整式的加减(全套)

第一讲代数式 (2)
知识要点 (2)
列代数式练习题 (2)
代数式求值 (4)
知识点 (4)
练习题 (4)
*第二讲代数式求值 (6)
1、直接代入求值 (6)
2、整体代入求值 (6)
3、逆用乘法运算律对代数式进行变形求值 (7)
4、利用一些特殊的代数式形式求代数式的值 (7)
5、规律探索问题 (8)
6、利用有关的概念 (8)
7、利用分类讨论方法 (8)
8、利用数形结合的思想方法 (8)
9、利用非负数的性质 (8)
10、利用新定义 (8)
11、巧用变形降次 (8)
练习题 (9)
第三讲整式的概念 (12)
知识点 (12)
练习题 (13)
第四讲整式的加减 (16)
知识点 (16)
练习题 (16)
第一讲代数式
知识要点
✧字母能表示什么？
1、数学运算律：
加法交换律：
加法结合律：
乘法分配律：
乘法结合律：
连除性质：
连减性质：
2、公式
三角形的面积公式：
圆的面积公式：
路程计算公式：
追击时间的计算：
同分母的加法：
异分母的加法：
3、问题中的数量关系
（1）一个两位数，个位数字是b，十位数字是个位数字的2倍少1，则十位数字是
（2）商品的某原价是100元，现降价a%销售，则降价后的销售价格是
4、未知数
如方程：25x—15=85中的字母x就表示未知数
✧二、代数式
代数式：用基本运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。

1、基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开
方等，（但不包括“=”、“≠”、“≥”、“>”、“<”、“≤”）
2、单独的一个数或一个字母
3、代数式中的字母可以表示任何数
4、代数式中的字母所表示的数必须要使代数式有意义，是实际问题的必须符合实际
5、代数式的书写需要符合书写格式：
①字母乘以字母：应写成或
n
m⨯
②字母与常数之积：应写成或
5
⨯
m
③字母与括号之积：应写成
)
(b
n
m-
⨯
④1与字母之积：应写成 ,不写成
n
⨯
1
⑤字母除以字母：应写成
)
(b
n
m-
÷
⑥结果是和差形式，后面有单位时，则和差形式的式子应加括号，如
6、列代数式时要注意：
（1）语言叙述中关键词的意义，如“大”“小”“增加”“减少”。

“倍”“几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。

（2）要理清运算顺序和正确使用括号，以防出现颠倒等错误，例如“积的和”与“和的积”“平方差”“差的平方”等等。

（3）在同一问题中，不同的数量必须用不同的字母表示。

列代数式练习题
1、判断下列哪些是代数式？
（1）（2）（3）5 mn
3
1
)1
(
4-
+x
x
（4）（5）（6）0
3
1
2=
+
x
3
1
+
-
x
y
（7）（8）
b4
1>
-
x
2、下列不符合代数式书写要求的有（）个
m
3
1
15
⨯
n m
n2
2÷
234mn π32
b mn 3
1
3、用代数式填空
（1）每包书有12册，n 包书有_____ _____册；（2）温度由t ℃下降到2℃后是_______ __℃；
（3）棱长是a 厘米的正方体体积是_ __立方
厘米；
（4）产量由m 千克增长10%，就达到_ __千克
（5）n 箱苹果重p 千克，每箱重__ ___千克；
（6）甲身高a 厘米，乙比甲矮b 厘米，那么乙的身高为__ ___厘米；
（7）底为a ，高为h 的三角形面积是___ ___；（8）全校学生人数是x ，其中女生占48%，则女生人数是___
_，男生人数是__
__
（9）抗“非典”期间，个别商贩将原来每桶价格a 元的过氧乙酸消毒液提价20％后出售，市政府及时采取措施，使每桶的价格在涨价后下降15％，那么现在每桶的价格是_____________元。

