最新北京市人大附中初二下学期期中数学试卷
2023年北京重点校初二(下)期中数学试卷汇编：实数
2
（3）实践应用：要制作面积为 2 平方米的长方形画框，利用第（2）问证明得出的结论直接写出画框周长
的最小值为__________．
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参考答案
1．－2 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求出字母的值，再代入计算即可．
【详解】解：因为 3α − 3 + β + 3 = 0 ，
所以3α − 3 = 0 ， β + 3 = 0 ，
n − 0 = 2 2 − m ，化简得 n = ± 2 (2 − m) 即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
2 − 0 ≠ 2 2 − 0 ，∴ P1 与原点不互为“白银点”；
1− 0 ≠ 2 2 − 0 ，∴ P2 与原点不互为“白银点”；
2 − 0 = 2 −1− 0 ，∴ P3 与原点互为“白银点”；
【详解】解：∵1936 < 2023 < 2025，
∴ 1936 < 2023 < 2025 ，即 44 < 2023 < 45 ，
又∵ n < 2023 < n +1，n 为整数，
∴ n = 44 ．
故答案为：44．
【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
3．＞
【分析】将两数分别平方进行比较即可
【详解】解： (−5)2 = 25 = 5 ，
故答案为：5． 【点睛】本题考查了一个数的平方和算术平方根的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．(1) P3 (2)①点 B 的坐标是 (1,2 2) ， (1, −2 2) ， (−3, 2 2) ， (−3, −2 2) ；② 3 2 − 3 ≤ t ≤ 2 2 或
2023-2024学年北京市人大附中朝阳学校八年级下学期期中数学试题
2023-2024学年北京市人大附中朝阳学校八年级下学期期中数学试题1.下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，1，1B．2，，3C．6，8，9D．5，12，133.关于的叙述正确的是（）A．在数轴上不存在表示的点B．C．D．与最接近的整数是34.如图，已知点的坐标为，则线段的长为()A．B．C．D．35.小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图1所示）．若的长度为a，则菱形的周长为（）A．B．C．a D．6.如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能．．是（）A．B．C．D．7.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（）A．B．C．D．8.已知、是两个连续自然数，且，设，则下列对的表述中正确的是（）A．总是偶数B．总是奇数C．总是无理数D．有时是有理数，有时是无理数9.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．10.下列命题：①两直线平行，同位角相等；②对顶角相等；③平行四边形的对角线互相平分．其中逆命题是真命题的命题共有_____个．11.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=_______．12.如图，在正方形ABCD内部作等边△CDE，连接BD．则的度数为______．13.如图，中，，则线段的长为______．14.如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的多样化品求，在草地内拐角位置开出了一条路，走此路可以省____________m的路．15.如图，在平行四边形中，，，平分，是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值是_____．16.已知邻边长分别为1，的平行四边形纸片，且有，如图那样折一下，剪下一个边长等于1的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则的值是______．17.计算：．18.计算：．19.如图，A，B，H是直线l上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，且HC=HD，AB=5，AC=2，BD=3，求AH的长．20.如图，在□ABCD中，M，N是AD，BC上的两点且DM＝BN，连接CM，AN．求证：CM＝AN．21.如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，求的长．22.如图，每个小正方形的边长都是1，，，，均在网格的格点上．(1)判断是否为直角：______．（填写“是”或“不是”）(2)直接写出四边形的面积为______．(3)找到格点，并画出四边形（一个即可），使得其面积与四边形面积相等．23.已知矩形，以为一边求作一个平行四边形，使得该平行四边形的一个内角为，且面积为矩形面积的一半．(1)利用尺规作图作出符合题意的平行四边形（保留作图痕迹）；(2)写出判定四边形是平行四边形的依据是______．24.如图，在中，，，点D，E，F分别为，，的中点．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求菱形的面积．25.在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：对于两个数a，b，称为a，b这两个数的算术平均数．称为a，b这两个数的几何平均数，称为a，b这两个数的平方平均数．小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程(1)若，则_____，_____，_____；(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形；②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）．26.如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接．(1)在图1中补全图形；(2)求的度数，写出求解过程．(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．27.在平面直角坐标系中，对于点,，给出如下定义：当点,满足时，称点是点的等积点．已知点．(1)在，，中，点的等积点是_____．(2)点是点的等积点，点在轴上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标，写出求解过程．。
北京市人大附中2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在 中，若 ，则 的角度为（）
A．80°B．90°C．100°D．120°
2．函数 的自变量 的取值范围是（）
A． B． C． D．
6．如图，矩形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB=60º，则矩形ABCD的面积为（）
A．16B． C． D．3
7．用配方法解方程 时，原方程变形为（）
A． B． C． D．
8．如图，在 中，对角线 交于点 ，若 ，则 的长为（）
A． ．7C． D．7.5
9．如图，直线 与 相交于点 ，若点 的横坐标为3．则下列结论中错误的是（）
③连接 ，所以四边形 为菱形，点 即为所求．
根据小新设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明： 平分 ，
（______________________________________）（填推理的依据）
∴四边形 为平行四边形（______________________________________）（填推理的依据）
（2）作 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ．
①补全图形1；
②证明：四边形ECHF为平行四边形．
（3）在（2）的条件下，连接 ，请直接写出 和 之间的数量关系．
28．新定义：在平面直角坐标系 中，对于任意点 ，和直线 ，我们称直线 为点 的伴随直线，反之称点 为直线 的伴随点；特别的，直线 （ 为常数）的伴随点为 ．
北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(解析版)
人大附中2023～2024学年度第二学期初二年级数学期中练习说明：1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，24道小题，满分100分，考试时间90分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上作答无效．3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．第一部分 选择题一、选择题（共24分，每题3分）1. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ）A. 6，7，8B. 2，3，4C. 3，4，6D. 6，8，10【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可．【详解】解：．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，能构成直角三角形，故本选项正确．故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．2. 如图，中，于点，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由在□ABCD 中，∠EAD ＝35°，得出∠D 的度数，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠B 的度数，继而求得答案．【详解】解：∵∠EAD ＝35°，AE ⊥CD ，∴∠D ＝55°，A 222678+≠ ∴B 222234+≠ ∴C 222346+≠ ∴D 2226810+= ∴D a b c 222+=a b c ABCD Y AE CD ⊥E 35EAD ∠=︒B ∠35︒55︒65︒125︒∴∠B ＝55°，故选：B ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3. 下列各式中，运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算．熟练掌握算术平方根，二次根式的加减运算是解题的关键．根据算术平方根，二次根式的加减运算求解作答即可．【详解】解：AB ．，错误，故不符合要求；C ．D，错误，故不符合要求；故选：A ．4. 在菱形中，点分别是的中点，若，则菱形的周长是（ ）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得，再根据菱形的周长公式列式计算即可得到答案．【详解】解：点分别是的中点，是的中位线，，菱形的周长，=3=2=2=-=3=≠2+≠22=≠-ABCD E F ，AC DC ，3EF =ABCD 26AD EF == E F ，AC DC ，EF ∴ACD 2236AD EF ∴==⨯=∴ABCD 44624AD ==⨯=【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形性质，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半及菱形的四条边都相等，是解题的关键．5. 如图，正方形的边长为2，是的中点，，与交于点，则的长为（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】由正方形的性质得出∠DAF ＝∠B ＝90°，AB ＝AD ＝2，由E 是BC 的中点，得出BE ＝1，由勾股定理得出AEADF ≌△BAE（ASA ），即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAF ＝∠B ＝90°，BC ＝AB ＝AD ＝2，∴∠BAE ＋∠2＝90°，∵AB ＝2，E 是BC 的中点，∴BE ＝1，∴AE ，∵AD ∥BC ，∴∠1＝∠2，∵DF ⊥AE ，∴∠1＋∠ADF ＝90°，∴∠ADF ＝∠BAE ，在△ADF 和△BAE 中，，的ABCD E BC DF AE ⊥AB F DF =DAF B AD ABADF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△BAE （ASA ），∴DF ＝AE故选：A ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6. 一个正方形的面积是22.73，估计它的边长大小在（ ）A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间【答案】C 【解析】【分析】设正方形的边长为，根据其面积公式求出的值，估算出的取值范围即可．【详解】解：设正方形的边长为，正方形的面积是22.73，，，，它的边长大小在4与5之间，故选：C ．【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．7. 要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是 （ ）A. 测量两组对边是否分别相等B. 测量两条对角线是否互相垂直平分C. 测量其中三个内角是作都为直角D. 测量两条对角线是否相等【答案】C【解析】【分析】根据矩形的判定和平行四边形的判定以及菱形的判定分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：矩形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形，、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；a a a a a ∴=1622.7325<< <<45<<∴A、根据对角线互相垂直平分得出四边形是菱形，故本选项错误；、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误；故选：．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形和菱形的判定，主要考查学生的推理能力和辨析能力．8. 如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，，，，连接DE ，设，，，给出下面三个结论：①；②；．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，熟记勾股定理是解题的关键．①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将用和表示出来，再进行比较．【详解】解：①过点作，交于点；过点作，交于点．∵，，，又，，B C D C AB BC <90A C ∠=∠=︒EAB BCD ≌△△AB a =BC b =DE c =a b c +<a b +>)a b c +>c a b D DF AC ∥AE F B BG FD ⊥FD G DF AC ∥AC AE ⊥DF AE ∴⊥BG FD ⊥ BG AE ∴四边形为矩形，同理可得，四边形也为矩形，，在中，则，故①正确，符合题意；②∵，，在中，，，故②正确，符合题意；③∵，，，又，，．，，，，，．故③正确，符合题意；故选：D第二部分 非选择题二、填空题（共24分，每题3分）∴ABGF BCDG FD FG GD a b ∴=+=+∴Rt EFD DF ED<a b c +<EAB BCD ≌△△AE BC b ∴==Rt EAB△BE ==AB AE BE +>a b ∴+>EAB BCD ≌△△AEB CBD ∠∠∴=BE BD =90AEB ABE ∠+∠=︒ 90CBD ABE ∴∠+=∠︒90EBD ∴∠︒=BE BD = 45BED BDE ∴∠=∠=︒sin 45BE c ∴==⋅︒=c ∴= 22222222()2(2)2()42()a b a ab b a b ab a b +=++=++>+∴)a b +>∴)a b c +>9.有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数．有意义，∴，解得：，故答案为：．10. 如图，在中，若，点D 是的中点，，则的长度是_____．【答案】2【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长度．【详解】解：∵在中，，点D 是的中点，，∴．故答案为：2．11. 如图，在数轴上点 A 表示的实数是_____．【解析】【分析】根据勾股定理求得的长度，即可得到的长度，根据点的位置即可得到点表示的数．【详解】解：如图，1x ≥10x -≥1x ≥1x ≥ABC 90ACB ∠=︒AB 4AB =CD CD ABC 90ACB ∠=︒AB 4AB =114222CD AB ==⨯=BD AB B A根据勾股定理得：，，点【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．12. 如图，在四边形中，对角线相交于点O ．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是______________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定作答即可．【详解】解：由题意知，可添加的条件为，∵，，∴四边形平行四边形，故答案为：．13. 如图，矩形的对角线相交于点O ，，，则矩形对角线的长为___________，边的长为___________．【答案】①. 8 ②. 【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，先由矩形对角线相等且互相是BD ==∴AB BD ==∴A ABCD AC BD ，AB CD ∥ABCD AD BC ∥AD BC ∥AD BC ∥AB CD ∥ABCD AD BC ∥ABCD AC BD ，60AOB ∠=︒4AB =BD BC平分得到，再证明是等边三角形，得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得故答案为：8；14. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为________．【答案】【解析】【分析】如图1，2中，连接AC ．在图2中，利用勾股定理求出BC ，在图1中，只要证明△ABC 是等边三角形即可解决问题．【详解】解：如图1，2中，连接AC ．如图1中，∵AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝30，在图2中，∵四边形ABCD 是正方形，2290AC BD OA BD ABC ====︒，∠AOB 4OA OB AB ===28AC BD OB ===BC ABCD 2290OA OB AC BD OA BD ABC =====︒，，∠60AOB ∠=︒AOB 4OA OB AB ===28AC BD OB ===Rt ABC △BC ===60B ∠︒AC 30cm AC cm∴AB ＝BC ，∠B ＝90°，∵AB ＝BC ＝30cm ，∴AC ＝cm ，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15. 如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若∠D ＝80°，则∠ECF 的度数是________．