3.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
人教a版数学【选修1-1】作业：3.2.1-3.2.2(含答案)
§3.2导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 课时目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．函数y ＝f (x )＝c 的导数为____________，它表示函数y ＝c 图象上每一点处，切线的斜率为0.若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的____________始终为0，即一直处于________状态．函数y ＝f (x )＝x 的导数为__________，它表示函数y ＝x 图象上每一点处切线的斜率为1.若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做____________为1的______________运动．2．常见基本初等函数的导数公式：(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )＝______；(2)若f (x )＝x α (α∈Q *)，则f ′(x )＝________；(3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝________；(4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝________；(5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝________ (a >0)；(6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝________；(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝________ (a >0，且a ≠1)；(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝________.一、选择题1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π4 5．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D ．⎝⎛⎭⎫－12，－18 6．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A ．12523B ．110523C ．25523D ．110523 题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________________． 8．已知f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝________________________________________________________________________.9．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________. 三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝10x .11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．能力提升12．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．13．求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．§3.2 导数的计算3．2.1 几个常用函数的导数3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)知识梳理1．y ′＝0 瞬时速度 静止 y ′＝1 瞬时速度 匀速直线2．(1)0 (2)αx α－1 (3)cos x (4)－sin x(5)a x ln a (6)e x (7)1x ln a (8)1x作业设计1．B [y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x.] 2．B [直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误； ⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则y ′|x ＝3＝－227， 所以③正确．]3．D [设切点为(x 0，y 0)．由y ′＝e x ，得y ′|x ＝x 0＝e x 0，∴过切点的切线为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，又y ＝kx 是切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝e x 0，(1－x 0)e x 0＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，k ＝e.] 4．A [∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π.] 5．B [y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]6．B [s ′＝15t －45. 当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.] 7．x ＋2y －3－π6＝0 解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0. 8．4解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4.9．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .10．解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2. (4)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.11．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．－2解析 y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝n n ＋1. a n ＝lg x n ＝lg n n ＋1＝lg n －lg(n ＋1)， 则a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2.13．解 ∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e ，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率k ＝－1e， ∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)， 即x ＋e y －e 2－1＝0.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
第3章 3.2.1常见函数的导数
第3章 §3.2 导数的运算3.2.1 常见函数的导数学习目标1.能根据定义求函数y ＝C ，y ＝kx ＋b ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝ 的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数.1x问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 幂函数与一次函数的导数思考1 函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？答案 当k>0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快；当k<0时，函数减少的快慢与|k|有关，|k|越大，函数减少的越快.思考2你能结合x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2及(12x)1212x答案 f′(x)＝(x n)′＝nx n－1.梳理 (1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)，特别地C′＝0(C为常数).(2)(x±)′＝±x±－1(±为常数).知识点二 基本初等函数的求导公式思考计算过程cosÀ6′＝－sin À6＝－12正确吗？ 答案 不正确.因为cos À6＝32为常数，其导数为0.梳理 原函数导函数f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a xln a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝f (x )＝ln x f ′(x )＝f (x )＝x ±(±为常数)f ′(x )＝±x±－11x ln a1x4.若f (x )＝1x 2，则f ′(x )＝－2x 3.( )3.sin À3′＝cos À3＝12.( ) 2.(ln x )′＝1x .( )1.(e x)′＝e x.