向量组的线性表示

例
1 1 1 0 向量组A : a1 , a2 , a3 , a4 1 2 0 1 1 1 1 0 向量组A的一个线性组合：a1 3a2 a3 a4 2 3 2 1 2 0 1
n维实向量
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
1.2、 n 维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 T T T T 矩阵，通常用 a , b , , 等表示，如：
a T ( a 1 , a 2 , , a n )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a ,b, , 等表示，如： a1 a2 a a n
一、 n 维向量的定义及运算
1.1、 n 维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，
第i个数ai 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
例如
(1,2,3,, n) (1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
T m
T 2
T 1


T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 1 , 2 ,, m , 组 构成一个n m矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
1T m 个n维行向量所组成 T 2 T T T 的向量组 1 , 2 , m , B 构成一个m n矩阵 T m
容易验证向量的线性运算满足下面的运算规律: (1) 向量加法满足
; 2) 结合律 ( ) ( ); 3) 对任一向量 , 有 0 ; 4) 对任一向量 , 有 ( ) 0;
1) 交换律 (2) 向量的数乘运算满足 1) 1 =;
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 a m 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
x1 x2 x3 6 方程组 有解. x1 2 x2 x4 7
定义２ 设有两个向量组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价．
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a m 2 a mj a mn m1
k1 j k2 j 1 , 2 ,, m ) （ , k mj
从而
k11 k 21 （ b1 , b2 ,, bs ) 1 , 2 ,, m ) （ k m1 k12 k 22 km 2 k1 s k2s k ms
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
1.3、向量空间 向 量 ( n 3)
坐
既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组
解析几何
线性代数
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
2) k (l ) l (k ) (kl ) ; (3) 向量的线性运算成立分配律 1) k( )=k k ; 2) (k l ) =k l ; 上述 , , 均为n维向量, k , l均为实数.
二、向量组的线性表示与等价
2.1、向量、向量组与矩阵
同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵：
1T a11 T 2 a 21 T a m m1
a12 a 22 am 2
a1 s 1 T T a 2 s 2 T a ms s
则称向量组A与向量组B等价.
若记A 1 , 2 ,, m )和B b1 , b2 ,, bs ).B （ （ 能由A线性表示，即对每个向量b j ( j 1,2,, s )存 在数k1 j , k 2 j , k mj , 使
b j k1 j 1 k 2 j 2 k mj m
1 0 1 1 例 设有两个向量组A : a1 , a2 , 及B :b1 , b2 , 0 1 1 2
, 2 , 2 , , b1 a1 a2 ,b2 a1 2a2 , a1 2b1 b2 ,a2 b1 b2 ,
1 1 1 0 6 例 A : a1 , a2 , a3 , a4 , b 1 2 0 1 7 2a1 3a2 a3 a4 b
• 向量b能由向量组A线性表示.
b x1a1 x2 a2 x3 a3 x4 a4
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
标 系
代数形象： 向量的 坐 标 表 示 式
a T (a1 , a 2 ,, a n )
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
系
代数形象： 向量空 间 中 的 平 面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
矩阵K m s ( k ij )称为这一线性表示的系 数矩阵 .
若C mn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数 矩阵：
b11 b12 b1n b21 b22 b2 n （c1 , c2 ,, cn ) 1 , 2 ,, s ) （ b b b s1 s 2 sn
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性方程组 x1 1 x 2 2 x m m b 有解.
(1) 反身性 （ ）对称性 （）传递性 2 3
P ( x, y, z )
一 一 对 应
T
ax by cz d
T
r ( x, y, z )
n n 3时， 维向量没有直观的几何形象．
R x ( x1 , x 2 ,, x n ) x1 , x 2 ,, x n R
n

T

叫做 n维向量空间．
x ( x1 , x 2 ,, x n ) a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
设矩阵A经初等行变换变成B，则B的每个行 向量都是A的行向量组的线性组合，即B的行向量 的行向量组能由B的行向量组线性表示， 于是A的行向量组与B的行向量组等价.
类似，若矩阵A经初等列变换变成B，则A的 列向量组与B的列向量组等价.
向量组的等价具有下述 性质：
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 , , m，对于任何一
向量 组实数k1，k 2， , km， k1 1 k 2 2 k m m
k 称为向量组的一个 线性组合， 1，k2， , km 称为这 个线性组合的系数.

向量相等： = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)
= ai = bi
零向量：
负向量： Rn :
= (0, 0, …, 0)
- = (-a1, -a2, …, -an ) n 维向量的全体.
n维向量的线性运算: = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)， + = (a1 +b1, a2 +b2, …, an+ bn), k • =(ka1, ka2, …, kan ), k R.
T
n维向量空间 Rn中的 n 1维超平面． 叫做
n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角
机翼的转角
机身的水平转角

( ) 2 2 ( )


(0 2 ) 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)