【答案】40°【解析】【分析】根据题意由折叠的性质可得∠BCE =∠FCE ，BC =CF ，由菱形的性质可得BC ∥AD ，BC =CD ，可求∠BCF =∠CFD =80°，即可求解．【详解】解：∵将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，∴∠BCE =∠FCE ，BC =CF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ∥AD ，BC =CD ，∴CF =CD ，∴∠CFD =∠D =80°，∵BC ∥AD ，∴∠BCF =∠CFD =80°，∴∠ECF =40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查翻折变换以及菱形的性质，熟练掌握并运用折叠的性质是解答本题的关键．16. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为___________．【答案】9【解析】【分析】设直角三角形另一直角边为，然后分别用表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可．本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点．【详解】解：设直角三角的另一直角边为，则，，，．故答案为：9三、解答题（共52分，第17题8分，第18-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题7分，第24题10分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：（1）；（2）．【答案】（1（2）【解析】【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算是解题的关键．（1）先利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可；1S 2S 12S S -a a a 2211(3)4392S a a a =+-⨯⨯=+22S a a a =⋅=221299S S a a ∴-=+-=(1-（2）先分别计算二次根式的乘除，然后进行加减运算即可．【小问1详解】解：【小问2详解】解：．18. 如图，四边形为平行四边形，，是直线上两点，且，连接，．求证：．【答案】见详解【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，根据可得，再根据平行四边形的性质可得，且，即，即可证明，即可得到结论．【详解】证明：∵，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，且，∴，在和中，2=⨯=(32=+1=-ABCD E F BD BE DF =AF CE AF CE =BE DF =ED FB =AB DC =AB DC =EDC FBA ∠∠()SAS DEC BFA ≌BE DF =BE BD DF BD +=+ED FB =ABCD AB DC =AB DC =EDC FBA ∠∠DEC BFA V，∴，∴．19. 已知，求的值．【答案】11【解析】【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，平方差公式，先整理，再代入计算，即可作答．【详解】解：依题意，20. 如图，在中，点D 是线段的中点．求作：线段，使得点E 在线段上，且．作法：①连接，②以点A 为圆心，长为半径作弧，再以C 为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点M ；③连接，交于点E ；所以线段即为所求的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接∵，，∴四边形是平行四边形．（①）（填推理的依据）∵交于点E ，∴，即点E 是的中点．（② ）（填推理的依据）DE BF EDC FBA DC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DEC BFA ≌AF CE=1x =-227x x ++()22727x x x x ++=++()))2272711751711x x x x ++=++=⨯++=-+=ABC AB DE AC 12DE BC =CD CD AD DM AC DE AM CM ，，AM CD =AD CM =ADCM AC DM ，AE CE =AC∵点D 是AB 的中点，∴．（③ ）（填推理的依据）【答案】见详解【解析】【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；（2）先证明四边形是平行四边形，得出点E 是的中点，再结合然后点D 是的中点，即三角形中位线性质得到．【详解】解：（1）如图，；（2）证明：连接AM ，CM ，∵，，∴四边形是平行四边形．（①两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）∵AC ，DM 交于点E ，∴，即点E 是中点．（②平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）∵点D 是的中点，∴（③中位线的性质）．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分；中位线的性质．21. 如图，四边形中，，，．的12DE BC =-ADCM AC AB 12DE BC =AM CD =AD CM =ADCM AE CE =AC AB 12DE BC =ABCD 90BAD ∠=︒AB AD ==4BC =CD =（1）求的度数；（2）求四边形的面积．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由题意得，，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，且，根据，计算求解即可；（2）根据，计算求解即可．【小问1详解】解：∵，∴，由勾股定理得，，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴的度数为；【小问2详解】解：由题意知，，∴四边形的面积为5．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．熟练掌握三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理是解题的关键．ABC ∠ABCD 135︒1802BADABD ADB ︒-∠∠=∠=2BD =222BD BC CD +=BCD △90CBD ∠=︒ABC ABD CBD ∠=∠+∠1122ABD BCD ABCD S S S AB AD BC BD =+=⨯+⨯ 四边形90BAD ∠=︒AB AD ==180452BAD ABD ADB ︒-∠∠=∠==︒2BD ==(2222420+==222BD BC CD +=BCD △90CBD ∠=︒135ABC ABD CBD ∠=∠+∠=︒ABC ∠135︒11522ABD BCD ABCD S S S AB AD BC BD =+=⨯+⨯= 四边形ABCD22. 在中，，点D 是边上的一个动点，连接．作，，连接．（1）如图1，当时，求证：；（2）当四边形是菱形时，①在图2中画出四边形，并回答：点D 的位置为 ．②若，，则四边形的面积为 ．【答案】（1）见解析，（2）①见解析，为的中点；②【解析】【分析】（1）由，，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形，进而结论得证；（2）①由题意作图如图2，由四边形是菱形，可得，则，由，可得，则，，即为的中点；②如图2，记的交点为，则，，，由勾股定理求，则，根据，计算求解即可．【小问1详解】证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形，∴；【小问2详解】①解：如图2，Rt ABC △90ACB ∠=︒AB CD AE DC ∥CE AB ∥DE CD AB ⊥AC DE =ADCE ADCE 10AB =8DE =ADCE D AB 24AE DC ∥CE AB ∥AECD 90CDA ∠=︒AECD ADCE AD CD =DAC DCA ∠=∠18090B ACB DAC DCB DCA ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠，B DCB ∠=∠CD BD =AD BD =D AB AC DE 、O 5AD =142DO DE ==AC DE ⊥3AO =26AC AO ==12ADCE S AC DE =⨯四边形AE DC ∥CE AB ∥AECD CD AB ⊥90CDA ∠=︒AECD AC DE =∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴为的中点；②解：如图2，记的交点为，∵四边形是菱形，为的中点，，，∴，，，由勾股定理得，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理是解题的关键．23. 如图，四边形中，，，对角线平分，过点A 作的垂线，分别交，于点E ，O ，连接．（1）求证：四边形菱形；（2）连接，若，，求的长．是ADCE AD CD =DAC DCA ∠=∠18090B ACB DAC DCB DCA ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠，B DCB ∠=∠CD BD =AD BD =D AB AC DE 、O ADCE D AB 10AB =8DE =5AD =142DO DE ==AC DE⊥3==AO 26AC AO ==1242ADCE S AC DE =⨯=四边形24ABCD AD BC ∥90BCD ∠=︒BD ABC ∠BD AE BC BD DE ABED CO 3AB =2CE =CO【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，再由等腰三角形的性质得，然后证，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）由勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出【小问1详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，在和中，，，，四边形是平行四边形，又，平行四边形为菱形；【小问2详解】解：∵四边形为菱形，∴，，CO =AB AD =OB OD =()ASA OBE ODA ≌OE OA =ABED CD =BD =CO =AD BC ∥ADB DBE ∠=∠BD ABC ∠ABD DBE ∠=∠ABD ADB ∠=∠AB AD =AE BD ⊥BO DO =AD BC ∥OBE △ODA V DBE ADB OB ODBOE DOA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA OBE ODA ∴ ≌OE OA ∴=∴ABED AB AD = ∴ABED ABED 3BE DE AB ===BO DO =∵，，，∴在中，根据勾股定理得：，∵，为直角三角形，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．24. 在中，，，点D 为射线上一动点（不与点B 、C 重合），点B 关于直线的对称点为E ，作射线，过点C 作的平行线，与射线交于点F ．连接（1）如图1，当点E 恰好在线段上时，用等式表示与的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D 在线段的延长线上时，①依题意补全图形；②用等式表示和的数量关系，并证明．【答案】（1），证明见详解（2）①见详解②，证明见详解【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定，矩形的性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先由轴对称性质，得出再证明，因为，得出得证即可作答．90BCD ∠=︒CD =∴=325BC BE CE =+=+=Rt BCDBD ===BO DO =BCD△12CO BD ==ABC 90ABC ∠=︒AB BC =BC AD DE AB DE AE AF ，．AC DF BD BC ADB ∠AFE ∠2DF BD =45ADB AFE ∠+︒=∠AB AE BD ED ==，，()SSS ADE ADB ≌CF AB ∥45ECD ECF ∠=∠=︒，()ASA CED CEF ≌，（2）①根据题意的描述作图即可；②易得，过点作于点，四边形是正方形，证明，则，再通过角的运算，即可作答．【小问1详解】解：，证明如下：如图：当点E 恰好在线段上时，∵在中，∴，∵点B 关于直线的对称点为E ，∴在和中，∴，∴，∴，，∵，∴在和中，∴ADE ADB ≌A AG CF ⊥G ABCG ()Rt Rt HL AFG AFE ≌FAG FAE EAG ∠==∠2DF BD =AC ABC 90ABC AB BC∠=︒=，45BAC ACB ∠=∠=︒AD AB AE BD ED ==，，ADE V ADB AE AB ED BD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ADE ADB ≌90AED ABD ∠=∠=︒AC DF ⊥90CED CEF ∠=∠=︒CF AB ∥45ECF BAC ∠=∠=︒，45ECD ECF ∴∠=∠=︒，CED △CEF △CED CEF CE CEECD ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA CED CEF ≌，∴ ∴，即有；【小问2详解】解：当点在线段的延长线上时①依题意补全图形如下②用等式表示和的数量关系是，证明如下∵点关于直线的对称点为E ，∴，∴，过点作于点，如上图，则，∵，∴∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，在和中，∴，∴，即有，12DE EF DF ==，12BD DE DF ==2DF BD =D BC ADB ∠AFE ∠45ADB AFE ∠+︒=∠B AD ADE ADB ≌90AE AB AEF ABC =∠=∠=︒，12EAD BAD BAE ∠=∠=∠，A AG CF ⊥G 90AGF AGC ∠=∠=︒CF AB ∥90BAG AGF ABC AGC∠=∠=︒=∠=∠ABCG AB BC =ABCG AG AB AE ==Rt AFG △Rt AFE AG AE AF AF=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL AFG AFE ≌FAG FAE EAG ∠==∠2EAG FAE ∠=∠∵∴，∴，∴∴在中，，∴∴．人大附中2023～2024学年度第二学期初二年级数学期中练习附加题说明：1．附加题共4页，共两道大题，9道小题，满分40分，考试时间30分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上作答无效．3．在答题卡上，作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．一、填空题（共15分，第1题4分，第2-4题，每题3分，第5题2分）25. 矩形中，，，点E 是边上一点，连接，将沿折叠，使点B 落在点处，连接．（1）如图1，当时，的长为___________．（2）如图2，当点恰好在矩形的对角线上，则的长为___________．【答案】①. 4 ②. 【解析】【分析】（1）由矩形性质得，由折叠得：，，由平行线的性质得：，，进而得出：，，即；90AFE FAE ∠+∠=︒90FAE AFE ∠=︒-∠21802EAG FAE AFE ∠=∠=︒-∠2702BAE BAG EAG AFE∠=∠+∠=︒-∠135.BAD BAE AFE ∠=∠=︒-∠Rt △ABD 90ADB BAD ∠+∠=︒13590ADB AFE ∠+︒-∠=︒45ADB AFE ∠+︒=∠ABCD 6AB =8BC =BC AE ABE AE B 'CB 'CB AE '∥BE B 'ABCD ACAE 90ABE ∠=︒B E BE '=AEB AEB '∠=∠AEB ECB '∠=∠AEB EB C ''∠=∠ECB EB C ''∠=∠B E EC '=142BE EC BC ===（2）利用勾股定理可得，由折叠得：，，，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可；本题是矩形综合题，考查了矩形的性质，折叠变换的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识，学会添加辅助线是解题关键．【详解】解：（1）四边形是矩形，，由折叠得：，，，，，，，，，，故答案为：4；（2）如图，点恰好在矩形的对角线上，四边形是矩形，，，，，由折叠得：，，，，，设，则，，在中，，10AC ===AB AB '=B E BE '=90AB E ABE '∠=∠=︒BE x =B E x '=8CE x =- ABCD 90ABE ∴∠=︒B E BE '=AEB AEB '∠=∠CB AE ' AEB ECB '∴∠=∠AEB EB C ''∠=∠ECB EB C ''∴∠=∠B E EC '∴=12BE EC BC ∴==8BC = 4BE ∴=B 'ABCD AC ABCD 90ABC ∴∠=︒=6AB 8BC=10AC ∴===AB AB '=B E BE '=90AB E ABE '∠=∠=︒1064B C AC AB ''∴=-=-=18090CB E AB E ''∠=︒-∠=︒BE x =B E x '=8CE x =-Rt CB E '△222B E B C CE ''+=，解得：，，在中，；故答案为：4，26. 如图，四边形中， ，的平分线交于点E ，连接．在以下条件：①平分；②E 为中点；③中选取两个作为题设，另外一个作为结论，组成一个命题．（1）请写出一个真命题：题设为___________，结论为___________．（填序号）（2）可以组成真命题的个数为___________．【答案】①. ②， ②. ③， ③. 6【解析】【分析】（1）根据挑选题设为②，结论为③，结合，的平分线交这个两个条件，先证明，再进行边的等量代换，即可作答．（2）注意分类讨论以及逐个分析，不管取哪个作为条件都可以证明，从而利用全等三角形的性质进行边的等量代换或者角的等量代换，即可作答．【详解】解：（1）题设为②，结论为③；理由如下：延长交的延长线于点，∵∴，()22248x x ∴+=-3x =3BE ∴=Rt ABEAE ===ABCD AD BC ∥BAD ∠CD BE BE ABC ∠CD AD BC AB +=AD BC ∥BAD ∠CD ()AAS AED FEC ≌AED FEC △≌△AE BC F AD BC∥DAE F ∠=∠∵E 为中点，∴，在和中，∴，∴，，∵的平分线交于点E ，∴，∴∴∴（2）由（1）知，题设为②，结论为③是真命题，同理：题设为③，结论为②是真命题，过程如下：延长交的延长线于点，∵的平分线交于点E∴，∵∴∴∵∴∴∵CD DE CE =AED △FEC DAE F DEA CEFDE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AED FEC ≌CF AD =AD BC CF BC BF +=+=BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠BAD F∠=∠AB BF=AD BC AB+=AE BC F BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠AD BC∥BAD DAE F∠=∠=∠AB BF=AD BC AB+=AD BC AB BF+==AD CF=AD BC∥∴∵∴∴即E 为中点；当题设为①，结论为②是真命题，过程如下：延长交的延长线于点，∵的平分线交于点E∴，∵∴∴∵平分∴∵∴∴即E 为中点；同理：当题设为②，结论①为是真命题，同理，∴，，∵的平分线交于点E ，∴，∴∴∴DAE F∠=∠DEA CEF∠=∠ ≌DEA CEFDE CE=CD AE BC F BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠AD BC∥BAD DAE F∠=∠=∠AB BF=BE ABC∠EB AF AE EF⊥=，DEA CEF DAE F∠=∠∠=∠， ≌DEA CEFDE CE=CD CF AD =AD BC CF BC BF +=+=BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠BAD F∠=∠AB BF=AD BC AB+=则当题设为①，结论为③是真命题，同理：当题设为③，结论为②是真命题，综上共有6个命题：分别是题设为②，结论为③；题设为③，结论为②；题设为①，结论为②；题设为②，结论①；题设为①，结论为③，题设为③，结论为②．