人教版九年级上册切线长定理课件
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人教版九年级上册24.2.2.3切线长定理课件(共25张ppt)
A D
P
C
O
E B
典例精析
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，
BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
A
F
E O
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理
B
D
由是什么？
典例精析
A
解: E=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
A
直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问： （1）它的外接圆半径是 5 cm;内切圆半径是 1 cm？ D
F O·
（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、 C
E
B
BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围.
A
解：如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与
BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则
A 1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别
平分∠BAC、∠ABC、
B
O
∠ACB
3.内心在三角形内部．
C
典例精析
例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C， 过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则
⑴ △PDE的周长是 14 ； ⑵ ∠DOE= 70° .
中到某条边上，从而建立方程.
r
a
2S b
； c
r
a
b 2
c
只适合于直角三角形
个性化作业
1.完成九年级上册24.2.2.3切线长定理A组 课后作业。
A组
切线长定理(共33张PPT)
试用文字语言叙述你所发现的结论
切线长定理
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
O
P
A
B
试一试
A
P
O
B
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
· O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
思考：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP
P
A
C
B
D
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有相等的线段
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
切线长定理
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
O
P
A
B
试一试
A
P
O
B
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
· O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
思考：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP
P
A
C
B
D
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有相等的线段
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
第24章圆《切线长定理》课件人教版数学九年级上册
如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。 B
思考:由切线长定理
O。 C
P
可以得出哪些结论？
A
A
c b
r.
r = a+b-c
2
你能推出 这个公式吗？
C
B
a
例：直角三角形的两直角边分别是5cm， 12cm 则其内切圆的半径为
__2_c_m__。
活动三：例题讲解
想一想
A D
1.如图⊙O是△ABC的内切圆。
C
E
o
60°
D
AB
课后作业： 教材 P101-102 习题24.2 ，第6、11、14题
早/起/的/鸟/儿/有/虫/吃
两切线的夹角。
思考：切线与切线长 有何区别？
B
P O
A
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
三、教材P99 1、三角形内切圆圆心有何性质？
2、如何确定三角形内切圆的圆心？ 3、画出△ABC的内切圆
三角形内心：三角形内切圆的圆心、三条角形平 分线的交点、内心到三边的距离相等。
切线长定理
教
了解切线长定理，掌握切线长定理并能用它解决
有关的证明或计算问题；
学
培养学生操作、观察、交流讨论、合作探究能力，
目
养成积极主动的良好学习习惯；
渗透数形结合思想，提高综合运用知识分析新问
标
题，解决问题的能力。
教学重难点
重点：理解切线长定理
难点：与切线长有关的证明 或计算问题，三角形的内切 圆计算问题
B O
A
1、什么叫做圆外一点到圆 的切线长？ 2、切线长定理的内容是什么？ 3、这个定理是怎样证明的？
九年级数学上册 24.2.4 切线长定理课件 (新版)新人教版
5
从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 A 两条切线的夹角。
切线长定理
O 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B B PA = PB
P
∠OPA=∠OPB
6
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 最新中小学教案、试题、试卷、课件 等提供新的方法
试一试
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得 B 出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB
E
15
最新中小学教案、试题、试卷、课件
变式：如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
A D P ·O E
C
B
16
最新中小学教案、试题、试卷、课件
再变：当切点F在弧AB上运动时，问△PED 的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说 明理由。 A O F B E D P
最新中小学教案、试题、试卷、课件
B
10
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
A 16cm C 12cm A B D D C E
最新中小学教案、试题、试卷、课件
14cm 8cm
P
B
11
例题1
最新中小学教案、试题、试卷、课件
17
课堂小结
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。
切线长定理 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
3、你还有哪些收获？
P101 第5、6题 P102第11、 12题
三角形外接圆
C
．o A B
三角形内切圆
C
．o
A
B
外接圆圆心：三角形三 边垂直平分线的交点。
外接圆的半径：交点到 三个顶点的距离。
内切圆圆心：三角形三 个内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到 三边的距离。
N
D O
P
AL
C M B
例2：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm， AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点 D、E、F，求AF、BD和CE的长。(学生黑板板书 过程）
数学语言：
A
∵ PA、PB分别切⊙O
于点A、B.
