相似三角形性质与运用

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相似三角形的性质和实际应用

相似三角形的性质和实际应用相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的实际应用。

本文将介绍相似三角形的性质以及在实际生活中的应用。

一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不同的三角形。

相似三角形的性质有以下几点：1.对应角相等：如果两个三角形的三个内角分别对应相等，则它们是相似三角形。

例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∽△DEF。

2.对应边成比例：相似三角形中，对应边的长度成比例。

即如果两个三角形的两个对应边的比值相等，则它们是相似三角形。

例如，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。

3.周长比例：相似三角形的周长之比等于对应边长度之比。

设两个相似三角形的周长分别为L1和L2，对应边长度之比为k，则有L1/L2=k。

4.面积比例：相似三角形的面积之比等于对应边长度平方的比值。

设两个相似三角形的面积分别为S1和S2，对应边长度之比为k，则有S1/S2=k²。

二、相似三角形的实际应用1.测量高度：相似三角形的性质可以在测量高度时应用。

例如，在测量一座高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量自己的身高及影子的长度，然后利用身高与影子的长度之比，以及高楼与其影子的长度之比，计算出高楼的高度。

2.影视特技：在电影、电视剧等影视制作中，有时需要通过特技手法来表现出高楼倒塌等场景。

这时，可以利用相似三角形的性质，制作比例缩小的模型，然后通过摄影机的角度选择和镜头拉远，使得模型在电影中看起来像真实的大楼倒塌一样。

3.地图测量：在地图制作和测量工作中，也经常使用相似三角形的原理。

通过测量地面上的一段距离和其在地图上的投影长度，可以得到地面与地图的比例，从而便于进行地图上其他地点的距离估算。

4.影像重建：在计算机视觉和计算机图形学领域，相似三角形的概念也被广泛应用。

通过计算图像中物体的相似三角形关系，可以进行三维模型的重建，实现计算机生成的虚拟现实场景。

相似三角形的性质与应用

相似三角形的性质与应用相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它在解决各个数学问题中起到了关键的作用。

本文将介绍相似三角形的性质以及在实际应用中的运用。

一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。

根据这个定义，我们可以得到相似三角形的一些重要性质。

1. AA相似定理：若两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形相似。

这个定理可以用来判断两个三角形是否相似，从而简化了计算。

2. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形相似。

这个定理说明了对应角相等是相似三角形的充分条件。

3. 相似三角形的对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即对应边的比值相等。

这个性质可以用来求解相似三角形的边长。

二、相似三角形的应用相似三角形的应用非常广泛，涉及到几何、数学和物理等多个领域。

下面列举了一些常见的应用场景。

1. 测量高度：当我们无法直接测量一个高大物体（如树或大楼）的高度时，可以利用相似三角形的性质来计算。

具体的步骤包括：在地面上选取一个适当的距离和角度，测量该距离所对应的高度与距离的比值；然后测量眼睛与地面的高度与测量距离的比值；最后利用相似三角形的对应边成比例的性质，可以计算出物体的实际高度。

2. 相似图形的绘制：在绘制图形时，我们可以利用相似三角形的性质进行比例放大或缩小。

例如，当要将一个城市的地图缩小到一张纸上时，可以通过选取一些关键点的坐标，然后利用相似三角形的对应边成比例的性质，将实际尺寸转换为纸上的尺寸，从而绘制出相似的地图。

3. 解决几何问题：相似三角形的性质在解决几何问题中起到了重要的作用。

例如，当我们需要计算一个不规则图形的面积时，可以利用相似三角形的面积比来简化计算。

此外，在解决直角三角形的问题时，相似三角形的性质也常常被使用。

4. 推导物体的相似性：在物理学中，我们经常需要推导物体的相似性。

比如，在计算机图形学中，我们可以通过计算两个物体的相似三角形，从而得出它们的相似性，并进行进一步的分析和计算。

三角形的相似性质如何利用相似三角形的性质求解问题

三角形的相似性质如何利用相似三角形的性质求解问题三角形是初中数学中的重要内容，而其中的相似三角形更是一个重要的概念。

相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。

相似三角形的性质可以帮助我们在解决问题时更加简便和高效。

本文将探讨相似三角形的性质以及如何利用这些性质来解决实际问题。

一、相似三角形的性质1. 比例关系相似三角形的边长比例相等，即如果两个三角形的对应边的长度之比相等，那么它们就是相似三角形。

例如，如果ΔABC 与ΔA'B'C' 是相似三角形，那么有如下的比例关系：AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'2. 角度关系相似三角形的对应角度相等，即两个相似三角形对应角的度数相等。

例如，如果ΔABC 与ΔA'B'C' 是相似三角形，那么相应的角度关系如下：∠A = ∠A'∠B = ∠B'∠C = ∠C'二、利用相似三角形的性质求解问题利用相似三角形的性质，我们可以在解决实际问题时采用以下方法：1. 比例推导根据相似三角形的比例关系，可以利用已知信息求解未知信息。

例如，已知两个三角形相似且知道一个三角形的边长和另一个三角形的边长比例，可以通过设立等式求解未知边长。

2. 定理运用利用相似三角形的角度关系，可以应用相应的定理求解问题。

例如，可以应用“等角定理”、“角平分线定理”等来解决与相似三角形有关的问题。

3. 测量实际问题当我们面对实际问题时，可以利用相似三角形的性质进行测量。

例如，当我们需要测量高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量阴影的长度和角度来计算出高楼的高度。