( )[思考辨析判断正误]√×√√题型探究类型一 利用导数公式求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y＝x12；解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.(2)y＝1x4；解y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4 x5.(3)y＝5x3；解y′＝(5x3)′＝(35x31535x2535x2535x(4)y ＝2sin x 2cos x2；解 ∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)y ＝；解 y ′＝()′＝1x ln 12＝－1x ln 2. (6)y ＝3x.解 y ′＝(3x)′＝3xln 3.12log x 12log x反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.(1)f (x )＝；解f ′(x )＝ 12x ′＝12xln12＝－2－xln 2；跟踪训练1 求下列函数的导数：解 f ′(x )＝( )′＝1x ln 2＝2x ln 2；(2)f (x )＝2－x；(3)f (x )＝e 2；解 f ′(x )＝(e 2)′＝0；(4)f (x )＝cos x .解 f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x .2log x 2log x类型二 导数公式的综合应用命题角度1 利用导数公式解决切线问题例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由.设切点为(x0，y0)，则PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，解 因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线.而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－12.所以切点为－12，14.所以所求切线方程为y－14＝(－1)x＋12，即4x＋4y＋1＝0.引申探究若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.又因为PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，解 因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则在点x＝x0处的导数为2x0，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝12.所以切点为M12，14.所以所求切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，即sin 2x0＝2，这是不可能的.所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.命题角度2 利用导数公式求最值问题例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离.解 依题意知抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20).∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为12，14，∴所求的最短距离d ＝12－14－22＝728.反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧 上求一点P ，使△ABP 的面积最大.¼AOB 解 设M (x 0，y 0)为切点，过点M 与直线l 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1.故可得M (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，∴AB 为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，故点M (1,1)即为所求弧 上的点，使△ABP 的面积最大.¼AOB达标检测解析 ∵f ′(x )＝1x ln a ，则f ′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e .1.设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝___.1e2.下列结论：①(sin x )′＝－cos x ；②1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的结论是____.④解析由求导公式知，(sin x )′＝cos x ，1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x ，故④正确.3.在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P 的坐标为_____.依题意，得－8x －30＝tan 135°＝－1，∴x 0＝2. (2,1)解析 y ′＝(4x －2)′＝－8x －3，设点P (x 0，y 0)，又P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x 2上，∴y 0＝1.4.设正弦函数y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的取值范围为_______________.∴－1≤k l ≤1，∴±l ∈ 0，À4∪3 À4，À. 0，À4∪3 À4，À解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，x2 x ＝32x32x解∵y＝1x5＝x－5，∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－5x6.(1)y＝cos À6；解 y′＝0.(2)y＝1x5；5.求下列函数的导数.(3)y＝x2x；1232x解∵y＝解∵y ＝cosÀ2－x ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)y ＝lg x ；(6)y ＝cosÀ2－x .解 y ′＝1x ln 10.(5)y ＝5x；解 y ′＝5xln 5.1.利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.规律与方法如求y ＝1－2sin 2x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2x 2＝cos x ，。
高中数学第三章几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式学案含解析新人教A版选修1_1
高中数学新人教A 版选修1_1：3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式自主预习·探新知情景引入在17世纪60年代，牛顿就已经发现利用导数能解决数学和物理学科的许多问题．但是运用定义法求解导数运算太复杂，有时甚至无法完成．是否有更简单的求导方法呢？新知导学1．几个常用函数的导数 函数导数函数导数f (x )＝c f ′(x )＝__0__ f (x )＝x f ′(x )＝__1__ f (x )＝x 2f ′(x )＝__2x __f (x )＝1xf ′(x )＝__－1x2__2.基本初等函数的导数公式函数导数函数导数f (x )＝c f ′(x )＝__0__ f (x )＝a x f ′(x )＝__a x ln_a __(a >0)f (x )＝x α(α∈Q *)f ′(x )＝__αx α－1__f (x )＝e x f ′(x )＝__e x __ f (x )＝sin x f ′(x )＝__cos_x __ f (x )＝log a xf ′(x )＝__1x ln a__(a >0且a ≠1) f (x )＝cos x f ′(x )＝__－sin_x __f (x )＝ln xf ′(x )＝__1x__预习自测1．下列结论不正确的是( D ) A ．若y ＝0，则y ′＝0 B ．若y ＝5x ，则y ′＝5 C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2D ．若y ＝x 12 ，则y ′＝12x 12[解析] 当y ＝x 12 时，y ′＝(x 12 )′＝(x )′＝12x ＝12x －12 .D 不正确．故应选D ．2．(2020·山东临沂高二检测)已知函数f (x )＝x ，则f ′(3)＝( A ) A ．36B ．0C ．12xD ．32[解析] ∵f ′(x )＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36. 3．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－2)＝( D )A ．4B ．14C ．－4D ．－14[解析] ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2，∴f ′(－2)＝－1x 2|x ＝－2＝－14.4．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝__1e__.