4、用代数式表示下列各题（1）m 与n 的和除以10的商；
（2）m 与5n 的差的平方；（3）x 的2倍与y 的和；（4）ν的立方与t 的3倍的积（5）x 与y 的和； （6）x 的平方与y 的立方的差；（7）a 的60%与b 的2倍的和；
（8）a 除以2的商与b 除3的商的和
5、用代数式表示
（1）长为a ，宽为b 米的长方形的周长
（2）宽为b 米，长是宽的2倍的长方形的周长；
（3）长是a 米，宽是长的
的长方形的周长；3
1
（4）宽为b 米，长比宽多2米的长方形的周长
（5）比m 除以n 的2倍的商大8的数；
（6）a 与b 的平方的和的相反数；
（7）8a 除以3b 的平方的商； （8）m 的平方与n 的立方的倒数的差。

（9） a 的3倍与b 的一半的差
6、观察下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，
9×3+4=31，9×4+5=41，...
猜想第n 个等式，（n 为正整数）应为___
_。

7、a ，b 两数的平方和用代数式表示为（ ）
A. B. 2
2
a b +2
()a b +C. D.2
a b +2
a b
+代数式求值
知识点
代数式求值的常用方法
1、直接代入求值
代数式的值是指代数式中的字母取某数值时，按照代数式中的运算要求求出的值，如果已知代数式中的字母的值，将其代入就可以求出代数式的值．
【例1】 ，求下列代数式的值5
4
-
=a （1） 2
2
)
(a a -+（2）5
3232
+
-a a 2、整体代入求值
在有些求代数式的值的问题中，往往题目中并没有直接告诉我们字母的值，而且通过已知条件很难求出未知数的值来，我们通常进行整体代入，求得代数式的值．
【例2】已知，求代数式
0222
=++x x
的值
25842+--x x 【例3 】 已知
，求代数式21
1=-b
a 的值．
b
ab a b
ab a 232343--++-【例4】 当x=－5时，代数式的值c bx ax ++2
4是3，求当x=5时，代数式的值．
c bx ax ++2
4
练习题
1.当x=-2时，代数式-+2x-1的值等于（
2
x ）
A.9
B.6
C.1
D.-12.当代数式a+b 的值为3时，代数式2a+2b+1的值是（ ） A.5 B.6 C.7 D.83.某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况
下提价100 ％，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10％，则该药品现在降价的幅
度是（ ）
A.45％
B.50％
C.90％
D.95％
4.某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二人份比一月份增加10％，三月份比二月份减少10％，那么三月份比一月份（ ）
A.减少10％
B.增加10％
C.不增不减
D.减少1％
5.一种商品进价为每件a 元，按进价增加25％出售， 后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还盈利（ ）
A. 0.125a 元
B. 0.15a 元
C. 0.25a 元
D. 1.25a 元6.如图所示，四个图形中，图①是长方形，图②、③、 ④是正方形，把图①、②、③三个图形拼在一起（不重合），其面积为S ，则S ＝______________；图④的面积P 为_____________，则P_____s 。

7.如图，要给这个长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子打包，其打包方式如下图所示，则打包带的长至少要____________（单位：mm ）。

（用含x 、y 、z 的代数式表示）
8.把边长为1的正方形对折n 次后，所得图形的面积多少？
9.观察下面一列有规律的数：
根据其可知第n 个123456
,,,,,,3815243548
L 数应是________ _（n 为正整数）。

10、从1开始，将连续的奇数相加，和的情况有如下规律：
1=1=；1+3=4=；1+3+5=9=；1+3+5+7=16=
2
12
22
3；1+3+5+7+9=25=；...。

按此规律，请你猜
2425想从1开始，将前10个奇数（即当最后一个奇数是19时）相加,其和是多少？
11.有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出1m 长的电线，称出它的质量为a ，再称其电线的总质量为b ，则这捆电线的总长
度是__________m 。

