线性代数是最有趣最有价值的
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线性代数是最有趣最有价值的 大学数学课程
----David C. Lay
❖ 广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学， 生物学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理， 系统控制，通信，航空等学科和领域。
❖ 应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、材料 力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、 系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学等 课程。
脱脂牛奶是蛋白质的主要来源但包含过多的钙， 因此大豆粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少 量的钙。然而大豆粉包含过多的脂肪，因而加上 乳清，因乳清含脂肪较少，然而乳清又含有过多 的碳水化合物…
在这里我们把问题简化，看看这个问题小规 模的情形。表1是该食谱中的3种食物以及100克 每种食物成分含有某些营养素的数量。
即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日 需食用脱脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克， 乳清23.32克。
网络流问题 当科学家、工程师或者经济学家研究一 些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组。 例如，城市规划和交通工程人员监控一个网络状的 市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电 路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商 的网络从制造商到顾客的产品销售。许多网络中的 方程组涉及成百甚至上千的变量和方程。
一个网络包含一组称为接合点或节点的点集， 并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点。流 的方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显 示或用变量标记。
网络流的基本假设是全部流入网络的总流 量等于全部流出网络的总流量，且全部流入一 个节点的流量等于全部流出此节点的流量。于 是，对于每个节点的流量可以用一个方程来描 述。网络分析的问题就是确定当局部信息（如 网络的输入）已知时，求每一分支的流量。
5326xx11
51x2 34x2
13x3 74x3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
33, 45,
7x2 1.1x3 3.
MATLAB代码如下：Untitled2.m clear; A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1]; b=[33;45;3]; U=rref([A,b])
解上方程组得，解为
x1 0.2772, x2 0.3919, x3 0.2332.
电路问题
在工程技术中所遇到的电路，大多数是很 复杂的，这些电路是由电器元件按照一定方式 互相连接而构成的网络。在电路中，含有元件 的导线称为支路，而三条或三条以上的支路的 会合点称为节点。电路网络分析，粗略地说， 就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。 对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫 （Kirchhoff）定律来解决。以图3-2所示的电 路网络部分为例来加以说明。
于是，所给问题可以归结为如下线性方程组的求解。
x1 x2
50,
x2 x3 x4 x5 0, x5 x6 60,
于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方
程组的求解
i1
i4 i6 0,
i2 i4 i5 0, i3 i5 i6 0,
i1 i2 i3
0.
相应MATLAB代码为：dianliu.m
clear
A=[1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0];
b=[0;0;0;0];
[R,s]=rref([A,b]);
r=length(s); disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：')
x=null(A,'r')
解之，得其解为
i1 1 0 1
i2
1
1
0
i3 i4
k1
0 1
k2
1 0
k3
1
0
设各节点的电流如图所示，则由基尔霍夫第一定律 （简记为KCL）（即电路中任一节点处各支路电流 之间的关系：在任一节点处，支路电流的代数和在 任一瞬时恒为零（通常把流入节点的电流取为负的， 流出节点的电流取为正的）。该定律也称为节点电 流定律），有
对于节点A： i1 i4 i6 0; 对于节点B： i2 i4 i5 0; 对于节点C： i3 i6 i5 0; 对于节点D： i1 i3 i2 0.
交通流问题
图3-3给出了某城市部分单行街道在一个 下午早些时候的交通流量（每小时车辆数目）。 计算该网络的车流量。
由网络流量假设，有 对于节点A： x2 30 x1 80; 对于节点B： x3 x5 x2 x4; 对于节点C： x6 100 x5 40; 对于节点D： x4 40 x6 90; 对于节点E： x1 60 x3 20.
i5
0
1
0
i6 0 0 1
其中: k1,k2,k3 R
由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均为正数，所以通解中的3个任意
常数应满足以下条件：
k1 0, k2 k3 k1 .
如果 k1 1, k2 3, k3 2, 则：
i1 1, i2 2, i3 1, i4 1, i5 3,i6 2.