[解析] ∵函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)， ∵f ′(1)＝－1，∴f ′(x )＝1x ·ln a，∴1ln a＝－1， ∴ln a ＝－1， ∴a ＝e －1＝1e.5．求下列函数的导数：(1)y ＝a 2(a 为常数)； (2)y ＝x 12； (3)y ＝x －4； (4)y ＝lg x .[解析] (1)∵a 为常数， ∴a 2为常数， ∴y ′＝(a 2)′＝0. (2)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (3)y ′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5.(4)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶求基本初等函数的导数典例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 13；(2)y ＝1x 3；(3)y ＝4x ；(4)y ＝15x2.[解析] (1)y ′＝(x 13)′＝13x 12. (2)y ′＝(1x3)′＝(x －3)′＝－3x －4.(3)y ′＝(4x )′＝(x 14 )′＝14x －34 .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x 2′＝(x －25 )′＝－25x －75 . 『规律方法』 1.用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．┃┃跟踪练习1__■求下列函数的导数(1)y ＝1x2；(2)y ＝3x ；(3)y ＝2x；(4)y ＝log 3x .[解析] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3.(2)y ′＝(3x )′＝(x 13 )′＝13x －23 .(3)y ′＝(2x)′＝2xln 2. (4)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 命题方向❷求某一点处的导数典例2 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数．[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －12 －1＝－12x －32＝－12x 3， ∴f ′(1)＝－121＝－12，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.『规律方法』 求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是： (1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值． ┃┃跟踪练习2__■ 已知f (x )＝1n x，且f ′(1)＝－13，求n .[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1nx －n ＋1n ，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－13得－1n ＝－13，得n ＝3.命题方向❸利用导数公式求切线方程典例3 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程．[解析] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0. 『规律方法』 1.求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率． (3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．2．(1)在应用(sin x )′＝cos x 与(cos x )′＝－sin x 时，一要注意函数的变化；二要注意符号的变化．(2)对于公式(a x)′＝a xln a 与(log a x )′＝1x ln a记忆较难，又易混淆，要注意区分公式的结构特征，既要从纵的方面(ln x )′与(log a x )′和(e x)′与(a x)′区分，又要从横的方面(log a x )′与(a x)′区分，找出差异记忆公式．┃┃跟踪练习3__■曲线y ＝ln x 在点(1,0)处的切线方程为__y ＝x －1__.[解析] 由y ＝ln x 得y ′＝1x，令x ＝1得y ′＝1即切线斜率为1，∴切线方程为y ＝x－1.学科核心素养导数的应用典例4 已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路分析]由条件知B点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[解析]由于点B(3,5)不在曲线上，所以点B不是切点，设切点坐标为(x0，y0)．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴切线斜率为k＝2x0，∴切线方程为：y－x20＝2x0(x－x0)．∵B(3,5)在切线上，∴5－x20＝2x0(3－x0)，解之，得x0＝1或x0＝5.所以所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.『规律方法』求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：①设出切点坐标为(x0，y0)；②写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；③代入点P的坐标，求出x0、y0.┃┃跟踪练习4__■已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．[解析]由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，令(2－x)取代x，得f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8，即2f(x)－f(2－x)＝x2＋4x－4，联立f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，得f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，f′(2)＝4，即所求切线斜率为4，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.易混易错警示准确应用公式典例5 求函数y＝2x在x＝1处的切线方程．[错解]∵y′＝(2x)′＝x·2x－1，∴y′|x＝1＝1，又x＝1时，y＝2，∴切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.[错解分析]y＝2x是指数函数，而不是幂函数，错解将幂函数y＝xα(α∈Q)与指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的导数公式记混用错．[正解]∵y′＝(2x)′＝2x ln 2，∴y′|x＝1＝2ln 2，又x＝1时，y＝2，∴切线方程为y－2＝2ln2 (x－1)，即2x ln 2－y－2ln 2＋2＝0.。
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式常用函数的导数公式及基本初等函数的导数公式是微积分中非常重要的知识点。
在计算导数时，这些公式能帮助我们更加方便地得到结果。
下面是常用函数的导数公式及基本初等函数的导数公式：1.常数函数：若f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数：若 f(x) = x^n，其中 n 为常数，则 f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数：若 f(x) = a^x，其中 a 为常数且 a > 0，a ≠ 1，则 f'(x) =ln(a) * a^x。
4.对数函数：(1) 若 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1/x。
(2) 对数函数的基本性质：若 f(x) = ln(g(x))，则 f'(x) =g'(x)/g(x)。
5.三角函数：(1) 若 f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。
(2) 若 f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。
(3) 若 f(x) = tan(x)，则 f'(x) = sec^2(x)。
(4) 若 f(x) = cot(x)，则 f'(x) = -cosec^2(x)。
(5) 若 f(x) = sec(x)，则 f'(x) = sec(x) * tan(x)。
(6) 若 f(x) = cosec(x)，则 f'(x) = -cosec(x) * cot(x)。
6.反三角函数：包括反正弦函数（arcsin(x)或sin^(-1)(x)）、反余弦函数（arccos(x)或cos^(-1)(x)）和反正切函数（arctan(x)或tan^(-1)(x)）等。
根据反函数的导数公式，可以得到它们的导数公式：(1) 若 f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
河北省高中数学第三章导数及其应用3.2.1几个常用函数的导数导学案新人教A版选修
二、填空题
7．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________.