P
O
∴ PA = PB
B
∠OPA=∠OPB
例1.PA、PB是⊙O的两条切线，
A
A、B为切点，直线OP交于⊙O
于点D、E，交AB于C.
E O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系.
解：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP .
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角. 解： ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
切线长定义
A
O·
P
B
从圆外一点能够作圆的两条切线，切线 上这一点和切点间的线段长叫做这点到 圆的切线长.
A
O
P
B
1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量。
A
1、PA、PB相等吗？为什么？
2、∠OPA、∠OPB相等吗？
P
为什么？
反思：在解决有关圆的
P101 第5、6题 P102第11、 12题
三角形外接圆
C
．o A B
三角形内切圆
C
．o
A
B
外接圆圆心：三角形三 边垂直平分线的交点。
外接圆的半径：交点到 三个顶点的距离。
内切圆圆心：三角形三 个内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到 三边的距离。
N
D O
P
AL
C M B
例2：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm， AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点 D、E、F，求AF、BD和CE的长。(学生黑板板书 过程）
数学语言：
A
∵ PA、PB分别切⊙O
于点A、B.
P
O
∴ PA = PB
B
∠OPA=∠OPB
例1.PA、PB是⊙O的两条切线，
A
A、B为切点，直线OP交于⊙O
于点D、E，交AB于C.
E O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系.
解：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP .
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角. 解： ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
切线长定义
A
O·
P
B
从圆外一点能够作圆的两条切线，切线 上这一点和切点间的线段长叫做这点到 圆的切线长.
A
O
P
B
1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量。
A
1、PA、PB相等吗？为什么？
2、∠OPA、∠OPB相等吗？
P
为什么？
反思：在解决有关圆的
人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
切线长定理 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
（3）写出图中所有的全等三角形？
△ AOP≌ △ BOP， △ AOC≌ △ BOC，△ ACP≌ △ BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形？
△ ABP，△ AOB
练习
1.如图， P 为⊙O 外一点，PA，PB 为⊙O的切线,A和B为切点. （1）若PA=3，则PB= ＿3＿＿ （2）若PA=2x-1,PB=x+5,则x=＿6＿＿
中考链接
如图，PA，PB切⊙O于A,B,MN切
⊙O于C，交PA于M，交PB于N，
PA=7.5cm，则△PMN的周长是（ C）
A.7.5cm
B.10cm
C.15cm
D.12.5cm
巩固练习
△ABC中,∠ ABC=50°, ∠ACB=70 °, 点O是⊙O的内心，求∠ BOC的度数．
解：∵点O是⊙O的内心 ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ∴∠1=1/2∠ABC=25° ∠3=1/2∠ACB=35° ∴∠BOC=180°－25°－35° =120°
解：连接AO，BO. ∵PA，PB是⊙O的两条切线, ∴OA⊥AP ，OB⊥BP.
又 OA=OB， OP=OP,
∴ Rt△AOP≌Rt△BOP (HL)
∴ PA=PB， ∠OPA=∠OPB.
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两 条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两 条切线的夹角.
符号语言
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
1.理解切线长的概念.理解并掌握切线长 定理.
2.知道三角形内切圆、内心的概念.
3.运用切线长定理和三角形内切圆知识 解题.