综上所述，相似三角形的性质在数学解题中是非常重要的。

通过学习和应用相似三角形的性质，我们可以更加高效地解决各类与三角形有关的问题。

使用相似三角形的性质，我们可以推导比例关系、运用定理以及进行实际测量，从而准确地求解问题。

相似三角形的性质和应用___辅导讲义

课题相似三角形的性质和应用教学目标1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.重点、难点1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.知识框架相似三角形相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。

相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数），相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC（2）对称性：若△ABC∽△ABC，则△ABC∽△ABC（3）传递性：若△ABC∽△ABC并且△ABC∽△ABC则△ABC∽△ABC3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法AB CDE①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

相似三角形的性质及判定方法

相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。

在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。

本文将探讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。

一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。

记为AA相似性质。

2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长度比例相等，则它们是相似的。

记为SSS相似性质。

3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。

记为SAS相似性质。

二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也必然相等，从而满足AA相似性质。

2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。

三、实例分析为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。

已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。

根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。

根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。

由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。

相似三角形的性质及应用用

详细描述
通过将相似三角形组合起来，可以创造出各种具有对称性和美感的几何图案。这些图案在建筑设计、装饰艺术和纺织品设计中都有广泛应用。
利用相似三角形解决实际问题
总结词
相似三角形的性质在解决实际问题中具有广泛的应用，如工程测量、航海、航空等。
详细描述
在工程测量中，可以利用相似三角形来计算物体的高度、长度等参数。在航海和航空领域，可以利用相似三角形来计算航行距离、高度和方向等数据。这些应用都基于相似三角形的性质，能够提供精确和可靠的测量结果。
相似比
相似三角形对应边的比值称为相似比。
性质
对应角相等
面积比等于相似比的平方
相似三角形的对应角相等，即$angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$。
相似三角形的面积比等于其相似比的平方，即$frac{S_1}{S_2} = (frac{a_1}{a_2})^2$。
相似三角形的对应边长之比是一个常数，这个常数被称为相似比。
总结相似三角形的性质和应用
• 面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于其相似比的平方。
总结相似三角形的性质和应用
测量
在几何测量中，相似三角形是解决实际问题的重要工具，如计算
建筑物的高度、河的宽度等。
建筑设计
在建筑设计领域，相似三角形可用于确定建筑物的比例和尺寸，以实现美观和功能性的平衡。
对应边成比例
相似三角形的对应边成比例，即 $frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} = frac{c_1}{c_2}$。
相似三角形的判定条件
01
02

《相似三角形的应用》讲义

《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。

如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比叫做相似比。

相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：相似三角形的对应角大小相等。

2、对应边成比例：相似三角形的对应边的长度之比等于相似比。

3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。

4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。

这些性质是解决相似三角形应用问题的基础，我们需要熟练掌握并能够灵活运用。

二、相似三角形在测量中的应用1、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量一些物体的高度，如大树、高楼等。

当直接测量高度有困难时，可以利用相似三角形的原理来解决。

例如，要测量一棵大树的高度，可以在与大树底部水平的地面上选择一点 A，然后在 A 点处直立一根标杆 CD，测量出标杆的长度 CD 以及标杆顶端 D 与树顶 E 的仰角∠DAE 和∠DBC。

由于标杆与地面垂直，大树也与地面垂直，所以三角形 ADE 和三角形 ABC 相似。

根据相似三角形对应边成比例，可得：AB ／ AD ＝ BC ／ DE已知 AB、AD、BC 的长度，就可以求出大树的高度 DE。

2、测量距离相似三角形还可以用于测量无法直接到达的两点之间的距离。

比如，要测量一条河的宽度。

可以在河的一侧选择一点 A，在对岸选择一点 B，然后在 A 点所在的岸边选择另一点 C，使得 AC 与河岸垂直。

再在 AC 上选择一点 D，使得∠ADB ＝∠ABC。

此时三角形ABD 和三角形 ABC 相似。

通过测量 AC、AD 的长度以及∠ADB 的度数，就可以根据相似三角形的性质求出河的宽度 AB。

三、相似三角形在几何证明中的应用在几何证明题中，常常会遇到需要证明两个三角形相似的情况。

这时，我们需要根据已知条件寻找三角形相似的条件。

常见的证明三角形相似的方法有：1、两角对应相等的两个三角形相似。

相似三角形的性质与应用

相似三角形的性质与应用相似三角形是初中数学中的重要概念，它们具有一些特定的性质和各种应用。

本文将介绍相似三角形的性质，以及在实际问题中如何应用相似三角形来解决一些实际问题。

一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但大小不一的两个三角形。

相似三角形具有以下几个基本性质：1. 对应角相等性质：相似三角形中的对应角相等，即相等角所对的边成比例。

例如，若∠A≌∠D，则边AB与边DE的比等于边AC与边DF的比，即AB/DE = AC/DF。

2.对应边成比例性质：相似三角形中的对应边成比例，即边的比和角的比之间成立。

例如，若AB/DE = AC/DF，则∠A≌∠D。

3.三角形的扩大缩小性质：相似三角形中，如果一个三角形的边与另一个三角形的边成比例，那么这两个三角形是相似的。

例如，如果AB/DE = AC/DF且BC/EF = AC/DF，则三角形ABC与三角形DEF相似。

二、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中具有广泛的应用。

下面介绍几个常见的应用：1.测量高度：相似三角形可用于测量无法直接测量的高度。

例如，当直接无法测量一座建筑物的高度时，可以利用相似三角形原理，在地面上测量一个已知距离的长度，然后观察建筑物的倾斜角度，从而利用相似三角形的比例关系计算出建筑物的高度。

