流体力学第五章(涡旋动力学基础)

d V V ( V • ) V 1 P g 2 V ( • V )
dt t
3
方程的平流项变换：
方程变为 ：Vr•VrV22VrVr
V t r V 2 2 V r r 1 p g r 3 ( g V r) 2 V r
梯度取旋度为零
Ñ l
1
p
r dl
Ñl
1
p
r dl
.
12
将线积分转化为面积分
Ñ 1
r p dl
(p)
dr
(
1
)
p
1
(p)
dr
(
1
)
p
dr
梯度取旋度为零
.
13
正压流体：
f(p)
等压面、等密度面、 等温面重合（平行）
斜压流体：
f(p,T,)
等压面、等密度面斜交
.
14
（3）假设流体是正压的 f(p)
称为皮叶克尼斯定理，反映了压力-密度项（斜 压性）引起环流的变化。
进一步作正压流体假设，则皮叶克尼斯定理退 化为了Kelvin环流定理：
d 0 dt
.
21
皮叶克尼斯定理的应用：海陆风、信风、山谷风的简 单解释
白天（夜间）
海洋
陆地
海风（陆风）
.
山谷风
22
第二节 涡度方程
对于粘性流体运动，纳维——斯托可斯方程为：
.
23
V t r V 2 2 V r r 1 p g r 3 ( g V r) 2 V r
（1）（2）（3）（4）（5） （6） （7）
方程各项取旋度（ ）：
（2）、（5）、（6）=0（任意物理量的梯度取旋度为零）
r r
（3） V
V r r r g V r g V r r V r g r g r V r
环流随时间的变化率（环流的加速度）
d d t d d t( 蜒 lV rd l r) l(d d V t rd l r) ? l[ V rd ( d d tl r) ]
环流加速度
加速度环流
.
8
d d t d d t( 蜒 lV rd l r) l(d d V t rd l r ) ? l[ V rd ( d d tl r) ]
r
蜒 lV rd ( d d tl) lV rd V r ? ld (V 2/2 ) 0
d d td d t(蜒 lV rdlr)l(d d V trdlr)
环流的加速度 = 加速度的环流
.
9
凯尔文(Kelvin)环流定理
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
（3）
速度环流的变化，主要由于以下3项所引起： （1）非有势力的作用，例如：柯氏力； （2）压力-密度项（流体的斜压性所引起的）； （3）粘性涡度扩散（与涡度的空间不均匀分布有关）
.
20
环流方程的进一步讨论（主要是斜压项的讨论及应用）
若作理想流体假设，且质量力为有势力，则环流定理变为：
ddt (1)pdr
第五章 涡旋动力学基础
流体的涡旋运动大量存在 于自然界中，如大气中的 气旋、反气旋、龙卷、台 风等，大气中的涡旋运动 对天气系统的形成和发展 有密切的关系。
.
台风
龙卷
1
大尺度海洋环流
.
2
因此，针对流体的涡旋运动进行分析，介绍涡 旋运动的描述方法、认识涡旋运动的变化规律 及其物理原因是十分必要的。
.
16
以上讨论了特定条件下速度环流的守恒定理或者约 束关系。而实际上，流体运动中必定出现环流的不 守恒（变化）现象，也即环流的产生和起源，这才 是更普遍条件下的环流变化情况。
.
17
二、速度环流的起源—涡度的产生
对于粘性可压缩流体，N－S运动方程为：
d d V tF 1 p 2 V 3 •V
对粘性扩散项进行处理（矢量运算法则），将其表示为：
r r
r
r
2 V ( V ) ( V ) D
将其代入运动方程，整理后可得到：
d d V trF r 1 p 4 3 D r
.
18
d d V trF r 1 p 4 3 D r
对上式沿闭合曲线积分，即可得到反映环流变化的方程：
.
4
第一节 环流定理
在流场中任取一个封闭的物质
环线 l （形状大小可变，由
流点组成的闭合曲线）。
l
速度环流的定义 V•dl l
它反映了流体沿曲线 l 运动的趋势，是标量，但具有
一定的方向性。
.
5
lV•dl
l
如取定曲线方向：
>0，流体有顺
对应气旋环流）；
l 运动的趋势，（逆时针为正方向，
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d dt
r
Ñ l
dV dt
r dl
(
1
)
p
d r
0
等压面、等密度面平行
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
.
15
说 明： 由此可知，理想正压流体，在有势力的作用下，流 体运动涡度强度不随时间变化，无旋流动中的流点 不可能获得涡度；反之，涡旋流动中的流点也不可 能失去涡度。
r
ddt Ñ ddVt
r dl
蜒 Fr dlr
1pdlr
蜒 rdlr
43Ddlr
蜒 Frdlr1pdlr?rdlr43(D)dur
蜒 F rdlr 1 pdlr? rdlr
.
19
d d t 蜒 d d V t rd l r F rd l r 蜒 1 p d l r rd l r
（1） （2）
<0，流体有逆 l 运动的趋势，（顺时针为负方向，对
应反气旋环流）。
.
6
根据环流的定义，应用斯托克斯公式 流体涡度
( V )•n li m / 0 流体某点的涡度矢量在单位面元的法向分量等于 单位面积速度环流的极限值
反映了流体涡度与速度环流之间的联系。
.
7
一、凯尔文定理（速度环流的守恒定理）
流体涡度：它是反映流体旋转特征或者旋转强度的 一个重要物理量。
整个流体区域内涡度都为零时，流体运动为无旋的 ；
流体区域内有一点涡度不等于零时，则对应流体运
动为有旋的。
.
3
一般情况：流体运动可以表示为：
rr r V V V 无旋运动
涡旋运动
★重点讨论涡旋部分的变化特征及其产生的原因
主要内容
第一节 环流定理 第二节 涡度方程
.
10
凯尔文(Kelvin)环流定理
下面来考虑特定条件下的 d dt
（1）理想流体
运动方程（欧拉方程）： dVF1p
dt
（仅受质量力和压力梯度力）；
（2）质量力仅为有势力
F
.
11
dVF1p
dt
F
环流变化方程：
d dt
r
Ñ l
(
dV dt
r dl )
蜒 l
r dl
l
1
p
r dl
ur ( )d