8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝ ，则质点在t＝32时的速度等于____________.
9．在曲线y＝ 上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________.
3．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为( )
A． B．－ C． D．－
4．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于 的点为( )
A．( ， )B．(－ ，－ )或( ， )
C．(2kπ＋ ， )D．(2kπ＋ ， )或(2kπ－ ，－ )
二、填空题
5．(2015·陕西理)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝ (x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.
基础题
cbbadd
7.3
8.
9.(2,1)
10设双曲线上任意一点P(x0，y0)，
∵y′＝－ ，
∴点P处的切线方程y－y0＝－ (x－x0)．
令x＝0，得y＝y0＋ ＝ ；
令y＝0，得x＝x0＋x y0＝2x0.
∴S△＝ |x|·|y|＝2.
∴三角形面积为定值2.
提高题
Cdcd
5.(1,1)
6.4x－y－5＝0
练习：曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率为()
A．1B．2C ．eD．
例4若曲线y＝x－ 在点(a，a－ )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
练习：已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．
例5求函数y＝2x在x＝1处的切线方程．
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：3-2-1《几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式》
曲线在点
π π 3 y′|x＝3＝－sin3＝－ 2 . 2 ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 ， 3
1 2 π ∴所求的直线方程为 y－2＝ x－3， 3 2π 3 即 2x－ 3y－ 3 ＋ 2 ＝0.
[点评] 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考 察函数在切点处的导数y′是否为零，当y′＝0时，切线平行 于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在．
求曲线y＝3x2的斜率等于12的切线方程． [解析] 设切点为P(x0，y0)， 则y′＝(3x2)′＝6x， ∴y′|x＝x0＝12，即6x0＝12，∴x0＝2
当x0＝2时，y0＝12
∴切点P的坐标为(2,12) ∴所求切线方程为：y－12＝12(x－2)， 即y＝12x－12.
一、选择题 1．函数f(x)＝0的导数是 A．0 C．不存在 B．1 D．不确定 ( )
导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时认真观察
函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的 本质，把解题思路放开．
1．在应用(sinx)′＝cosx与(cosx)′＝－sinx时，一要注意
函数的变化；二要注意符号的变化．
1 2．对于公式(a )′＝a lna 与(logax)′＝xlna记忆较难，又
1 ∴f′(1)＝－ ＝－ ， n n n 1 1 1 1 由 f′(1)＝－3得－n＝－3，得 n＝3.
1
[例 3]
求过曲线 y＝cosx 上点
π 1 P3，2且与在这点的
切线垂直的直线方程．
[解析]
∵y＝cosx，∴y′＝－sinx，
π 1 P3，2处的切线斜率是
3．2
导数的计算
1．知识与技能 了解ห้องสมุดไป่ตู้数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任意y ＝xα(α∈Q)的导数． 2．过程与方法
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算课件新人教A版选修1_1
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x2
-
1
1
x2
.
22
(2)y′=(
ln
x
)′=
(ln
x)x
x ln
x
=
1 x
x
ln
x
x
x2
x2
= 1 ln x . x2
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e.
解:(3)y′=( sin x )′= (sin x)cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x
课堂探究 素养提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=
5
x2
;(3)y=4x;(4)y= log1
2
x;(5)y=sin(x+
π 2
);(6)y=sin
π 3
.
解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(
5
x2
)′=(
2
x 5 )′=
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 课件
3.利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较繁 杂,有些函数式子在中学阶段无法变形,怎样解决这个 问题? 提示:可以使用给出的导数公式进行求导,简化运算过 程,降低运算难度.
结论:导数的描述
原函数 f(x)=c (c为常数)
f(x)=xα (α∈Q*)
f(x)=sin x
用文字语言描述导数
常数的导数为0
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
主题 几个常用函数的导数与 基本初等函数导数公式 1.f(x)=x,f(x)=x2,f(x)= x均可表示为y=f(x)=xα (α∈Q*)的形式,其导数有何规律?
提示:因为(x)′=1·x1-1,(x2)′=2·x2-1,(
(
1
x2
)′=
1
x
1 2
1，,所以(xα)′=α·xα-1.
