机械零件的应力应变分析

§3－3机械零件的应力应变分析

一、拉（压）杆应力应变分析

（一）应力分析

前面应用截面法，可以求得任意截面上内力的总和，现在进一步分析横截面上的应力情况，首先研究该截面上的内力分布规律，内力是由于杆受外力后产生变形而引起的，我们首先通过实验观察杆受力后的变形现象，并根据现象做出假设和推论；然后进行理论分析，得出截面上的内力分布规律，最后

确定应力的大小和方向。

现取一等直杆，拉压变形前在其表面上画垂直于杆轴的直线和（图3-28）。拉伸变形后，发现

和仍为直线，且仍垂直于轴线，只是分别平行地移动至和。于是，我们可以作出如下假设：

直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。根据这个“平面假设”可知，杆件在它的任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。又因材料是均匀连续的，所以杆件横截面上的内力是均匀分布的，即在横截面上各点处的正应力都相等。若杆的轴力为，横截面积为,,于是得：

???????????????????????? (3－2)

这就是拉杆横截面上正应力的计算公式。当为压力时，它同样可用

于压应力计算。规定拉应力为正，压应力为负。

例3－3? 图3-29（a）为一变截面拉压杆件，其受力情况如图示，试确定其危险截面。

解? 运用截面法求各段内力，作轴力图[图3-29（b）]：

段：????????? 段：

段：???????? 段：

根据内力计算应力，则得：

段：????????? 段：

段：

最大应力所在的截面称为危险截面。由计算可知，段和段为

危险截面。

（二）、拉（压）杆的变形

杆件受轴向拉力时，纵向尺寸要伸长，而横向尺寸将缩小；当受轴

向压力时，则纵向尺寸要缩短，而横向尺寸将增大。

设拉杆原长为，横截面面积为(图3-30)。在轴向拉力P作用下，

长度由变为，杆件在轴线方向的伸长为, 。

实验表明，工程上使用的大多数材料都有一个弹性阶段，在此阶段范围内，轴向拉压杆件的伸长或缩短量，与轴力和杆长成正比，与横截面积成反比。即，引入比例常数则得到：

??????????????????? （3－3）

这就是计算拉伸（或压缩）变形的公式，称为胡克定律。比例常数称为材料的弹性模量，它表征材料抵抗弹性变形的性质，其数值随材料的不同而异。几种常用材料的值已列入表3－1中。从公式（3－3）可以看出，乘积越大，杆件的拉伸（或压缩）变形越小，所以称为杆件的抗拉（压）

刚度。

上式改写为：

其中，而表示杆件单位长度的伸长或缩短，称为线应变(简称应变)，即。是一个无

量纲的量，规定伸长为正，缩短为负。

则（3－3）式可改写为：?????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????????????????????????????? （3-4）式（3-17）表示，在弹性范围内，正应力与线应变成正比。这一关系通常称为单向胡克定律。

杆件在拉伸（或压缩）时，横向也有变形。设拉杆原来的横向尺寸为，变形后为（图3-30），则

横向应变为：

实验指出，当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值是一个常数。即

称为横向变形系数或泊松比，是一个无量纲的量。和弹性模量E一样，泊松比也是材料固有的弹

性常数。

因为当杆件轴向伸长时，横向缩小；而轴向缩短时，横向增大，所以和符号是相反的。

表3-1 几种常用材料的

和的约值 材料名称 E (GPa )值

μ值

碳?????? 钢

合?? 金? 钢

灰?? 铸? 铁

铜及其合金

铝?? 合? 金

196~216 186~206 78.5~157 72.6~128 70 0.24~0.28 0.25~0.30 0.23~0.27 0.31~0.42 0.33 例3-4?? 图3-31中的螺栓内径=10.1mm ，拧紧后在计算长度=800mm 上产生的总伸长

=0.03mm 。钢的弹性模量

=200GPa 。试计算螺栓内的应力和螺栓的预紧力。

解? 拧紧后螺栓的应变为：

根据胡克定律，可得螺栓内的拉应力为：

(MPa )

螺栓的预紧力为：

?

=6(kN ) 以上问题求解时，也可以先由胡克定律的另一表达式（13－63）即求出预紧力，然后再由预

紧力计算应力σ。

例3-5? 图3-32（a ）为一等截面钢杆，横截面面积=500mm 2，弹性模量=200GPa 。所受轴向外力

如图示，当应力未超过200MPa 时，其变形将在弹性范围内。试求钢杆的总伸长。

解? 应用截面法求得各段横截面上的轴力如下：

段?

=60(kN ) 段? =60-80= -20(kN )

段? =30(kN )

由此可得轴力图[图3-32（b ）]

由式（3－2）可得各段横截面上的正应力为：

段? (MPa )

段? (MPa )

段? (MPa)

由于各段内的正应力都小于200MPa，即未超过弹性限度，所以均可应用胡克定律来计算其变形。全杆总长的改变为各段长度改变之和。由式（13－63）即得：

二、拉伸和压缩时材料的机械性质

在外力作用下不同材料所表现的机械性质不同。所谓材料的机械性质或力学性质主要是指，材料在外力作用下表现出的变形和破坏方面的特性。因此，要解决构件的强度及刚度问题，就必须通过试验来研究材料的机械性质，作为合理选择材料及计算的依据。我们将在常温、静载的条件下，通过对材料进行拉伸及压缩试验，观察材料在开始受力直到破坏这一全过程中所呈现的各种现象，来认识材料的

各项机械性质。

为使试验结果能互相比较，采用标准试件。拉伸试件的形状如图3-33所示，中间为较细的等直部分，两端加粗。在中间等直部分取长为的为一段作为工作段，称为标距。对圆截面试件，标距与横截面直径有两种比例，=10和=5。由国家规定的试验标准（《金属拉力试验法》GB228-76），对试件的形状、加工精度、试验条件等都有具体规定。

1.拉伸时材料的机械性质

1、低碳钢

低碳钢是工程上常用的材料。在拉伸试验中，低碳钢表现出来的机械性质最为典型，故选择其作为拉

伸试验的典型材料。

试件装上试验机后，缓慢加载。试验机的示力盘指出一系列拉力的数值，对应着每一个拉力，同时又可测出试件标距的伸长量。以纵坐标表示拉力，横坐标表示伸长量。根据测得的一系列数据，作图表示和的关系（图3-34），称为拉伸图或-曲线。

-曲线与试件的尺寸有关。为了消除试件尺寸的影响，可把-曲线改为曲线，亦即纵坐