高三数学第一轮复习：等差数列演示课件
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2023版高考数学一轮总复习6.2等差数列课件
Biblioteka 1)若{an}是等差数列,则
Sn n
也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公
差是{an}的公差的
1 2
.
2)若Sm,S2m,S3m分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-
Sm,S3m-S2m成等差数列.
3)非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质:
①若项数为2n,则S偶-S奇=nd, S奇 = an .
考点二 等差数列的性质 1.等差数列的常用性质 1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). 2)若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.特别地,若p+q =2m,则ap+aq=a2m(m,p,q∈N*),反之不一定成立. 3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d. 4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(p,q是常数)仍是等差数列. 5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的 等差数列. 2.与等差数列各项的和有关的性质
S偶 an1
②若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an, S奇 = n .
S偶 n 1
4)若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,则 an = S2n1 .
bn T2n1
考法一 等差数列的判定
判定等差数列的方法:
方法
解读
适合题型
定义法
等差中 项法 通项公 式法 前n项和 公式法
专题六 数列
Sn n
也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公
差是{an}的公差的
1 2
.
2)若Sm,S2m,S3m分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-
Sm,S3m-S2m成等差数列.
3)非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质:
①若项数为2n,则S偶-S奇=nd, S奇 = an .
考点二 等差数列的性质 1.等差数列的常用性质 1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). 2)若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.特别地,若p+q =2m,则ap+aq=a2m(m,p,q∈N*),反之不一定成立. 3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d. 4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(p,q是常数)仍是等差数列. 5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的 等差数列. 2.与等差数列各项的和有关的性质
S偶 an1
②若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an, S奇 = n .
S偶 n 1
4)若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,则 an = S2n1 .
bn T2n1
考法一 等差数列的判定
判定等差数列的方法:
方法
解读
适合题型
定义法
等差中 项法 通项公 式法 前n项和 公式法
专题六 数列
高考数学一轮复习等差数列-教学课件
(1)项数为偶数 2n 的等差数列{an}: S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1). S 偶-S 奇=nd, S奇 = an .
S偶 an1 (2)项数为奇数(2n+1)的等差数列{an}: S2n+1=(2n+1)an+1. S奇 = n 1 .(其中 S 奇、S 偶分别表示数列{an}中所有奇数 S偶 n 项、偶数项的和)
解析:(1)等差数列{an}中,有 a6+a7+a8=3a7, ∴a7=4,∴S13=13a7=52.
S偶 S奇 354，
(2)由题意,可知
S偶
S奇
32 ， 27
∴
S偶
S奇
192， 162.
又项数为 12 的等差数列中 S 偶-S 奇=6d,
∴d=5.
答案:(1)52 (2)5
反思归纳 在等差数列前 n 项和中还常用到以下性质
∴
8a1
87 2
d
4 a1
2d
,
a1 6d 2.
∴
ad1
10, 2.
∴a9=a1+8d=10+8×(-2)=-6.
法二 ∵S8=4a3,∴ 8a1 a8 =4a3.
2
∴a1+a8=a3,∴a3+a6=a3,∴a6=0. ∴d=a7-a6=-2, ∴a9=a7+2d=-6. 故选 A.
即时突破 2 (2013 山东省滨州市质检)已知数
列{an}满足 a1=3,an·an-1=2an-1-1(n≥2).
(1)求 a2,a3,a4;
(2)求证:数列
1 an
1
是等差数列,并求出{an}
S偶 an1 (2)项数为奇数(2n+1)的等差数列{an}: S2n+1=(2n+1)an+1. S奇 = n 1 .(其中 S 奇、S 偶分别表示数列{an}中所有奇数 S偶 n 项、偶数项的和)
解析:(1)等差数列{an}中,有 a6+a7+a8=3a7, ∴a7=4,∴S13=13a7=52.
S偶 S奇 354，
(2)由题意,可知
S偶
S奇
32 ， 27
∴
S偶
S奇
192， 162.
又项数为 12 的等差数列中 S 偶-S 奇=6d,
∴d=5.
答案:(1)52 (2)5
反思归纳 在等差数列前 n 项和中还常用到以下性质
∴
8a1
87 2
d
4 a1
2d
,
a1 6d 2.