2.计算距离：相似三角形还可用于计算距离。

例如，当无法直接测量两个不相邻点之间的距离时，可以利用相似三角形与已知距离的比例关系计算出所需距离。

3.设计工程：在设计工程中，相似三角形可用于模拟大规模结构的小规模模型。

通过将真实结构缩小成模型，可以通过相似三角形的比例关系获得有关真实结构的信息，从而进行有效的设计和分析。

4.地图测绘：在制作地图时，为了将真实距离转换为地图上的距离，可利用相似三角形的比例关系来缩放。

这样可以保持地图的比例并准确表示真实距离。

总结：相似三角形的性质和应用是初中数学中的重要内容。

准确理解相似三角形性质，并能灵活运用到实际问题中，能够帮助我们解决许多几何和测量方面的困难。

相似三角形的性质及应用(解析版)

4.5相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.OEFDABC即12OD OE OF OA OB OC === . 要点：H OEFDAB C过点E 作EH ∥BC 交AD 于H ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH ，从而得到BD=2EH ，再根据△BDO 和△EHO 相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证1=2OE HE OB BD ，同理其他比例也可以得到．三、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB 的长.2．如乙图所示，可先测AC 、DC 及DE 的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．一、单选题1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（） A ．2:3 B ．2：3 C ．4：9 D ．8：27 【解答】B【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质．2．已知ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2，若BC 边上的中线长为1，则EF 边上的中线长是（） A ．2 B ．2 C ．3D ．4【解答】A【提示】由ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2可知：相似比为1:2，则对应中线的比为1:2，即可求出答案．【详解】∵ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2 ∴相似比为1:2 ∴其对应中线的比为1:2 ∵BC 边上的中线长为1 ∴EF 边上的中线长是2 故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点，熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键，属于基础知识题．3．如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（）．A ．AD DEAB BC =； B ．AD AE AC AB =；C ．AD AB DE BC ⋅=⋅； D ．AD AC AB AE ⋅=⋅．【解答】D【提示】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断．【详解】解：A 、∵AD DEAB BC =，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；B 、AD AE AC AB =EAD BAC ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽，E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；C 、由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD =，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误；D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅，AD AEAB AC ∴=，EAD BAC ∠=∠， DAE BAC ∴∆∆∽，D B ∴∠=∠，//DE BC ∴，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 4．已知ABC 与DEF 相似，且A D ∠=∠，那么下列结论中，一定成立的是（） A ．B E ∠=∠ B ．AB ACDE DF =C ．相似比为AB DED ．相似比为BCEF【解答】D【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．【详解】解：∵B 可以与E 对应，也可以与F 对应，∴∠B=∠E 或∠B=∠F ，A 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴AB AC DE DF =或AB ACDF DE =，B 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴相似比可能是AB DE ，也可能是ABDF ，C 不一定成立；∵∠A=∠D ，即∠A 与∠D 是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC 与EF 是对应比，∴相似比为BCEF ，∴D 一定成立，故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的． 5．如图，小明站在 C 处看甲、乙两楼楼顶上的点 A 和点 E ．C ，E ，A 三点在同一直线上，B ，C 相距 20 米，D ，C 相距 40 米，乙楼的高 BE 为 15 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 AD 为（）A ．40 米B ．20 米C ．15 米D ．30 米【解答】D【提示】证明ADC EBC ∽△△，利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：由题意可知：90ADC ∠=︒，90EBC ∠=︒，C ∠是公共角，∴ADC EBC ∽△△， ∴AD DCEB BC =， ∵20m BC =，40m DC =，15m BE =， ∴40=15=30m 20DC AD EB BC =⨯⨯．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质． 6．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥垂足为D ，那么下列结论错误的是（）A ．22AC BD BC AD ⋅=⋅B ．22BC BD CD AB ⋅=⋅C ．AD BC AC CD ⋅=⋅ D ．CD BC AC BD ⋅=⋅ 【解答】B【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC ∽△CDB ∽△ACB ，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【详解】∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴△ADC ∽△CDB ∽△ACB ∴AC2=AD·AB ，BC2=BD·AB ，故22AC BD BC AD ⋅=⋅，A 正确，B 错误；∵△ADC ∽△CDB∴AD AC CDCD BC BD == ∴AD BC AC CD ⋅=⋅，CD BC AC BD ⋅=⋅,C,D 选项正确；故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.7．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=14AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGHS S △△的值为（）A ．12B ．23C ．34D ．1【解答】C【提示】首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得223924ADC BAC BGHBGHS S BA SSBG （）（）====,13ADG ADCSS=，由此即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，DC=AB ， ∵AC=CA ， ∴△ADC ≌△CBA ， ∴S △ADC=S △ABC ，∵AE=CF=14AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3， ∴AG ：AB=CH ：BC=1：3， ∴GH ∥AC ， ∴△BGH ∽△BAC ， ∴223924ADC BAC BGHBGHS S BA S SBG （）（）====，∵13ADG ADCS S=，∴913434ADG BGHS S=⨯=.