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、真命题，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．27. 如图，在正方形中，，点E 为对角线上的动点（不与A ，C 重合），以为边向外作正方形，点P 是的中点，连接，则的取值范围为___________．【解析】【分析】先取的中点O，结合正方形的性质，得证，当时，有最小值，在中，，计算即可作答．【详解】解：如图，取的中点O ，连接，∵四边形、是正方形，∴，，∴，则在和中ABCD 4AB =AC DE DEFG CD PG PG PG ≤<AD ()SAS ODE PDG ≌OEAC ⊥OE Rt AOE △2224OE AE AO +==AD OE DEFG ABCD 90ODE EDC ︒∠+∠=90PDG EDC ∠+∠=︒ODE PDG ∠=∠ODE PDG △OD OP ODE PDGDE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴，当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，，∵，∴，在中，，即，解得，∴．当点运动到点的时候，如图：此时即为点H 的位置，此时正方形的边长最大且为则的值最大，此时∴则．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．28.如图，正方形ABCD 边长为2，点E 是射线AC 上一动点(不与A ，C 重合)，点F 在正方形ABCD 的外角平分线CM 上，且CF=AE ，连接BE ， EF ， BF 下列说法：①的值不随点E 的运动而改变的()SAS ODE PDG ∴ ≌OE PG =OE AC ⊥OE AOE △OE AE =4AD AB ==122AO AB ==Rt AOE △2224OE AE AO +==224OE =OE =OE E C G DEFG 4CD AD ==PH PH ===PG PG ≤<PG ≤<②当B ，E ， F 三点共线时，∠CBE=22.5°；③当△BEF 是直角三角形时，∠CBE=67.5°；④点E 在线段AC 上运动时，点C 到直线EF 的距离的最大值为1；其中正确的是__________（填序号）．【答案】①②④【解析】【分析】连接、，由正方形的对称性可知，，，证明，得出，，证出，证出是等腰直角三角形得出，因此，得出①正确；当，，三点共线时，证出，，，四点共圆，由圆周角定理得出，证出，得出，求出，②正确；当是直角三角形时，证出，得出，，③不正确；当点在线段上运动时，过点作于，则，最大时，与重合，即，证出是的中位线，得出，④正确；即可得出结论．【详解】解：连接、，如图1所示：由正方形的对称性可知，，四边形是正方形，，，点是正方形外角平分线上一点，，，在和中，，，，，ED DF BE DE =CBE CDE ∠=∠()ABE CDF SAS ∆≅∆BE DF =ABE CDF ∠=∠DE DF =EDF∆EF=EF B E F E C F D BFC CDE ∠=∠CDE CBE =∠∠CBF CFB ∠=∠22.5CBF ∠=︒BEF ∆9045135BED ∠=︒+︒=︒1(36013590)67.52CBE ∠=︒-︒-︒=︒67.5CBF ∠<︒E AC C CQ EF ⊥Q CQ CH …CQ CQ CH CD EF ⊥QE ACD ∆112CQ DQ CD ===ED DF BE DE =CBE CDE∠=∠ ABCD AB CD ∴=45BAC ∠=︒ F ABCD CM 45DCF ∴∠=︒BAC DCF ∴∠=∠ABE ∆CDF ∆AB CD BAC DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF SAS ∴∆≅∆BE DF ∴=ABE CDF ∠=∠，，，即，是等腰直角三角形，，的值不随点的运动而改变，①正确；当，，三点共线时，如图2所示：，，，，四点共圆，，，，，，，，②正确；当是直角三角形时，如图3所示：是等腰直角三角形，，DE DF ∴=90ABE CBE ∠+∠=︒ 90CDF CDE ∴∠+∠=︒90EDF ∠=︒EDF∴∆EF ∴=EF ∴=∴EF BEE B EF 90ECF EDF ∠=∠=︒ E ∴C F D BFC CDE ∴∠=∠ABE ADE ∠=∠ 90ABC ADC ∠=∠=︒CDE CBE ∴∠=∠CBF CFB ∴∠=∠45FCG CBF CFB ∠=∠+∠=︒ 22.5CBF ∴∠=︒BEF ∆EDF ∆ 9045135BED ∴∠=︒+︒=︒，，③不正确；当点在线段上运动时，如图4所示：过点作于，则，最大时，与重合，即，当时，，，是的中位线，，④正确；综上所述，①②④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度．29. 如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E ，使，连接，点M ，N 分别是线段上的动点，连接，则的最小值为___________．1(36013590)67.52CBE ∴∠=︒-︒-︒=︒67.5CBF ∴∠<︒E AC C CQ EF ⊥Q CQ CH …CQ ∴CQ CH CD EF ⊥CD EF ⊥//EF AD CF CE AE ==QE ∴ACD ∆112CQ DQ CD ∴=== ABCD 3AB =4BC =60ABC ∠=︒AD 1DE =BE AE BE ，MN 12MN BN +【解析】【分析】如图，作于，于，于，则四边形是矩形，，由题意可求，，，则，，由，可知当三点共线且时，最小，为，求的长，进而可求最小值，【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形，∴，∵平行四边形中，，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴当三点共线且时，最小，为，∵，∴，由勾股定理得，，∴，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，等边对等角，勾股定理NF BC ^F AH BC ⊥H MG BC ⊥G AHGM MG AH =3AE AB ==120BAC ∠=︒30ABE AEB ∠=∠=︒30EBC ∠=︒12NF BN =12MN BN MN NF +=+M N F 、、MF BC ⊥12MN BN +MG AH 12MN BN +NF BC ^F AH BC ⊥H MG BC ⊥G AHGM MG AH =ABCD 3AB =4BC =1DE =60ABC ∠=︒3AE AB ==120BAC ∠=︒30ABE AEB ∠=∠=︒30EBC ∠=︒12NF BN =12MN BN MN NF +=+M N F 、、MF BC ⊥12MN BN +MG =30BAH ∠︒1322BH AB ==AH ==12MN BN +30︒等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键．二、解答题（共25分，第6题5分，第7题4分，第8-9题，每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．30. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为，其顶点称为格点，四边形的四个顶点都在格点上，请运用课本所学知识，仅用无刻度的直尺，在给定网格中按要求作图．（1）①线段的长为 个单位长度；②在图1中求作边的中点E ；（2）在图中求作边上一点，使平分．注：保留作图痕迹，同时标出必要的点；当你感觉方法比较复杂时，可用文字简要说明作法．【答案】（1）①；②作图见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）①利用勾股定理即可求解；②取格点、，连接交于点，则点为所求；（2）取格点、，连接、相交于点，作射线交于点，则点为所求．【小问1详解】解：①，故答案为：；②如图，点为所求作图形，【小问2详解】解：如图，点为所求，87⨯1ABCD CD CD 2AB F CF BCD ∠5M N MN AC E E G H AQ DH Q CF AB FF 5CD ==5E F。
2023北京人大附中初二(下)期中数学(含答案)
2023北京人大附中初二（下）期中数 学一、选择题：（每小题3分，共30分）1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）2. 下列各组数中不能．．作为直角三角形的三边长的是（ ）A. 1，1B. 12C. 4，5，6D. 6，8，103. 如图，ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，且10AC BD ，3AB =．则OCD 的周长为（ ）A. 13B. 8C. 7D. 54. 下列等式不成立的是（ ）2=6==2=5. 如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ） A. AB CD =，AD BC = B. ABDC ，AD BCC. ABDC ，AB DC = D. AB CD =，AD BC ∥6. 如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A 、B 、C 、D ，且每个小正方形的边长都是1．下列选项中的的是（ ）A. 线段ABB. 线段BCC. 线段CDD. 线段AD7. 实数a ，b ）A. 2a −B. 2b −C. 22b a −D. 08. 如图，在ABCD 中，42B ∠=︒，E 为AD 上一点，且DE DC =，过D 作DF EC ⊥交BC 于F ，则DFC ∠的度数为（ ）A. 14︒B. 18︒C. 21︒D. 22︒9. 某工厂要制作一些等腰三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照腰长、底长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（ ） A. 26，10，24 B. 10，16，6C. 17，30，8D. 13，24，510. 如图，在ABCD 中，2=AD AB ，F 是AD 的中点，作CE AB ⊥于E ，连接CF 、EF ，下列结论不成立的是（ ）A. 2BCD DFC ∠=∠B. EF CF =C. 13AEF DFE ∠=∠ D. 2BEC EFC S S =△△二、填空题：（第11－19题每空2分，第20题每空1分，共22分）11. x 的取值范围是______．12. 分解因式：mn 2﹣m=__________ 13. 方程215x x=+的解为___________．14. 当1x =时，代数式x 2＋2x ＋2的值是__________ 15. 如图，在ABCD 中，120A ∠=︒，2AD =，作CE AB ⊥于E ，则ECB ∠=______；CE =______．16. 已知2431849=，2441936=，2452025=，2462116=．若n 为整数且1n n <<+，则n的值是______．17. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．在转动其中一张纸条的过程中，线段AD 和BC 的长度始终相等，这里蕴含的数学原理是____________．18. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，8BC =，D ，E 分别是边AB 和BC 上的点，把ABC 沿着直线DE 折叠，若B 恰好落在AC 中点M 上，则CE 长为______．19. 如图，点A ，B 为定点，直线l AB ∥，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA PB ，的中点，对于下列各值：①线段MN 的长； ②PAB 的周长； ③PMN 的面积； ④APB ∠的大小；⑤直线MN 与AB 之间的距离．其中会随点P 的移动而发生变化的是______（填序号）．20. 如图，等边ABC 边长为2，点D 为边BC 延长线上一动点，CD DE =，120∠=︒BDE ，点F 是线段BE 的中点，连接DF CF 、．（1）用等式表示线段DF和AD的数量关系为：______；（2）线段CF长度的最小值为：______．三、解答题：（第21题8分，第22－25题每小题5分，第26题6分，第27、28题每小题7分，共48分）21. 计算：（1（2．22. 解不等式组：274,4.2x xxx+>−⎧⎪⎨+<⎪⎩23.，其中：3a=，2b=．24. 勾股定理是几何中的一个重要定理，且贴近人们的生活实际，古往今来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，出现了诸多证法．下面是证明勾股定理的两种图形构造方法，选择______其中一种，补全后续证明过程．ABC中，22=c．个全等的该直角三角形围成一个大正方共线，点D、E、F共方法二证明：如图，将围成一个梯形，即使点QAB为等腰直角三角形．25. 如图，在ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AE CF =．（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）若DE 为ADC ∠的平分线，且3AD =，2EB =，求ABCD 的周长．26. 在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于x 的根式方程1=，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）． 材料一：（1）解关于x 1=；（2）解关于x 1x =−．27. 已知ABCD ，2BC =．（1）如图1，若以BC 为边作等边BCE ，且点E 恰好在边AD 上，直接写出此时ABCD 的面积；（2）如图2，若以BC 为斜边作等腰直角BCF △，且点F 恰好在边AD 上，过C 作CG CD ⊥交BF 于G ，连接AG ． ①依题意将图2补全；②用等式表示此时线段CD CG AG ，，之间的数量关系，并证明；（3）如图3，以BC 为边作BCMN ，且60CMN ∠=︒，3BN =．若NA BD ⊥，直接用等式表示此时BD 与NA 的数量关系．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于没有公共点的两个图形M 、N 给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，若P 、Q 两点间距离的最大值和最小值分别为1d 和2d ，则称比值12d d 为图形M 和图形N 的“距离关联值”，记为(),k M N ．已知ABCD 顶点坐标为()1,1A −，()1B −，()1,1C −，)D．（1）若E 为ABCD 边上任意一点，则OE 的最大值为______，最小值为______，因此k （点O ，ABCD ）＝______；（2）若()1,F x m 为ABCD 对角线BD 上一点，()2,G x m 为ABCD 对角线AC 上一点，其中12x x ≠．①若12m =，则k （线段FG ，ABCD ）=______；②若6k ≤（线段FG ，ABCD ）8＜，求m 的取值范围；（3）若HIJK 的对角线交点为O ，且顶点(),H p n 在直线AC 上，顶点(),K q n 在直线BD 上，其中p q <，请直接用含n 的代数式表示(),k HIJK ABCD ．参考答案一、选择题：（每小题3分，共30分）11. 【答案】3x ≥【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，进行求解． 【详解】解：由题意得：30x −≥， ∴3x ≥； 故答案为3x ≥．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 【答案】m （n+1）（n ﹣1） 【解析】【分析】先提取公因式m ，再利用平方差公式a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）进行二次分解． 【详解】mn 2﹣m=m （n 2﹣1）=（n+1）（n ﹣1） 考点：提公因式法与公式法的综合运用 13. 【答案】x =5 【解析】【分析】观察可得最简公分母是x (x +5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解． 【详解】解：215x x=+ 方程的两边同乘x (x +5),得：2x =x +5, 解得：x =5, 经检验：把x =5代入x (x +5)=50≠0. 故答案为：x =5.【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根. 14. 【答案】18 【解析】【分析】首先把x 2＋2x ＋2化为（x+1）2+1，然后把1x =代入，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：x 2＋2x ＋2=（x+1）2+1，当1x =时，原式=)211118++=．故答案为：18．【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 15.【答案】 ①. 30︒##30度 ②【解析】【分析】利用平行四边形的性质求得=60B ∠︒，根据三角形内角定理即可求得ECB ∠；利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求得CE 的长． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，120A ∠=︒， ∴18060B A ∠=︒−∠=︒， ∵CEAB ⊥，∴90CEB ∠=︒，∴906030ECB ∠=︒−︒=︒；∵四边形ABCD 是平行四边形，2AD =， ∴2BC AD ==， ∴112BE BC ==，CE ==故答案为：30︒【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 16. 【答案】44 【解析】<<，即4445<<，从而可得答案．【详解】解：∵193620232025<<，<<4445<<，又∵1n n <<+，n 为整数，∴44n =． 故答案为：44．【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 17. 【答案】两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【解析】【分析】根据题意可证明四边形ABCD 是平行四边形，再由平行四边形的性质即可得到AD BC =． 【详解】解：蕴含的数学原理是两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∵AD BC ∥，AB CD ∥， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC =．故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形对边相等；【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”． 18. 【答案】5516【解析】【分析】在Rt ABC △中，利用勾股定理求得6AC =，结合点M 是AC 中点可得3CM =，由翻折可知ME BE BC CE ==−，在Rt CME △中运用勾股定理求解即可．【详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，8BC =，6AC ∴==，点M 是AC 中点， 132CM AC ∴==， 由翻折可知ME BE BC CE ==−， 在Rt CME △中，222CM CE ME +=，()22238CE CE ∴+=−，解得：5516CE =， 故答案为：5516．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握折叠的性质，并运用勾股定理正确计算． 19. 【答案】②④ 【解析】【分析】根据中位线，平行线间的距离处处相等，进行判断即可． 【详解】解：∵点M ，N 分别为PA PB ，的中点， ∴MN 是ABP 的中位线， ∴12MN AB =，∥MN AB ，∵AB 为定值，∴MN 为定值，①不符合要求； PAB 的周长为PA PB AB ++，∵PA PB 、为变化的量，∴PAB 的周长变化，②符合要求；∵l AB ∥，∥MN AB ，∴MN l ∥，∴P 到MN 的距离d 为定值， ∴2PMN MN d S ⨯=为定值，③不符合要求； 设∠PAB 减少的量为α，PBA ∠增加的量为β，由题意知，0PAB α<<∠，0180PBA β<<︒−∠， ∵180PAB PBA APB ∠+∠+∠=︒，α与β不一定相等，∴APB ∠的大小随着P 的变动而变化，④符合要求；∵∥MN AB ，直线MN 与AB 之间的距离是定值，⑤不符合要求；∴发生变化的为②④，故答案为：②④．【点睛】本题考查了中位线，平行线之间距离处处相等．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20. 【答案】 ①. 2AD DF = ②. 12##0.5【解析】【分析】（1）延长DF 至点M DF FM =，连接BM 、AM ，先证明()SAS BFM EFD ≌△△，得出BM DE MBF DEF =∠=∠，，则BM DE ∥，再证()SAS ABM ACD ≌△△，得AM AD BAM CAD =∠=∠，，据此即可求解；（2）连接CE ，取BC 的中点N ，作射线NF ，先由等腰三角形的性质得30DCE ∠=︒，再由三角形中位线定理得NF CE ∥，则30CNF DCE ∠=∠=︒，得出点F 的轨迹为射线NF ，且30CNF ∠=︒，当CF NF ⊥时，CF 最短，然后由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：（1）如图1，延长DF 至点M ，使DF FM =，连接BM 、AM ，∵点F 是线段BE 的中点，∴BF EF =，在BFM 和EFD △中，BF EF BFM EFD FM FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BFM EFD ≌△△，∴BM DE MBF DEF =∠=∠，，∴BM DE ∥，∵CD DE =，120∠=︒BDE ，∴CD DE BM ==，∴18012060MBD ∠=−=︒︒︒，∵ABC 是等边三角形，∴60AB AC ABC ACB =∠=∠=︒，，∴6060120ABM ABC MBD ∠∠∠︒︒=+=+=︒，∴ABM ACD ∠=∠，在ABM 和ACD 中，AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABM ACD ≌△△，∴AM AD BAM CAD =∠=∠，，∴60MAD MAC CAD MAC BAM BAC ∠∠∠∠∠∠=+=+==︒，∴AMD 是等边三角形，∴2==AD DM DF ；故答案为：2AD DF =；（2）如图2，连接CE ，取BC 的中点N ，作射线NF ，∵CD DE =，120∠=︒BDE ，∴30DCE ∠=︒，∵点N 是BC 的中点，∴NF 是BCE 的中位线，∴NF CE ∥，∴30CNF DCE ∠=∠=︒，∴点F 的轨迹为射线NF ，且30CNF ∠=︒，当CF NF ⊥时，CF 最短，∵2AB BC ==，∴1CN =，在Rt CNF △，30CNF ∠=︒， ∴1122CF CN ==， ∴线段CF 长度的最小值为：12． 故答案为：12．【点睛】本题考查了等边三角形和判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，作出合适的辅助线，是解题的关键． 三、解答题：（第21题8分，第22－25题每小题5分，第26题6分，第27、28题每小题7分，共48分）21. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后合并同类二次根式；（2）先计算二次根式的除法，然后再计算二次根式的乘法即可．【小问1详解】解：原式==；【小问2详解】解：原式=5==【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用二次根式运算法则是解题的关键．22. 【答案】14x <<【解析】【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可． 【详解】解：27442x x x x +>−⎧⎪⎨+<⎪⎩①② 解不等式①得1x >，解不等式②得4x <，故所给不等式组的解集为：14x <<．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．23. 【答案】a b −，1．【解析】【分析】利用二次根式的性质和平方差公式化简，然后代入求值即可．221·ab=−−a b =− a b =−，当3a =，2b =时，原式32=−1=．【点睛】题目主要考查二次根式的化简求值及平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 24. 【答案】方法一，见解析；或方法二，见解析【解析】【分析】方法一，根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可；方法二，根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可．【详解】解：方法一，证明：如图，将4个全等的该直角三角形围成一个大正方形HCDF ，即分别使点C 、B 、D 共线，点D 、E 、F 共线，点F 、G 、H 共线，此时四边形ABEG 也是正方形． ∵12AHG GFE EDB BCA S S S S ab ====△△△△，2ABEG S c =正方形，()2CDFH S a b =+正方形， 又∵AHG GFE EDB BCA ABEG CDFH S S S S S S ++++=正方形正方形△△△△， ∴()22142ab c a b ⨯+=+，整理得22222ab c a ab b +=++， ∴222+=a b c ；方法二证明：如图，将2P 、A 、C 共线，此时QAB 为等腰直角三角形．∵()()()21122PQBC S b a a b a b =++=+梯形，12APQ BCA S S ab ==△△，212ABQ S c =△， 又∵APQ BCA ABQ PQBC S S S S ++=梯形△△△， ∴()221112222ab c a b ⨯+=+， ∴222+=a b c ．【点睛】本题主要考查勾股定理的验证，解题关键是利用面积相等建立等量关系，判定勾股定理成立． 25. 【答案】（1）见详解 （2）16【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等的性质和AE CF =可得BE DF =，进而可得四边形DEBF 是平行四边形．（2）根据（1）可得EDC AED ∠=∠，根据DE 为ADC ∠的平分线，可得ADE 为等腰三角形，即可得出AB 的值，即可解答．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，AB CD =，∵AE CF =，∴BE DF =，∴四边形DEBF 是平行四边形．【小问2详解】解：∵AB CD ，∴EDC AED ∠=∠，∵DE 为ADC ∠的平分线，∴ADE EDC ∠=∠，∴ADE AED ∠=∠，∴ADE 为等腰三角形，∴3AE AD ==，∴325AB AE BE =+=+=， ABCD 的周长为：()22816AB AD +=⨯=．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的周长，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解答的关键．26. 【答案】（1）3x =；（2）无解【解析】【分析】仿照例题，两边平方，得到整式方程，解整式方程，再检验即可求解．【小问1详解】解：两边平方得：21x −=．解得：3x =．检验：将3x =代入原方程，成立．∴原方程的解为3x =；【小问2详解】解：两边平方得：()22431x x x +−=−． 解得：23x =． 检验：当23x =时，2111033x −=−=−<，即23x =是增根． ∴原方程无解．【点睛】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的步骤是解题的关键．注意一定要验根．27. 【答案】（1）ABCD 的面积为（2）①见解析；②CG CD AG =+；理由见解析（3）2219BD NA +=．【解析】【分析】（1）作EI BC ⊥于点I ，利用等边三角形的性质求得BI 的长，再利用勾股定理求得EI 的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可；（2）①依照题意补全图形即可；②延长CF 交BA 的延长线于点H ，延长CG 交BA 的延长线于点J ，利用ASA 证明HBF GCF ≌△△，推出GC BH =，FG FH =，再证明()SAS AFG AFH ≌△△，推出AG AH =，即可证明CG CD AG =+；（3）连接BM ，作BK MN ⊥并交MN 的延长线于点K ，推出四边形ADMN 是平行四边形，得到BMD 是直角三角形，22222BD DM BD NA BM +=+=，求得BM 即可解决问题．【小问1详解】解：作EI BC ⊥于点I ，∵BCE 是边长为2的等边三角形， ∴112BI IC BC ===，∴EI ==，∴此时ABCD 的面积为2BC EI ⨯==；【小问2详解】解：①补全图形如图，②CG CD AG =+；理由如下，延长CF 交BA 的延长线于点H ，延长CG 交BA 的延长线于点J ，∵BCF △是以BC 为斜边的等腰直角三角形，∴BF CF =，90BFC BFH ∠=∠=︒，45FBC ∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AB CD =，∴45AFB FBC AFH ∠=∠=︒=∠，∵四边形ABCD 是平行四边形，CG CD ⊥，∴90BJG GFC ∠=∠=︒，∴9090HBF BGJ FGC GCF ∠=︒−∠=︒−∠=∠，在HBF 和GCF 中，90HFB GFC BF CF HBF GCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA HBF GCF ≌△△，∴GC BH =，FG FH =，又∵AFB AFH ∠=∠，FA FA =，∴()SAS AFG AFH ≌△△，∴AG AH =，∴CG BH BA AH CD AG ==+=+；【小问3详解】解：2219BD NA +=．【点睛】本题考查了平行四边的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．28. 【答案】（1）2，1，2（2）①6；②3152m −<≤−或1325m ≤< （3）当01n <<时，()()21,1n k HIJK ABCD n +=−当n>1时()()121,n k HIJK ABC n D +=−【解析】 【分析】（1）如图1，过A 作AR BC ⊥于R ，过C 作CS AD ⊥于S ，AD 与y 轴交于T ，则四边形ARCS 是正方形，由题意知，当E 与B 或D 重合时，OE 最大，当E 与T 重合时，OE 最小，求2OB ==，1OT =，根据k (点O ，ABCD ) OB OT=，计算求解即可；（2）①如图2，设直线BD 的解析式为y kx =，则1=，解得3k =，即3y x =，122F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，由题意知，线段GF 上的点与ABCD 上的点的最大距离为FB ，最小距离为12，根据k(线段FG ，ABCD )定义求解即可；②将()1,F x m 代入3y x =，解得1x =，即)F m ，，分当01m <<时；当1m >时；当10m −<<时；当1m <−时；表示出最大与最小距离，然后解一元一次不等式组求解满足要求的解即可；（3）如图3，将()K q n ，代入3y x =，解得q =，即)K n ，，由p q <，可得0n >，由（2）可知，将HIJK 的边HK 等同于线段GF 时求k 的求解方法求解即可．【小问1详解】解：如图1，过A 作AR BC ⊥于R ，过C 作CS AD ⊥于S ，AD 与y 轴交于T ，则四边形ARCS 是正方形，由题意知，当E 与B 或D 重合时，OE 最大，当E 与T 重合时，OE 最小，∴2OB ==，1OT =，∴OE 最大为2，OE 最小为1， k (点O ，ABCD ) 2OB OT==， 故答案为：2，1，2；【小问2详解】解：如图2，设直线BD 的解析式为y kx=，则1=，解得3k =，∴3y x =， 当12m=，x =，∴12F ⎫⎪⎪⎝⎭，， 由题意知，线段GF 上的点与ABCD上的点的最大距离为3FB ==，最小距离为12，∴k (线段FG ，ABCD )3612==， 故答案为：6；②解：∵ABCD顶点坐标为11A −（，）) ∴对角线BD 、AC 相交于原点O 且与x 轴夹角分别为30°、45°。
人大附中八下期中数学试卷
人大附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共36分，每小题3分）1．（3分）下列式子：，，，，，其中是分式的有（）：分式的定义．分析：根据分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，可选出答案．解答：解：，，是分式，故选：C．点评：此题主要考查了分式的概念，关键是把握分母上有字母．（3分）下列四个式子中，正确的是（）．B．C．D．分析：根据分式的基本性质逐项进行判断，选择正确答案．解答：解：A、，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、，故本选项错误；D、，故本选项正确．故选；D．点评：此题考查了分式的基本性质，对分式的化简，正确理解分式的基本性质是关键．．．D．（﹣3）﹣2=9分析：根据负整数指数幂的法则进行计算．解答：解：（﹣3）﹣2==，故D错误．故选D．点评：本题主要考查了负整数指数幂的运算，属于基础题型．5．（3分）（2005•泸州）已知一个矩形的面积为24cm2，其长为ycm，宽为xcm，则y与x 之间的函数关系的图象大致是（）．B．C．D．6．（3分）如图，正比例函数y=kx与反比例函数的图象相交于A、B两点，AC⊥y轴，垂足为C，若△ABC的面积为4，则此反比例函数解析式为（）A．B．C．D．：反比例函数系数k的几何意义．分析：首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O 为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于2，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值，即得到这个反比例函数的解析式．解答：解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA=OB，∴△BOC的面积=△AOC的面积=4÷2=2，又∵A是反比例函数y=图象上的点，且AC⊥y轴于点C，∴△AOC的面积=|k|，∴|k|=2，∵k＞0，∴k=4．故这个反比例函数的解析式为．故选A．点评：本题主要考查了三角形一边上的中线将三角形的面积二等分及反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．7．（3分）（2003•河北）赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完．他读了前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下列方程中，正确的是（）．=14 B．=14 C．=1D．=14的时间=14．解答：解：读前一半用的时间为：，读后一半用的时间为：．方程应该表示为：．故选D．点评：本题主要考查的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．8．（3分）在同一直角坐标系中，函数y=k（x+1）与的图象大致可能为（）．B．C．D．的象限，再做出选择即可．解答：解：∵y=k（x+1）可转化为y=kx+k，当k＞0时，y=kx+k的图象过一、二、三象限；的图象过一、三象限；当k＜0时，y=kx+k的图象过二、三、四象限；的图象过二、四象限；可见，符合条件的只有C．故选C．点评：本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数的性质是解题的关键．9．（3分）下列命题中，正确的有（）①两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．②有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形．③直角三角形中，中位线的长必等于斜边上的中线的长．④三个角都相等的四边形是矩形．⑤对角线互相垂直平分的四边形是正方形．10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，平行于边的两条线段EF，CH把平行四边形ABCD 分成四部分，分别记这四部分的面积为S1，S2，S3和S4，则下列等式一定成立的是（）11．（3分）如图，正方形ABCD中，AE=BF，下列说法中，正确的有（）①AF=DE；②AF⊥DE；③AO=OF；④S△AOD=S四边形BEOF．12．（3分）如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC a O a的面积为（）．B．C．D．：规律型．分析：以AB为底边，平行四边形ABC1O1的高是矩形ABCD的高的，以此类推每一次作的平行四边形的高是上一次平行四边形的高的，所以所作平行四边形的面积等于上一次所作平行四边形的面积的，所以ABC a O a的面积为5×．解答：解：根据矩形的对角线相等且互相平分，平行四边形ABC1O1底边AB上的高为BC，平行四边形ABC2O2底边AB山的高为×BC=×BC，所以平行四边形ABC n O n底边AB上的高为×BC，∵S矩形ABCD=AB•BC=5，∴S平行四边形ABCaOa=AB•×BC=5×．故选C．点评：本题利用矩形对角线相等且互相平分的性质，探索并发现规律是解题的关键．二、填空题：（本题共30分，每空3分）13．（3分）当x=2时，分式的值为零．14．（3分）如图，四边形ABCD中，AB=15，BC=12，CD=16，DA=25，且∠C=90°，则四边形ABCD的面积是246．三角形，则四边形ABCD的面积=直角△BCD的面积+直角△ABD的面积．解答：解：连接BD．∵∠C=90°，BC=12，CD=16，∴BD==20；在△ABD中，∵BD=20，AB=15，DA=25，152+202=252，即AB2+BD2=AD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB•BD+BC•CD=×15×20+×12×16=150+96=246．