【解析】(1)设点P(x0,y0)是曲线y= 1 上任意一点,因
x
为y′=- 1 ,所以切线斜率为k=- 1 ,所以切线方程为
x2
x 02
y-y0=-
1
x
2 0
(x-x0),即x+
x
2 0
y-2x0=0,所以切线与坐标轴
的交点为(2x0,0), (0, 2 ) ,所以切线与两条坐标轴围成
x0
的三角形的面积为 1 |2x0|×|
y
2 1 x 2
22
,即:x- 2
2y +2=0.所以切点坐标为
(2, 2) ,切线方程为x- 2 2y+2=0.
【方法总结】求曲线方程或切线方程时的注意点 (1)切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满足曲线 方程也满足切线方程. (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率. (3)必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切 点.
3.2.1几个幂函数的导数_课件-湘教版数学选修1-1
(3)(x2)′＝2x y′＝2x表示函数y＝x2图象上点(x，y)处切线的斜率为2x，说 明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为 函数在一点的瞬时变化率来看，y′＝2x表明：当x＜0时，随着x 的增加，y＝x2减少得越来越慢；当x＞0时，随着x的增加，y＝x2 增加得越来越快． 若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释为某 物体作变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.
点评 对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式
为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝
1 x4
可以写成
等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求 导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
1．求曲线y＝31x2在点P27，19处的切线斜率．
题型二 可化为基本初等函数的求导 【例2】 求下列函数的导数： (1)y＝log4x3－log4x2； (2)y＝2x2x＋1－2x； (3)y＝－2sin2x(2sin24x－1)．
自主探究 求函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的导数．
提示 f′(x)＝(sin x)′＝cos x，g′(x)＝(cos x)′＝－sin x. 要注意在这两个函数的导数公式中符号的区别． 另外可以发现，若令f1(x)＝sin x，fk＋1(x)＝[fk(x)]′(k∈N＋)， 则f2(x)＝cos x，f3(x)＝－sin x，f4(x)＝－cos x，f5(x)＝sin x，于是 函数fk(x)(k∈N＋)的结果具有周期性(周期为4)．
几个幂函数的导数 一些初等函数的导数表
1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数 的方法．
2．掌握常见函数的导数公式． 3．灵活运用公式求某些函数的导数．
高中数学3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件新人教A版选修1_1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin
π3′＝cos
π 3.(
×
)
(2)因为(ln x)′＝1x，则1x′＝ln x．( × )
(3)运用导数的运算法则求导时，不用考虑 f′(x)，g′(x)是否存
在．( × )
下列结论不正确的是( )
A．若 y＝0，则 y′＝0
3
解：(1)y′＝(lg x)′＝llnn1x0′＝xln110.
(2)y′＝12x′＝12xln
1 2
＝－12xln 2.
(3)y′＝(x x)′＝(x32)′＝32x12＝32 x.
(4)y′＝(log1x)′＝ 3
1 1＝－xln1 3.
B．若 y＝5x，则 y′＝5
C．若 y＝x－1，则 y′＝－x－2
D．若
1
y＝x2，则
y′＝12x12
答案：D
若 y＝2x3＋cos x，则 y′等于( )
A．6x2－sin x
B．2x3－sin x
C．6x2＋sin x
D．6x2－cos x
答案：A
函数 y＝x·ln x 的导数是( A．x C．ln x＋1 答案：C
数学运算
则
数的运算Βιβλιοθήκη 导数公式与运 能利用导数公式及运算法则解 算法则的应用 决切线问题
数学运算
问题导学 预习教材 P81～P85，并思考下列问题： 1．函数 y＝c，y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝ x的导数分别是什 么？能否得出 y＝xn 的导数公式？ 2．正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式 是什么？ 3．导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条 件是什么？