故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．如图，在正方形ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP 、AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是（）A ．AE=2DEB ．CFP APHC ．CFP APCD ．2CP PH PB =⋅【解答】C【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF ，即可判断．D.利用相似三角形的性质即可证明．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵△ABP 是等边三角形， ∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=2DE ，故A 正确; ∵AB ∥CD ，∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，又∵BC=BP ，∠PBC=30°， ∴∠BPC=∠BCP=75°， ∴∠CPF=105°，∴∠PHA=∠CPF ，又易得∠APB=∠CFP=60°， ∴△CFP ∽△APH ，故B 正确; ∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF ， ∴△PFC 与△PCA 不相似，故C 错误; ∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°， ∴∠PCH=∠PBC ， ∵∠CPH=∠BPC ， ∴△PCH ∽△PBC ，∴PC PHPB PC =,∴PC2=PH•PB ，故D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图所示，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ．若45::2DOE COA S S ∆∆=，则BDES ∆与CDE S ∆的比是（）A ．1：2B ．1： 3C ．2：3D ．2：5 【解答】C【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：∵//DE AC ， ∴DEO CAO ∆∆∽， ∵45::2DOE COA S S ∆∆=，∴2425DE AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴25DE AC =， ∵//DE AC ， ∴25BE DE BC AC ==， ∴23BE EC =，∴BDES ∆与CDE S ∆的比2:3=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．10．如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点,,C D E 在同一条直线上，顶点, ,B C G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，EGC ∠的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH 交EC 于点N ．则BCCG 的值为（）A ．31-B ．3C ．21-D ．2【解答】C【详解】∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，,,BC DC CE CG BCE DCG ∴==∠=∠．在BCE和DCG △中，,,(),,BC DC BCE DCG BCE DCG SAS BEC BGH CE CG =⎧⎪∠=∠∴∴∠=∠⎨⎪=⎩≌．90BGH CDG ∠+∠=︒，,90CDG HDE BEC HDE ∠=∠∴∠+∠=︒．GH BE ∴⊥．GH 平分,EGC BGH EGH ∠∴∠=∠．()BGH EGH ASA ∴≌．BH EH ∴=．又O 是EG 的中点，//HO BG ∴．D C DHN G ∴∽△△．DN HN DC CG ∴=．设HN a =，正方形ECGF 的边长是2b ，则2BC a =，22,,22b a aCD a NC b a b -==∴=，即2220a ab b +-=，解得(12)a b =-+或(12)a b =--（舍去），则221,212a BCb CG =-∴=-．二、填空题11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________．【解答】3：5【提示】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案．【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：25 ∴两个相似三角形的相似比是3：5 ∴对应边上的中线的比为3：5 故答案为：3：5．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，△ABC ∽△CBD ，AB=9，BD=25，则BC=______．【解答】15【提示】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解．【详解】解：∵△ABC ∽△CBD ，∴AB CBCB BD =，即2BC AB BD =⨯， AB=9，BD=25，2292522515BC AB BD ∴=⨯=⨯==，15BC =∴，故答案为：15【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________．【解答】8【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x ，则 2624x =，∴8x =；∴三角形的最短边为8．故答案为：8．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．14．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF AE ⊥交DC 于点F ．若4AB =，6BC =，则DF 的长为______．【解答】74【提示】结合矩形的性质证明BAECEF ∆∆可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90AEB CEF∴∠+∠=︒，BAE CEF∴∠=∠，BAE CEF∴∆∆，::AB CE BE CF∴=，E是BC的中点，6BC=，3BE CE∴==，4AB=，4:33:CF∴=，解得94CF=，97444DF CD DF∴=-=-=．故选：7 4．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF∆∆是解题的关键．15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．【解答】32【提示】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有AP AMBP BN=，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和8BN≥即可求出AM的最小值．【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；∴△APM∽△BPN；∴APBP＝AMBN，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴AMBN＝41，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A 向下压32cm ．故答案为：32．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 16．如图，已知,20,60AB BC ACBAD DAE AD DE AE ︒︒==∠=∠=，则DAC ∠的度数为_________．【解答】40°【提示】由AB BC ACAD DE AE ==可判定△ABC ∽△ADE ，得到∠BAC=∠DAE ，再根据20BAD ︒∠=，60DAE ︒∠=，可得出∠DAC 的度数.