故答案为246．点评：本题考查勾股定理及其逆定理的应用．解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三15．（3分）在反比例函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜0＜x2而y1＞y2，则k的取值范围是k＜﹣3．象限，然后推知k+3的符号，从而求得k的取值范围．解答：解：∵反比例函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜0＜x2而y1＞y2，∴该反比例函数的图象是y随x的增大而减小，16．（3分）若一次函数y=ax+b与反比例函数的图象如图所示，则不等式的解集为x＞2和﹣1＜x＜0．：数形结合．分析：求不等式的解集，事实上是求一次函数y=ax+b与反比例函数的图象与不等式的关系，由图可直接解答．解答：解：由图可知，当x＞2和﹣1＜x＜0时，，故答案为x＞2和﹣1＜x＜0．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，重点考查数形结合在解题中的应用．17．（6分）如图，在直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，M、N分别为BD、AC 的中点，AB=4，AD=2，∠ABC=60°，则CD的长为2，MN的长为1．∴AE=CD，在Rt△AEB中，AB=4，∠ABC=60°，∴sin∠ABE==，∴AE=2，∴CD=2，∴BE=2，∵M、N分别为BD、AC的中点，∴F点也是AB的中点，∴FN是三角形ABC的中位线，∴FN=BC=（BE+EC）=（2+2）=2，∵MF是三角形ABD的中位线，∴FM=AD=1，∴MN=FN﹣FM=1．故答案为2、1．点评：本题主要考查直角梯形和三角形中位线定理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正18．（3分）如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED=10，则FG的长为2．长度．解答：解：连接EF，DF，∵BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，∴在Rt△CEB中，EF=，在Rt△BDC中，FD=，∴FE=FD=9，即△EFD为等腰三角形，又∵G是ED的中点，∴FG是等腰三角形EFD的中线，EG=DG=5，∴FG⊥DE（等腰三角形边上的三线合一），在Rt△GDF中，FG===2．故答案为：2．点评：此题主要考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，求得△EFD为等19．（3分）若x+y=﹣4，xy=﹣3，则式子的值为．分析：先通分计算两个分式的和，再把x+y、xy的值代入通分后的式子，进行计算即可．解答：解：原式==，当x+y=﹣4，xy=﹣3时，原式==，故答案是．点评：本题考查了分式的化简求值，解题的关键是注意通分和整体代入．20．（3分）如图，C为线段AB上一点，正方形ADEF和正方形BCDG的面积分别为10cm2和5cm2，则△EDG的面积为 2.5cm2．两三角形面积相等即将△EDG的面积转化为△ACD的面积即可．解答：解：连接CE，AE，∵正方形ADEF和正方形BCDG的面积分别为10cm2和5cm2，∴AD=，CD=，∴AC==，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠DAC=∠ADC=45°，∴∠EDC=∠EDG=135°，∵DG=DC，DE=DE，∴△EDC≌△EDG，∵∠EAD=45°，∴∠EAC=90°，∴AE∥CD∴S△EDC=S△ACD，∴S△EDG=S△ACD，∵S△ACD=××=cm2，∴S△EDG==2.5cm2．故答案为2.5．点评：本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的运用，题目21．（3分）如图，边长为6的菱形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别为BD、BC边上的动点，则CE+EF的最小值为3．值即为EF+CE的最小值．解答：解：连接AF，∵菱形中相对的两个顶点A与C关于对角线BD对称，∴AF的长即为EF+CE的最小值，∵垂线段最短，∴当AF⊥BC时，AF的长最小，∵∠ABC=60°，边长为6，∴AF=AB•cos∠ABC=6×=3，∴EF+CE 的最小值为3．故答案为：3．点评：本题考查了菱形的性质及对称点的性质，解题的关键是结合菱形的性质得到菱形的相三、解答下列各题：（本题共24分）22．（6分）计算：（1）（2）．（2）先分解因式，再约分即可．解答：解：（1）原式=﹣===；（2）原式=••=﹣．点评：本题主要考查对分式的加减、乘除的理解和掌握，能熟练地根据分式的加减、乘除法23．（8分）解下列分式方程：（1）（2）．项，合并同类项，把x的系数化为1，进行计算即可，注意不要忘记检验．解答：解：（1）去分母得：2x（2x+5）﹣2（2x﹣5）=（2x+5）（2x﹣5），去括号得：4x2+10x﹣4x+10=4x2﹣25，移项得：4x2+10x﹣4x﹣4x2=﹣25﹣10，合并同类项得：6x=﹣35，把x的系数化为1得：x=﹣，检验：把x=﹣代入最简公分母（2x+5）（2x﹣5）≠0，∴原分式方程的解为：x=﹣．（2）去分母得：5x+2+3x•x=3x•（x+1），去括号得：5x+2+3x2=3x2+3x，移项得：5x+3x2﹣3x2﹣3x=﹣2，合并同类项得：2x=﹣2把x的系数化为1得：x=﹣1，检验：把x=﹣1代入最简公分母x（x+1）=0，∴原分式方程无解．点评：此题主要考查了解分式方程，关键是在解出未知数的值后，不要忘记检验，很多同学24．（5分）先化简，再求值：，其中x=5．把x=5代入进行计算即可．解答：解：原式=×﹣=﹣=，当x=5时，原式==．点评：本题考查的是分式的化简求值，解答此题的关键是熟知分式的混合运算需特别注意运25．（5分）如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两个点且DF=BE，试猜想AE与CF有何数量关系及位置关系并加以证明．猜想：证明：结合DF=BE可证明△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质可得出结论．解答：解：猜想AE=CF．AE∥CF，证明：∵DF=BE，∴DF﹣EF=BE﹣EF，即DE=BF，又∵ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠ADE=∠CBF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF．∴AE=CF，∠AED=∠CFB，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF．点评：本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，根据平行四边形的性质得出四、解答下列各题：（本题共17分）26．（5分）已知反比例函数与一次函数的图象交于点M（﹣1，m），，求这两个函数的解析式．：数形结合．分析：设反比例函数解析式为y=，将代入反比例函数解析式即可求出k的值，从而得到反比例函数解析式；再将M（﹣1，m）代入反比例函数解析式，求出m的值，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可．解答：解：设反比例函数解析式为y=，将代入反比例函数解析式得：k=×（﹣2）=﹣3．则得到函数解析式为y=﹣，将M（﹣1，m）代入解析式得，m=3，可得M（﹣1，3）．设一次函数解析式为y=mx+b，将M（﹣1，3），分别代入解析式得，解得．可得一次函数解析式为y=﹣2x+1．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求出函数解析式是解27．（5分）如图，C为线段AB上一动点，过A作AD⊥AB且AD=3，过B作BE⊥AB且BE=1，连接DC、EC，若AB=5，设AC=x．（1）DC+EC的长为+（用含x的式子表示，不必化简）；（2）当点C的位置满足AC=时，DC+EC的长最小，最小值是；（3）根据以上结论，你能通过构图求出的最小值吗？请画出你的示意图，适当加以说明并求出此最小值．（3）根据（2）的求解思路画出示意图并利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：（1）∵AB=5，AC=x，∴BC=5﹣x，∵AD=3，BE=1，∴DC==，EC==，∴DC+EC的长为：+；（2）如图，根据两点之间线段最短可知，当点C、D、E在同一直线时，DC+EC的长最小，此时，∠ACD=∠BCE（对顶角相等），∠A=∠B=90°（垂直定义），∴△ACD∽△BCE，∴=，即=，解得x=，此时，DC+EC=+=+=；（3）如图所示，根据（2）中的求解思路，当=时，即x=时，有最小值，此时==．点评：本题考查了利用轴对称求最短路线的问题，根据两点之间线段最短的性质以及相似三28．（7分）（1）如图1，已知△ABC与△DBC的面积相等，试判断直线AD与BC的位置关系并加以证明．判断：AD∥BC；（2）如图2，点A、B在反比例函数的图象上，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，连接CD．利用（1）中的结论，证明：AB∥CD．（3）若（2）中的其他条件不变，只改变A、B的位置如图3所示，请画出示意图，判断AB与CD是否平行，并加以证明．解答：证明：（1）分别过点A，D，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°，∴AG∥DH∵△ABC与△BDC的面积相等，∴AG=DH，∴四边形AGHD为平行四边形，∴AD∥BC；（2）连接BC，AD．设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），∵点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，∴x1y1=k，x2y2=k，∵AC⊥y轴，BD⊥x轴，∴OC=y1，OD=x2，AC=x1，∴S△BCD=x2•y2=k，S△ACD=x1•y1=k，∴S△ACD=S△BCD；∴由（1）同样的方法得出AB∥CD（3）由（1）中的结论可知：AB∥CD．证明：连接BC，AD．设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），∵点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，∴x1y1=k，x2y2=k，∵AC⊥y轴，BD⊥x轴，∴OC=y1，BD=|y2|，OD=|x2|，AC=x1，∴S△ABC=x1•（|y2|+y1）=k+x1•|y2|，S△ABD=（x1+|x2|）．y2=k+x1y2，∴S△ABC=S△ABD；∴由（1）同样的证明方法得出AB∥CD．点评：此题考查了反比例函数与几何性质的综合应用，这是一个阅读理解的问题，正确解决五、解答下列各题：（本题共13分）29．（6分）已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AD∥BC；②AB∥CD；③∠ABC=∠ADC；④AB=CD；⑤OB=OD；（1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的，除“①与②”外，还有哪几种？（请用序号表示）（2）除“①与②”外，选择你写的其中的一种，画出示意图，写出已知，求证和证明．（2）可选②③加以证明．解答：解：（1）还有①与③，②与③，②与④，①与⑤，②与⑤；（2）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°又∵∠ABC=∠ADC，∴∠BCD+∠ADC=180°∴BC∥AD．∴四边形ABCD是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．30．（7分）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AB=3，DC=6，CB=5．点E 是边DC上任意一点，点F在边AB的延长线上，并且AE=AF，连接EF，与边BC相交于点G．设BF=x，DE=y．（1）直接写出边AD的长；（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）当点E在边DC上移动时，△BFG能否成为以BG为腰的等腰三角形？如果能，请求出线段BF的长；如果不能，请说明理由．的性质，即可求得答案．解答：解：（1）∵过点B作BM⊥CD于M，∵AB∥DC，∠D=90°，∴∠D=∠ABM=∠BMD=90°，∴四边形ADMB是矩形，∴BM=AD，DM=AB=3，∴CM=CD﹣DM=6﹣3=3，在Rt△BMC中，BM==4，∴AD=4；（2）在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，∵BF=x，∴AF=AB+BF=3+x，∵AE=AF=3+x，DE=y，∴（3+x）2=y2+16，∴y=，当E与D重合，y=0，则x=AD﹣AB=1，当E与C重合：AC==2，∴x=2﹣3，∴1≤x≤2﹣3，∴y关于x的函数关系式为y=，自变量x的取值范围为1≤x≤2﹣3；（3）①若BG∥AE，则，∵AE=AF，∴BF=BG，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴EC=AB=3，则DE=CD﹣EC=3，∵AD=4，∴AE=AF=5，∴BF=AF﹣AB=2；②若BG=GF，过点G作GN⊥CD于N，∵AB∥CD，∴MN⊥AB，∴四边形ADNM是矩形，∴AM=DN，∵BG=GF，AB∥CD，∴EG=CG，∴BM=BF=x，EN=EC=（CD﹣DE）=，∴3+=y+，∴x=y，∵（3+x）2=y2+16，∴（3+x）2=x2+16，解得：x=．综上，当BF=2或时，△BFG是以BG为腰的等腰三角形．点评：此题考查了直角梯形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的。
2019-2020学年北京人大附中八年级(下)期中数学试卷
2019-2020学年北京人大附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题：（每题3分，共27分）1．（3分）下列图形中，一定是轴对称图形的是（）A．三角形B．菱形C．梯形D．平行四边形2．（3分）下列式子中不一定是二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）以下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）8，15，17；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（）A．4组B．3组C．2组D．1组4．（3分）下列函数中，自变量取值范围错误的是（）A．y＝（x≠）B．y＝（x≤1）C．y＝x2﹣1（x为任意实数）D．y＝（x≥1）5．（3分）已知点M（3，a）和点N（2，b）是函数y＝﹣2x+1的图象上的两点，则a与b 的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．以上都不对6．（3分）下列说法正确的是（）A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B．一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形是菱形C．对角互补的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形7．（3分）小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张离家的距离s（单位：米）与时间t（单位：分钟）的对应关系如图所示，则文具店与小张家的距离为（）A．600米B．800米C．900米D．1000米8．（3分）已知△ABC的三条高的比是3：4：5，且三条边的长均为整数，则△ABC的边长可能是（）A．10B．12C．14D．169．（3分）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为6，△FCB的周长为14，则FC 的长为（）A．4B．6C．8D．10二、填空题：（每空2分，共24分）10．（2分）函数y＝2x﹣3的图象经过点（1，）．11．（2分）将直线y＝x﹣6向上平移7个单位，得到直线．12．（2分）若+|x+y﹣4|＝0，则÷＝．13．（2分）菱形周长为10cm，一条对角线长为3cm，则其面积为cm2．14．（4分）若直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x+4平行，且过点（1，﹣2），则k＝，b ＝．15．（2分）已知：如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝6，AC＝6，AD是BC边上的高，则BC的长为．16．（2分）矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝2∠BOC．若AC＝18cm，则AD＝cm．17．（2分）以正方形ABCD的边AD为一边，在正方形外部作等边△ADE，则∠AEB的度数为．18．（2分）在平行四边形ABCD中，M是BC中点，AM＝1.5，BD＝3.6，AD＝2.6，则平行四边形ABCD面积为．19．（2分）平面直角坐标系xOy中，菱形AOCD满足点A在y＝x图象上，点C在x轴上，点D在函数y＝kx（k≠0）图象上，则k的取值为．20．（2分）如图，正方形ABCD边长为4，点E在边DC上运动（不含端点），以AE为边作等腰直角三角形AEF，连接DF．下面有四个说法：①当DE＝1时，AF＝；②当DE＝2时，点B，D，F共线；③当DE＝时，三角形ADF与三角形EDF面积相等；④当DE＝时，AD是∠EAF的角平分线．所有正确说法的序号是．三、解答题：（每题6分，共36分）21．（6分）计算：（3﹣）2+．22．（6分）已知y﹣1与x成正比例，且x＝2时，y＝7．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝﹣时，求y的值．23．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝，AD＝5，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．24．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝1，CE＝2，求四边形ACEB的周长．25．（6分）如图，正方形ABCD中，AB＝9，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）证明：△ABG≌△AFG；（2）判断线段BG与GC的数量关系，并证明．26．（6分）已知一次函数y＝kx+b，当x＝1时y的值为﹣1，当x＝﹣1时y的值为﹣5．（1）在所给坐标系中画出一次函数y＝kx+b的图象；（2）求k，b的值；（3）将一次函数y＝kx+b的图象向上平移2个单位长度，求所得到新的函数图象与x轴、y轴的交点坐标．四、解答题：（27题6分，28题7分，共13分）27．（6分）如图所示，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为边BC上动点（不含端点），点B关于直线AE的对称点为点F，点G为DF中点，连接AG．（1）依题意，补全图形；（2）点E运动过程中，是否可能EF∥AG？若可能，求BE长；若不可能，请说明理由；（3）连接CG，点E运动过程中，直接写出CG的最小值．28．