相似三角形的判定三教案

相似三角形的判定（三）

福清三山中学：游书兵

一、教学目标

1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．

2．掌握三角形相似的判定条件（AA）。

3．会运用“两个角对应相等的三角形相似”判断常见图形中的三角形相似，并应用判定三解决简单的问题．

二、教学重点

1．相似三角形的判定三的应用。与三角形相似的预备定理及平行线平分线段成比例定理和推论．

2．认识直角三角形斜边上的高所分的两个三角形与原三角形相似

三、教学难点

1．相似三角形的判定三的证明。

2．相似三角形的判定三的应用．

3．难点的突破方法

（1）对于判定三的证明，参考判定一和判定二的证明思路，把较小的三角形移到另一个三角形的内的思路，即利用已有条件构造全等三角形。

（2）利用圆中的相似三角形和直角三角形斜边上的高构成的相似三角形的展示，让学生形成应用判定三的意识，即：如果两个三角形具有公共角或对顶角，或两个三角形是直角三角形，那么只要再有一个角对应相等就会相似。

四、教学过程

（一）、引入

我们学习了哪几种判定三角形相似的方法？

1、定义

2、预备定理（由平行得到相似）

3、相似三角形的判定一

4、相似三角形的判定二

探究：如图：△ABC和△A′B′C′，当它们具备什么样的条件时，能够判定它们相似？

A

B

C

A

'

B

'

C

'

（通过探究，进一步巩固判定一、二）

判定三的引入：对比思考

观察下表中全等三角形和相似三角形的判定方法，对比之后进行思考：全等三角形中的ＡＳＡ和ＡＡＳ应该对应相似中的什么方法呢？

在学生猜想出ＡＡ后提出问题：

在刚才的探究问题中，如果△ABC 和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′.问△ABC与△A′B′C′是否相似?

（二）、新课讲解

１、判定三的证明

猜想：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

如图，已知：在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=B′。求证:△ABC∽△A′B′C′

分析：把小的三角形移动到大的三角形上。如何移动呢？

证明：在ΔABC的边AB、AC上，

分别截取AD= A′B′,AE=A′C′，

连结DE。

∵AD=A′B′,∠A=∠A′，

AE=A′C′

∴ΔADE≌ΔA′B′C′

∴∠ADE=∠B′，

又∵∠B′=∠B，

∴∠ADE=∠B ， ∴DE//BC ， ∴ΔADE ∽ΔABC 。 ∴ΔA ′B ′C ′∽ΔABC 判定三小结：

判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，么这两个三角形相似。

简单说成：两角对应相等的两个三角形相似。

几何语言：

∴△ABC ∽△ A'B'C'

２、判定三的简单应用

圆中常见的相似：大家用刚学的定理3，AA 来寻找下列图中的相似三角形

A

'

'

,B

B

A A ∠=∠∠=∠ 18.3.3 18.3.3

注意：公共角和对顶角的使用 ３、例题分析

例2 如图，Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D 。求AD 的长。 解：∵ ED ⊥AB ， ∴ ∠EDA ＝90°，

又∠C ＝90°，得∠EDA ＝∠C ，

又∠A ＝∠A ， ∴⊿AED ∽⊿ABC 。

思路小结：由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相

等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。 练习１，已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， 试说明图中有几对相似三角形。并尝试证明。

已知：如图Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高。

求证：△ABC ∽△CBD ∽△ACD 证明：∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB=90°，

∴△ABC ∽△CDB(两个角对应相等的两个三角形相似). 同理可证：△ABC ∽△ACD ∴△ABC ∽△CBD ∽△ACD.

提出思考：当ＡＤ左右平移时，图形会有什么变化，几个三角形是否还会相似？（利用几何画板进行动画演示）

练习２，选择

下列结论中，不正确的是（ ）

Ａ、有一个角为90°的两个等腰三角形相似 Ｂ、有一个角为60°的两个等腰三角形相似

B

E

C A

D

.AB

AE AC AD =∴410

58=⨯=

⋅=∴AB AE AC AD

Ｃ、有一个角为30°的两个等腰三角形相似 Ｄ、有一个角为100°的两个等腰三角形相似 练习３：思考

1、如图，在ΔABC 中 ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，连结DE ，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE 与 ΔABC 相似？

平截A

型

斜截A 型

强调思路小结：记住，当两个三角形有公共角或对顶角，或两个是直角三角形时，只要再有一对角相等时，就可以得到相似。

比如：请观察下图中

Rt ⊿ABC 和Rt ⊿CDE 是否相似？

如果把图中的直角改成60度，⊿ABC 和⊿CDE 是否仍然相似？

如图：在等边⊿ABD 中，AB ＝9，BC ＝3，∠ACE ＝60°，求ED 的长。

（三）课堂小结：

识别三角形相似的方法有哪些？ 方法1： 运用定义(不常用）

A

B C

D

E

A

B

C

D

E