2014全国数学建模大赛B题获奖论文

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二．问题分析
问题 1 的分析： 问题一属于给定条件的动态变化过程的分析和对相关变量进行数学描述的问题。解 决动态分析问题一般需要通过建立适当模型来体现相关参数的联系， 并由其中主要参数的 动态变化来分析整个过程的动态变化。 本文中的折叠桌动态变化的主要参数就是桌腿的边 缘线的变化， 边缘线随着折叠桌的不断折叠会呈现不同的形状。 为了反映这一变化的过程， 我们通过建立数字高程模型来得出变化过程中的边缘线的投影线， 投影线的不同形状体现 折叠桌的动态变化。 而且还利用计算出来的不同投影点的高程值来确定不同边缘线的空间 状态。 解决数学描述相关问题一般将题目抽象概括为方程、不等式、几何关系或图像之类的 数学表达。我们通过投影线渐变图来数学描述桌腿边缘线，通过钢筋位置和平板尺寸等设 计参数结合问题已经给的条件构建小木条开槽长度的数学表达式， 并计算出合理的开槽长 度。 问题二的分析： 问题二属于给定部分参数条件后去确定其他参数的理想值得最优化问题。解决这类 最优化的问题首先得建立层次分析模型来分析可能影响被设计的物体运作状态的众多因 素；其次在对被分析出来的各种因素进行方案的分组，对每个方案讨论可行性，选取最具 可行性的方案组；最后在对选取的方案里的影响因素进行数学分析，确立它与已知和未知 参数之间的数学关系。 对于问题二中的折叠桌的最优化设计加工参数的确定， 首先我们通过对折叠桌进行受 力分析和客观的讨论得出各种影响因素， 然后对各种影响因素进行层次分析得出稳固性主 要影响因素是钢筋的位置，再对钢筋位置与开槽长度、外侧木条的倾斜角度等参数构建函 数表达式。通过对函数表达式极值分析求出最优参数。 问题三的分析： 问题三属于总结模型相关参数最优化公式的和对实际物体的仿真设计的问题。 由问题 一中的木条开槽长度求解过程和问题二中的稳固性分析得出的相关数学表达式， 总结得出 一套可由给定部分折叠桌部分参数求得其他运动参数的最优化公式。 对于仿真设计实物模 型的建立，我们可以自定义的一组最优化折叠桌参数，并通过 UG 来画出的具体实物 3D 运动仿真图和动态变化过程的示意图。
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图 1 在图二中 DE 为固定钢筋，BC 为钢筋在圆桌面上的投影，链接 EC，BD，得投影面 BDEC。 A H 为圆桌左侧的最中间的桌腿。 过 A 点作垂线 AF， 连接 FG 再连接 AG,因为 BC 为 钢筋在圆桌面的投影，因此投影面与圆桌面相垂直。所以角 AFG 为直角。由以下条件 ①桌面高度为 53cm， ②木板厚 3cm， ③钢筋所在位置是第一根桌腿的中间， 由①和②可以得到桌腿对桌子高度的贡献为 53-3=50cm； 因为钢筋 DE 在最外桌腿的中间位置，由相似三角形原理可以求得 CE 的高度为 25cm。 50 由最外边的桌腿与地面之间所夹锐角的正弦 sinθ= ，由 60
关键词：
格网 dem 投影
高程值
方案优化
3D 仿真示意
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一.问题的重述
Rising Side Table：平板一秒钟变桌子
桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成， 分 成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条 上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。 试建立数学模型讨论下列问题： 1.已知长方形平板尺寸为 120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽 2.5 cm，连接桌腿木条 的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53 cm。描述折叠桌的动 态变化过程， 在已知条件下给出此折叠桌的设计加工参数 （例如， 桌腿木条开槽的长度等） 和桌脚边缘线的数学描述。 2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠 桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数， 例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高 70 cm，桌面直径 80 cm 的情形，确 定最优设计加工参数。 3.建立数学模型支撑公司开发折叠桌最优化设计软件的开发，并根据所建立的模型给 出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少 8 张动 态变化过程的示意图。
五．模型建立和求解
问题一的模型 已知长方形木板的长 a=120cm，宽 b=50cm，厚 c=3cm，木条宽 d=2.5cm ，基于上述 假设条件，又有每组桌腿中间最短木条的力学作用限制，木条数目只可能为基数，根据桌 面尺寸条件限制，因此所得木条的根数，带入数据 e=19，又有假设条件：假设每根木条 为均匀分布在圆桌面，并且忽略边缘桌腿与最外端距离，将每根木条简化为一条细线后， 将桌腿中间的线与桌面的中心相连整体圆被均分为 38 份，每份所对应的圆心角约为 9.5， 以两根钢筋穿过位置做平面，由于折叠桌为对称模型因此以左侧桌腿为研究对象，将左侧 钢筋做投影，投影到圆桌面上如下图：
sin 2 cos 2 1
可得 cos
11 ，由内错角相等，可求得最外桌腿与桌面所在平面夹角的余弦值也为 6
11 ，通过对最外面桌腿与钢筋与投影面建立直角三角形，可得出 CG 两点在垂直于 BC 6
平面的距离，距离长度为 30 cos =16.58 因为 GF 与刚刚所求距离相等，因此 GF 之间的距离也为 16.58cm，将 FG 反向延长 到圆周，和最短桌腿的顶部连接Fra Baidu bibliotek可以得到 HF，连接 AF 可以得到直角三角形 AHF,边长 HF=8.42cm，AF 的长度为 25cm，由勾股定理
AH HF 2 AF 2
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可以计算 AH 的长度。在上述表达式中已经求得 HF=8.42cm，AF=25cm 带入上述公式可以计算得出线段 AH 的长度。
