2015级高数试卷A及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(陕西卷)(含答案全解析)
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2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上 答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全( 数列)
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2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(数列)一、选择题:1.(2015北京理) 设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是( )A .若120a a +>,则230a a +>B .若130a a +<,则120a a +<C .若120a a <<,则213a a a >D .若10a <,则()()21230a a a a --> 【答案】C考点:1.等差数列通项公式;2.作差比较法2.(2015福建理)若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点,且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q + 的值等于( )A .6B .7C .8D .9 【答案】D 【解析】 试题分析:由韦达定理得a b p +=,a b q ⋅=,则0,0a b >>,当,,2a b -适当排序后成等比数列时,2-必为等比中项,故4a b q ⋅==,4b a=.当适当排序后成等差数列时,2-必不是等差中项,当a 是等差中项时,422a a =-,解得1a =,4b =;当4a 是等差中项时,82a a=-,解得4a =,1b =,综上所述,5a b p +==,所以p q +9=,选D .考点:等差中项和等比中项.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若844S S =,则10a =( ) (A )172 (B )192(C )10 (D )124. (2015全国新课标Ⅱ卷文)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =( ) A .5 B .7 C .9 D .11【答案】A 【解析】试题解析:13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点:等差数列5.(2015全国新课标Ⅱ卷理)等比数列{a n }满足a 1=3,135a a a ++ =21,则357a a a ++= ( ) A .21 B .42 C .63 D .84 【答案】B考点:等比数列通项公式和性质.6.(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =( )A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析:由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q == ,选C.考点:等比数列.7. (2015浙江理)已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S ,若3a ,4a ,8a 成等比数列,则( )A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>8.(2015重庆理)在等差数列{}n a 中,若2a =4,4a =2,则6a = ( )A 、-1B 、0C 、1D 、6【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题,考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.二、填空题:1.(2015安徽文)已知数列}{n a 中,11=a ,211+=-n n a a (2≥n ),则数列}{n a 的前9项和等于 .2.(2015安徽理)已知数列{}n a 是递增的等比数列,14239,8a a a a +==,则数列{}n a 的前n 项和等于 .3.(2015福建文)若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点,且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q + 的值等于________. 【答案】9考点:等差中项和等比中项.4.(2015广东理)在等差数列{}n a 中,若2576543=++++a a a a a ,则82a a += 【答案】10.【解析】因为{}n a 是等差数列,所以37462852a a a a a a a +=+=+=,345675525a a a a a a ++++==即55a =,285210a a a +==,故应填入10.【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算,属于容易题.5. (2015广东文)若三个正数a ,b ,c 成等比数列,其中526a =+56c =-则b = .【答案】1 【解析】试题分析:因为三个正数a ,b ,c 成等比数列,所以(25265261b ac ==+-=,因为0b >,所以1b =,所以答案应填:1. 考点:等比中项.6. (2015浙江文)已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零.若2a ,3a ,7a 成等比数列,且1221a a +=,则1a = ,d = . 【答案】2,13- 【解析】试题分析:由题可得,2111(2)()(6)a d a d a d +=++,故有1320a d +=,又因为1221a a +=,即131a d +=,所以121,3d a =-=. 考点:1.等差数列的定义和通项公式;2.等比中项.7.(2015湖南理)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若11a =,且13S ,22S ,3S 成等差数列,则n a = .【答案】13-n .【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质,属于容易题,在解题过程中,需要建立关于等比数列基本量q 的方程即可求解,考查学生等价转化的思想与方程思想.8. (2015江苏)数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】试题分析:由题意得:112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 考点:数列通项,裂项求和9、(2015全国新课标Ⅰ卷文)数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和,若126n S =,则n = .10.