∴
ad1
10, 2.
∴a9=a1+8d=10+8×(-2)=-6.
法二 ∵S8=4a3,∴ 8a1 a8 =4a3.
2
∴a1+a8=a3,∴a3+a6=a3,∴a6=0. ∴d=a7-a6=-2, ∴a9=a7+2d=-6. 故选 A.
即时突破 2 (2013 山东省滨州市质检)已知数
列{an}满足 a1=3,an·an-1=2an-1-1(n≥2).
(1)求 a2,a3,a4;
(2)求证:数列
1 an
1
是等差数列,并求出{an}
[精]高三第一轮复习全套课件3数列：等差数列
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新疆 源头学子小屋
http :/ www.xjktyg .com /wxc /
特级教师 王新敞 wxckt @126 .com
解：设三个数为 a，公差为 d，则这 5 个数依次为 a-2d，a-d ,a ,a+d ,a+2d依题意： 新疆 源头学子小屋 /wxc/
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
⑴求点 Pn 的坐标；
⑵设抛物线列 c1, c2 , c3 ,, cn ,中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴，第 n
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
⑶ 设 S x | x 2xn , n N, n 1,T y | y 4 yn , n 1 ， 等 差 数 列
an 的 任 一 项 an S T ， 其 中 a1 是 S T 中 的 最 大 数 ，
新疆 源头学子小屋
/wxc/
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解：设数列｛an｝的公差为 d，首项为 a1， 由已知得 5a1 + 10d = -5, 10a1 + 45d = 15 解得 a1=-3 ，d=1
∴Sn =
n(-3)+
n(n 1) 2
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/wxc/
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由此得
a6＞－a7＞0 因为 新疆 源头学子小屋 /wxc/
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/wxc/
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(a-2d)2 +(a-d)2 + a2 + (a+d)2 + (a+2d)2 = 85 9
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解：设三个数为 a，公差为 d，则这 5 个数依次为 a-2d，a-d ,a ,a+d ,a+2d依题意： 新疆 源头学子小屋 /wxc/
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⑴求点 Pn 的坐标；
⑵设抛物线列 c1, c2 , c3 ,, cn ,中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴，第 n
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⑶ 设 S x | x 2xn , n N, n 1,T y | y 4 yn , n 1 ， 等 差 数 列
an 的 任 一 项 an S T ， 其 中 a1 是 S T 中 的 最 大 数 ，
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解：设数列｛an｝的公差为 d，首项为 a1， 由已知得 5a1 + 10d = -5, 10a1 + 45d = 15 解得 a1=-3 ，d=1
∴Sn =
n(-3)+
n(n 1) 2
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由此得
a6＞－a7＞0 因为 新疆 源头学子小屋 /wxc/
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(a-2d)2 +(a-d)2 + a2 + (a+d)2 + (a+2d)2 = 85 9
第6章数列第2节 等差数列课件 高考数学一轮复习
A. 14π
B. 18π
C. 30π
D. 44π
内容索引
【分析】 确定每段圆弧的中心角是23π，第 n 段圆弧的半径为 n，由弧 长公式求得弧长，然后由等差数列的前 n 项和公式计算．
【解析】 由题意，得每段圆弧的中心角都是23π，第 n 段圆弧的半径 为 n，弧长记为 an，则 an＝23π·n，所以 S11＝23π(1＋2＋…＋11)＝44π.
【解析】 由SS2nn＝4nn＋＋12，得SS21＝41＋ ＋21，即a1＋a1a2＝3，即2a1a＋1 d＝2＋1 d
＝3，所以 d＝1，所以 Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝nn2＋1，所以S1n＝nn2＋1＝
2
1n－n＋1 1
，
所
以
1 S1
＋
1 S2
＋
…
＋
1 S2 021
＝
2×1－12＋12－13＋…＋2
【答案】 －265
内容索引
活动二 典型例题
题组一 等差数列基本量的计算 1 (1) 已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则 a20＝________； 【解析】 两式相减，可得3d＝－6，则d＝－2.由已知可得3a3＝105， 则a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋(－34)＝1. 【答案】 1
内容索引
【解析】 因为an2＋1＝a1n＋an1＋2，a11＝1，a12＝2，所以数列a1n是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以a1n＝1＋(n－1)×1＝n，所以 an＝1n，所以 anan＋1＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，所以数列{anan＋1}的前 10 项和为 S10＝1－12＋ 12－13＋…＋110－111＝1－111＝1110.