复习旧知
1、直线和圆有什么位置关系？
相交、相切、相离
△ AOP≌ △ BOP， △ AOC≌ △ BOC，△ ACP≌ △ BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形？
△ ABP，△ AOB
练习
1.如图， P 为⊙O 外一点，PA，PB 为⊙O的切线,A和B为切点. （1）若PA=3，则PB= ＿3＿＿ （2）若PA=2x-1,PB=x+5,则x=＿6＿＿
中考链接
如图，PA，PB切⊙O于A,B,MN切
⊙O于C，交PA于M，交PB于N，
PA=7.5cm，则△PMN的周长是（ C）
A.7.5cm
B.10cm
C.15cm
D.12.5cm
巩固练习
△ABC中,∠ ABC=50°, ∠ACB=70 °, 点O是⊙O的内心，求∠ BOC的度数．
解：∵点O是⊙O的内心 ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ∴∠1=1/2∠ABC=25° ∠3=1/2∠ACB=35° ∴∠BOC=180°－25°－35° =120°
解：连接AO，BO. ∵PA，PB是⊙O的两条切线, ∴OA⊥AP ，OB⊥BP.
又 OA=OB， OP=OP,
∴ Rt△AOP≌Rt△BOP (HL)
∴ PA=PB， ∠OPA=∠OPB.
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两 条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两 条切线的夹角.
符号语言
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
1.理解切线长的概念.理解并掌握切线长 定理.
2.知道三角形内切圆、内心的概念.
3.运用切线长定理和三角形内切圆知识 解题.
复习旧知
1、直线和圆有什么位置关系？
相交、相切、相离
人教版九年级数学上册切线长定理ppt课件
例1.PA、PB是⊙O的两条 切线，A、B为切点，直线
A
OP交于⊙O于点D、E，交 A（B1于）写C出。图中所有的垂直关系
E
O CD
P
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
∴△PEF周长为24cm
P
A E
O Q
FB
人教版九年级数学上册切线长定理ppt 课件
人教版九年级数学上册切线长定理ppt 课件
三、三角形的内切圆
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
A
2.三角形的内心：
定义:内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。
O
作图:三角形的内心在三角形的角平分线上。 B
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
H
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
A
圆的外切四边形的两组对边的和相等．
D O· E
G C
F B
课堂小结
定义
圆外一点和切点之间的线段的长
切线长 定理
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等； 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。
人教版九年级数学上册切线长定理ppt 课件
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2.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点 作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长。
九年级上册数学(人教版)课件：24.第3课时 切线长定理
证明：连接EB.∵E是△ABC的内心，∴∠EBC＝∠ABE，∠BAD＝ ∠CAD.∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD.又∵∠BED＝∠BAD＋ ∠ABE，∠DBE＝∠EBC＋∠CBD，∴∠BED＝∠DBE，∴DE＝DB.
15．如图，圆 O 是△ABC 的内切圆，分别切 AB，BC，CA 于点 D，E， F.设圆 O 的半径为 r，BC＝a，CA＝b，AB＝c，求证：S△ABC＝12r(a＋b＋c)．
(2)连接 BC，则∠ACB＝90°.在 Rt△ACB 中，AB＝2，∠BAC＝30°， ∴AC＝ 3.∵△PAC 为等边三角形，∴PA＝AC，∴PA＝ 3.
6．三角形的内切圆的圆心是( B A．三条边的高的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条边的中线的交点
7．如图，在△ABC 中，点 O 为△ABC 的内心，则∠OAC＋∠OCB＋ ∠OBA 的度数为( C
(1)试说明四边形OECF为正方形； (2)若AD＝6，BD＝4，求AC和⊙O的半径； (3)若AB＝c，BC＝a，AC＝b，试用关于a，b，c的代数式表示内切圆的 半径r.
解：(1)∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切
于点 E，F，D，∴OE⊥BC，OF⊥AC.又∠C＝90°，∴四边
A．2 B．3 C. 3 D．2 3
10．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E， F，且 AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求 AF，BD，CE 的长．
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BF＝BD＝y cm，
CE＝CD＝z cm.根据题意，得xy＋＋zy＝＝194，，解得xy＝＝45， ，即 AF＝4 cm， x＋z＝13， z＝9.
15．如图，圆 O 是△ABC 的内切圆，分别切 AB，BC，CA 于点 D，E， F.设圆 O 的半径为 r，BC＝a，CA＝b，AB＝c，求证：S△ABC＝12r(a＋b＋c)．
(2)连接 BC，则∠ACB＝90°.在 Rt△ACB 中，AB＝2，∠BAC＝30°， ∴AC＝ 3.∵△PAC 为等边三角形，∴PA＝AC，∴PA＝ 3.