12.如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案， 按这种方法摆下去，当每边上摆20根（即n=20）时，需要火柴棍总数为________________根。

y
x
z
n=3
n=2n=1
*第二讲 代数式求值
1、直接代入求值
代数式的值是指代数式中的字母取某数值时，按照代数式中的运算要求求出的值，如果已知代数式中的字母的值，将其代入就可以求出代数式的值．
【例1】 ，求下列代数式的值5
4
-
=a
)61(2)22(332233a a a a a a a -++---+-2、整体代入求值
在有些求代数式的值的问题中，往往题目中并没有直接告诉我们字母的值，而且通过已知条件很难求出未知数的值来，我们通常进行整体代入，求得代数式的值．
【例2】已知，求代数式211=-b
a 的值．
b
ab a b
ab a 232343--++- 【例3】 当x=－5时，代数式的值c bx ax ++2
4是3，求当x=5时，代数式的值．
c bx ax ++2
4
练习：当x=-2时，代数式
的值为8，求当x=2时，代数
635-++cx bx ax 式的值。

63
5
-++cx bx ax 【例4】 已知，62,142
2-=-=+bc b bc a 则= ．bc b a 5432
2
-+
【例5】已知
1223344555)12(a x a x a x a x a x a x +++++=-是关于x 的恒等式．求：
(1)的值；543210a a a a a a +++++(2) 的值；543210a a a a a a -+-+-(3) 的值．
420a a a ++
3、逆用乘法运算律对代数式进行变形求值
【例6】
已知x 2+4x—1=0，求代数式
的值．
18482234+--+x x x x 4、利用一些特殊的代数式形式求代数式的值
【例7】若，则
133
=-x x 的值等于( )
199973129234+--+x x x x A ．1997
B ．1999
C ．2001
D ．2003
练习：
（1）当代数式的值为7时,求代数532
++x x 式的值.
2932
-+x x （2）已知，求
012
=-+a a 的值.
2007223++a a 【例8】若多项式
的值与x
()
x y x x x mx 537852222+--++-无关，
求的值.
()[]
m m m m +---4522
2
【例9】三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，
且，bc
bc
ac ac ab ab c c b b a a x +
++++=
则 的值是_______ 。

12
3+++cx bx ax
练习题
1、已知是最大的负整数，是绝对值最小x y 的有理数，求代数式的3
2
2
3
310513x x y xy y -+-值。

（变）若为
的倒数，为偶质数，求代数x 1
3
y 式的值。

()()()5
4
2
33x y x y x y -+-+--2、已知当时，代数式的值
5x =2
5ax bx +-是，求时，代数式的值。

105x =2
5ax bx ++（变）当时，代数式的值是
3x =3
8ax bx ++，求当时，代数式的值。

123x =35ax bx +-3、已知，求代数式的1a b +=33
3a ab b ++值。

4、已知代数式，当时的值3
ax bx c ++0x =为；当时的值为；求当时，代数23x =13x =-式的值。

（变）代数式，当时的值
5
ax bx c ++3x =-为；当时的值为，求当时，该代数80x =13x =式的值。

5、若，求代数式
2
310x x --=的值。

3223118x x x --+（变）、若，求代数式
2
31x x -=的值。

326751999x x x +-+
6、已知，求代数式
2,1a b b c -=-=的值。

222a b c ab bc ca ++---（变）已知，试证222
a b c ab bc ca ++=++明：。

a b c ==7、已知、、为有理数，且满足
a b c ，，求、、的值。

8a b =-216c ab =-a b c 8、已知，求1
2x x
+
=（1） （2）2
21x x
+33
1x x +（变）已知，试求下列各式的2
310x x -+=值：
（2） （3）221x x +
331x x +4
4
1x x +
9、已知a 为有理数，且a 3+a 2+a+1=0,求1+a+a 2+a 3+…+a 2007的值。

10、已知a -b=5，ab=-1，
求(2a+3b -2ab) -(a+4b+ab) -(3ab+2b -2a)的值。

11、已知a+b+c=0,求(a+b)(b+c)(c+a)+abc 的值。

12、已知x2+4x=1,求代数式x5+6x4+7x3-4x2-8x+1的值。

提示：利用多项式除法及x2+4x-1=0。

13、已知A=3x2n-8x n+ax n+1-bx n-
1，B=2x n+1-ax n-3x2n+2bx n-1，A-B中x n+1项的系数为3，x n-1项的系数为-12，求3A-2B。