高考数学一轮总复习第六章数列 2等差数列课件
第六章 数列
6.2 等差数列
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前项和公式，理解等差数列的通项公式与前项和公式
的关系.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
4.体会等差数列与一元一次函数的关系.
【教材梳理】
1.等差数列的概念
A.25
B.50
√
C.100
解：22 = 1 + 3 = 100 ⇒ 2 = 50.故选B.
)
D.200
3.【多选题】已知数列{ }，{ }均为无穷等差数列，则下列说法正确的是(
A.数列{− }是等差数列
√
C.{ − }是等差数列
√
1
B.数列{ }是等差数列
D.若 ≠ 0,则{ + }为等差数列
2
=
4× 4+7
2
= 22.故选B.
【点拨】 ①在等差数列五个基本量1 ,,, , 中，已知其中三个量，可以根据
已知条件结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程（组）来求
余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.②有些问
题，需要先判断数列是否为等差数列，再进行计算.
+ −1 + −2 + ⋯ + −5 = 180②.
① + ②,得
1 + + 2 + −1 + ⋯ + 6 + −5 = 6 1 + = 216，所以1 + = 36.
又 =
1 +
2
= 324，所以18 = 324，所以 = 18.
6.2 等差数列
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前项和公式，理解等差数列的通项公式与前项和公式
的关系.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
4.体会等差数列与一元一次函数的关系.
【教材梳理】
1.等差数列的概念
A.25
B.50
√
C.100
解：22 = 1 + 3 = 100 ⇒ 2 = 50.故选B.
)
D.200
3.【多选题】已知数列{ }，{ }均为无穷等差数列，则下列说法正确的是(
A.数列{− }是等差数列
√
C.{ − }是等差数列
√
1
B.数列{ }是等差数列
D.若 ≠ 0,则{ + }为等差数列
2
=
4× 4+7
2
= 22.故选B.
【点拨】 ①在等差数列五个基本量1 ,,, , 中，已知其中三个量，可以根据
已知条件结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程（组）来求
余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.②有些问
题，需要先判断数列是否为等差数列，再进行计算.
+ −1 + −2 + ⋯ + −5 = 180②.
① + ②,得
1 + + 2 + −1 + ⋯ + 6 + −5 = 6 1 + = 216，所以1 + = 36.
又 =
1 +
2
= 324，所以18 = 324，所以 = 18.
2023年新教材高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列课件
[提速度]
1．(2022·枣庄质检)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，
所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为
()
A．28
B．29
C．30
D．31
解析：由结论(8)，设项数为奇数2n－1，S奇－S偶＝an＝319－290＝29， 故选B．
答案：B
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，2S2002200 －2S2001144 ＝6，则S2 023＝
b1＋2 b5＝192＋ 2 64＝128．故选C．
答案：C
2．已知等差数列{an}满足a4＋a6＝22，a1·a9＝57，则该等差数列的公差为 ( )
A．1或－1
B．2
C．－2
D．2或－2
解析：由a1＋a9＝a4＋a6＝22，a1·a9＝57，所以a1，a9是方程x2－22x＋57＝0的两 实数根，解得aa19＝ ＝31，9 或aa19＝ ＝13，9， 所以公差d＝a9－8 a1＝2或－2．故选D． 答案：D
第二节 等差数列
(1)理解等差数列的概念和通项公式的意义；(2)探索并掌握等差数列的前n项 和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；(3)体会等差数列与一 元一次函数的关系．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
3
课时过关检测
01 知识 逐点夯实 课前自修
重点准 逐点清 结论要牢记
等差数列的判定与证明方法 方法
解读
适合题型
定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N *)为同一常
数⇔{an}是等差数列
解答题中的
2025届高中数学一轮复习课件《等差数列》ppt
第12页
高考一轮总复习•数学
第13页
重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
第14页
题型
等差数列基本量的计算
典例 1(1)(2023·全国甲卷，文)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a2＋a6＝10，a4a8＝
45，则 S5＝( )
本例可以用 a1，d 来表示这两个条件方程，由方程组求解．
B．8
C．7
D．6
高考一轮总复习•数学
第24页
(2)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0 的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－
n|＝( )
A．1
3 B.4
13 C.2 D.8
高考一轮总复习•数学
第25页
解析：(1)因为 S9＝9a5，所以 9a5＝3(a3＋a5＋am)，所以 a3＋a5＋am＝3a5，即 a3＋am＝ 2a5，所以 m＝7.故选 C.
