二次曲面椭球面方程

x2 a2

y2 b2
z2 c2
1
第 九 节
二
次 曲
o
y
面
x
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x2 y2 z2 特别的a=b时 a 2 b2 c2 1
第
为旋转双曲面
九
节
二
例1、画出下列曲面所谓立体图
次
曲 面
(1) y x, x z , z 0, y 0
2
(2)x2 y2 R2, x2 z2 R2 及三个坐标面
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(x 0, y 0, z 0)
第
(3)z 4 x2 与三个坐标面
九
节
二
(4)x2 y2 z和x2 z 1
次
曲
面
:

2
p

2q

0
为点（0，0，0）
z 0
与平面 z z0 ( 0)交线
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x2
y2
第
cz0
:

2
pz0

2qz0
1
z z0
是 z z平0 面上的椭圆
九 节
类似，用xoz及yoz坐标平面截得截痕为抛物面
二
z
次
曲
面
x
o
y
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特别的p=q时
第 九
（除xoy面上截痕是
节
两条相交直线外）
二 次 曲 面
注：z=xy是经旋转后的双曲抛物面
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三、双曲面
1、单叶双曲面
第 九 节
方程
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
二 次 曲
特别的a=b时，
x a
2 2

y2 b2

z2 c2
1
面
为旋转双曲面
2、双叶双曲面
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方程
第 九 节
x2 y 2 z( p 0) x2 y 2 2 pz 2 p 2q
二
次 曲
为旋转抛物面
面
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2、双曲抛物面（或马鞍面）
第
方程 x2 y2 z( p与q同号）
九
2 p 2q
节
采用截痕法得到图形
二
次 曲
z
面
o
y
x
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曲面截痕均为双曲线及抛物线
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问题：给定方程F(x,y,z)=0，如何确定方程所
表示的曲面形状？
第
九 节
解决方法：采用截痕法，即用坐标面及平行于
二
坐标面的平面去截曲面，观察所的截线的形状，
次
曲
从而确定曲面图形。
面
下面讨论几个特殊的二次曲面
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方一程、：椭ax球22 面by22

z2 c2
1,
第 九
是 z z0 平面上的椭圆
最后与平面 z c 相交于点 (0,0,c)
第 九
综上讨论，可知椭球面
节 形状如图
二
Z
次
曲
X
面
Y
类似的，若用平行于xoz及yoz坐标面的两组平面
截椭球面，得到的解痕仍是两组椭圆，如图
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z
z
第
o
九
x
节
o
yx
y
二
特别的：
x2 y2 z2
次 曲
a=b时，方程
z 0
二 次 曲 面
再看：与 z z0( z0 c) 平面的交线
z z cz0
x2
:

a
2

y2 b2
z z0

z2 c2
1
x2


a
2
1

z z0
2 0 c2

y2
2
b2
1
0
c2

1
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(a 0,b 0,c 0)
节
二
首先： x a,
次
曲
y b, z c
面
其 次 ： 与 xoy 坐 标 面 的 交 线 （ 截 痕 ）
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x2 y2 z2
x2 y2
c0
:

a2

b2
c2

1


a
2
b2
1
第 九 节
z 0
是xoy面上的椭圆
a2

2
b

c2
1为旋转椭球面
面
a=b=c时，方程为 x2 y2 z2 a2 为球面
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二、抛物面
1、椭圆抛物面
第
方程： x2 y2 z( p与q同号)
九
2 p 2q
节
二 次 曲
设p、q>0,则 z 0 图形在xoy平面上方
x2 y2
面
与xoy面的交线
c0