高等数学常用导数公式大全
高等数学常用导数公式大全在高等数学中，导数是描述函数变化率的重要概念之一。
导数的应用十分广泛，特别是在求解极值、曲线切线以及函数图像的特征等方面具有重要作用。
本文将总结高等数学中常用的导数公式，供同学们参考使用。
常见函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.常数函数：f(f)=f，导数为f′(f)=0。
2.幂函数：f(f)=f f，导数为f′(f)=ff f−1。
3.指数函数：f(f)=f f，导数为 $f'(x) = a^x \\ln a$。
4.对数函数：$f(x) = \\log_a x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{x \\ln a}$。
5.三角函数：$f(x) = \\sin x$，导数为 $f'(x) = \\cosx$；$f(x) = \\cos x$，导数为 $f'(x) = -\\sin x$。
6.反三角函数：$f(x) = \\arcsin x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \\arccos x$，导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
复合函数的导数公式1.链式法则：若f=f(f)，f=f(f)，则f=f(f(f))的导数为 $\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$。
高阶导数公式1.二阶导数：若f=f(f)的一阶导数为f′，则f″表示f′的导数，即 $y'' = \\frac{d}{dx} (f'(x))$。
隐函数求导公式1.隐函数求导：对于方程f(f,f)=0，当不能解出f对f的显式表达时，可利用隐函数求导公式，即$\\frac{dy}{dx} = - \\frac{F_x}{F_y}$。
常用函数导数总结在高等数学中，经常会遇到一些复杂函数的导数计算，下面给出一些常用函数的导数总结：1.反函数的导数计算：若f=f(f)的反函数为f=f−1(f)，则f−1(f)的导数为 $\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$。
常用函数的导数计算
解 (1)y′＝0；
(2)y′＝(5x)′＝5xln 5；
1 －3 －4 (3)y′＝ ′ ＝ ( x ) ′ ＝－ 3 x ； 3 x
3 3 4 3 ( x ) x (4)y′＝( x )′＝ ′＝ ＝ ； 4 4 4 x 1
4
3 4
1
(5)y′＝(log3x)′＝
. xln 3
答案 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，
降低运算难度.
探究点二 基本初等函数的导数公式 问题 1 你能发现 8 个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？
答案
例1
公式 6 是公式 5 的特例，公式 8 是公式 7 的特例.
求下列函数的导数： π 1 4 3 x (1)y＝sin ；(2)y＝5 ；(3)y＝ 3；(4)y＝ x ； (5)y＝log3x. 3 x
来越快；当 x>0 时，随着 x 的增加，函数减少得越来越慢. 1 点 (1,1) 处切线的斜率就是导数 y′ | x＝ 1＝－ 2＝－ 1， 故斜率为 1
－1，过点(1,1)的切线方程为 y＝－x＋2.
问题 6
利用导数的定义可以求函数的
导函数，但运算比较繁杂，有些函数 式子在中学阶段无法变形，怎样解决 这个问题？
答案
C
2.函数 f(x)＝ x，则 f′(3)等于 3 1 A. B.0 C. 6 2 x 1 解析 ∵f′(x)＝( x)′＝ ， 2 x 1 3 ∴f′(3)＝ ＝ . 2 3 6
( A ) 3 D. 2
3.设正弦曲线 y＝sin x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直 线 l，则直线 l 的倾斜角的范围是 ( A ) π 3π A.[0， ]∪[ ，π) B.[0，π) 4 4 π 3π π π 3π C.[ ， ] D.[0， ]∪[ ， ] 4 4 4 2 4 解析 ∵(sin x)′＝cos x，
人教新课标版数学高二课件 3.2 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
x＝
1x＝x
1 2
，
∴y′＝
1
x
3 2
.
2
解答
(2)y＝2cos22x－1. 解 ∵y＝2cos22x－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
解答
类型二 导数公式的应用 命题角度1 求切线方程 例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由.