解析：由等差数列的求和公式可得ab77＝TS1133＝73××1133＋＋38＝9447＝2.
高考一轮总复习•数学
4．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝2n－11，则数列{|an|}的前 n 项和 10n－n2，n≤5，
Tn＝_____n2_－__1_0_n_＋__5_0_，__n_≥__6______. 解析：设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Tn＝－Sn－Sn，2Sn5，≤n5≥，6， 即 Tn＝n120－n－10nn2＋，5n0≤，5n，≥6.
②若{bn}是等差数列，则 b1＋b3＝2b2， 即a21＋1a23＝2×a62，所以 a2a3＋6a1a2＝6a1a3， 所以(a1＋d)(a1＋2d)＋6a1(a1＋d)＝6a1(a1＋2d)，
2025版高考数学一轮总复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和pptx课件
[解析] 因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简 得3d＝6，得d＝2.
7．(2019·北京，10,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3， S5＝－10，则a5＝___0___，Sn的最小值为___－__1_0____.
[解析] 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵a2＝－3，S5＝－10，
知识点二 等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和. 1．若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝ an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝___a_p＋__a_q___. 2．am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为____kd____. 3．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
4．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d ＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d.若公差d>0，则为递增 数列，若公差d<0，则为递减数列.
(2)前 n 项和：当公差 d≠0 时，Sn＝d2n2＋a1－d2n 是关于 n 的二次函 数且常数项为 0.显然当 d<0 时，Sn 有最大值，d>0 时，Sn 有最小值.
如{an}为等差数列，Sn为前n项和，d>0，若S5＝S13，则当n＝9时， Sn最小，S18＝0.
5．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a－d，a，a＋d；四个数 成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a－d，a，a＋d，a ＋2d.
双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这 个数列是等差数列.( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an ＋an＋2.( √ )
7．(2019·北京，10,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3， S5＝－10，则a5＝___0___，Sn的最小值为___－__1_0____.
[解析] 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵a2＝－3，S5＝－10，
知识点二 等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和. 1．若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝ an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝___a_p＋__a_q___. 2．am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为____kd____. 3．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
4．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d ＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d.若公差d>0，则为递增 数列，若公差d<0，则为递减数列.
(2)前 n 项和：当公差 d≠0 时，Sn＝d2n2＋a1－d2n 是关于 n 的二次函 数且常数项为 0.显然当 d<0 时，Sn 有最大值，d>0 时，Sn 有最小值.
如{an}为等差数列，Sn为前n项和，d>0，若S5＝S13，则当n＝9时， Sn最小，S18＝0.
5．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a－d，a，a＋d；四个数 成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a－d，a，a＋d，a ＋2d.
双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这 个数列是等差数列.( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an ＋an＋2.( √ )
高考数学一轮总复习第六章数列第二节等差数列课件
64
1
λ> ,所以实数
64
λ 的取值范围是
1
, +∞
64
.
方法总结等差数列的判断与证明的方法
方法
定义法
等差中项法
通项公式法
解读
适合题型
an-an-1(n≥2,n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数
列
解答题中
2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*)成立⇔{an}是等差数 证明问题
列
an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立
.
增素能 精准突破
考点一
等差数列基本量的运算
典例突破
例1.(2023全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,
则S5=(
A.25
)
B.22
C.20
D.15
(2)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d=1.若a1+3a5=S7,则以下
结论正确的是(
第六章
第二节 等差数列
1.理解等差数列的概念.
课标
解读
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有
关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
强基础 增分策略
知识梳理
1.等差数列的概念
(1)等差数列:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的差
=
2
微思考在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?前n项和Sn是关于
n的二次函数吗?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}
1
λ> ,所以实数
64
λ 的取值范围是
1
, +∞
64
.