【详解】解：∵AB BC ACAD DE AE ==， ∴~ABC ADE ， ∴60BAC DAE ︒∠=∠=，又∵20BAD ︒∠=， ∴40DAC ︒∠=．故答案为：40°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据AB BC ACAD DE AE ==判定出△ABC ∽△ADE.17．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【解答】207【提示】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明△CGF ∽△CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案．【详解】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，∴设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k ）2＋k2，解得：k ＝25， ∴BC ＝25，AC ＝45， ∴CM ＝AC BC AB ⋅＝452510⨯＝4，∵正方形DEFG 内接于△ABC ， ∴GF ＝EF ＝MN ，GF ∥AB ， ∴△CGF ∽△CAB ，∴CN GF =CM AB ，即4EF EF410-=，解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．【解答】 234【提示】如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，由面积和差关系可求3BCF S ∆=，通过证明ABE CBF ∆∆∽，可得2()ABE BCF S AB S BC∆∆=，可求2EH =，由勾股定理可求AE ，BE ，EF 的长，通过证明BEH EFQ ∆∆∽，可得2BE EH BH EF QF EQ ===，可求22EQ =，2QF =，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，90ACB ∠=︒，AC BC =，2AB BC ∴，=6AB ，32AC BC ∴==四边形ABFC 的面积为12，12ABC BCF S S ∆∆∴+=， 3BCF S ∆∴=，等腰Rt BEF ∆，2BE BF ∴，45EBF∠=︒，=45ABC ∠︒，ABE CBF ∴∠=∠，2AB BE BC FB == ABE CBF ∴∆∆∽，∴2()ABE BCF S AB S BC ∆∆=， 326ABE S ∆∴=⨯=，∴162AB EH ⨯=，2EH ∴=，45CAB ∠=︒，EH AB ⊥，45CAB AEH ∴∠=∠=︒，2AH EH ∴==，222AE EH ==，4BH ∴=，2CE =，2221825BE CE BC ∴=+=+=，10EF ∴=，180AEH BEH FEB QEF ∠+∠+∠+∠=︒， 90BEH FEQ ∴∠+∠=︒，且90BEH EBH ∠+∠=︒EBH QEF ∴∠=∠，且90Q BHE ∠=∠=︒，BEH EFQ ∴∆∆∽， ∴2BE EH BHEF QF EQ ===， 22EQ ∴=，2QF =， 42AQ ∴=，2232234AF AQ QF ∴=+=+=，故答案为：22，34．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH 的长是本题的关键．三、解答题19．如图，在ABP 中，C ，D 分别是,AP BP 上的点．若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====．(1)求证：ABP DCP ∽△△； (2)求AB 的长．【解答】(1)见解析(2)AB＝8【提示】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算PDPC与APBP的值，得到PD PCPA PB=，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，∴54PDPC=，10584APBP==，∴PD APPC BP=，即PD PCPA PB=，∵∠DPC＝∠APB，∴△ABP∽△DCP；（2）解：∵△ABP∽△DCP，∴AB PBCD PC=，即844AB=，∴AB＝8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．【解答】(1)见解析(2)1：3【提示】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：DE．（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴AE ABAB BC=，即2AE xx x=，∴AE=12x，∴DE=AD-AE=32x，∴AE：DE=13:22x x=1：3．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．如图，为了测量平静的河面的宽度EP，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM PN=，两岸均高出水平面0.75米，即0.75DE FP==米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直与河面EP，求河宽EP是多少米？【解答】河宽为12米【提示】连接DF ，根据题意可得出四边形DEPF 为矩形，由ADB NDF ∽△△可求得DF ，便可解决问题．【详解】解：如图，连接DF ，∵点B 、D 、F 共线，DE 、MF 均垂直与河面EP ，且0.75DE FP ==， 4.5MF =， ∴四边形DEPF 为矩形， ∴DF EP =，∴ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=， ∴ 5.250.756FN PN FP =+=+=， ∵AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ， ∴90ABD NFD ∠=∠=︒， ∵ADB NDF ∠=∠， ∴ADB NDF ∽△△； ∴AB NFBD DF =， ∵ 1.6AB =， 3.2BD =， ∴1.663.2DF =，∴12DF =， ∴12EP =（米）．答：河宽EP 是12米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．如图，已知AD ，BC 相交于点E ，且△AEB ∽△DEC ，CD ＝2AB ，延长DC 到点G ，使CG ＝12CD ，连接AG ．(1)求证：四边形ABCG 是平行四边形；(2)若∠GAD ＝90°，AE ＝2，CG ＝3，求AG 的长．【解答】(1)证明见解析； (2)35AG =【提示】（1）根据相似三角形的性质可得AB ∥CD ，再由CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，可得AB ＝CG ，即可证明；（2）由平行四边形的性质可得AG ∥BC ，可得∠AEB ＝90°，再由CG ＝3可得AB ＝3，利用勾股定理可得BE ，再由相似三角形的性质可得CE ，从而得出BC ，即可求解．（1）证明：∵△AEB ∽△DEC ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ，即AB ∥CG ，∵CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，∴AB ＝CG ，∴四边形ABCG 是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCG 是平行四边形，AE ＝2，CG ＝3， ∴AG ∥BC ，AG ＝BC ，AB ＝CG ＝3， ∵∠GAD ＝90°， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得：BE 22AB AE -即BE ＝22325-=，∵△AEB ∽△DEC ， ∴12BE AB CE CD ==， ∴CE ＝25，∴BC ＝BE+CE ＝35， ∴AG ＝BC ＝35．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．23．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 是边AC 上一点，且满足ADE B ∠=∠．(1)证明：ADB AED ∆∆；(2)若3AE =，5AD =，求AB 的长．【解答】(1)见解析(2)253【提示】（1）证出∠BAD=∠EAD ．根据相似三角形的判定可得出结论；（2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD =，则可得出答案．