14、若a,c,d是整数，b是正整数，且
a+b=c,b+c=d,c+d=a，求a+b+c+d的最大值。

15、若求x+y+z的值.
16、已知y=ax5+bx3+cx+d，当x=0时，
y=-3；当x=-5时,y=9。

当x=5时，求y的值。

提示：整体求值法，利用一个数的奇、
偶次方幂的性质。

第三讲 整式的概念
知识点
✧
单项式
（1）单项式：表示数与字母的乘积的代数式（2）单独的一个数或一个字母也是单项式（3）只含有乘法、乘方运算，不含有加减运算（4）可以有除法运算，但是除数不能含有未知数
【例1】下列各代数式是单项式？如果不是请说明理由。

x
ab b a x ab xy x 25,
5,25,0,,21,5,323
--π 单项式：
（5）单项式的次数及系数
单项式的次数：所有字母的次数 单项式的系数：单项式中的 数字因数 【例2】说一说，下列单项式的次数和系数（1） 次数是
，系数是
3
3x -（2） 次数是
，系数是
5
2
xy （3）次数是 ，系数是 221
abx π
-
✧2、多项式
（1）定义：几个单项式的 叫多项式
（2）必须含有加法或减法运算：（3）多项式的项：（4）多项式的项数：（5）多项式的次数：次数最高的项的次数【例3】根据多项式的知识填表
-1
49
8223
4
+-+x x x 项
各项系数各项次数该多项式
是
次
项式
【练习1】已知多项－+3+2－8 2x y 2x 2x 2
y 回答下列问题：
（1） 这个多项式有几项？
（2） 这个多项式的最高次项是哪一项？写出
它的次数和系数；
（3） 这个多项式有常数项吗？如果有，是哪
一项？
【练习2】说出下列多项式的各项、最高次项、多项式的次数
（1）12
5
424
3
222
252---y x a xy y ax （2）2
243)
2(3255----y x y y
【例题5】多项式
是关于y 的二次三项
b y y y a b ---+325)5(3式，求的值
b
a 【练习3】多项式是a
b y y y b
+---32553
关于x 的四次三项式，求的值
b a b +--2)
(
3、整式
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪
⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎨
⎧⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧分母中含有字母
分式多项式的次数常数项项
定义多项式次数系数定义单项式整式代数式:注意：整式中分母不含有字母，并非所有的代数式都是整式。

【例6】下列代数式哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？
,2c bx x c ab +++，②①5
-③1
,5221-+x x y x ⑥，⑤π④
整式有：单项式有：多项式有：
练习题
一．判断题
(1)
是关于x 的一次两项式． ( )3
1
+x (2)－3不是单项式．(
)
(3)单项式xy 的系数是0．(
)(4)x 3＋y 3是6次多项式．( )
(5)多项式是整式．(
)
二、选择题
1．在下列代数式：
ab ，，，212
b a +12++b ab +，，多项式有（ ）x 3y
212
3++x x A ．2个
B ．3个
C ．4个 D5个
2．多项式是（ ）　2
2
3
2n m --A ．二次二项式 B ．三次二项式 C ．四次二项式
D 五次二项式
3．下列说法正确的是（ ）
A ．的项是，，5 522
2
3
+--n m 2
3
2m -2
n B ．
－与2 x 2―2x y －5都是多项式3x 3
y
C ．多项式的次数是5
522
2
3
+--n m D ．一个多项式的次数是6，则这个多项式中只有一项的次数是64．下列说法正确的是（ ）
A ．整式没有系数 ab
B ．
++不是整式2x 3y 4
z
C ．－2不是整式
D ．整式2x+1是一次二项式
5．下列代数式中，不是整式的是（ ）
A 、
B 、
23x -745b a -C 、
D 、－2005
x
a 523+6．下列多项式中，是二次多项式的是（ ）
A 、
B 、132
+x 2
3x C 、3xy －1
D 、2
5
3-x 7．x 减去y 的平方的差，用代数式表示正确的是（ ）A 、 B 、2
)(y x -2
2y
x -C 、 D 、y
x -2
2
y
x -8．某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。