（7分）对于实数x，[x]表示不小于x的最小整数，例如：[1]＝1，[2.5]＝3，点P（x，y）为第一象限中的点，将点P分别向上，向下平移[y]个单位得到点P1，P3；将点P分别向左，向右平移[x]个单位得到点P2，P4，我们称菱形P1P2P3P4叫做点P的“伴随菱形”．例如：点（3，）的伴随菱形是以点（3，），（0，），（3，），（6，）构成的菱形．（1）在图中画出点A（，1）的伴随菱形，该菱形的面积为；（2）若点B（t，1）的伴随菱形与点A（，1）的伴随菱形恰有3个公共点，求满足条件的t的最小值；（3）若点C（，2）与点D（m，n）所对应的伴随菱形面积相同，且点D（m，n）在函数y＝kx的图象上，直接写出k的取值范围．2019-2020学年北京人大附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共27分）1．【解答】解：A、三角形不一定是轴对称图形，故此选项不合题意；B、菱形一定是轴对称图形，故此选项符合题意；C、梯形不一定是轴对称图形，故此选项不合题意；D、平行四边形不一定是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．【解答】解：A、是二次根式，故此选项不合题意；B、是二次根式，故此选项不合题意；C、是二次根式，故此选项不合题意；D、当x＜﹣1时，不是二次根式，故此选项符合题意；故选：D．3．【解答】解：（1）52+122＝132，能构成直角三角形；（2）82+152＝172，能构成直角三角形；（3）72+242＝252，能构成直角三角形；（4）62+82＝102，能构成直角三角形．故选：A．4．【解答】解：y＝的自变量的取值范围为x≠；y＝的自变量的取值范围为x≤1；y＝x2﹣1的自变量的取值范围为x为任意实数；y＝的自变量的取值范围为x＞1．故选：D．5．【解答】解：当x＝3时，a＝﹣2×3+1＝﹣5；当x＝2时，b＝﹣2×2+1＝﹣3．∵﹣5＜﹣3，∴a＜b．故选：C．6．【解答】解：∵有一组对角是直角的四边形不一定是矩形，∴选项A不正确；∵两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项B不正确；∵对角互补的平行四边形一定是矩形，∴选项C正确；∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项D错误；故选：C．7．【解答】解：小张骑车的速度＝1500÷（6﹣1）＝300米/分钟．文具店与小张家的距离＝1500﹣300×2＝900米．故选：C．8．【解答】解：设三边为X，Y，Z三条对应的高为a1，a2，a3，可得：S＝Xa1＝Ya2＝Za3，△ABC已知a1：a2：a3＝3：4：5，可得X：Y：Z＝20：15：12，∵三边均为整数．又∵4个答案分别是10，12，14，16．∴△ABC的边长可能是12．故选：B．9．【解答】解：由折叠可得，EF＝AE，BF＝AB．∵△FDE的周长为6，△FCB的周长为14，∴DF+AD＝6，FC+CB+AB＝14，∴平行四边形ABCD的周长＝6+14＝20，∴AB+BC＝BF+BC＝10，又∵△FCB的周长＝FC+CB+AB＝14，∴CF＝14﹣10＝4，故选：A．二、填空题：（每空2分，共24分）10．【解答】解：当x＝1时，y＝2×1﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．11．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝x﹣6向上平移7个单位所得函数的解析式为y＝x﹣6+7，即y＝x+1．故答案为：y＝x+1．12．【解答】解：∵+|x+y﹣4|＝0，∴，解得：，则原式＝÷＝．故答案为：．13．【解答】解：因为菱形的周长为10cm，所以其边长2.5cm，根据勾股定理可求得其另一对角线为cm，从而得到菱形的面积＝4×3×＝6（cm2）．故答案为：6．14．【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x+4平行，∴k＝﹣3，∵直线y＝﹣3x+b过点（1，﹣2），∴1×（﹣3）+b＝﹣2，∴b＝1．故答案为﹣3，1．15．【解答】解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠C＝60°，AC＝6，∴CD＝AC cos∠C＝6cos60°＝6×＝3，AD＝AC sin∠C＝6sin60°＝6×＝3，∵AB＝6，∴BD＝＝＝9，∴BC＝CD+BD＝3+9＝12，故答案为：12．16．【解答】解：∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠AOB＝120°，∠BOC＝60°，∠CAB＝30°．∵AC＝18cm，∴BC＝9cm，矩形ABCD中AD＝BC＝9cm．故答案为9．17．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，∴AB＝AD＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝150°，∴∠AEB＝15°，故答案为：15°．18．【解答】解：过D作DE∥AM交BC的延长线于E．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵DE∥AM，∴四边形AMED是平行四边形，∴AD＝ME，AM＝DE，∵M是BC的中点，AD＝2.6，∴MB＝BC＝1.3，∴BE＝BM+ME＝3.9，∵四边形AMED是平行四边形，∴AM＝DE＝1.5，∵BD＝3.6，∴3.62+1.52＝3.92，即BD2+DE2＝BE2，∴△DBE为直角三角形．∴BE边上的高为，∴平行四边形ABCD的面积为2.6×＝3.6，故答案为：3.6．19．【解答】解：如图，∵菱形AOCD满足点A在y＝x图象上，∴设A（x，x），∴OA＝＝|x|，∴OC＝OA，∴C（x，0），∴D（x+x，x），∵点D在函数y＝kx（k≠0）图象上，∴x＝k（x+x），∴k＝2﹣，故答案为2﹣．20．【解答】解：当DE＝1时，则AE＝＝＝，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝AE＝，故①正确；当DE＝2时，如图1，过点F作DH⊥CD，交CD的延长线于H，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AED+∠FEH＝90°，∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠FEH，在△AED和△EFH中，，∴△AED≌△EFH（AAS），∴AD＝HE＝4，DE＝HF＝2，∴DH＝4﹣2＝2＝HF，∴∠HDF＝45°，∵∠HDF+∠ADH+∠ADB＝180°，∴点B，点D，点F三点共线，故②正确；当DE＝时，由②可得，△AED≌△EFH，∴DE＝HF＝，AD＝HE＝4，∴DH＝，∴S＝×AD×HD＝×4×＝3，S△EDF＝×DE×HF＝××＝，△ADF∴S≠S△EDF，故③错误；△ADF当DE＝时，如图2，在AD上截取DN＝DE，连接NE，∵∠ADC＝90°，DN＝DE＝，∴∠DNE＝∠DEN＝45°，NE＝，∵AN＝AD﹣DN＝≠NE，∴∠NAE≠22.5°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝45°，∴∠FAD≠∠EAD，∴AD不是∠EAF的平分线，故④错误；故答案为：①②．三、解答题：（每题6分，共36分）21．【解答】解：（3﹣）2+＝18﹣6+6+4＝18﹣12+6+4＝24﹣8．22．【解答】解：（1）根据题意设：y﹣1＝kx，把x＝2，y＝7代入得：6＝2k，解得：k＝3，则y﹣1＝3x，即y＝3x+1；（2）把x＝﹣代入得：y＝3×（﹣）+1＝﹣1+1＝0．23．【解答】解：连接AC，∵AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，∴AC＝＝＝．∵CD＝，AD＝5，（）2+（）2＝52，即AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S＝S△ABC+S△ACD四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD＝×1×3+××＝+．24．【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形．∴DE＝AC＝1．在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝＝＝．∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝2．在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB＝＝＝，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC＝2．∴四边形ACEB的周长＝AC+CE+EB+BA＝1+2+2+＝5+．25．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC＝9，∠B＝D＝90°，∵CD＝3DE，∴DE＝3，∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，∴DE＝EF＝3，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，∴AF＝AB，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；（2）相等．证明：∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴BG＝FG，∠AGB＝∠AGF．设BG＝x，则CG＝BC﹣BG＝9﹣x，GE＝GF+EF＝BG+DE＝x+3．在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2＝EG2．∵CG＝9﹣x，CE＝CD＝DE＝9﹣3＝6，EG＝x+3，∴（9﹣x）2+62＝（x+3）2，解得：x＝4.5．∴BG＝GF＝4.5，∴GC＝BC﹣BG＝9﹣4.5＝4.5，∴BG＝GC．26．【解答】解：（1）函数图象如图所示，（2）将x＝1，y＝﹣1；x＝﹣1，y＝﹣5分别代入一次函数解析式得：，解得．（3）由（2）可得，一次函数的关系式为y＝2x﹣3．一次函数y＝2x﹣3的图象向上平移2个单位长度，可得y＝2x﹣1，令y＝0，则x＝；令x＝0，则y＝﹣1，∴与x轴，y轴的交点坐标分别为（，0）和（0，﹣1）．四、解答题：（27题6分，28题7分，共13分）27．【解答】解：（1）图形如图1所示：（2）如图1中，结论：不可能．理由：连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠BDC＝30°，∵点B关于直线AE的对称点为点F，∴AF＝AB＝AD，∠AFE＝∠ABE＝60°，∵点G为DF中点，∴FG＝DG，∴AG⊥DF，若EF∥AG，则EF⊥DF，∴∠EFG＝90°，∴∠AFG＝30°，∵∠AFD＝∠ADF，∴∠ADF＝30°，∴∠ADB＝∠ADF，此时点F与B重合，不符合题意，∴不可能存在EF∥AG．（3）如图2中，取AD的中点T，连接GT，CG，CT，AC．∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠ADC＝60°，DA＝DC，∴△ACD是等边三角形，∵AT＝TD，∴CT⊥AD，∴CT＝CD•sin60°＝，∵AG⊥DF，∴∠AGD＝90°，∵AT＝TD，∴TG＝AD＝1，∵CG≥CT﹣GT，∴CG≥﹣1，∴CG的最小值为﹣1．28．【解答】解：（1）如图1中，菱形EFGH是点A（，1）的伴随菱形，面积＝×4×2＝4．故答案为4．（2）如图2中，当t＝时，点B（，1）的伴随菱形与点A的伴随菱形有3个公共点．∴t的最小值为．（3）∵点C（，2）的伴随菱形面积＝×4×4＝8，∴点D（m，n）的伴随菱形面积＝8，∴×2[m]•2[n]＝8，∴[m]•[n]＝4，∴满足条件的点D（m，n）在第一象限或第三象限，∵点D在y＝kx上，∴k＞0．。
北京市海淀区人大附中航天城学校2022_2023学年八年级下学期期中数学试题
北京市海淀区人大附中航天城学校2022~2023学年八年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________的长为_____．15．在平面直角坐标系xOy 中，以点O (0,0)，()()1,13,0A B ，与C 为顶点，构造平行四边形，点C 的坐标为_______________________．16．如图，正方形111OA B C 的边长为1，以对角线1OB 为边作第二个正方形122OB B C ，再以对角线2OB 为边作第三个正方形233OB B C ，…，则第二个正方形122OB B C 的面积为_____________，第n 个正方形1n n n OB B C -的面积为_____________（用含n 的代数式表示）．已知：如图，ABC V 中，D 、E 分别是AB 、AC的中点．求证：DE BC ∥，且12DE BC =．方法一证明：如图，延长DE 至点F ，使EF DE =，连接CF ． 方法二 证明：如图，过点E 作EF AB ∥交BC 于F ．①作射线BA ；②以点A 为圆心，CD 长为半径画弧，交BA 的延长线于点E ； ③连接EC 交AD 于点M ．所以点M 就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC ，ED ．Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AE CD ∴．AE =Q ，∴四边形EACD 是平行四边形( )（填推理的依据）．(AM MD ∴= )（填推理的依据）．∴点M 为所求作的边AD 的中点．23．如图，在港口A 的正东3海里有一艘搜救艇B ，正南4海里有一艘搜救艇D ，东偏南方向有一艘轮船C ．(1)若B 与C 的距离为12海里，D 与C 的距离为13海里，求点D 到直线BC 的距离；(2)当轮船C 航行到点D 的正东方向时，恰好在点B 的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？24．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE BD P ，BE AC ∥．。
北京海淀人大附2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试题
C． D．
6．直线y＝﹣x+1不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．分别以每一组的三个数为一个三角形的边长：（ ） ， ， ；（ ） ， ， ；（ ） ， ， ；（ ） ， ， ，期中能构成直角三角形的有（ ）．
A． 组B． 组C． 组D． 组
8．下列说法中，错误的是（ ）．
A． B． C． D．
10．如图所示：边长分别为 和 的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为 ，大正方形内除去小正方形部分的面积为 （阴影部分），那么 与 的大致图象应为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如果点 在直线 上，则 的值是__________．
15．平面直角坐标系中，点 坐标为 ，则 点到原点 的距离是__________．
16．当x= -1时，代数式x2+2x+2的值是__________．
17．若将直线 的图象向上平移 个单位后经过点 ，则平移后直线的解析式__________．
18．如图，四边形 是正方形， 是 的中点， ，点 是 上一动点，则 的最小值是__________．：__________．
勾股定理的逆定理所给出的判定一个三角形是直角三角形的方法，和学过的一些其它几何图形的判定方法不同，它通过计算来判断．实际上计算在几何中也是很重要的，从数学方法这个意义上讲，我们学习勾股定理的逆定理，更重要的是拓展思维，进一步体会数学中的各种方法．
24．如图，四边形 是矩形，点 在线段 的延长线上，连接 交 于点 ， ，点 是 的中点．
（ ）求证： ．
（ ）若 ， ， ，点 是 的中点，求 的长．
初中数学：2022-2023学年北京市朝阳区人大附中朝阳学校八年级(下)期中数学试卷(含参考答案)
2022-2023学年北京市朝阳区人大附中朝阳学校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）。
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．（3分）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4B．，3，5C．6，8，10D．5，12，12 3．（3分）下列曲线中，表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，在▱ABCD中，AC＝6，BD＝12，AB＝5，则△OCD的周长为（）A．23B．14C．17D．95．（3分）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）A．正方形的面积S随边长x的变化而变化B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化D．水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：min）的变化而变化6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（）A．4B．3C．2D．不确定7．（3分）已知y是x的一次函数，下表列出了部分y与x的对应值：则a的值为（）A．﹣2B．1C．2D．38．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为，点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行．直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点E，F．将菱形ABCD沿x轴向左平移m个单位，当点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），m的值可能是（）A．4B．5C．6D．7二、填空题9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝110°，则∠D＝°．11．（3分）如图是正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，写出一个符合题意的k的值：．12．（3分）根据特殊四边形的定义，在如图的括号内填写相应的内容：13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD ＝°．14．（3分）已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对角线相交于点P（2，0），且正方形顶点D的坐标为（3，1），那么正方形顶点B的坐标为．15．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是正方形外部一点，以OE为边作正方形OEFG，OE与AB相交于点M，OG与BC相交于点N，若AB＝6，OE＝5，则四边形OMBN的面积为．16．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△P AB的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则下列结论：①a＝4；②b＝20；③当x＝9时，点P运动到点D处；④当y＝9时，点P在线段BC或DA上，其中所有正确结论的序号是．三、解答题17．（8分）计算：（）﹣3．18．（8分）已知x＝+2，求代数式x2﹣4x+3的值．19．