解答
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用 (1)切点处的导数是切线的斜率. (2)切点在切线上. (3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一 个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为 k1＝ y' |xx0 ＝cos x0，k2＝ y' |xx0 ＝－sin x0. 要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的. 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
f′(x)＝_α_x_α－__1
f(x)＝sin x
f′(x)＝_c_o_s _x_
f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝－__s_i_n_x_
f′(x)＝ axln a(a>0)
f′(x)＝_ex_ 1 f′(x)＝_x_ln__a_(a>0，且a≠1)
解答
3.2.1 几个常用函数的导数,3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则_
3.2.1 几个常用函数的导数，3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知()3232f x ax x =++，若()14f '-=，则a 的值等于（ ） A.193 B.103 C.163 D.1332．函数32x y x =⋅的导函数是（ ）A ．232x y x '=⋅B ．322xy x '=⋅C ．2322ln 2x x y x '=⋅+D ．23322ln 2x x y x x '=⋅+⋅3．已知()()e 21x f x xf '=+，则()0f '等于（ ） A ．12e + B ．12e - C ．2e - D ．2e4．设()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x 等于（ ）A ．2eB ．eC ．ln 22 D ．ln 2 5．曲线3123y x =-在点51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的斜率为（ ）A ．1 C ．1- D ．6．曲线()32153f x x x =-+在1x =处的切线倾斜角是（ ） A.π6 B.π3C.π4D.3π47．曲线21x y x =-上一点()1,1处的切线方程为（ ） A ．20x y --= B ．20x y +-=C ．450x y +-=D ．450x y --=8．点P 在曲线:1C y x =+上移动，若曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）A ．π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴，则a =_______． 10．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度(m)h 与起跳后的时间(s)t 存在函数关系()24.9 6.510h t t t =-++，则瞬时速度为0m /s 的时刻是_________s . 11．已知函数()()21ln ,2f x xg x x a ==+(a 为常数)，直线l 与函数()(),f x g x 的图象都相切，且l 与函数()f x 的图象的切点的横坐标为1，则a 的值为_______.12．求下列函数的导数．（1）e xy x=；（2）()()22131y x x =-+．13．已知函数()f x ()ln g x a x =，a ∈R ，若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．14．已知曲线()3:C f x x x =-. （1）试求曲线C 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）试求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程．参考答案1．B【解析】由题意知()236f x ax x '=+，所以()1364f a '-=-=，解得103a =. 考点：导函数的应用.2．D【解析】()()()333222xx x y x x x ''''=⋅=⋅+⋅＝23322ln 2x x x x ⋅+⋅，故选D ．考点：导数的计算．3．B【解析】由题意得()()e 21x f x f ''=+，所以()()1e 21f f ''=+，所以()1e f '=-， 所以()()00e 2e 12e f '=+⋅-=-．故选B. 考点：函数的导数．4．B【解析】()()000ln ,()ln 1,ln 12,e f x x x f x x f x x x ''=∴=+∴=+=∴= ，故选B. 考点：导数的基本运算.5．B【解析】由题意得()()211f x x f ''=⇒=，即切线的斜率为1k =，故选B.考点：利用导数研究曲线在某点的切线的斜率.6．D【解析】()()()32215,2,113f x x x f x x x f ''=-+∴=-∴=- ，所以切线的斜率为1-，倾斜角为3π4.故选D. 考点：函数导数的几何意义及运算.7．B【解析】对21x y x =-求导得，()2121y x '=--，把1x =代入()2121y x '=--得，1y '=-，即切线的斜率为1-，又切点为()1,1，所以切线方程为()1111y x x -=--=-+，即20x y +-=，故选B.考点：利用导数求切线方程.8．A【解析】y x ⎡'=∈⎣，即切线的斜率范围是⎡⎣，那么倾斜角的范围是π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ ，故选A ．考点：导数的几何意义.9．12【解析】由题意得12y ax x '=-，因为曲线在点()1,a 处的切线平行于x 轴，所以210a -=，解得12a =． 考点：导数几何意义的应用.10．6598【解析】由导数的物理背景知，路程对于时间求导可得瞬时速度与时间的关系.()9.8 6.5h t t '=-+，则瞬时速度为0m /s 时有，09.8 6.5t =-+，可得6598t =.故答案为6598. 考点：导数的运算及应用. 11．12-【解析】因为()10,f =()()1,11,f x f x''==所以:01, 1.l y x y x -=-=- 再由2112x x a -=+的判别式为零得()111410.22a a ∆=-⨯⨯+=⇒=- 考点：导数几何意义.12．（1）()2e 1x x y x-'=（2）21843y x x '=+- 【解析】（1）()()222e e e 1e e e x x x x x x x x x x y x x x x '''-⋅-⎛⎫⋅-'==== ⎪⎝⎭． （2）因为()()23221316231y x x x x x =-+=+--， 所以()()()()()32322623162311843y x x x xx x x x ''''''=+--=+--=+-． 考点：求函数的导数．13．e 2a =，22e e 0x y -+= 【解析】()f x '=()()0a g x x x'=>，设两曲线交点的横坐标为0x ，由已知得00ln ,,a x a x =⎨=⎪⎩解得e 2a =，20e x =．所以两曲线交点坐标为()2e ,e ，切线的斜率为()21e 2ek f '==， 所以切线方程为()21e e 2ey x -=-，即22e e 0x y -+=． 考点：利用导数求曲线上某点处的切线方程，导数的计算.14．（1）220x y --=（2）50x y --=或50x y -+=【解析】（1）∵()3f x x x =-，∴()10f =，求导数得()231f x x '=-，∴切线的斜率为()12k f '==，∴所求切线方程为()21y x =-，即220x y --=．（2）设与直线53y x =+平行的切线的切点为()00,x y ，则切线的斜率为()20031k f x x '==-． 又∵所求切线与直线53y x =+平行，∴20315x -=，解得0x =()3f x x x =-得切点为或(，∴所求切线方程为(5y x -=-或(5y x =+，即50x y --=或50x y -+=．考点：导数的计算，导数的几何意义．。
