chap9 习题课2

本章的重百度文库：对称变换与对称矩阵.
本章的难点：正交补、对称变换.
习题课
二、基本方法
1、判别线性变换为对称变换、反对称变换. 2、将实对称矩阵对角化： ①通过可逆矩阵化为对角矩阵， ②通过正交矩阵化为对角矩阵. 3、用正交线性替换化实二次型为标准形(判别
实对称矩阵为正定矩阵).
习题课
三、疑难解答
例1 设A是V的正交变换，证明：A的不变子
（习题24）
例4.证明：向量 V1是向量 在子空间V1上的内 射影 V1， － － 。
（习题25） 习题课
例5.1)设A是n级实对称矩阵，且A2 E，证明：存在 O Er 正交矩阵T，使得T AT 。 （习题22） O En r 2)设A是n级实对称矩阵，且A2 A，证明：存在
（习题10）
例2.1)证明：反对称实矩阵的特征值为零或纯虚数。 2)设A是反对称实矩阵，证明：E A, E A都是可逆 矩阵，且B ( E A)( E A) , C ( E A) ( E A) 都是正交矩阵。
（习题16） 习题课
1 1
例3.设是n维欧氏空间Ｖ的线性变换，证明： 1)是反对称变换 在Ｖ的标准正交基下的矩阵 是实反对称矩阵。 2)设是反对称变换，若V1是-子空间，则V1也是 -子空间。
例12.1)设A为n级正定矩阵，证明行列式 A E 1。 2)设A O为n级半正定矩阵，证明行列式 A E 1。
习题课
例13.设A, B是两个n级实对称矩阵，且A是正定矩阵。 证明：存在一n n实可逆矩阵T，使T AT 与T BT同时 为对角形。
（补充题10）
例14.1)设A是一个正定矩阵，证明：存在一个正定 矩阵B，使得A B 2。 2)设A是一个可逆实矩阵，证明：存在一个正定矩阵 B和一个正交矩阵Q，使得A QB。
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质
§2 标准正交基
§3 同构 §4 正交变换
§5 子空间
§6 对称矩阵的标准形
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 §8 * 酉空间介绍
一、基本内容
二、主要方法
三、疑难解答 四、习题选讲
习题课
一、基本内容
1、正交补与内射影：向量与集合正交的概念，欧氏 空间的子空间的正交补，向量的在子空间上的内射影. 2、欧氏空间的线性变换：对称变换与实对称矩阵.
例8.设f ( x1 , x2 , , xn ) X AX 是一实二次型，1 , 2 , , n 是A的特征多项式的根，且1 2 n，证明： X R ，有1 X X X AX n X X 。
n
（补充题8）
习题课
例9.设实二次型f ( x1 , x2 ,, xn )的矩阵为A，是A的特征 多项式的根，证明：存在R n中的非零向量( x1 , x2 ,, xn )， 使得f ( x1 , x2 ,, xn ) ( x1 x2 xn )。
习题课
例15.设A, B是两个n级正定矩阵，且AB＝BA。 证明：AB也是正定矩阵。
例16.设A, B分别是m级，n级正定矩阵，证明： A O 分块矩阵 也是正定矩阵。 O B
习题课
1
Er 正交矩阵T，使得T AT O
1
O 。 O
（补充题6）
例6.设A是n级实矩阵，证明：存在正交矩阵T，使 T 1 AT为三角矩阵 A的特征多项式的根全是实数。 （习题20） 习题课
例7.1)设A为n级正定矩阵，B是n反对称实矩阵，证明： A B 2是正定矩阵。 2)设A为n级正定矩阵，B是n实对称矩阵，证明： A+B 2是正定矩阵。
（补充题8）
2 2 2
例10.1)设A为n级实对称矩阵，证明A为正定矩阵 （习题19） A的特征值大于零。 2)证明实二次型f ( x1 , x2 , , xn )半正定 它的矩阵A 的特征值大于或等于零。
习题课
例11.1)设A为实对称矩阵，证明：当实数t充分大之后， tE A是正定矩阵。 2)设A为实对称矩阵，证明：当实数 充分小之后， E A是正定矩阵。
空间的正交补还是A的不变子空间.
例2 求： x1 2 x2 3 x3 4 x4 0,
的解空间W在R4中的正交补W .

x1 5 x2 3 x3 3 x4 0;
例3 证明：设A、B是实对称阵，且其特征值
相同，则A、B必正交相似. 习题课
四、习题选讲
例１设Ｖ是一n维欧氏空间， 0是Ｖ中一固定 . 向量，１）证明：V1 {x ( x, ) 0, x V }是V的 子空间；２)证明V1的维数等于n-1.