概率论第六章习题解答(全)

E ( X ) 10 5
i 1 i
10
2n
n
2 2 1 10 1 10 E ( S 2 ) E ( ( X i2 10 X ) ( E ( X i2 ) 10 E ( X )) 9 i 1 9 i 1
因为
E ( X i2 ) D( X i ) ( E ( X i )) 2 2n n 2 E ( X ) D( X ) ( E ( X )) 2
故 X N ( ,
D( X ) 10
i 1 i
10
2
2
10
) ，则
P{ X } P{
（2）
X 0} (0) 0.5 10
因为 X i N (62, 25) ，若一人得分超过 70 就能得奖，则一人得奖的概率为
P{ X i 70} 1 P{ X i 70} 1 P{ X i 62 70 62 } 1 (1.6) 1 0.9452 0.0548 5 5
2 2
试确定常数 C，使 CY 服从 分布。
2
（2）设 X 1 , X 2 , , X 5 来自总体 N (0,1) 样本，Y
C ( X1 X 2 ) (X X X )
2 3 2 4 1 2 2 5
，试确定常数 C 使 Y
服从 t 分布。 （3）已知 X t ( n) ，求 X F (1, n) 解 （1）因为 X 1 , X 2 , , X 6 是来自总体 N (0,1) 的样本，
i 1 5 i 1 5 5
1 (1 P{
i 1 5
X i 12 10 12 }) 2 2
5
1 (1 (1)) 1 (1)
i 1 i 1
1 (0.8413)5 1 04215 0.5285
3、求总体 N (20,3) 的容量分别为 10,15 的两个独立样本均值差的绝对值不超过 0.3 的概率。 解 则 设容量为 10 的样本均值为 X ，样本容量为 15 的样本均值为 Y ，
2
n n2 5
所以
1 10 n E ( S 2 ) ( (2n n 2 ) 10( n 2 )) 9 i 1 5 1 n (10(2n n 2 ) 10( n 2 )) 9 5 1 18n 2n 9
8、总体 X N ( , ) ， X 1 , X 2 , , X 10 是来自 X 的样本，
2 2 2 2 2
由 X i N ( i , i ) 知 ( X 1 X 2 X N ) N ( 1 2 n , 1 2 n ) ） 故
X 1 X 2 X 3 N (0,3) ， X 4 X 5 X 6 N (0,3) ， X1 X 2 X 3 X X5 X6 N (0,1) ， 4 N (0,1) 3 3
参加这一测试，求他们的联合概率密度，并求这 10 个人得分的平均值小于 的概率。 （2）在（1）中设 62 ， 25 ，若得分超过 70 就能得奖，求至少有一人得奖
2
的概率。 解 设 X i 表示参加测试的 i 个人的得分（ i 1, 2, ,10 ） ，则 X i N ( , ) ，
且
X1 X 2 2 2 2 ， X 3 X 4 X 5 相互独立，于是由 t 分布的定义知 2 X1 X 2 X1 X 2 3 2 t (3) 2 2 2 2 X3 X4 X5 2 ( X X 2 X 2 ) 12 3 4 5 3
因此所求常数为
C
3 。 2
2 1 f X ( x) e 2 ( x )2 2 2
， 0 ， x
由于 X 1 , X 2 , , X 10 相互独立，所以它们的联合的联合分布密度为
f X ( x1 , x2 , , x10 )
i 1
10
1 e 2
( xi )2 2 2
X (20,
3 3 3 3 1 ) ， Y (20, ) ， ( X Y ) N (0, ) N (0, ) 10 15 10 15 2
P{| X Y | 0.3} 1 P{| X Y | 0.3} 1 P{0.3 X Y 0.3} 1 P{ 0.3 X Y 0.3 } 1 1 1 2 2 2
10.8 7.2 ( ) ( ) (1.71) (1.14) 6.3 6.3 0.9564 1 0.8729 0.8293
2、在总体 N (12, 4) 中随机抽取一容量为 5 的样本 X 1 ， X 2 ， X 3 ， X 4 ， X 5 ， （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率。 （2）求概率 P{max( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) 15} ， P{min{( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) 10} 解 （1）总体均值为 12 ， ，样本均值 X 所求概率为
2 2 (1.12) 2(1 0.8686) 0.2628
（2） P{max( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) 15} 1 P{max( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) 15}
1 P{ X 1 15, X 2 15, X 3 15, X 4 15, X 5 15} 1 P{ X i 15} 1 P{
2
（1）写出 X 1 , X 2 , , X 10 的联合分布密度； （2）写出 X 的概率密度。 解 （1） X 1 , X 2 , , X 10 联合概率密度
