定理8.1.3 连通有向图G是欧拉图，当且仅当G中每个结点v 的入度等于它的出度。
定理8.1.4 连通有向图G是半欧拉图，当且仅当G中有且仅 有两个奇度数结点，其中一个结点的入度比出度大1，另一个 结点的入度比出度小1。
例题
例8.1.3 在图中，哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？
欧拉图
半欧拉图
8.1.2 哈密顿图
环游世界问题
哈密顿图
定义8.1.3 设图G=（V，E）是无向图或有向图。若G中有一 条包含G的所有结点(仅一次)的回路，称该回路为哈密顿回路， 称图G为哈密顿图。若图G有一条包含G的所有结点的通路， 称该通路为哈密顿通路，称图G为半哈密顿图。
(1)是半哈密尔顿图
定理8.1.2证明
定理8.1.2 连通无向图G为半欧拉图，当且仅当G中只有两 个奇度数的结点。
证明 在连通无向图G的两个奇度数的结点之间加一条边e得 到图G，则图G的所有结点的度数都是偶数，有欧拉回路。在 G的欧拉回路中删去这条边e，则可得到一条包含G中所有边 的欧拉通路。因此图G是半欧拉图。
例题
格雷码
要找到格雷码，可以用n立方体Qn来建模。在Qn图上找一条 哈密顿回路，按哈密顿回路上的结点顺序对应的二进制码序列
就是格雷码。例如，
10
11
110
111
010
011
00
01
100
101
000
001
离散数学及其应用
第8章 特殊图
8.1 欧拉图与哈密顿图 8.2 带权图 8.3 匹配和二分图 8.4 平面图
8.1 欧拉图与哈密顿图
哥尼斯堡七桥问题、周游世界问题
欧拉图
定义8.1.1 设G=（V，E）是无向图或有向图，若G中有一条 包含所有边（有向边）的简单回路，称该回路为欧拉回路，称 图G为欧拉图。若G中有一条包含G中所有边（有向边）的简 单通路，称它为欧拉通路，称图G为半欧拉图。
推论1 如果图G是有 n个结点的简单无向图，对于每一对不 邻接结点u和v，满足d(u) + d(v) n，那么G中存在哈密顿回路， 图G是哈密顿图。
推论2 如果G是有 n个结点的简单无向图，G中每个结点的 度数都至少为n/2，那么图G是哈密顿图。
例题
应用1
例8.1.5 有7个人, A会讲英语, B会讲英语和汉语, C会讲英语、 意大利语和俄语, D会讲日语和汉语, E会讲德语和意大利语, F 会讲法语、日语和俄语, G会讲法语和德语. 问能否将他们沿圆 桌安排就坐成一圈, 使得每个人都能与两旁的人交谈?
1
27
5
8
6
2
7
5
8
6
9 10
3
4
3
4
1
7
8
6
3
4
例题
例8.1.4 说明下图 所示的无向图G不是哈密顿图。 解 在图中删去结点集S={v2，v4，v6，v8}，W(G−S)=5，不 满足W(G-S)|S|。所以G不是哈密顿图。
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
哈密顿图的充分条件
定理8.1.6 如果G是有 n个结点的简单无向图，对于每一对 不邻接结点u和v，满足d(u)+d(v) n-1，那么G中存在哈密顿通 路，图G是半哈密顿图。
用格雷码表示的最大数与最小数之间也仅一位数不同，即 “首尾相连”，因此这种编码又称循环码。在数字系统中，常要 求代码按一定顺序变化。例如，按自然数递增计数，若采用 8421码，则数0111变到1000时四位均要变化，而在实际电路中， 4位的变化不可能绝对同时发生，则计数中可能出现短暂的其 它代码（如0110、1111等）。在特定情况下可能导致电路状态 错误或输入输出错误。使用格雷码，变化到下一状态时只有1 位不同，可以避免这种错误。
欧拉图
半欧拉图
例题
例8.1.1 在下面的图中，哪些有欧拉回路？没有欧拉回路的图中，
哪些有欧拉通路？
a
a
a
b
cb
cb
c
d
ed
b-c-d-b-e-c-a-b
ed
e
b-d-c-e-b-a-c
欧拉图的判断
定理8.1.1 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G的所有结点 的度数都是偶数。
定理8.1.2 连通无向图G为半欧拉图，当且仅当G中只有两 个奇度数的结点。