（8分）阅读下面的材料：如图1，在线段AB上找一点C（AC＞BC），若BC：AC＝AC：AB，则称点C为线段AB 的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O表示数0，点E 表示数2，过点E作EF⊥OE，且，连接OF；以F为圆心，EF为半径作弧，交OF于H；再以O为圆心，OH为半径作弧，交OE于点P，则点P就是线段OE的黄金分割点．根据材料回答下列问题：（1）根据作图，写出图中相等的线段：；（2）求点P在数轴上表示的数，并写出的值．20．（8分）如图，在菱形ABCD中，E为AB边上一点，过点E作EF∥BC，交BD于点M，交CD于点F．求证：CF＝EM．21．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）四边形ABCD的面积为．22．（8分）一条小船沿直线向码头匀速前进，在0min，2min，4min，6min时，测得小船与码头的距离分别为200m，150m，100m，50m．（1）小船平均每分钟行驶m；（2）设小船与码头的距离为y（单位：m），小船行驶时间为x（单位：min），写出y关于x的函数解析式，并求自变量x的取值范围．23．（8分）在平面直角坐标系中，将正比例函数y1＝2x的图象向下平移2个单位得到一次函数y2的图象．（1）直接写出函数y2的解析式，并画出它的图象；（2）已知点A（﹣1，m）在函数y1的图象上，将点A向右平移2个单位得到点B，判断点B是否在函数y2的图象上，并说明理由．24．（8分）观察下列等式，其中反映了某种规律：＝2；＝3；＝4，…（1）按照这种规律在括号里填入相应的数：＝5；（2）请你用含n（n为正整数，且n≥2）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式．25．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，OE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AD＝DE＝4，求OE的长．26．（8分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，点P在三角形的边上沿A→C→B的路径运动，过点P作PD⊥AB于点D，设AD＝x cm，△APD的面积为y cm2（当点P与点B或点A重合时，y的值为0），在点P运动的过程中，y随x 的变化而变化．小东根据学习函数的经验对y与x的变化规律进行了探究，下面是小东的探究过程，请你补充完整并利用所得结论解决问题．（1）根据点P的运动路径可知，自变量x的取值范围是；（2）通过取点，画图，测量，计算，得到了x与y的几组值，如表：请写出表中m，n的值：m＝，n＝；（3）在平面直角坐标系中，描出以表中各对值为坐标的点，连线，画出该函数的图象．（4）结合画出的函数图象，请你描述函数y随x的增大如何变化；（5）当x＝cm时，△APD的面积为．27．（10分）已知四边形ABCD是正方形，点E在边BC上，点F是点A关于直线BC的对称点，连接EF，点G在直线FC上，且EG＝EF，连接EG．（1）根据题意，在图1中补全图形；（2）求∠DCG的度数；（3）用等式表示线段CG与BE的数量关系，并证明．28．（12分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P（点P在M内部或M上），给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M的和谐点．已知点A（﹣4，3），B（﹣4，﹣3），C（4，﹣3），D（4，3）．（1）在点P1（﹣2，1），P2（﹣1，0），P3（3，3）中，矩形ABCD的和谐点是；（2）如果直线y＝上存在矩形ABCD的和谐点P，直接写出点P的横坐标t的取值范围；（3）如果直线y＝上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点（含端点）都是矩形ABCD的和谐点，且EF，直接写出b的取值范围．附：参考答案一、选择题1．B．2．C．3．D．4．B．5．C．6．B．7．B．8．D．二、填空题9．x≥2．10．110．11．﹣1（答案不唯一）．12．平行四边形，一组邻边相等．13．50．14．（1，﹣1）．15．9．16．①③④．三、解答题17．+3．18．2．19．（1）EF＝FH，OH＝OP.（2）点P在数轴上表示的数为﹣1，的值为. 20．证明略.21．（1）证明略.（2）四边形ABCD的面积为.22．（1）小船平均每分钟行驶25m；（2）函数关系式为：y＝200﹣25x（0≤x≤8），23．（1）根据平移可知，y2的解析式为y2＝2x﹣2，图象如下：（2）点B不在函数y2的图象上，证明略。
2020-2021北京市人大附中八年级数学下期中模拟试卷(带答案)
D、1.52+22=6.25=2.52，故是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．
A．∠BCA＝45°B．AC＝BD
C．BD的长度变小D．AC⊥BD
二、填空题
13．菱形ABCD中，边长为10，对角线AC=12．则菱形的面积为__________．
14．如图，直线 与x轴、y轴交于点A，B，则 的面积为___．
15．一次函数y＝(m＋2)x＋3－m，若y随x的增大而增大，函数图象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围是____．
故选： ．
【点睛】
本题考查矩形的性质，翻折变换，直角三角形 角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
2021-2022学年北京人大附中八年级下期中数学试卷
2021-2022学年北京人大附中八年级下期中数学试卷一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（3分）在式子√π−3.14，√a 2+b 2，√a +5，√−3y 2，√m 2+1，√|ab|中，是二次根式的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．（3分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，已知AB ＝15，AD ＝12，AC ＝13，CD ＝5，则BC 的长为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．9 4．（3分）函数y =√1−3x +（x +2）0的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞13 B ．x ＜13 C ．x ＜13且x ≠﹣2 D ．x ≠13 5．（3分）下列各点在直线y ＝2x +6上的是（ ）A ．（﹣5，4）B ．（﹣7，20）C ．（23，223）D ．（−72，1） 6．（3分）下列说法正确的是（ ）A ．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B ．对角互补的平行四边形是矩形C ．一条对角线被另 一条对角线垂直平分的四边形是菱形D ．对角线相等的四边形是矩形7．（3分）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min 内只进水不出水，在随后的8min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （L ）与时间x （min ）之间的关系如图所示，则每分钟的进水量与出水量分别是（ ）A ．5L ，3.75LB ．2.5L ，5LC ．5L ，2.5LD ．3.75L ，5L 8．（3分）△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a b =a+b a+b+c ，则∠A 与∠B 的关系是（ ）A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝2∠BC ．2∠A ＝∠BD ．∠A +∠B ＞90°9．（3分）如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD 'E 处，AD '与CE 交于点F ，若∠B ＝54°，∠DAE ＝20°，则∠FED '的大小为（ ）A ．32°B ．36°C ．40°D ．52°二．填空题（共11小题，满分24分）10．（2分）已知M （﹣3，y 1），N （2，y 2）是直线y ＝﹣3x +1上的两个点，则y 1，y 2的大小关系是y 1 y 2．（填“＞”，“＝”或“＜”）11．（2分）将一次函数y ＝﹣2x +4的图象绕原点O 逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 ．12．（2分）已知a ，b 满足√4a −5b +√a −b −1=0，则√ab ÷√b 3a = ． 13．（2分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠B ＝60°，点E 在边AD 上，且AE ＝2．若直线l 经过点E ，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F ，则线段EF 的长为 ．14．（4分）一条直线过点（﹣2，5），且平行于直线y ＝3x ，则此函数的解析式为 ．15．（2分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，过点B作BQ∥AC，在BQ 上取一点D，连接CD、AD，若AC＝CD，BD=√2，则AD＝．16．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝1，∠AOD＝120°，则BD的长是．17．（2分）已知四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∠EAD的度数为．18．（2分）如图，平行四边形ABCD中，点M是边BC的中点，线段AM、BD互相垂直，AM＝3，BD＝6，则该平行四边形的面积为．19．（2分）如图，已知A（4，0），B（2，4），若直线y＝kx+2与线段AB无公共点，则k 的取值范围为．20．（2分）如图，已知边长为4的菱形ABCD中，AC＝BC，E，F分别为AB，AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD与点M，N，给出下列结论：①∠AFC＝∠AGE；②EF＝BE+DF；③△ECF面积的最小值为3√3，④若AF＝2，则BM＝MN＝DN；⑤若AF＝1，则EF＝3FG；其中所有正确结论的序号是．三．解答题（共6小题，满分36分，每小题6分）21．（6分）计算：−√24÷√2−√13×√12+√48．22．（6分）已知y﹣3与2x﹣1成正比例，且当x＝1时，y＝6．（1）求y与x之间的函数解析式．（2）当x＝2时，求y的值．（3）若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数的图象上，且y1＞y2，试判断x1，x2的大小关系．23．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，AD=√3，BD＝2，∠ABC+∠ADC＝180°，CD=√2．（1）判断△ABD的形状，并说明理由；（2）求BC的长．24．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P．（1）求PD的长度；（2）连结PC，求PC的长度．25．（6分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE 对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF．（1）求证：△DAG≌△DFG；（2）求BG的长；（3）求S△BEF．26．（6分）在如图所示的平面直角坐标系中，函数y1＝2x+4的图象于x、y轴交于A、B两点，（1）画出函数y1＝2x+4的图象；并求出△AOB的面积；（2）函数y1＝2x+4的图象向上平移1个单位长度得到y2．请直接写出：当y2＜0时，x 的取值范围．四．解答题（共2小题，满分13分）27．（6分）如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG ＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．28．（7分）如图1，直线y=43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A为顶点，以AB为腰在第二象限内作等腰直角△ABC．（1）求点C的坐标；（2）如图2，若M为x轴上的一个动点，N为直线AB上的一个动点，以A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的M点、N点坐标；（3）如图3，P为y轴负半轴上的一个动点，当P点沿y轴负方向向下运动时，以P为顶点，以AP为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求证：OP﹣DE为定值．。
人大附初二期中数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √-4D. √02. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，则b的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 103. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=x²B. y=2xC. y=2/xD. y=x+14. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于y轴的对称点坐标是（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（2，3）D.（-2，3）5. 若等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，则该三角形的周长为（）A. 26cmB. 24cmC. 22cmD. 28cm6. 下列各图中，面积最大的图形是（）A. 正方形B. 长方形C. 等腰三角形D. 梯形7. 若x²-5x+6=0，则x²-3x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 在一次函数y=kx+b（k≠0）中，若k>0，b<0，则该函数图象（）A. 在一、二、四象限B. 在一、二、三象限C. 在一、三、四象限D. 在一、二、三、四象限9. 若∠A=45°，∠B=90°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°10. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √2B. √4C. √9D. √-1二、填空题（每题5分，共50分）11. 若（x-2）²=0，则x=______。
12. 已知等差数列的首项为3，公差为2，则第10项的值为______。
13. 若y=2x+1，则x=______时，y=7。
14. 在直角三角形中，若∠C=90°，c=10cm，a=6cm，则b=______cm。
15. 若∠A=30°，∠B=60°，则∠C=______°。
16. 若a=√3，b=√2，则a²+b²=______。
人大附中分校 2020-2021 学年初二年级第二学期期中数学模拟试题
人大附中分校2020-2021学年初二年级第二学期期中数学模拟试题说明：本练习共三道大题，28道小题，共8页，满分100分，时间90分钟。
请在答题纸相应的位置作答！．．．．．．．．．．．．．一、选择题：（每题3分，共30分）1．下列各式中，运算正确的是（）A．752=+B．3632=C．3-3-2=）（D．132-33=2．以下列各组数为边长的三角形中，不是直角三角形的是（）A．6，8，10B．3，4，5C．8，12，15D．5，12，133．平行四边形两邻边分别为24和16，则平行四边形周长为（）A．20B．40C．60D．804．下列二次根式是最简二次根式的是（）A.12 B.21 C.2.1 D.205.若关于x 的方程03=-b x 的解为3=x ，则直线b x y -=3一定经过点()A.（3,0）B.（0,3）C.（9,0）D.（6,0）6．在△ABC 中，AB＝2，BC＝5，AC＝3，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．∠A＝∠B7．若实数a，b 满足ab＜0，则一次函数y＝ax＋b 的图象可能是()8.如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E．若BF＝6，AB＝5，则AE 长为（）A．4B．6C．8D．10第8题图第10题图9．已知Rt△ABC 中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC 的面积是（）A．13cm 2B．26cm 2C．48cm 2D．52cm 210．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2，点D 在BC 上，∠ADC＝2∠B，AD=5，则BC 的长为（）A．3-1B．3+1C．5+1D．-51学习是一件很有意思的事二．填空题：（每空2分，共20分）11.一次函数)0(2≠+=k kx y 的图像与y 轴交点坐标是.12.直角三角形两边长是12和16，则斜边上的中线长为.13.锐角三角形ABC 中，PB⊥AB 于B，PC⊥AC 于C,BC=3.5cm,动点D、E 分别在直线AB、AC 上，则△PDE 的周长的最小值是cm.14.已知23x =-，则代数式(223x x ++的值为．15.△ABC 中，15AB =，13AC =，高12AD =，则△ABC 的周长为___________16.若xx x x --=--432432成立，则x 的取值范围是．17．若32-2=+-+y x x 成立，则y x ＝18．如图，在四边形ABCD 中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝60°，若AD＝a，BC＝b，则AB 的长为（用含a，b 的式子表示）．第18题图第19题图第20题图19.如图所示，以Rt△ABC 的斜边BC 为边，在△ABC 的同侧作正方形BCEF，BE，CF 交于点O，连接AO．若AB＝2，AO＝22，则BC＝．20.如图，在平行四边形ABCD 中，∠DBC＝45°，DE⊥BC 于E，BF⊥CD 于F，DE，BF 相交于H，BF 与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BD=2BE；②∠A＝∠BHE；③△BEH≌△DEC；④AB＝BH．其中正确是：三．解答题：21.（8分）计算：(1))227(328--+（2）5232232⨯÷22.（5分）如图，已知□ABCD 中，AE 平分∠BAD，CF 平分∠BCD，分别交BC、AD 于E、F.求证：AF=EC F E DA C23.（5分）在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1cm/秒的速度移动，设运动的时间为t 秒.当△ABP 为直角三角形时，求t 的值．24.（6分）阅读材料题：在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，可以作如下变形：kx＝y－b，x＝1k y－b k(k≠0)，再把x＝1k y－b k 中的x，y 互换，得到y＝1k x－b k，此时我们就把函数y＝1k x－b k(k≠0)叫做函数y＝kx＋b 的反函数．同时，如果两个函数解析式相同，自变量的取值范围也相同，那么称这两个函数为同一函数．(1)求函数y＝12x＋1与它的反函数的交点坐标；(2)若函数y＝kx＋2与它的反函数是同一函数，求k 的值．25（6分）在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一点，连接AP，点E，F 是AP 上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．26.（6分）某新建成学校举行绿化校园活动，初二年级计划购买A，B 两种花木共100棵绿化操场，其中A花木每棵50元，B 花木每棵100元．(1)若购进A，B 两种花木刚好用去8000元，则购买了A，B 两种花木各多少棵？(2)如果购买B 花木的数量不少于A 花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．27.（7分）点E 在边长为2的正方形ABCD 的边BC 上，以AE 为边作正方形AEFG,使点B 在正方形AEFG 的内部，连接CG 交AB 于点H.(1)补全图形；（2）若点E 是BC 中点，则BF 的长为；（3）点E 在BC 上运动，不与B、C 重合，猜想线段EC 与BH 的数量关系，并证明.28.（7分）定义：平面直角坐标系内的两点A 和B，若存在与B 不重合的点C 满足AB=AC，且∠BAC ≤90°，则称点C 为AB 的“亲密点”，特别地，当∠BAC=90°时，称点C 为AB 的“正亲密点”.（1）若A(0,1)、B(0,3).则C 1（-1,1+3）、C 2（3,0）、C 3（2，1）中AB 的“亲密点”的是.（2）若A(1,-2)、B（2,1），试求AB 的“正亲密点”的坐标.（3）若一次函数22+=x y 的图像与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，点C 是位于x 轴上方的AB 的“亲密点”，直线AC 的解析式为b kx y +=，直接写出k 的取值范围..一饭千金帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。