已知该楼梯长S 米，同学上楼速度是a 米/分,下楼速度是b 米/分,则他的平均速度是（ ）米/分。

A 、 B 、2b
a +b
a s +C 、
D 、
b
s a s +b
s a s s +29．下列单项式次数为3的是( )
A. 3abc
B. 2×3×4
C.
x 3y D. 52x
4
110．下列代数式中整式有(
) 个
， 2x +y ， a 2b ， ， x 131πy x -， 0.5 ， a x
y
45A 、4 B 、5
C 、6
D 、7 11．下列整式中，单项式是( )
A 、3a +1
B 、2x －y
C 、0.1
D 、
2
1
+x 12．下列各项式中，次数不是3的是( )
A ．xyz ＋1
B ．x 2＋y ＋1
C ．x 2y －xy 2
D ．x 3－x 2＋x －1
13．下列说法正确的是( )A ．x(x ＋a)是单项式
B ．
不是整式
π
1
2+x C ． 0是单项式 D ．单项式－
x 2
y 的系数是3
13
114．在多项式中，最高次项是(
)
5
2
3
2+-xy x A ．x 3B ．x 3，xy 2C ．x 3，－xy 2 D ．25
15．在下列代数式中，多项式有（
）个
y
y y n x y x 1
),12(31,8)1(7,4322++++A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
16．单项式－的系数与次数分别是(
)
2
32
xy A ．－3，3 B ．－
，321C ．－
，2
D ．－，3
2
32
317．下列说法正确的是( )
A ．x 的指数是0
B ．x 的系数是0
C ．－10是一次单项式
D ．－10是单项式18．系数为－且只含有x 、y 的二次单项式，可2
1
以写出( )A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
19．多项式的次数是（ ）2
12x y -+A 、1 B 、　2 C 、－1 D 、－2三．填空题
1．当a ＝－1时，＝
；3
4a 2．单项式： 的系数是
，次数
3
23
4y x -是
；
3．多项式：是 y y x xy x +-+3
2
2
3
534次 项式；
4．是
次单项式；
22005
3
xy 5．的一次项系数是 ，常数项是
y x 342
-；
6．_ ____和__ ___统称整式.
7．单项式
xy 2
z 是___ __次单项式. 2
18．多项式a 2－ab 2－b 2有_____项， 其中
2
1
－ab 2的次数是 . 2
1
9．整式①，②3x －y 2,③23x 2y ,④a ,⑤πx +y ,⑥
2121
,⑦x +1中：5
22
a
π单项式有 ，多项式有 10．x+2xy +y 是
次多项式.
11．比m 的一半还少4的数是
；
12．b 的倍的相反数是
3
1
113．设某数为x ，10减去某数的2倍的差是 ；
14．n 是整数，用含n 的代数式表示两个连续奇数
；
15．的次数是 4
2
23
4
263y y x y x x --+-；16．当x ＝2，y ＝－1时，代数式的值||||x xy -是
；
17．当t ＝ 时，的值等于1；3
1t
t +-
18．当y ＝ 时，代数式3y －2与
的4
3
+y 值相等；
19．－23ab 的系数是 ，次数是 次．
20．把代数式2a 2b 2c 和a 3b 2的相同点填在横线上：
（1）都是
式；（2）都是
次．
21．多项式x 3y 2－2xy 2－
－9是___次___项式，43
xy
其中最高次项的系数是 ，二次项是
，常数项是 ．
22．在x 2，
(x ＋y)，，－3中，
2
1
π1单项式是 ，多项式是 ，整式是
．
23．单项式的系数是____________，次数
7
53
2c ab 是____________．
24．当a=________时，整式x 2＋a －1是单项式．25．当x ＝－3时，多项式－x 3＋x 2－1的值等于____________．
26．如果整式(m －2n)x 2y m+n-5是关于x 和y 的五次
单项式，则m+n
27．一个n 次多项式，它的任何一项的次数都
____________．28．系数是－3，且只含有字母x 和y 的四次单项式共有
个，分别是
．
第四讲 整式的加减
知识点
✧同类项
（1）两同：字母相同、相同字母的指数相同
（2）两无关：系数、字母的位置【例题1】判断下列是否是同类项的是
① （ ）y x y x 3243与-② （ ）
242432y x y x 与-③ （ ）42243x y y ax 与-④
（
）52252x y y x 与-⑤ （ ）5225)2()(2x y y x ---与⑥
（
）
233)2(与-【例2】已知是同类项，
41223x y y x n m
--与求的值
n
m
m n +-)
(✧2、合并同类项
两同不变，系数 【例3】计算
①；2
2
2
2
2323xy xy y x y x -++-②；)32(3)23(4)(5b a b a b a -+--+③)377()5(32
2
2
2
2
a b ab b ab a a ---+--✧
3、去括号依据：乘法分配律
不能漏乘、不能漏合并同类项去括号规则：
【例4】下列去括号错误的共有（ ）
①；
c ab c b a +=++)(②；
d c b a d c b a +--=-+-)(③；
c b a c b a -+=-+2)(2④b a a b a a b a a +-=+--+---2
2
2
)]([A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
练习题
一、选择题
1、下列各组中，不是同类项的是（ ）A 、 B 、2
2
35.0ab b a 与y x y x 2
222-与C 、 D 、3
15与m
m x
x 32--与2、若七个连续整数中间的一个数为n ，则这七个数的和为（ ）
A 、0
B 、7n
C 、－7n
D 、无法确定
3、若与互为相反数，则a 等于（ a 352+a ）
A 、5
B 、－1
C 、1
D 、－54、计算：等于（ ）)](2[n m m n m ----A 、
B 、n 2-m
2C 、 D 、n m 24-m n 22-5、式子与的差是（ ）2
2
3b a -2
2
b a +A 、 B 、 2
2a 2
2
22b a -C 、　
D 、24a 2
224b
a -6、的相反数是（ ）
c b a -+-
A 、
B 、　c b a +--c b a +-
C 、
D 、c b a +--c b a ---7、减去等于的式子是（ m 3-5352
--m m ）
A 、
B 、)1(52-m 5652
--m m C 、 D 、)1(52+m )565(2
-+-m m 二、填空题
1、若是同类项，则4
243b a b a m n
与m ＝＿＿＿，n ＝＿＿＿＿。