AH HF 2 AF 2
= 8.42 2 252 =26.38cm 上述表达式中 AH 的长度已经求得， 在原题中已知将钢筋固定在第一根桌腿的正中间， 因此可以将钢筋的起始点视为桌腿的的中心位置（为了减少桌腿中间槽长度的加工） 。将 最外端的桌腿长度视为 60cm；因此槽的长度可以如下计算：
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三．模型的假设
1.假设问题一中给的折叠桌的相关尺寸都是真实可靠的。 2.假设问题一中建立的数字高程模型中所利用垂直投影算法来求解相应的高程值都 是准确的。 3.假设所有牵扯到折叠桌设计的参数中小木条的宽度都是统一的 2.5。 4.假设每根桌腿和桌面与地面接触为全部接触 （即桌面与地面在边缘桌腿方向的距离 为桌腿的长度）。 5.将圆桌面等效为一平滑的圆，忽略与桌腿之间由切割引起的锯齿形。 6.在圆桌面分布的桌腿为均匀分布，而每根桌腿的长度都以中间线为准。
四．定义符号和变量
1.长方形木板长 a 120cm，宽 b 50cm，高 c 3cm；木条的宽 d=2.5cm; 2. 圆桌面的半径为 R； 3. 桌腿与地面的摩擦系数为 u ； 4. 桌腿上槽的加工长度为 l ； 5. 自锁：无论如何增加动力，机构也无法运动的情况，在本文建立的模型中是无论 如何增加桌子上的压力桌子都将处于稳定状态，桌腿都将处于原来位置。
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛 规则》 （以下简称为“竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上 咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其 他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用 处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违 反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示 （包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 潘世渡 王莎莎 王英鹏 (打印并签名)： 阎慧臻 大连工业大学
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（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请 仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 14 日
l =AH+R-
1 (最外端腿长) 2 1 =26.38+25- （60） 2 =21.38cm
因此经过计算可以得到桌腿间槽的长度为 21.38cm。 对于建立模型描述折叠桌的动态变化过程采用空间曲线在数字高程模型上的垂直投 影算法。 数字高程模型又称为DEM，它首先是将空间曲线和DEM投影到水平面上去, 以建立两 者之间的联系, 其次在水平面上求空间曲线的投影线与DEM 投影面边界的交点, 求得交 点后, 根据交点与投影面上已知点的位置关系, 采用插值的方法, 求得交点的高程值, 然后按曲线的前进方向对这些交点进行排序, 最后顺次连接这些交点, 便可求得空间曲 线在DEM上的投影线。在数字高程模型中又有基于网格的数字高程模型，又有基于三角形 的数字高程模型，现在在本题中选用基于网格的数字高程模型。 基于网格的数字高程模型说明： 首先先选取一个平面（平面中必须有两点在同一高度平面） ，将空间曲线上的点投影 到建立的平面上，然后将平面划分为多个小格，连接原本在平面上的两点，找到所连直线 与网格之间的交点，通过差值法将平面点所在位置计算出来，再通过计算机软件绘制出所 在位置的空间图像。 因为数字高程模型解决的为静态空间图形， 因此在本题中以最后的终点位置为研究的 对象，先将动态的变化过程转化为静态的分析，然后再模拟出平面投影变化的曲线，经过 对曲线的分析从而得到空间曲线的运动状态。
关于创意平板折叠桌的数学模型
摘要
本文用建立数学模型的方法进行描述创意平板折叠桌的动态变化过程， 结合给定平板 的部分尺寸来进行最优化的分析和设计。 对于问题一，建立数字高程模型对桌脚边缘线进行平面投影，得到空间曲线在平面的 垂直投影，利用投影求解相应的高程值。结合平面坐标，利用 matlab 程序拟合曲线，此曲 线即为投影曲线。用投影线的动态变化描述创意平板折叠桌的桌脚边缘线的动态变化。 将 得到的每条投影线上不同的点对应的不同高程值，由此把每条边缘线立体化。将给定的已 知参数条件和相应的几何运动关系结合，构建小木条开槽长度的数学表达式，带入已知的 参数，便可计算出合理的小木条开槽长度。 对于问题二，建立层次分析模型来评估创意平板折叠桌的最优设计参数，凭借稳固性 等设计因素结合已知的部分尺寸参数进行折叠桌的最优化设计。 首先我们先对折叠桌进行 受力分析和客观讨论，得出影响稳固性的众多的因素；然后我们对这些因素分组成不同方 案，再对每个方案进行评估，最后讨论比较方案。选取最主要的方案因素，结合问题已给 的条件构建数学表达式。对所得到的数学表达式进行极值运算来确定最优解。 对于问题三，结合问题一中的边缘线的动态变化和问题二中的稳固性的评估，建立模 型数学关系表达式。应用所得表达式带入任意的折叠桌部分参数条件，便可实现动态变化 过程和具有良好的稳固性的最优设计参数。结合公式自定义了一份设计参数，利用 UG 画 出了三维实物仿真图和动态变化过程示意图。在这以截图为代表。 论文的最后给出了相关模型和建立的数学表达式的评价， 本论文的特色在于不仅应用 了 matlab 数值分析软件来进行投影线的曲线拟合，还充分应用到了许多辅助的制图软件， 如：autocad 、ug 等。本次建模让应用了绘图软件加强了我们的绘图能力。我们充分了解 到数学建模不仅仅是单纯的数学计算，和高深的数学定义，它是一门结合多种学科的综合 性学科。认识到数学模型在生活中的重要性，对于这些跨专业或者跨学科同时也锻炼了我 们的自学能力，以及团队之间的协作能力。
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2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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