方法总结等差数列的判断与证明的方法
方法
定义法
等差中项法
通项公式法
解读
适合题型
an-an-1(n≥2,n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数
列
解答题中
2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*)成立⇔{an}是等差数 证明问题
列
an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立
.
增素能 精准突破
考点一
等差数列基本量的运算
典例突破
例1.(2023全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,
则S5=(
A.25
)
B.22
C.20
D.15
(2)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d=1.若a1+3a5=S7,则以下
结论正确的是(
第六章
第二节 等差数列
1.理解等差数列的概念.
课标
解读
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有
关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
强基础 增分策略
知识梳理
1.等差数列的概念
(1)等差数列:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的差
=
2
微思考在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?前n项和Sn是关于
n的二次函数吗?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}
高中数学一轮专题复习：等差数列及其前n项和课件
∵a7＋a10=a8＋a9<0 ∴a9<0
∴等差数列{an}的前8项都为正，第9项开始为负
∴当n=8时，{an}的前n项和最大
题型四、等差数列的判定与证明
例6：若数列{an}前n项和为Sn，且an+2SnSn-1＝0(n≥2)，
a1
=
1 2
.（ 1）求证：数列
1 Sn
是等差数列；(2)求数列an
an = a1 + (n－1)d
an = am + (n－m)d
一、基础知识梳理 3.等差数列的前n项和公式
①Sn
n(a1 2
an )
(Sn，a1，n，an知三求一)
代入an a1 n 1d
②Sn
na1
n(n 1) 2
d
(Sn，a1, n, d知三求一)
一、基础知识梳理
4.等差数列的性质
角度二：求前n项和 变式2：在等差数列{an}中：a3+a7-a10=-1，a11-a4=21，
则数列{an}的前8项和S8=( D )
A.50 B.70 C.120 D.100
解析：设数列{an}的公差为d，则 a11-a4= 7d=21，∴d=3
∵a3+a7-a10=（a1+2d）+（a1+6d）-（a1+9d）=a1-d =a1-3=-1
解析：由{an}是等差数列，得 S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，
即 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 即S9－S6＝2S6－3S3 ＝2×36－3×9＝45 即 S9－S6＝a7＋a8＋a9 ＝45
题型三、等差数列前n项和的最值问题
例5：（1）在等差数列{an}中，a1＝20，前n项和为Sn，且 S10＝S15，则Sn取最大值时，n的值为( )
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《等差数列》课件ppt
A.10
B.11
C.12
√D.13
由题意知(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋5)，na1＋nn－2 1＝0， 解得a1＝－6，n＝13.
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三
层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板
构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一
A.aa94＝－1
√C.aa93＝－1
B.aa83＝－1 D.aa140＝－1
由aa85＝－2 得 a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0， 所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0， 因为a5≠0，a6＝0， 所以 a3≠0，aa93＝－1.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例 4 (1)设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意的
(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17， 则a2 024－b2 024的值为__4__0_5_1__.
令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列. 设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17， 则5＋6d＝17，解得d＝2. 故a2 024－b2 024＝c2 024＝5＋2 023×2＝4 051.
由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2， 所以 Sn＝na1＋nn－2 1d＝－n2＋11n. 当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{an}中，a25 ＝a3a6，若该
新高考一轮复习人教A版6.2 等差数列课件(46张)
【点拨】 在等差数列五个基本量 a1，d，n，an，Sn 中，已知其中三个量，可以根据已知条件 结合等差数列的通项公式、前 n 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算 时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.
(1)(2021 届江西南昌高三摸底)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，满足 3a3＝5a2，S10＝100，
(2)(2021 全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记 Sn 为{an}的前 n 项和，从下面①②③中选 取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列；②数列{ Sn}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
解：选①②作条件证明③：
第六章 数列
等差数列
1. 通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2. 探索并掌握等差数列的前 n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前 n 项和公式的关系. 3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 4. 体会等差数列与一元一次函数的关系.
【教材梳理】
这表明 d≠0 时，Sn 是关于 n 的二次函数，且 d>0 时图象开口向上，d<0 时图象开口向下.