2、在中，与x x x x 621472
2
+--+-2
7x ＿＿＿同类项，与＿＿＿是同类项，－2与x 6＿＿是同类项。

3、单项式
的和为
ab b a ab ab b a 3,4,3,2,3222--＿＿＿＿。

4、把多项式按字母x 3
2
2
3
535y x y x xy +--的指数从大到小排列是：
5、若，4)13(2
2
+-=+--a a A a a 则A ＝ 。

6、化简：
（1）________;28=+-x x （2）________;6
5
3121=+--
a a a 7、去括号：
（1）________;)2(2=-+-y x （2）__________)(32=-+-d c b a 8、已知 ,3,2=-=-c b c a ___2=-+c b a 则三、解答题
1、去括号并合并同类项①；
)22(--a a ②；
)32(3)5(y x y x --+-③；　
)(2)(2b a b a a +-++④)
32(2[)3(1yz x x xy +-+--2、化简求值① 其
),45()54(322
3
--++-x x x x 中2
-=x ② ),121
21()3232(+----
xy x y xy 4
3
,32=
=y x 其中
3、已知
,2
2
2
c b a A -+=，且A ＋B ＋C ＝0, 求:
222324c b a B ++-=（1）多项式C 。

（2）若，求A ＋B 的值。

3,1,1=-==c b a。