专题训练2 相似三角形的存在性问题

相似三角形的存在性问题

例1 如图，已知矩形ABCD中，AB＝12cm，AD＝10cm，⊙O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F．已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD 的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm/s、x cm/s、1.5cm/s，当点Q 到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动．设运动时间

为t（单位：s）．

（1）求证：DE＝CF；

（2）设x＝3，当△P AQ与△QBR相似时，求t的值；

（3）设△P AQ关于直线PQ对称的图形的△P A′Q，当t

和x分别为何值时，点A′与圆心O恰好重合，求出符合条件

的t、x的值．

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如图，已知矩形ABCD中，AB＝12cm，AD＝10cm，点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm/s、3cm/s、1.5cm/s，当点Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动．设运动时间为t （单位：s）．当△P AQ与△QBR相似时，求t的值．

例2 如图，在平面直角坐标系内，已知直线y＝x＋4与x轴、

y轴分别相交于点A和点C，抛物线y＝x2＋kx＋k－1的图像过

点A和点C，抛物线与x轴的另一个交点是B．

（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及点B的坐标；

（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为

顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．

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如图，已知抛物线y＝x2＋5x＋4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．

例3 如图，在平面直角坐标系中，双曲线k

y

x

=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；

（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线

BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，

求△ABC的面积；

（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴

交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E

所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求

点E的坐标．

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如图，已知双曲线

k

y

x

=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)，直线y＝x＋2与y

轴交于点D，此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．

例4 如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直

线

5

2

x ，点D为OC的中点，直线y＝－2x＋2与x轴交于

点A，与y轴交于点D．

（1）求此抛物线的解析式和顶点P的坐标；

（2）求证：∠ODB＝∠OAD；

（3）设直线AD与抛物线的对称轴交于点M，点N在

x轴上，若△AMP与△BND相似，求点N的坐标．

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如图1，已知抛物线y＝x2－5x＋4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，顶点为P，点D为OC的中点．设直线AD与抛物线的对称轴交于点M，点N 在x轴上，若△AMP与△BND相似，求点N的坐标．

例5 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(2,0)、(3,－1)，二次函数y＝－x2的图像为C1．

（1）向上平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2经过

点A，求抛物线C2的解析式；

（2）平移抛物线C1，使平移后的抛物线C3经过A、

B两点，抛物线C3与y轴交于点D，求抛物线C3的解析

式及点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，记OD的中点为E，点P为

抛物线C3对称轴上一点，当△ABP与△ADE相似时，求点P的坐标．

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如图，已知抛物线y＝－(x－2)2的顶点为A，抛物线经过点B(3, m)，与y轴交于点D．记OD的中点为E，点P为抛物线对称轴上一点，当△ABP与△ADE相似时，求点P的坐标．

例6 如图，抛物线C

：y＝ax2＋4ax＋c的图像开口向上，

1

与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶

点为P，AB＝2，且OA＝OC．

（1）求抛物线C1的对称轴和函数解析式；

（2）把抛物线C1的图像先向右平移3个单位，再向下

平移m个单位得到抛物线C2，记顶点为M，并与y轴的交点

为F(0,－1)，求抛物线C2的函数解析式；

（3）在（2）的基础上，点G是y轴上一点，当△APF

与△FMG相似时，求点G的坐标．

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如图，已知抛物线C1：y＝(x＋2)2－1与x轴交于A、B两点（A在B的左边），顶点为P．把抛物线C1先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到抛物线C2，记抛物线C2的顶点为M，并与y轴的交点为F，点G是y轴上一点，当△APF与△FMG相似时，求点G 的坐标．

例7 如图，已知抛物线258

y x bx c =++经过直线112

y x =-+与坐标轴的两个交点A 、B ，

点C 为抛物线上的一点，且∠ABC ＝90°． （1）求抛物线的解析式； （2）求点C 的坐标； （3）直线1

12

y x =-

+上是否存在点P ，使得△BCP 与△OAB 相似，若相似，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图1，已知抛物线54

()(2)85

y x x =

--与y 轴交于点A ，与x 轴的两个交点，右侧的一个交点为B ，点C 为抛物线上的一点，且∠ABC ＝90°．在直线AB 上是否存在点P ，使得△BCP 与△OAB 相似，若相似，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．