（1）∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD ． ∵∠ADE=∠B ， ∴△ADB ∽△AED ．（2）∵△ADB ∽△AED ， ∴AD ABAE AD =，∵AE=3，AD=5， ∴535AB =， ∴253AB =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：2CF GF EF =⋅．【解答】见解析【提示】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，AB CD ∥，得到△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AB CD ∥，∴△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ∴GF DF CF BF =，CF DFEF BF =， ∴GF CFCF EF =，即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，已知cm,cm,23,36,117AD a AC b BC AC B D ===∠∠=︒=︒，ABC DAC △∽△．（1）求AB 的长；（2）求DC 的长；（3）求BAD ∠的度数．【解答】（1）32cm a ；（2）2cm3b ；（3）153︒【提示】（1）由ABC DAC △∽△，可得：,AB BCAD AC =再代入数据可得答案；（2）由ABC DAC △∽△，可得：,AC BCDC AC =再代入数据可得答案；（3）由ABC DAC △∽△，可得：117,36,BAC D B DAC ∠=∠=︒∠=∠=︒再利用角的和差可得答案；【详解】解：（1）23,,BC AC AD a ==3,2BC AC ∴= ABC DAC △∽△，,AB BCAD AC ∴= 3,2AB a ∴= 3.2AB a ∴=（2） ABC DAC △∽△，,AC BCDC AC ∴= 而3,,2BC AC b AC == 3,2b DC ∴=2.3DC b ∴=（3） ABC DAC △∽△，36,117,B D ∠=︒∠=︒117,36,BAC D B DAC ∴∠=∠=︒∠=∠=︒11736153.BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键.26．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点F ．点E 在BD 上，且BAE CAD ∠=∠，AB ACAE AD =．(1)求证：ABC AED ∽△△． (2)若20BAE ∠=︒，求∠CBD 的度数．【解答】(1)证明见解析 (2)20︒【提示】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．（2）根据（1）中ABC AED ∽△△，得出ADB ACB ∠=∠，再根据对顶角相等，AFD BFC ∠=∠，证得AFD BFC ∽△△，得出CBD CAD BAE ∠=∠=∠，即可求解．（1）∵BAE CAD ∠=∠∴BAE EAF CAD EAF ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠， AB ACAE AD =，∵在ABC 和AED △中， AB ACAE AD BAC DAE ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC AED ∽△△．（2）∵ABC AED ∽△△， ∴ADB ACB ∠=∠，又∵AFD BFC ∠=∠，对顶角相等，∴AFD BFC ∽△△， ∴CBD CAD ∠=∠，∵BAE CAD ∠=∠，20BAE ∠=︒，∴20CAD ∠=︒，故答案为：20︒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ⊥DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：△BGC ∽△DGF ； (2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； (3)若点G 是DC 中点，求GFCE 的值．【解答】(1)见解析 (2)见解析 (3)5GF CE=【提示】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC ∽△DCF ．（2）由第一问的结论可得到相似比，既有DG BC DF BG ⋅=⋅，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．（3）通过ASA 判定出△BGC ≌△DEC ，进而根据第一问结论可得△BGC ∽△DGF ，然后通过相似比设未知数，赋值CG x =，即可求出GFCE 的值．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴90BCD ADC ∠=∠=︒ ∵BF DE ⊥ ∴90GFD ∠=︒ ∴BCD GFD ∠=∠，又∵BGC DGF ∠=∠， ∴△BGC ∽△DCF ．（2）证明：由（1）知△BGC ∽△DGF ， ∴BG BCDG DF =， ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅．（3）解：由（1）知△BCC ∽△DGF ， ∴FDG CBG ∠=∠，在△BGC 与△DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠ ∴△BGC ≌△DEC （ASA ） ∴CG EC = ∵G 是CD 中点 ∴CG DG = ∴::GF CE CF DC = ∵△BGC ∽△DGF ∴::GF DG CG BG =在Rt △BGC 中，设CG x =，则2BC x =，BC =∴CG BG =∴GF CE=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．28．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MNPM 的值；（3）在（2）的条件下，若2BC =PMN 面积的最大值．【解答】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；=2MN PM 3）14 【提示】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MNPM 的比值转换为AFCE 的比值即可求得.（3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当2CE BC == 【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴2AB BC =,45ABC BAC ∠=∠= ∵BE 垂直于射线CD , ∴90,BEF ∠= 又∵EF BE =∴2FB EB =,45FBE EFB ∠=∠= ∵+ABC ABE ABE FBE ∠∠=∠+∠ 即：ABF CBE ∠=∠又∵2AB BFCB BE == ∴ABF CBE ∽（2）解：∵点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点∴//PM CN ，//MN AF ，11,22PM CE MN AF== ∴MPN CNP ∠=∠,CNM EFA ∠=∠∴+MPN MNP CNP MNP CNM EFA ∠∠=∠+∠=∠=∠ 又∵ABF CBE ∽ ∴90AFB CEB ∠=∠= 又∵45EFB ∠=∴904545EFA AFB BFE ∠=∠-∠=-= ∴+45MPN MNP ∠∠=又∵++180MPN MNP PMN ∠∠∠= ∴18045135PMN ∠=-=又∵12=12AFMN AFPM CECE = 又∵ABF CBE ∽ ∴=2AF AB CE CB = ∴=2MNPM（3）如下图：过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q , 135,PMN ∠=︒ 45,PMQ MPQ ∴∠=︒=∠,PQ ∴= 111221222228216PMNS MN PQ AF PM AF CE AF CE ==⨯⨯==△又∵BC =∴AF =∴221168PMN S CE ==△∴当CE 取得最大值时，PMN 取得最大值， ,BE CE ⊥E ∴在以BC 的中点为圆心，BC 为直径的圆上运动，∴当CE CB ==CE 最大，∴11=2=84S ⨯，【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．。