6．三角形的内切圆的圆心是( B A．三条边的高的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条边的中线的交点
7．如图，在△ABC 中，点 O 为△ABC 的内心，则∠OAC＋∠OCB＋ ∠OBA 的度数为( C
(1)试说明四边形OECF为正方形； (2)若AD＝6，BD＝4，求AC和⊙O的半径； (3)若AB＝c，BC＝a，AC＝b，试用关于a，b，c的代数式表示内切圆的 半径r.
解：(1)∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切
于点 E，F，D，∴OE⊥BC，OF⊥AC.又∠C＝90°，∴四边
A．2 B．3 C. 3 D．2 3
10．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E， F，且 AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求 AF，BD，CE 的长．
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BF＝BD＝y cm，
CE＝CD＝z cm.根据题意，得xy＋＋zy＝＝194，，解得xy＝＝45， ，即 AF＝4 cm， x＋z＝13， z＝9.
人教版九年级上册24.第3课时切线长定理和三角形的内切圆课件
A
E OCD
P
B
（2）图中与∠OAC和∠AOC相等的角： ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. ∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC
（4）图中所有的全等三角形: △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（3）图中所有的相等的线段： PA=PB，AC =BC，OA =OB.
D
G C
H O· F
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
A
EB
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
获取新知
知识点二：三角形的内切圆
思考 李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进 行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大.下图是他的几种设计， 请同学们帮他确定一下.
∴AF=18-9=9,
∴BD=BF=AB-AF=13-9=4,
∴CE=CD=BC-BD=9-4=5.
A E
Or
C
F
D
B
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
随堂演练
1.下列说法正确的是( C ) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
求AF、BD和CE的长。
A E
Or
C
F
D
B
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
解：因为△ABC的内切圆分别和BC、AC、AB
上册切线长定理人教版九年级数学全一册课件
第二十四章 圆
第10课时 切线长定理
学习目标
1．清楚认识切线长的概念以及切线长定理． 2．灵活应用切线长定理来解决相关问题． 3．了解内切圆的有关概念.
知识要点
知识点一：切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长相等，这一 点和圆心的连线 平分 两条切线的夹角．
对点训练
1.如图，PA，PB都是⊙O的切线， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝ PB ， ∠APO＝∠ BPO.
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(2)解：如图，作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于
H， ∵DM＝5 2，∴BC＝ 2DM＝10， 而AB＝8，∴AC＝ BC2－AB2＝6.
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13.如图，直尺、三角尺都和⊙O相切，AB＝8 cm，则⊙O的 直径为 16 3 cm .
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8.【例 5】如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，且∠ABC＝60°， ∠ACB＝80°，则∠BOC 的度数为 110° .
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上册切线长定理人教版九年级数学全 一册 件(1)证明：∵点I是△ABC的内心， ∴∠2＝∠7， ∵DG平分∠ADF，∴∠1＝21∠ADF， ∵∠ADF＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥CA.
解：如图，设DC与⊙O的切点为E. ∵PA，PB分别是⊙O的切线，且切点为A，B，
第10课时 切线长定理
学习目标
1．清楚认识切线长的概念以及切线长定理． 2．灵活应用切线长定理来解决相关问题． 3．了解内切圆的有关概念.
知识要点
知识点一：切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长相等，这一 点和圆心的连线 平分 两条切线的夹角．
对点训练
1.如图，PA，PB都是⊙O的切线， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝ PB ， ∠APO＝∠ BPO.
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(2)解：如图，作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于
H， ∵DM＝5 2，∴BC＝ 2DM＝10， 而AB＝8，∴AC＝ BC2－AB2＝6.
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13.如图，直尺、三角尺都和⊙O相切，AB＝8 cm，则⊙O的 直径为 16 3 cm .