表1
营养
每100克食物所含营养（g） 减肥所要 求的每日
脱脂牛奶 大豆面粉 乳清 营养量
蛋白质
36
51
13 33
碳水化合物 52
34
74 45
脂肪
0
7
1.1 3
如果用这三种食物作为每天的主要食物，那 么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这 个营养要求？
以100克为一个单位，为了保证减肥所要求的 每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶x1个单位， 大豆面粉x2个单位，乳清x3个单位，则由所给条 件得
线性方程组的应用
剑桥减肥食谱问题
一种在20世纪80年代很流行的食谱，称为 剑桥食谱，是经过多年研究编制出来的。这是 由Alan H. Howard博士领导的科学家团队经过 8年对过度肥胖病人的临床研究，在剑桥大学 完成的。这种低热量的粉状食品精确地平衡了 碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维 生素、矿物质、微量元素和电解质。为得到所 希望的数量和比例的营养，Howard博士在食 谱中加入了多种食品。每种食品供应了多种所 需要的成分，然而没有按正确的比例。例如，
----David C. Lay
❖ 广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学， 生物学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理， 系统控制，通信，航空等学科和领域。
❖ 应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、材料 力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、 系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学等 课程。
脱脂牛奶是蛋白质的主要来源但包含过多的钙， 因此大豆粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少 量的钙。然而大豆粉包含过多的脂肪，因而加上 乳清，因乳清含脂肪较少，然而乳清又含有过多 的碳水化合物…
在这里我们把问题简化，看看这个问题小规 模的情形。表1是该食谱中的3种食物以及100克 每种食物成分含有某些营养素的数量。
即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日 需食用脱脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克， 乳清23.32克。
网络流问题 当科学家、工程师或者经济学家研究一 些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组。 例如，城市规划和交通工程人员监控一个网络状的 市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电 路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商 的网络从制造商到顾客的产品销售。许多网络中的 方程组涉及成百甚至上千的变量和方程。
一个网络包含一组称为接合点或节点的点集， 并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点。流 的方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显 示或用变量标记。
网络流的基本假设是全部流入网络的总流 量等于全部流出网络的总流量，且全部流入一 个节点的流量等于全部流出此节点的流量。于 是，对于每个节点的流量可以用一个方程来描 述。网络分析的问题就是确定当局部信息（如 网络的输入）已知时，求每一分支的流量。
5326xx11
51x2 34x2
13x3 74x3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
33, 45,
7x2 1.1x3 3.
MATLAB代码如下：Untitled2.m clear; A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1]; b=[33;45;3]; U=rref([A,b])
解上方程组得，解为
x1 0.2772, x2 0.3919, x3 0.2332.
电路问题
在工程技术中所遇到的电路，大多数是很 复杂的，这些电路是由电器元件按照一定方式 互相连接而构成的网络。在电路中，含有元件 的导线称为支路，而三条或三条以上的支路的 会合点称为节点。电路网络分析，粗略地说， 就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。 对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫 （Kirchhoff）定律来解决。以图3-2所示的电 路网络部分为例来加以说明。
于是，所给问题可以归结为如下线性方程组的求解。
x1 x2
50,
x2 x3 x4 x5 0, x5 x6 60,
于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方
程组的求解
i1
i4 i6 0,
i2 i4 i5 0, i3 i5 i6 0,
i1 i2 i3
0.
相应MATLAB代码为：dianliu.m
clear
A=[1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0];
b=[0;0;0;0];
[R,s]=rref([A,b]);
r=length(s); disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：')
x=null(A,'r')
解之，得其解为
i1 1 0 1
i2
1
1
0
i3 i4
k1
0 1
k2
1 0
k3
1
0
设各节点的电流如图所示，则由基尔霍夫第一定律 （简记为KCL）（即电路中任一节点处各支路电流 之间的关系：在任一节点处，支路电流的代数和在 任一瞬时恒为零（通常把流入节点的电流取为负的， 流出节点的电流取为正的）。该定律也称为节点电 流定律），有
对于节点A： i1 i4 i6 0; 对于节点B： i2 i4 i5 0; 对于节点C： i3 i6 i5 0; 对于节点D： i1 i3 i2 0.
交通流问题
图3-3给出了某城市部分单行街道在一个 下午早些时候的交通流量（每小时车辆数目）。 计算该网络的车流量。
由网络流量假设，有 对于节点A： x2 30 x1 80; 对于节点B： x3 x5 x2 x4; 对于节点C： x6 100 x5 40; 对于节点D： x4 40 x6 90; 对于节点E： x1 60 x3 20.
i5
0
1
0
i6 0 0 1
其中: k1,k2,k3 R
由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均为正数，所以通解中的3个任意
常数应满足以下条件：
k1 0, k2 k3 k1 .
如果 k1 1, k2 3, k3 2, 则：
i1 1, i2 2, i3 1, i4 1, i5 3,i6 2.
表1
营养
每100克食物所含营养（g） 减肥所要 求的每日
脱脂牛奶 大豆面粉 乳清 营养量
蛋白质
36
51
13 33
碳水化合物 52
34
74 45
脂肪
0
7
1.1 3
如果用这三种食物作为每天的主要食物，那 么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这 个营养要求？
以100克为一个单位，为了保证减肥所要求的 每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶x1个单位， 大豆面粉x2个单位，乳清x3个单位，则由所给条 件得
线性方程组的应用
剑桥减肥食谱问题
一种在20世纪80年代很流行的食谱，称为 剑桥食谱，是经过多年研究编制出来的。这是 由Alan H. Howard博士领导的科学家团队经过 8年对过度肥胖病人的临床研究，在剑桥大学 完成的。这种低热量的粉状食品精确地平衡了 碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维 生素、矿物质、微量元素和电解质。为得到所 希望的数量和比例的营养，Howard博士在食 谱中加入了多种食品。每种食品供应了多种所 需要的成分，然而没有按正确的比例。例如，