3. 等差数列的性质 (1)与项有关的性质 ①等差数列{an}中，若公差为 d，则 an＝am＋(n－m)d，当 n≠m 时，d＝ann－－mam. ②在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq. 特别地，若 m＋ n＝2p，则 am＋an＝2ap.
5. 关于 Sn 的结论 (1)等差数列前 n 项和的最值与{an}的单调性有关. ①若 a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或 0)，所以将这些项相加即得 Sn 的最大值. ②若 a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或 0)，所以将这些项相加即得 Sn 的最小值. ③若 a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1 是{Sn}的最小值；若 a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列， S1 是{Sn}的最大值. (2){an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 是常数). 若 Sn＝An2＋Bn＋C 且 C≠0，则{an}从第 2 项起成等差数列.
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11
课外作业
1.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30， a20=50. （1）求通项{an}； （2）若Sn=242，求n. 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=12， S12＞0，S13＜0. （1）求公差d的取值范围； （2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个最 大，并说明理由.
通项公式法:
a n k n b ( k , b 常 数 ) ( n N ) { a n } 等 差 数 列
10.10.2020
5
பைடு நூலகம் 性质 性质1
性质2
性质3
等差数列{an}常用的性质
p q m n a p a q a m a n 2 m p q 2 a m a p a q
{an}为等差数列,公差为d an,an+m,an+2m, 是等差数列, 公差为md
高三数学第一轮复习
10.10.2020
1
学习目标
1、理解等差数列的概念、通项公式、等 差中项公式，会用公式解决问题
2、掌握等差数列的前n项和公式，体会 等差数列的通项及等差数列的前n项和 可分别表示为一次函数和二次函数
3、探索并总结等差数列的性质，会运用 性质解决有关问题
10.10.2020
2
学习活动1：梳理基础知识
1.等差数列的定义: 若数列从第二项起，每一项与它的前一 项的差是同一个常数，则数列是等差数 列。其中常数是公差 2.通项公式: ana1(n1)d
通项公式推广: anak(nk)d
10.10.2020
3
学习活动1：梳理基础知识
3.等差中项:
若a，b，c成等差数列，则b称a与c的 等差中项. b = a + c
10.10.2020
7
例题讲解 题型2:等差数列前n项和的应用 例2:数列{an}中，Sn=100n-n2(nN+) （1）{an}是什么数列? （2）若bn=|an|，求{bn}的前n项和
10.10.2020
8
例题讲解
题型3:等差数列的证明 例 求3证:设:{b{na}n是}是等等差差数数列列，bna1a2 n an(n N +)
2 a , b , c 成 等 差 数 列 2 b a c
4.等差数列前n项和公式:
n(n1) Sn na1 2 d
10.10.2020
Sn
n(a1 2
an)
4
学习活动1：梳理基础知识
5.等差数列的判定方法: 定义法: a n 1 a n d ( 常 数 ) ( n ∈ N ) { a n } 等 差 数 列 ❖中项公式法: 2 a n 1 a n a n 2 n Ν { a n } 等 差 数 列
10.10.2020
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练习巩固 1.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12=( ) A.15 B.30 C.31 D.64
2.首项为-24的等差数列,从第10项起为正,
则公差d的取值范围是( )
A. d 8B.
3
dC. 3 8D. d 3
3
8d 3 3
10.10.2020
10.10.2020
12
课外作业 3.已知{an}为等差数列，前10项的和S10=100， 前100项的和S100=10，求前110项的和S110
10.10.2020
13
10
练习巩固 3.等差数列{an}中,a2=-6,a8=6,Sn是{an}的 前n项和,则( )
A. S 4 SB5 . S 4C. S5 D. S6 S5
S6 S5
4.等差数列{an}中,a1= n=( )
1 3
,a2+a5=4,an=33,则
A.48 B.49 C.50 D.51
10.10.2020
{an}等差数列 ,公差d,前n项和Sn Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, 是等差 数列 ,公差为 n2d
10.10.2020
6
学习活动1：亲身体验
题型:关于基本量的问题 例1:在等差数列{an}中， （1）已知a15=33，a45=153，求a61； （2）已知S8=48，S12=168，求a1和d； （3）已知a6=10，S5=5，求a8和S8； （4）已知a16=3，求S31；