即
Y 1 2 (2) ，所以 C 。 3 3
（2）因为设 X 1 , X 2 , , X 5 是来自总体 N (0,1) 的样本 X 1 X 2 N (0, 2) ， 即有
X1 X 2 N (0,1) ， 2
又有
2 X 32 X 4 X 52 2 (3)
X
i 1
n
i
的分布律；
Hale Waihona Puke Baidu
（3）求 E ( X ) ， D ( X ) ， E ( S ) 解 （1）因为 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且有 X i b(1, p ) ， i 1, 2, , n ，
2
即 X i 具有分布律
P{ X xi } p xi (1 p )1 xi ， xi 0,1 ，
1 5 4 X i N (12, ) 5 i 1 5
P{| X 12 | 1} 1 P{| X 12 | 1} 1 P{1 X 12 1} 1 P{ 1 X 12 1 } 45 45 45 5 5 ) ( ) 2 2
1 (
且相互独立，因此
且两者相互独立，由 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 N (0,1) 的样本，则统计量
2
2
2
2 X 12 X 22 X n2 2 (n)
由 分布的定义知
2
( X 1 X 2 X 3 )2 ( X 4 X 5 X 6 )2 2 (2) 3 3
则 10 个人得奖可以看作是一个二项分布： b(10, 0.0548) ，设 A 表示没有人得奖，则
0 P ( A) C10 (0.0548)0 (0.9452)10 0.5692
P ( A) 1 0.5692 0.4308
即至少有一得奖的概率为 0.4308。 6、设总体 X b(1, p ) ， X 1 , X 2 , , X n 是来自总体的样本。 （1）求 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的分布律； （2）求
概率论第六章习题解答
1、在总体 N (52, 6.3 ) 中随机抽取一容量为 36 的样本，求样本均值 X 落在 50.8 与 53.8 之 间的概率。 解 因为 N (52, 6.3 ) ，所以
2 2
P{50.8 X 53.8} P{
50.8 52 X 52 53.8 52 } 6.3 36 6.3 36 6.3 36
n
n i 1
xi
n
（2）因为 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且有 X i b(1, p ) ，故 其分布律为
k k P{ X i k} Cn p (1 p ) n k i 1 n
X
i 1
n
i
b ( n, p ) ，
7、设总体 X 解 因为 X
i 1 i 1 5 5
X i 12 15 12 } 2 2
1 ( (1.5))5 1 (0.9332)5 0.2923 .
（3）
P{min{( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) 10}
1 P{min{( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) 10} 1 P{ X 1 10, X 2 10, X 3 10, X 4 10, X 5 10} 1 P{ X i 10} 1 (1 P{ X i 10})
（各个样本的分布律的乘积）
n n
因此 ( X 1 , X 2 , , X n ) 分布律为
P{ X 1 x1 , X 2 x2 , , X n xn } P{ X xi } p xi (1 p )1 xi
i 1 i 1
p i1 (1 p )
xi
1 P{0.3 2 ( X Y ) 2 0.3 2} 1 (0.3 2) (0.3 2) 2 2 (0.3 2) 2 2 (0.42) 2(1 0.6628) 2 0.3372 0.6744
4、 （1） 设 X 1 , X 2 , , X 6 样本是来自总体 N (0,1) ， Y ( X1 X 2 X 3 ) ( X 4 X 5 X 6 ) ，
(
1 10 i1 2 2 ) e 2
( xi )2
10
又
X
1 10 1 10 1 10 X i ， E( X ) E( X i ) E( X i ) 10 i 1 10 i 1 10 i 1 1 10 1 D( X ) D( X i ) 2 10 i 1 10
（3）
因为 X t ( n) ，故 X 可写成
Z Y
的形式，
n
其中 Z N (0,1) ， Y
2 (n) ，且 Z ， Y 相互独立，按 F 分布的定义知
X 2 F (1, n) 。
5、 （1）已知某种能力测试的得分服从正态分布 N ( , ) ，随机地取 10 个人
2
2 (n) ， X 1 , X 2 , , X 10 是来自 X 的样本，求 E ( X ) ， D( X ) ， D( S 2 ) 。
i 1, 2, ,10
2 (n) ，所以 E ( X i ) E ( 2 ) n ， D( X i ) D( 2 ) 2n
1 10 1 10 E( X ) E( X i ) E( X i ) n 10 i 1 10 i 1 1 10 1 D( X ) E ( X i ) 2 10 i 1 10