第十三章-压杆稳定知识讲解
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由压杆稳定条件
则许用外载荷
FP≤139.2kN
3．计算由AC杆稳定条件确定的许用外载荷
AB杆的柔度
用欧拉公式计算压杆的临界应力：
由压杆稳定条件
则许用外载荷
FP≤240.6kN
4．确定整个结构的许用载荷
由稳定计算结果可知，结构的许用载荷为
[FP]=139.2kN
解题指导：
对于这类题目，所确定的载荷要确保整个结构所有受压杆件匀不失稳。
2．由此例题可见，惯性半径越大,柔度越小,承载能力越强。
例题13.2矩形截面杆如图13－2所示，杆两端用销钉连接，在正视图中，连接处允许压杆绕销钉在铅垂面转动，两端约束可简化为两端铰支。在俯视图中，连接处不允许压杆在水平面内发生转动，两端约束视为两端固定。已知杆长L=2.3m截面尺寸b=40mmh=60mm材料的E=205GPaλP=132λs=61，试求此杆的临界压力Fcr。
σcr2=304-1.12λ2=304-1.12×92=200.9MPa
(3)、两端固定的实心圆形截面压杆，当d=63.8mm时
λs<λ<λP此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力
(4)、两端固定的空心圆形截面压杆，当D=89.3mm，d=62.5mm时
λ<λs此压杆为短粗杆，压杆首先发生强度破坏，其临界应力
－稳定条件
2 重点与难点及解析方法
2.1临界压力
临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。
2.2稳定计算
压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。
利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。
分析梁CBD的受力，据其平衡方程可得
FAB=159kN
2．杆AB的临界压力：
压杆的柔度
用经验公式计算压杆的临界应力：
压杆的临界压力
Fcr=σcrA=270kN
3．计算压杆的工作安全系数，进行稳定校核
由压杆的稳定条件
所以，AB杆不安全。
解题指导：
请读者思考：若校核整个结构，如何求解？
若由AB杆确定整个结构的许用外载荷，如何求解？
第十三章压杆稳定
1基本概念及知识要点
1.1基本概念
理想受压直杆、理想受压直杆稳定性、屈曲、临界压力。
1.2临界压力
细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。
1.3稳定计算
为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算：
1.杆的工作压力
由静不定结构的变形协调条件
2．压杆的临界压力
λ＞λP压杆为大柔度杆。
用欧拉公式计算临界压力
3．压杆失稳时，需要升高的温度值
由FA＝FB＝Fcr
3.2稳定计算
例题13－5：钢杆AB如图13－5所示，已知的杆的长度lAB=80cm, ，经验公式 ，nst=2，试校核AB杆。
[解]
1．杆AB的工作压力：
[解]
1．惯性矩
查型钢表可知，由两根10号槽钢组成的组合截面对形心主惯性轴的惯性矩分别为:
当a值较小时，Iy<Iz，λy>λz，压杆失稳时，以y轴为中性轴弯曲；
当a值较大时，Iz<Iy，λz>λy，压杆失稳时，以z轴为中性轴弯曲；
2．当立柱的临界荷载最高，压杆对z轴和y轴应有相等的稳定性。即：
即
3．最大临界荷载Fcr
[解]
压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。
(1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm时
λ＞λP此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力
(2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm时
所以
λs<λ<λP此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力
稳定计算要求掌握安全系数法。
解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。
3典型问题解析
3.1临界压力
例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm、(2)、a=56.5mm、(3)、d=63.8mm、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm。若已知材料的E=200GPa，σs=235MPa，σcr=304－1.12λ，λp=100，λs=61.4，试计算各杆的临界荷载。
解题指导：
1．计算压杆的临界压力时，需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径，即需要首先计算压杆的柔度，根据柔度值，代入相应的公式计算压杆的临界压力。当
λ＞λP时压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力；
λs<λ<λP时压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力；
λ<λs时压杆为短粗杆，压杆将首先发生强度破坏。
压杆的柔度
iy=iz=i
由于
所以，λ＞λP压杆为大柔度杆
用欧Baidu Nhomakorabea公式计算临界压力
例题13.4所示工字钢直杆在温度t1=20℃时安装，此时杆不受力，已知杆长l=6m，材料的λP=132,E= 200GPa，线膨胀系数α=12.5×10-6/℃。试问当温度升高到多少度时杆将失稳。
[解]
随着温度的升高，直杆在杆端受到压力FA＝FB，当两端压力达到压杆的临界压力即：FA＝FB＝Fcr时，压杆将失稳。
例题13.6：材料相同的钢杆AB、AC，直径均为d=80cm, ，经验公式 ，nst=5，E=210GPa，试求许用外载荷[FP]。
[解]
1．确定杆AB、AC的工作压力：
由节点A的受力及平衡方程可得
FAB=0.5FPFAC=0.866FP
2．计算由AB杆稳定条件确定的许用外载荷：
AB杆的柔度
用欧拉公式计算压杆的临界应力：
由于杆AB、AC所受压力和柔度均不相同，需要首先分别求出由两杆确定的各自许用外荷载，然后取其中较小的一个，做为整个结构的许用外载荷。
[解]
1．若在正视图内失稳（铅垂方向）：
μ＝1 ,
2．若在俯视图内失稳（水平面内）：
μ＝0.5 ,
所以，压杆在正视图失稳。
3．计算压杆的临界压力Fcr
用欧拉公式计算其临界应力
解题指导：
对于这类问题，需首先计算两个方向的柔度，判断压杆首先沿哪个方向失稳。
例题13.3图13-3所示立柱长L=6m，由两根10号槽钢组成，试问a多大时立柱的临界荷载Fcr最大，并求其值。已知:材料E=200GPa，σP=200MPa。