几个常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式
几个常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式函数的导数是用来描述函数在一点上的变化率。
对于常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式，以下是一些常见的公式和规则。
常见函数的导数公式：1.常数函数：导数为0。
即对于函数f(x)=C，其中C是常数，导数f'(x)=0。
2.幂函数：对于函数f(x)=x^n，其中n是一个实数，导数f'(x)=n*x^(n-1)。
3. 指数函数：对于函数 f(x) = a^x，其中 a 是一个正实数且a ≠ 1，导数 f'(x) = a^x * ln(a)。
4. 对数函数：对于函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是一个正实数且a ≠ 1，导数 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
5. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数（sin(x)）、余弦函数（cos(x)）、正切函数（tan(x)），它们的导数分别为 sin'(x) =cos(x)、cos'(x) = -sin(x)、tan'(x) = sec^2(x)，其中 sec(x) = 1 / cos(x)。
基本初等函数的导数公式：1.常见的常数导数公式：即常数函数的导数为0，如f(x)=5的导数为0。
2.单项式函数导数公式：对于f(x)=a*x^n，其中a是常数且n是正整数，导数f'(x)=a*n*x^(n-1)。
3.指数函数导数公式：对于f(x)=e^x，导数f'(x)=e^x，其中e是自然对数的底数。
4. 对数函数导数公式：对于 f(x) = ln(x)，导数 f'(x) = 1 / x。
5. 反三角函数导数公式：包括反正弦函数（arcsin(x)）、反余弦函数（arccos(x)）、反正切函数（arctan(x)）等。
其导数分别为：arcsin'(x) = 1 / sqrt(1-x^2)、arccos'(x) = -1 / sqrt(1-x^2)、arctan'(x) = 1 / (1+x^2)。
高中数学第3章导数及其应用几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
①f(x)＝ln 2，则f′(x)＝12；
堂 小 结
·
·
探 新 知
②g(x)＝cos x，则g′π6＝－12；
提 素 养
合
③h(x)＝2x，则h′(x)＝2xln 2；
作
课
探 究
释
④φ(x)＝log5x，则φ′(x)＝xln1 5.
时 分 层 作
疑 难
A．0
B．1
业
·
C．2
D．3
返
12/12/2021
知
素 养
合 作 探
(1)y＝x12；(2)y＝5 x3；(3)y＝2sin 2xcos 2x；
课 时
究
分
释
(4)y＝log1x；(5)y＝3x.
层 作
疑
2
业
难
·
返
12/12/2021
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·
[解] (1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
自
课
主 预 习
探 新
(2)y′＝(5
课 堂 小 结
提 素
( )养
课
( )时
分 层
( )作 业
返 首 页
·
自
2．已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k＝________.
课
主
堂
·
预
小
习 探
1 e
[y′＝(ln x)′＝1x，则1x＝k.
·
结 提
新
素
·
知
养
合
所以x＝1k，所以y＝k×1k＝1.
作
课
探 究
释
所以曲线y＝ln x过点1k，1，
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(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？ (2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一 个增加得最慢？ (3)函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有 关？
公式3:
公式4:
探 画出函数
的图象。根
究 据图象，描述它的变化情
？ 况，并求出曲线在点（1，
1）处的切线方程。
求切线方程的步骤：
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
二、新课——几个常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.
公式1:
求函数y f (x) C的导数
公式2:
探 在同一平面直角坐标系中， 究 画出y=2x,y=3x,y=4x的 ？ 图象，并根据导数定义，
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0 ) f (x0 )( x x0 ).
四、小结与作业
1.会求常用函数
y
C, yΒιβλιοθήκη x, yx2, y
1, x
的导数.其中: 公式1:
.
2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率 有关的较为综合性问题.
3.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数 的导数公式
忆一忆？
1、函数在一点处导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的步骤。
2.求函数的导数的方法是: （三步法）
步骤:
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.
3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x)在x= x0处的函数值,即f ( x0 ) f ( x) |xx0 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。