离散数学课件资料

2020/5/16
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三、最优树
带权二元树：设有一棵二元树有t 片树叶，分别带权为 w1、w2 、… 、wt，则称之为带权二元树；
t
权：称 W (t) Wi L(Wi ) 为该带权二元树的权，其中， i 1
权为wi的树叶的层数为L(wi)。
最优二元树：所有带权w1、w2 、… 、wt的二元树中， 带权W( T)最小的二元树。
树高:层数最大的顶点的层数，记为h(T)。
（本书树根为第0层。）
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一、有向树
根树可看成是家族树： (1) 若从a到b可达，则称a是b的祖先， b是a的后代； (2) 若<a , b >是根树中的有向边，则称a是b的父亲，
b是a的儿子； (3) 若b、c同为a的儿子，则称b、c为兄弟。
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二、生成树
基本回路: 设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生
成树，设e1, e2, …, emn+1为T的弦。设Cr为T添加弦er 产生的G的回路, 该回路只含生成树T的一条弦er，其 余边均为树枝，称Cr为对应T的弦er的基本回路，r＝1, 2, …, mn+1。
基本回路系统： {C1, C2, …, Cmn+1}为G对应T的基
(6) G中每则一2对(n结-1点) 之2间n -有k唯，一则的k 一2条基本通路。
定理 任意非平凡树T (n, m)至少有两片树叶。
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一、无向树
例：画出6阶所有非同构的无向树。
解：设T是6阶无向树，T的边数m＝5， 由握手定理可知，∑d(v)＝10，且δ(T)≥1，△(T)≤5。
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二、有序树
将有序树转换为二元树： (1) 从树根开始，保留每个父亲顶点和最左边儿子 的连线，撤消与其他儿子的连线； (2) 兄弟间用从左至右的水平有向边连接。 (3) 以位于给定顶点下面的顶点作为左儿子，以给定 顶点的水平右邻顶点（兄弟）作为右儿子。
将森林转换为二元树：将每棵树表示为二元树，除第一 棵二元树外，将余下每棵二元树作为前一棵二元树的根 的右子树。
Kruskal算法(避圈法)：设n阶无向连通带权图G有m条
边 e1,e2,，em它们带的权分别为 a1，, a2,设am
。a1 a2 am
（1）取e1在T中（ e i非环，若是环，则放弃）
（2）若e2不与e1构成回路，取e2在T中，否则放弃e2，考
查e3，继续这一过程，直到形成生成树T为止。
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一、无向树
树的等价 (1) G连通且不含回路； 定义 (2) G中无回路，且m = n-1，其中m为边， n为结点数； (3) G是连通的，且m = n-1;
(4) G中无回路，但在G中任意不相邻两结点之间增加一 条边，就得到唯一的一条初级回路； (5) G是连通设的T 有且kG片中树每叶条，边于都是是2桥m； k+ 2 (n - k)，
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Kruskal算法:
a 19
b5
14 12
18
7
c
16 e 8
3
g
d
27
21
f
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§9.2 根树及其应用
有向树：一个有向图，若略去所有有向边的方向后得 到的无向图是一棵树，则称该有向图为有向树。
根树：非平凡的有向树，若恰有一个结点的入度为0， 其余所有顶点的入度均为1，则称此有向树为根树。
其中：入度为0的顶点称为树根， 入度为1，出度为0的顶点称为树叶， 入度为1出度大于0的顶点称为内点， 内点和树根统称为分支点。
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一、有向树
v0
v1
v2
v4 v5 v6
v9
v10
v3
v7 v8 v11
v12
层数:从树根到任意顶点v的通路长度，称为vwenku.baidu.com层数，
记为l(v).
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二、生成树
定理 任何连通图G至少存在一棵生成树。
推论1: G为n阶m条边的无向连通图，则m≥n1。
(要把n个顶点联系起来至少需要n-1条边)
推论2 : 设G是n阶m条边的无向连通图，T为G的生 成树，则T的余树中含有m-n+1条边（即T有m-n+1条 弦）。
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故T的度数列必为以下情况之一：
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 –两种 (5) 1，1，2，2，2，2
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二、生成树
生成树：若连通图G的某个生成子图是一棵树， 则称该树为G的生成树，记做TG。
本回路系统。
a
一个连通图对应不同的生成树的基本回
de
路及基本回路系统可能不同，但是基本
b f c 回路的个数相等，等于mn+1。
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三、最小生成树
最小生成树：设G = <V, E, W>是无向连通带权图，T 是 G 的一棵生成树，T 各边带权之和称为T 的权，记为 W(T)。G的所有生成树中带权最小的生成树称为G的最 小生成树。
§9.1 无向树及生成图
本章所指回路为简单回路或初级回路
树：连通而不含回路的无向图称为无向树，简称树。 常记做T。
树叶：树中度数为1的结点。 分支点：树中度数大于1的结点。 平凡树：平凡图。 森林：连通分支数大于等于2,且每个连通分支都是树的 无向图。
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树枝：生成树TG的边。 弦：G中不在TG中的边。 生成树的余树(补)：TG的所有弦的集合的导出 子图。余树不一定是树,也不一定连通。
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二、生成树
a
a
a
d
e b
图G
d
e
e
cb
cb
c
生成树TG
生成树TG的补
无向连通图如果本身不是树，它的生成树是不唯一的， 但所有连通图都具有生成树。
根子树：根树T 中，任一不为树根的顶点v及其所有 后代导出的子图, 称为T 的以v为根的子树。
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二、有序树
有序树：每层上的顶点都规定了次序的根树。 分类：根据根树T中每个分支点儿子数以及是否有序：
r元树：每个分支点至多有r个儿子； r元有序树：r元树是有序的； r元正则树：每个分支点恰有r个儿子； r元正则有序树：r元正则树是有序的； r元完全正则树：树叶层数均为树高的r元正则树； r元完全正则有序树：r元完全正则树是有序的。