则许用外载荷
FP≤139.2kN
3．计算由AC杆稳定条件确定的许用外载荷
AB杆的柔度
用欧拉公式计算压杆的临界应力：
由压杆稳定条件
则许用外载荷
FP≤240.6kN
4．确定整个结构的许用载荷
由稳定计算结果可知，结构的许用载荷为
[FP]=139.2kN
解题指导：
对于这类题目，所确定的载荷要确保整个结构所有受压杆件匀不失稳。
2．由此例题可见，惯性半径越大,柔度越小,承载能力越强。
例题13.2矩形截面杆如图13－2所示，杆两端用销钉连接，在正视图中，连接处允许压杆绕销钉在铅垂面转动，两端约束可简化为两端铰支。在俯视图中，连接处不允许压杆在水平面内发生转动，两端约束视为两端固定。已知杆长L=2.3m截面尺寸b=40mmh=60mm材料的E=205GPaλP=132λs=61，试求此杆的临界压力Fcr。
σcr2=304-1.12λ2=304-1.12×92=200.9MPa
(3)、两端固定的实心圆形截面压杆，当d=63.8mm时
λs<λ<λP此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力
(4)、两端固定的空心圆形截面压杆，当D=89.3mm，d=62.5mm时
λ<λs此压杆为短粗杆，压杆首先发生强度破坏，其临界应力
－稳定条件
2 重点与难点及解析方法
2.1临界压力
临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。
2.2稳定计算
压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。
利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。
分析梁CBD的受力，据其平衡方程可得
FAB=159kN
2．杆AB的临界压力：
压杆的柔度
用经验公式计算压杆的临界应力：
压杆的临界压力
Fcr=σcrA=270kN
3．计算压杆的工作安全系数，进行稳定校核
由压杆的稳定条件
所以，AB杆不安全。
解题指导：
请读者思考：若校核整个结构，如何求解？
若由AB杆确定整个结构的许用外载荷，如何求解？
第十三章压杆稳定
1基本概念及知识要点
1.1基本概念
理想受压直杆、理想受压直杆稳定性、屈曲、临界压力。
1.2临界压力
细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。
1.3稳定计算
为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算：
1.杆的工作压力
由静不定结构的变形协调条件
2．压杆的临界压力
λ＞λP压杆为大柔度杆。
用欧拉公式计算临界压力
3．压杆失稳时，需要升高的温度值
由FA＝FB＝Fcr
3.2稳定计算
例题13－5：钢杆AB如图13－5所示，已知的杆的长度lAB=80cm, ，经验公式 ，nst=2，试校核AB杆。
[解]
1．杆AB的工作压力：
[解]
1．惯性矩
查型钢表可知，由两根10号槽钢组成的组合截面对形心主惯性轴的惯性矩分别为:
当a值较小时，Iy<Iz，λy>λz，压杆失稳时，以y轴为中性轴弯曲；
当a值较大时，Iz<Iy，λz>λy，压杆失稳时，以z轴为中性轴弯曲；
2．当立柱的临界荷载最高，压杆对z轴和y轴应有相等的稳定性。即：
即
3．最大临界荷载Fcr
[解]
压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。
(1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm时
λ＞λP此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力
(2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm时
所以
λs<λ<λP此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力
稳定计算要求掌握安全系数法。
解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。
3典型问题解析
3.1临界压力
例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm、(2)、a=56.5mm、(3)、d=63.8mm、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm。若已知材料的E=200GPa，σs=235MPa，σcr=304－1.12λ，λp=100，λs=61.4，试计算各杆的临界荷载。
解题指导：
1．计算压杆的临界压力时，需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径，即需要首先计算压杆的柔度，根据柔度值，代入相应的公式计算压杆的临界压力。当
λ＞λP时压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力；
λs<λ<λP时压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力；
λ<λs时压杆为短粗杆，压杆将首先发生强度破坏。
压杆的柔度
iy=iz=i
由于
所以，λ＞λP压杆为大柔度杆
用欧Baidu Nhomakorabea公式计算临界压力
例题13.4所示工字钢直杆在温度t1=20℃时安装，此时杆不受力，已知杆长l=6m，材料的λP=132,E= 200GPa，线膨胀系数α=12.5×10-6/℃。试问当温度升高到多少度时杆将失稳。
[解]
随着温度的升高，直杆在杆端受到压力FA＝FB，当两端压力达到压杆的临界压力即：FA＝FB＝Fcr时，压杆将失稳。
例题13.6：材料相同的钢杆AB、AC，直径均为d=80cm, ，经验公式 ，nst=5，E=210GPa，试求许用外载荷[FP]。
[解]
1．确定杆AB、AC的工作压力：
由节点A的受力及平衡方程可得
FAB=0.5FPFAC=0.866FP
2．计算由AB杆稳定条件确定的许用外载荷：
AB杆的柔度
用欧拉公式计算压杆的临界应力：
由于杆AB、AC所受压力和柔度均不相同，需要首先分别求出由两杆确定的各自许用外荷载，然后取其中较小的一个，做为整个结构的许用外载荷。
[解]
1．若在正视图内失稳（铅垂方向）：
μ＝1 ,
2．若在俯视图内失稳（水平面内）：
μ＝0.5 ,
所以，压杆在正视图失稳。
3．计算压杆的临界压力Fcr
用欧拉公式计算其临界应力
解题指导：
对于这类问题，需首先计算两个方向的柔度，判断压杆首先沿哪个方向失稳。
例题13.3图13-3所示立柱长L=6m，由两根10号槽钢组成，试问a多大时立柱的临界荷载Fcr最大，并求其值。已知:材料E=200GPa，σP=200MPa。