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8.【例 5】如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，且∠ABC＝60°， ∠ACB＝80°，则∠BOC 的度数为 110° .
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上册切线长定理人教版九年级数学全 一册 件(1)证明：∵点I是△ABC的内心， ∴∠2＝∠7， ∵DG平分∠ADF，∴∠1＝21∠ADF， ∵∠ADF＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥CA.
解：如图，设DC与⊙O的切点为E. ∵PA，PB分别是⊙O的切线，且切点为A，B，
人教版九年级数学上册课件24.2.2.4切线长定理
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午4时3分21.11.716:03November 7, 2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观
P
O
BC
小结
1、本节学习了切线长的定义，注意和切线比较。学
习了切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们
的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的
夹角。
2、希望同学们在以后的学习中要勇于探索和实践，
养成科学的学习态度。同时还要注意总结作辅助线
的方法，和解题时要注意运用“数形结合”的思想
方法。
A
则∠APO= 25°
O
P
B
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，
F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=11 cm,AC= 6cm
AB= 9cm
A
2 F
E 4
7
C
B
D
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，
PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为
O
p
B
作业：
1. P101,3，6 2. P102 ,11
察是思考和识记之母。”2021年11月7日星期日4时3分18秒16:03:187 November 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午4时3分
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆.课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册
即AB+CD=AD+BC.
图24-2-24
探
究
与
应
用
例2 (教材补充例题)已知:如图24-2-25所示,PA,PB是☉O的切
线,切点分别是A,B,Q为上一点,过点Q作☉O的切线,分别
交PA,PB于点E,F.已知PA=12 cm,∠P=70°.
求:(1)△PEF的周长;
解:(1)∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
数学
九年级上册
人教版
圆
第3课时 切线长定理和三角形的
内切圆
-
第
二
十
四
章
第3课时
切线长定理和三角形的内切圆
探究与应用
课堂小结与检测
探
究
与
应
用
活动1 理解切线长的概念,掌握切线长定理
[问题情境]
1.过圆外一点能作几条圆的切线?请在图24-2-23中过点P画
出☉O的所有切线.
解:两条.画图如下.
图24-2-23
堂
小
结
与
检
测
3.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半
径为
( D )
A.4
B.3
C.2
D.1
谢 谢 观 看！
∴PB=PA=12 cm,EA=EQ,FQ=FB,
∴△PEF的周长=PE+EQ+FQ+PF=PA+PB=
12+12=24(cm).
图24-2-25
探
究
与
应
用
(2)∠EOF的度数.
(2)连接OA,OB,OQ.
∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
图24-2-24
探
究
与
应
用
例2 (教材补充例题)已知:如图24-2-25所示,PA,PB是☉O的切
线,切点分别是A,B,Q为上一点,过点Q作☉O的切线,分别
交PA,PB于点E,F.已知PA=12 cm,∠P=70°.
求:(1)△PEF的周长;
解:(1)∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
数学
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人教版
圆
第3课时 切线长定理和三角形的
内切圆
-
第
二
十
四
章
第3课时
切线长定理和三角形的内切圆
探究与应用
课堂小结与检测
探
究
与
应
用
活动1 理解切线长的概念,掌握切线长定理
[问题情境]
1.过圆外一点能作几条圆的切线?请在图24-2-23中过点P画
出☉O的所有切线.
解:两条.画图如下.
图24-2-23
堂
小
结
与
检
测
3.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半
径为
( D )
A.4
B.3
C.2
D.1
谢 谢 观 看！
∴PB=PA=12 cm,EA=EQ,FQ=FB,
∴△PEF的周长=PE+EQ+FQ+PF=PA+PB=
12+12=24(cm).
图24-2-25
探
究
与
应
用
(2)∠EOF的度数.
(2)连接OA,OB,OQ.
∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
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（1）过一点可以做圆的两条切线。（ ×）
（2）切线长就是切线的长。（ ×）
注意：切线和切线长是两个不同的概念
易错点
(1)切线是直线，不能度量.