相似三角形的基本性质及应用

相似三角形的基本性质及应用相似三角形是几何学中一个重要的概念，它们具有许多基本性质和广泛的应用。

在本文中，我们将探讨相似三角形的定义、性质以及在实际问题中的应用。

**1. 相似三角形的定义**相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

两个三角形相似的条件包括以下几点：- **对应角相等**：如果两个三角形的内部角度相等，它们就是相似的。

这意味着三角形的对应角度度数相同。

- **对应边成比例**：相似三角形的对应边的长度比例相等。

这意味着两个相似三角形的边长之比是相同的。

**2. 相似三角形的性质**相似三角形具有许多重要性质，这些性质在解决各种几何问题时非常有用。

- **比例关系**：如果两个三角形相似，它们的边长之比等于它们的对应角度的正弦值之比。

这可以表示为：\[ \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} \]- **周长比例**：如果两个三角形相似，它们的周长之比等于它们的相似边长之比。

- **面积比例**：相似三角形的面积比等于它们的边长比例的平方。

- **特殊角对**：如果两个三角形相似，它们的对应角度是相等的，因此它们的内部角度之和总是180度。

**3. 相似三角形的应用**相似三角形的性质在很多实际问题中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：- **测量难以到达的高度**：通过相似三角形的原理，可以使用测量一个已知的高度和观察到的角度来计算难以到达的高度，例如测量建筑物或树木的高度。

- **地图比例**：地图上的比例尺是相似三角形的应用之一。

通过测量地图上的距离和计算实际距离之间的比例关系，可以估算实际距离。

- **光学**：在光学中，相似三角形的原理用于描述镜头和相机的工作原理，以及图像的缩放和变焦。

- **建筑和工程**：建筑师和工程师使用相似三角形的原理来设计和规划建筑结构，特别是在确定斜坡和坡度方面。

- **导航和航空**：在导航和航空领域，飞行器和航行工具的导航系统使用相似三角形的原理来确定位置和方向。

相似三角形的性质及应用

相似三角形的性质及应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。

相似三角形的性质在几何学中具有重要的应用，涉及到比例、角度等概念。

本文将介绍相似三角形的性质以及在实际问题中的应用。

I．相似三角形的定义和比例关系相似三角形的定义是指：两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等。

用数学表示形式可以表示为：若ΔABC 与ΔDEF 相似，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且 AB/DE=AC/DF=BC/EF。

利用相似三角形的比例关系，我们可以推导出一些重要的性质和应用。

II．相似三角形的性质1. 边比例：在相似三角形中，对应边的比例相等。

即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则 AB/DE=AC/DF=BC/EF。

2. 高线比例：在相似三角形中，对应高线的比例等于对应边的比例。

即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则 h1/h2=AB/DE=AC/DF=BC/EF。

3. 角度比例：在相似三角形中，对应角度相等。

即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

4. 周长比例：在相似三角形中，对应边的比例等于对应周长的比例。

即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则AB/DE=AC/DF=BC/EF=Perimeter(ΔABC)/Perimeter(ΔDEF)。

5. 面积比例：在相似三角形中，对应边的比例的平方等于对应面积的比例。

即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则(AB/DE)^2=(AC/DF)^2=(BC/EF)^2=Area(ΔABC)/Area(ΔDEF)。

III. 相似三角形的应用1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以通过测量阴影和物体之间的比例，求得物体的高度。

例如，当太阳的高度和一个物体的阴影之间存在相似关系时，可以利用相似三角形的比例关系计算物体的高度。

2. 计算不可测量的距离：在实际测量中，有些距离很难直接测量。

但是，如果存在相似三角形的情况，可以利用相似三角形的比例关系，通过已知距离和比例计算出不可测量的距离。

(详细版)相似三角形的性质和应用

(详细版)相似三角形的性质和应用
1. 相似三角形的性质
相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。

相似三角形的性质如下：
- 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。

- 对应边成比例性质：相似三角形的对应边的长度成比例。

2. 相似三角形的应用
相似三角形的性质在实际生活和数学问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
- 测量高度：通过相似三角形的性质，我们可以利用测量出的一个三角形的高度来计算另一个相似三角形的高度。

这在实际中可以用于测量高楼、山峰等的高度。

- 图形设计：相似三角形的性质可以用于图形设计中的缩放问题。

通过改变三角形的大小来实现图形的缩放效果。

- 工程测量：在土木工程中，相似三角形的性质可以用于测量地形的坡度、直角三角形的边长等。

3. 实例分析
为了更好地理解相似三角形的性质和应用，以下是一个实际问题的分析：
假设有一根高大的电线杆，测得其高度为30米。

为了确定杆子的阴影长度，我们利用测量出的相似三角形来推算。

测量阴影的长度为10米，而测量器与杆子的距离为4米。

根据相似三角形的性质，可以建立如下比例关系：(30高度/4距离) = (阴影长度/10距离)。

通过解这个比例关系，我们可以计算出杆子的阴影长度为75米。

以上是相似三角形的性质和应用的一些简要介绍，通过理解和运用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，提高数学和几何的应用能力。

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相似三角形的性质及应用

相似三角形的性质及应用相似三角形可是数学世界里特别有趣的一部分呢！今天咱们就来好好聊聊相似三角形的性质以及它在实际生活中的那些神奇应用。

先来说说相似三角形的性质吧。

相似三角形的对应角相等，这就好比两个长得有点像的三角形，它们对应的角就像是同一个模子里刻出来的，度数完全一样。

还有啊，相似三角形的对应边成比例。

这啥意思呢？就比如说有两个相似三角形，一个大一个小，大三角形的边和小三角形对应的边，它们的长度之比是固定的，就像双胞胎的身高比例一样稳定。

那相似三角形在生活中有啥用呢？我给您讲个事儿。

有一次我去逛街，看到路边有个工人师傅在测量一个很高的大楼的高度。

他手里拿着个测量工具，一会儿看看大楼，一会儿在本子上写写画画的。

我好奇地凑过去问：“师傅，您这是咋量的呀？”师傅笑着说：“这大楼太高了，直接量可不行。

我就利用相似三角形的原理呢！”他在大楼旁边立了一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大楼的影子长度。