2023年北京重点校初二(下)期中数学试卷汇编：二次根式
M = (x − 3)2 + 1 + x2 + y2 + 4 + ( y − 6)2 ，
（1）当 x = y = 0 时， M 的值为 ． （2） M 的最小值为 ． 5．（2023 春·北京东城·八年级汇文中学校考期中）计算 ( 2023)2 的结果为 ．
6．（2023 春·北京东城·八年级汇文中学校考期中）若 x −1 有意义，请写出符合条件的一个 x 的
5x − 3 = 1解：两边平方得： 5x − 3 = 1． 解得： x = 4 ．
5 检验：将 x = 4 代入原方程，成立．
5 ∴原方程的解为 x = 4 ．
5 通过以上材料，完成下列问题： (1)解关于 x 的方程 x − 2 = 1； (2)解关于 x 的方程 x2 + 4x − 3 = x −1．
方程的解法，针对关于 x 的根式方程 5x − 3 = 1，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料
二）．
材料一：
小健同学：回忆分式方程解法，首先要去分母，将分式方程转化为整式方程，二元方程也是，首先要消 元，将二元方程转化为一元方程； 小康同学：对，就是要往解 x = a 的形式转化，现在关键就是要把根号化去； 小聪同学：我有办法，方程左右两边同时平方就可以化去根号； 小明同学：对，平方可以化去根号，但可能不属于同解变形，得注意验根 …… 材料二：
值范围是
．
15．（2023 春·北京朝阳·八年级北京八十中校考期中）当 x 时，二次根式 x −1 有意义．
16．（2023 春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考期中）若二次根式 x − 2 有意义，则 x 的取值范
围是 ．
17．（2023 春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）若代数式 x −1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围
北京市中国人民大学附属中学2020-2021学年八年级下学期期中练习数学试卷(word可编辑)
北京市中国人民大学附属中学2020-2021学年八年级下学期期中练习数学试卷2021．04制卷人：左丽华审卷人：孙芳考生须知：1．本试卷共6页，三道大题，27道小题，满分100分，考试时间90分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡指定区域，在试卷上作答或非指定区域作答无效．3．选择题和画图题用2B铅笔作答，其余题目用黑色签字笔作答．一．选择题（每小题3分，共30分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．已知直线m∥n，如图．下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可D．AE和CF均可2．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD=3，AB=5．则EC 的长为A．l B．2 C．3 D．53．下列各式中，运算正确的是A．2+√3=2√3B．√8−√3=√5C．√3·√2=√6D．√27÷√3=9 4．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是A．1，1，2 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，√3，2 5．将直线y=-2x向下平移3个单位得到的直线的表达式为A．y=-2x+3 B．y=-2x-3 C．y=2x+3 D．y=2x-36．已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），点C 是线段AB的中点．则线段OC的长为B．3 C．4 D．5 A．527．如图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是A．1 B．√2C．2 D．2√28．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，这样做的道理是A．两组对边分别相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形9．下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是A．长度为2√2的线段B．边长为2的等边三角形C．斜边为2的直角三角形D．面积为4的菱形10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数．下图描述了A、B 两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是A．消耗1升汽油，A车最多可行驶5千米B．B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油C．对于A车而言，行驶速度越快越省油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市驾驶A车比驾驶B车更省油二．填空题（每空2分，共20分）11．若√x−2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．12．己知√x+1+|y−3|=0 ，则xy= ．13．函数y=kx(k≠0)的图象上有两点P1（−1，y1），P2（1，y2），若y1＜y2，写出一个符合题意的k的值：．14．如图，矩形ABCD中，DE平分∠BDC，EF⊥BD于点F．若∠ABD=60°，AB=√3，则EF的长为．15．如图，函数y =2x +b 与函数y =kx -1的图象交于点P ，那么关于x 的不等式kx -1>2 x +b 的解集是 ．16．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 都在边长为1的正方形网格的格点上，CD ⊥AB 于点D ，则AB 的长为 ，CD 的长为 ．17．小明使用图形计算器探究函数y =ax（x−b ）2的图象，他输入了一组a ，b 的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a 0，b 0．(填“＞”，“=”或“<”)．18．正方形ABCD 的边长为4，点M ，N 在对角线AC 上（可与点A ，C 重合），MN =2，点P ，Q 在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形PMQN 是平行四边形；②存在无数个四边形PMQN 是矩形；③存在无数个四边形PMQN 是菱形；④至少存在一个四边形PMQN 是正方形．所有正确结论的序号是 ．三．解答题（本大题共50分，第19题6分，第20-24题，每题5分，第25-26题，每小题6分，第27题7分）19．计算：（1）√8+√18−√2 （2）（2√3+√5）（2√3−√5）20．已知一次函数的图象经过点(-2，-2)，(1，4)．（1）求该一次函数的解析式；（2）在坐标系中画出该一次函数的图象，观察图象，直接写出当x ≥0时，y 的取值范围．21．学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．己知：△ABC．求作：BC边上的中线AD．作法：如图，（1）分别以点B，C为圆心，AC、AB长为半径作弧，两弧相交于P点；（2）作直线AP，AP与BC交于D点．所以线段AD就是所求作的中线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PB，PC．∵PC=AB，①．∴四边形ABPC是平行四边形（②）（填推理的依据）．∴DB=DC（③）（填推理的依据）．∴AD是BC边上的中线．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=2x与直线l2：y=−x+3相交于点A，直线l2与x轴交于点B．（1）求△OAB的面积；（2）过动点P(0，n)作垂直于y轴的直线与l1，l2的交点分别为C（x1，y1）， D（x2，y2）当|x1−x2|≥3时，直接写出n的取值范围．23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D，E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF=ED，连接BE，BF，CF，AD．（1）求证：四边形BFCE是菱形；（2）若BC=4，EF=2，求AD的长．24．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，收费12元；超过1千克，超过的部分按单价每千克2元收费．乙公司表示：快递物品不超过1千克的，收费10元；超过1千克，超过的部分按单价每千克4元收费．例如：小明要快递1.4千克的物品，选甲公司需付费12.8元，选乙公司需付费11.6元．设小明快递物品x千克．（1）请分别直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；（2）如果只考虑价格，不考虑其它因素，小明选择哪家快递公司更省钱？25．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-3，1），B（-1，1），C(m，3)，以点A，B，C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为D1，D2，D3，如图所示．（1）若m=-1，则点D1，D2，D3的坐标分别是（），（），（）；（2）若△D1D2D3是以D1D2为底的等腰三角形，①直接写出m的值；x+b与△D1D2D3有公共点，求b的取值范围．②若直线y=12（3）若直线y=x与△D1D2D3有公共点，求m的取值范围．26．已知正方形ABCD，点E，F分别在射线BC，射线CD上，BE=CF，AE与BF交于点H．（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，求证：AE=BF，且AE⊥BF．（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，将线段BE沿BF平移至FG，连接AG．①依题意将图2补全；②用等式表示线段AG，FG和AD之间的数最关系，并证明．27．在平面直角坐标系xOy中，对于图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M和N的“极大距离”，记为d（M，N）．已知：正方形ABCD，其中A（-1，l），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）．（1）已知点P(0，t)，①若t=3，则d（点P，正方形ABCD）= ；②若d（点P，正方形ABCD）=3，则t= ．（2）已知点E（m，3），F（m≠2，3），若5<d（线段EF，正方形ABCD）<2√13，求m 的取值范围．（3）一次函数y=kx+3的图象与x轴交于点G，与y轴交于点H，求d（线段GH，正方形ABCD）的最小值，并直接写出此时k的取值范围．。
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人大附中2014—2015学年度第二学期期中
一、选择题：（本题共30分，每小题3分）
1、式子3x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
.3A x > .3B x ≥ .3C x < .3D x ≤
2、一元二次方程25470x x -+=的二次项系数是（ ）
.5A .1B .4C - .7D
3、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
.2,3,3A .2,3,4B .2,3,5C .2,3,
5D
4如图，在矩形ABCD 中，70BAC ∠=，则ACB ∠的度数（ ）
.90
A .20
B .70
C .60
D
5、一次函数1y x =-的图像经过的象限是（ ）
.A 第一、二、三象限 .B 第一、二、四象限 .C 第二、三、四象限 .D 第一、三、四象限
6、如图ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，若6AD =，则OE 的长为（ ）
.6A .5B .4C .3D
7、正比例函数2y x =的图像上有两个点11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中120x x <<，则下列不等式关系成立的是（ ）
12.0A y y << 21.0B y y << 12.0C y y << 21.0D y y <<
8、如图，若菱形ABCD 的周长是20，6BD =，对角线AC 、BD 交于点O ，则菱形ABCD 的面积是（ ）
.48A .24B .12C .6D
9、用配方法解方程245x x -=，下列配方正确的是（ ）
2.(2)9A x -= 2.(2)1B x -= 2.(2)9C x += 2.(2)1D x +=
10、如图1，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 是边AB 的中点，一动点P 从点B 出发，沿着B —C —D 在矩形的边上作匀速运动，点M 为图1中某一定点，设点P 的运动的路程为x ，△BPM 的面积为y ，表示y 与x 的函数关系的图像大致如图2所示，则点M 的位置可能是图1中的（ ） 第4题
D
C
B
A
第6题
D C
B
A
E O
第8题
D
C
B
A
O
.A A 点 .B C 点 .C D 点 .D E 点
y
x
3
1
1E
D
C
B
A
O
二、填空题（本题共20分，每空2分）
11、比较大小，32
19
12、如图，在ABC △中，90ACB ∠=，6AC =，8BC =，D 是AB 中点，则CD = 。
13、若一次函数的图像过点（0，3），且函数y 随自变量x 的增大而减小，请写出一个符合要求的一次函数解释式： 。
14、若实数m 、n 满足130m n ++-=，则m n +的值为 。
15、若关于x 的方程2
(1)2x m -=-有一个实数根式2，则m 的值
是 。
16、如图，在
ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足，若120A ∠=，2AD =，
则CE = 。
17、将一次函数21y x =-的图像沿y 轴向上平移6个单位，则平移后的图像的解析式是 。
18、如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B
为圆心，大于1
2
AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D 则直线CD 即为所求，根据他的作图方法可知四边形ABCD 一定是 。
19、在平面直角坐标系xOy 中，把点 1(1,1)A --沿y 轴向上平移1个单位得到
点1B ，再把1B 沿x 轴向右平移2个单位得到2A ；再把点2A 沿y 轴向上平移1个单位得到点2B ，再把2B 沿x 轴向右平移2个单位得到3A ；……，请继续操作探究：3A 的坐标是 ，2015A 的坐标是 。
第12题
A
B
C
D
第16题
E A B
C D
第18题
A B
C
D
三、解答题（本题共25分，每小题5分）
20、计算：（1）82212+- （2） 1483273
÷-⨯
21、解方程：（1）2230x x --= （2）231x x x +=-
22、如图，在
ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AE CF =。
求证：DE BF =
A
B
C
D
E F
四、解答题（本题共15分，每题5分）
23、若m 是一元二次方程2320x x +-=的一个跟，求
(2)(2)2
m m m
+-+的值。
24、某超市进了一批成本为8元/个的文具盒，调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y （个）与它的定价x （元/个）的关系如图所示：
（1）求y 与x 之间的函数关系式（不必写出x 的取值范围）；
（2）当这种文具盒的定价为12元时，销售量是 个，利润是 元。
（直接写出答案）
销售量 y （个）
定价 x （元/个）
1410
200160120
25、如图，在平面直角坐标系xOy 中，(4,0)A ，OA OC =，60AOC ∠=，且CB ∥OA ，OB 平分
AOC ∠，点P 是四边形OABC 的内部一点，且点P 到四边形OABC 四条边的距离相等。
（1）直接写出点P 的坐标是 。
（2）若一次函数y x b =+的图像经过点P ，求b 得值；
（3）若一次函数y x m =+的图像与四边形OABC 有两个公共点时，直接写出m 的取值范围 。
y
x
C
B
A
O
五、解答题（本题共10分，每题5分）
26、已知：E 、F 是矩形ABCD 所在平面内两点，且AE ∥BF 。
（1）如图1，若点E 、F 在直线CD 上，求证DE ＝CF ；
（2）若AB ＝AD ，且AE ＝BF ，连接DE 、AF ，
① 如图2，若E 是AC 的中点，用等式表示AF 与DE 的数量关系为 。
② 如图3，若DE ⊥AF 于G ，猜想线段DE 、AF 、AB 之间的数量关系，并证明。
G
F
E
D C
B
A
图3
图2
A
B C D
E
F
图1
F
E
D
C
B
A
27、对于平面直角坐标系中的任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y 给出如下定义：我们把1212x x y y -+-叫做A 、B 两点之间的直角距离，记作(,)d A B
（1）如图1，已知O 为坐标原点，点P 是直线上3
34
y x =-
+的一个动点。
① 若点P 坐标为(1,)t ，则(,)d O P = ； ② 若点(1,0)E -，求(,)d P E 的最小值；
（2）如图2，若点P 是已知直线(0,0)y kx b k b =+<>上的一个动点，点Q 是正方形OABC 上的一个动点，其中(1,1)A -，且直线(0,0)y kx b k b =+<>与正方形OABC 没有公共点，求(,)d P Q 的最小值（用含k ，b 的代数式表示）。
y
x
E
y=
34x+3
图1
O
y
x
图2
O
C
B
A。