(2)切线长是线段的长，可以度量.
A
2、已知PA、PB与⊙O相切
于点A、B，⊙O的半径为2 （1）若四边形OABP的周
2 30°
长为10，则PA= 3 。
2
（2）若∠APB=60°，则PA=
☉O就是所求的圆.
C
人教版九年级上册 24.2.4 切线长定理 课件
人教版九年级上册 24.2.4 切线长定理 课件
知识要点
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的 内切圆 . 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的 内心 . 3.这个三角形叫做这个圆的 外切三角形 .
A
I
B
C
人教版九年级上册 24.2.4 切线长定理 课件
复习回顾(1分钟)
1.切线定义：
直线与圆有_唯___一___的公共点时，
这条直线叫做圆的切线
2.切线的判定：∵OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A ∴BC为⊙O的切线
3.切线的性质： ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
24.2.4 切线长定理
1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计 算与证明.（重点） 2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思 想.（难点）
确定方法
三角形三边
中垂线的交
点
B
图形
A
O
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 部．
内心：三 角形内切 圆的圆心
O
人教版九年级上册 24.2.4 切线长定理 课件
最大的圆与三角 形三边都相切
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问题2：如何画出这个圆呢？
已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆.
A
N
O
B
D
作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和 CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. M 3.以O为圆心，OD为半径作 圆O.
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.△ABP △AOB
人教版九年级上册 24.2.4 切线长定理 课件
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1、判断
。B
人教版九年级上册 24.2.4 切线长定理 课件
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3.如图，PA、PB、CD分别切⊙ O于A、B、E，CD交 PA，PB于C、D，已知PA=7cm，求△PCD的周长．
解：∵ PA、PB、CD分别切⊙ O于A、B、E ∴PA=PB=7cm ∵ DA、DE分别切⊙ O于A、E ∴DA=DE ∵ CE、CB分别切⊙ O于B、E ∴CE=CB ∴△PCD的周长 =PD+DC+PC=PD+DE+EC+ PC =PD+DA+PC+CB =PA+PB =14cm 人教版九年级上册 24.2.4切线长定理 课件
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拓展结论 A
PA、PB是⊙O的两条切线，A、
B为切点，直线OP交⊙O于点D、 E O C D
P
E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（2）写出图中与∠OAC相等的角；
探究一：切线长定理 问题1：上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 (如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的 切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ALeabharlann P OBA
O.
P
B
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1.切线长的定义： 经过圆外一点作圆的
切线，这点和切点之间的 线段的长叫做切线长．
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想一想：若连结两切点A、B，AB交
A
OP于点M。OP和AB有什么关系？给 O. M
出证明.
P
直线OP垂直平分AB.
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
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变式：
连接OD,OC, 若∠P=40°， 则∠AOB=140°,
∠DOC= 70°．
若∠P=α，∠DOC=
．
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归纳：切线长问题常作辅助线添加方法
（1）分别连接圆心和切点；
A
O P
2.切线长与切线的区别在哪里？
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点 分别是圆外一点和切点，可以度量．
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问题2：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点， 人教版九年级上册24.2.4切线长定理 课件
图中PA和PB，∠APO和∠BPO有何关系？
PA=PB
A
∠APO=∠BPO
Rt△AOP≌ Rt△BOP（HL） O.
P
翻折（轴对称）
B
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
几何语言: ∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
A
（2）连接两切点；
OM
P
（3）连接圆心和圆外一点.
B
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探究二： 三角形的内切圆和内心及其性质
问题1：彭乐洋在一家木料厂上班，工作之余想对 厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料， 怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
问题3 如图，☉I是△ABC的内切圆，那么它的内心
有什么性质呢？
A
E
F
I
IE=IF=IG
B
G
C
三角形内心的性质
三角形的内心在三角形的角平分线上.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
问题4 结合切线长定理，找找有哪些对应相等的线段？
A
E
F
I
AE=AF
B
G
C BE=BG CG=CF
填一填：
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心