因为杆子和大楼以及它们的影子分别构成了相似三角形，通过已知的杆子长度和影子长度，还有测量出来的大楼影子长度，就能算出大楼的高度啦！当时我就觉得，这相似三角形可真是太神奇了，能解决这么实际的问题。

咱们再回到相似三角形的性质哈。

相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。

这两个性质在解决很多数学问题的时候可管用了。

比如说，给您两个相似三角形，告诉您它们的相似比是 2:3，其中一个三角形的周长是 10，那另一个三角形的周长不就能轻松算出来是 15 嘛。

要是再告诉您其中一个三角形的面积是 8，那另一个三角形的面积就是 18 啦。

相似三角形在建筑设计里也大有用处。

建筑师在设计大楼的时候，经常要考虑比例和尺寸的问题。

他们会利用相似三角形来确保大楼的各个部分比例协调，美观又稳固。

想象一下，如果没有相似三角形的知识帮忙，说不定盖出来的大楼就会歪歪斜斜，那可就糟糕啦！在地图绘制中，相似三角形也发挥着重要作用。

了解相似三角形的性质和应用

了解相似三角形的性质和应用相似三角形是几何学中重要的概念之一，它们具有一些独特的性质和应用。

通过了解相似三角形的性质，我们可以在实际问题中应用相似三角形的概念解决一系列的数学和几何问题。

本文将介绍相似三角形的性质和应用，并通过实例来加深理解。

一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

相似三角形的性质有以下几个方面：1. 边比例：相似三角形的对应边之间有相等的比例关系。

设有两个相似三角形ABC和DEF，其中AB/DE = AC/DF = BC/EF。

这意味着相似三角形的对应边长之比是相等的。

2. 角度相等：相似三角形的对应角是相等的。

即角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F。

这是相似三角形的一个重要性质，可以通过边对边的比例关系推导出来。

3. 高度比例：相似三角形的高度之比等于对应边之比。

如果相似三角形ABC和DEF，高度分别为h1和h2，对应边长为AB和DE，那么h1/h2 =AB/DE。

这个性质在计算相似三角形的高度时很有用。

4. 面积比例：相似三角形的面积比等于对应边长平方的比。

设有两个相似三角形ABC和DEF，面积分别为S1和S2，对应边长之比为k，那么S1/S2 = k²。

这个性质在计算相似三角形面积的问题中应用广泛。

二、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际问题中应用广泛，特别是在测量和建模方面。

以下是一些常见的应用场景：1. 高度测量：通过相似三角形的高度比例性质，可以利用影子定理或者利用物体和它的影子的尺寸比来计算物体的高度。

例如，一个人的影子长度和身高的比例可以用来计算他所在位置的物体的高度。

2. 远离地面的测量：在无法直接测量物体的高度时，可以利用相似三角形的原理进行测量。

例如，通过测量一个建筑物的阴影与一个水平杆的阴影之间的长度比例，可以计算出建筑物的高度。

3. 建模与比例放大：在建筑设计和工程模型中，可以利用相似三角形的边比例性质进行模型的设计和比例放大。

三角形的相似

三角形的相似三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条边和三个角组成。

当两个三角形的对应角度相等且对应边的比例相等时，我们称这两个三角形为相似三角形。

本文将介绍三角形的相似性质、判定方法以及一些与相似三角形相关的常见应用。

一、三角形的相似性质相似三角形有以下几个重要的性质：1. AAA相似性质：如果两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。

2. AA相似性质：如果两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。

3. SAS相似性质：如果两个三角形的两边对应成比例，并且它们的夹角相等，则这两个三角形相似。

4. SSS相似性质：如果两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似。

二、判定两个三角形是否相似的方法根据以上相似性质，我们可以采用以下方法判定两个三角形是否相似：1. 角-角-角（AAA）判定法：当两个三角形的三个内角分别相等时，可以判定这两个三角形相似。

2. 角-边-角（AA）判定法：当两个三角形的两个对应角分别相等，且其夹角处的边也成比例时，可以判定这两个三角形相似。

3. 边-角-边（SAS）判定法：当两个三角形的两边对应成比例，并且它们的夹角相等时，可以判定这两个三角形相似。

4. 边-边-边（SSS）判定法：当两个三角形的三边对应成比例时，可以判定这两个三角形相似。

三、相似三角形的常见应用相似三角形的性质可以应用于实际生活和解决几何问题中，下面介绍三个常见的应用场景：1. 测量高度：当无法直接测量高度时，可以利用相似三角形的性质通过测量已知长度和角度，并找到对应的相似三角形，从而计算出高度。

2. 影子问题：在阴影问题中，利用相似三角形的性质可以求解未知物体的尺寸。

通过测量物体和其阴影的长度，以及测量太阳光和物体的夹角，可以建立相似三角形的比例关系，从而计算出未知物体的尺寸。

3. 图像放大缩小：利用相似三角形的性质，可以通过控制不同比例的相似变换对图像进行放大或缩小。

这在摄影、计算机图形学等领域中广泛应用。

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