相似三角形中几种常见的辅助线作法

相似三角形中几种常见的辅助线作法
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。

主要的辅助线有以下几种：
一、添加平行线构造“A ”“X ”型
例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值.
解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则
∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1.
解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ，
∴BE ：EF=5：1.
解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，
解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，
∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1.
变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点,
连结BE 并延
长交AC 于F,
求AF ：CF 的值.
解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，
，
1==AE DE FE
PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC
BC DQ
BF ，
EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2
1
==；TC BT EF BE =，
DC BT 2
5=
例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F ，求证：
（证明：过点C作CG
分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对
应边成比例来证明。

不相似，因而要通过两组三角形相似，运
用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。

.
方法一：过E作EM方法二：过D作DN
例4：在△ABC中，D为AC
上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。

求证：
EF×BC=AC×DF
证明：过D作DG∥BC交AB于G，则△DFG和△EFB相似，
∴∵BE＝AD,∴
由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴即
∴EF×BC＝AC×DF.
例5：已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC于E,
交BA的延长线于F,
求证：
分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论 .
（或利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线段分别构成两个三角形.）
CE
BD
CF
BF
=
EC
AE
BF
AF
=
DG DF
BE EF
=
DG DF
AD EF
=
DG AD
BC AC
=
DG BC
AD AC
=
例6：已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求证：BC2=2AC·CD
分析：本题的重点在于如何解决“2”倍的问题；让它归属一条线段，
找到这一线段2倍是哪一线段.
例7: 如图，△ABC中，AD是BC边上中线，E是AC上一点，连接ED
且交AB的延长线于F点.求证：AE：EC=AF：BF.
分析：利用前两题的思想方法，借助中点构造中位线，利用平行
与2倍关系的结论，证明所得结论.找到后以比例式所在三角
形与哪个三角形相似.
例8：在?ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB,延长BP交AC于E，交CF于F,求证：BP2=PE·PF
分析：在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，也可以通过线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的线段，通过相似证明.另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明.
二、作垂线构造相似直角三角形
例9：如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，
垂足分别为E、F，
求证：2
AC
AF
AD
AE
AB=
⋅
+
⋅
证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N
∴ AM：AE=AB：AC （1）
（1）+（2）得
例10：?ABC中，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点
（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：
证明：过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，则CEPF为矩形
∴ PF EC ∵∠A＝∠B=45°∴RtΔAEP=RtΔPFB
∴∵ EC=PF ∴（1）
在ΔECP和ΔCNM 中CP⊥MN于Q
∴∠QCN+∠QNC=90°又∵∠QCN+∠QCM=90°∴∠MCQ=∠CNQ
∴RtΔPEC∽RtΔMCN ∴即（2）
由（1）（2）得
三、作延长线构造相似三角形
例11. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于
点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。

分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。

把问题转
化为相似三角形的面积比而加以解决。

解：延长BA、CD交于点P ∵CH⊥AB，CD平分∠BCD
∴CB=CP，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA：AB=1：2 ∴PA：PB=1：3
∵AD∥BC ∴△PAD∽△PBC
例12. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中
点，AE的延长线交BC于F，FG交AB于G，求证：FG=CF·BF
CN
CM
PB
PA:
:=
AM
AC
AE
AB⋅
=
⋅
)
(AN
AM
AC
AN
AC
AM
AC
AF
AD
AE
AB+
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅BCM
ADN∆
≅
∆
=
//
EC
PE
PF
PE
PB
PA
=
=
CN
EC
CM
EP
=
CN
CM
EC
EP
=
CN
CM
PB
PA
=
9
1：
：
∴
△
△
=
PBC
PAD
S
S
PBC
PCH
S
S
△
△
∵
2
1
=7
2：
∴
四边形
△
=
=
AHCD
PAD
S
S21
=
AHCD
S
四边形
∵
6
=
PAD
S
△
∴54
=
PBC
S
△
27
2
1
=
=
PBC
HBC
S
S
△
△
∴
FG
CF
BF
FG
=
分析：欲证式即 由“三点定形”，ΔBFG 与ΔCFG 会相似吗？显然不可能。

（因为ΔBFG 为Rt Δ），但由E 为CD 的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG 相似的三角形来求解。

不妨延长GF 与AC 的延长线交于H ，则 又ED=EC ∴FG=FH 又易证Rt ΔCFH ∽Rt ΔGFB ∴FG ·FH=CF ·BF ∵FG=FH ∴FG2=CF ·BF
四、利用中线的性质构造相似三角形
例13：如图，中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求AC.
解：取BC 的中点M ，连AM ∵AB ⊥AC ∴ AM=CM ∴∠1=∠C 又 BD=DC
∴∠DBC=∠DCB ∴∠CAM=∠C=∠DBC ∴ΔMAC ∽ΔDBC ∴ 又 DC=1 MC= BC ∴ （1）
又 Rt ΔAEC ∽Rt ΔBAC 又 ∵ EC=1 ∴ （2）
由（1）（2）得， ∴
小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC 中点M ，构造ΔMAC ∽ΔDBC
是解题关键
EC FH ED FG AE AF ==EC
FH ED FG =BF FH FG CF =BC AC DC MC =2122
1BC DC BC MC AC =⋅=BC BC CE AC =⋅=242
1AC AC =32=AC。