(2015全国新课标Ⅱ卷理)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且11a =-,11n n n a S S ++=,则n S =________.【答案】1n-【解析】试题分析:由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅,两边同时除以1n n S S +⋅,得1111n nS S +=--,故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项,1-为公差的等差数列,则11(1)n S n n =---=-,所以1nS n =-. 考点:等差数列和递推关系.11. (2015陕西文、理)中位数1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为 . 【答案】5 【解析】试题分析:设数列的首项为1a ,则12015210102020a +=⨯=,所以15a =,故该数列的首项为5,所以答案应填:5. 考点:等差中项.三、解答题:1. (2015安徽文)已知数列{}n a 是递增的等比数列,且14239,8.a a a a +== (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,11n n n n a b S S ++=,求数列{}n b 的前n 项和n T .2.(2015安徽理) 设*n N ∈,n x 是曲线221n y x+=+在点(12),处的切线与x 轴交点的横坐标.(Ⅰ)求数列{}n x 的通项公式; (Ⅱ)记2221321n n T x x x -=,证明14n T n≥.3、(2015北京文)已知等差数列{}n a 满足1210a a +=,432a a -=. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足23b a =,37b a =,问:6b 与数列{}n a 的第几项相等? 【答案】(1)42(1)22n a n n =+-=+;(2)6b 与数列{}n a 的第63项相等.【解析】试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用等差数列的通项公式,将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ,解方程得到1a 和d 的值,直接写出等差数列的通项公式即可;第二问,先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值,再利用等比数列的通项公式,将2b 和3b 转化为1b 和q ,解出1b 和q 的值,得到6b 的值,再代入到上一问等差数列的通项公式中,解出n 的值,即项数. 试题解析:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=,所以2d =.又因为1210a a +=,所以1210a d +=,故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.(Ⅱ)设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==,3716b a ==, 所以2q =,14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+,得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点:等差数列、等比数列的通项公式.4. (2015北京理)已知数列{}n a 满足:*1a ∈N ,136a ≤,且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩,≤,,()12n =,,…. 记集合{}*|n M a n =∈N .(Ⅰ)若16a =,写出集合M 的所有元素;(Ⅱ)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (Ⅲ)求集合M 的元素个数的最大值.【答案】(1){6,12,24}M =,(2)证明见解析,(3)8 【解析】 ①试题分析:(Ⅰ)由16a =,可知23412,24,12,a a a ===则{6,12,24}M =;(Ⅱ)因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数,用数学归纳法证明对任意n k ≥,n a 是3的倍数,当1k =时,则M 中的所有元素都是3的倍数,如果1k >时,因为12k k a a -=或1236k a --,所以12k a -是3的倍数,于是1k a -是3的倍数,类似可得,21,......k a a -都是3的倍数,从而对任意1n ≥,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数,由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩,≤,,,用数学归纳法证明对任意n k ≥,n a 是3的倍数;第三步由于M 中的元素都不超过36,M 中的元素个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由n a 的定义可知,第三个数及后面的数必定是4的倍数,由定义可知,1n a +和2n a 除以9的余数一样,分n a 中有3的倍数和n a 中没有3的倍数两种情况,研究集合M 中的元素个数,最后得出结论集合M 的元素个数的最大值为8.试题解析:(Ⅰ)由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩,≤,,可知:12346,12,24,12,a a a a ===={6,12,24}M ∴=(Ⅱ)因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数,由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩,≤,,,可用用数学归纳法证明对任意n k ≥,n a 是3的倍数,当1k =时,则M 中的所有元素都是3的倍数,如果1k >时,因为12k k a a -=或1236k a --,所以12k a -是3的倍数,于是1k a -是3的倍数,类似可得,21,......k a a -都是3的倍数,从而对任意1n ≥,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.(Ⅲ)由于M 中的元素都不超过36,由136a ≤,易得236a ≤,类似可得36n a ≤,其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由n a 的定义可知,第三个数及后面的数必定是4的倍数,另外,M 中的数除以9的余数,由定义可知,1n a +和2n a 除以9的余数一样,考点:1.分段函数形数列通项公式求值;2.归纳法证明;3.数列元素分析.5.(2015福建文) 等差数列{}n a 中,24a =,4715a a +=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设22n a n b n -=+,求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值.【答案】(Ⅰ)2n a n =+;(Ⅱ)2101.【解析】试题分析:(Ⅰ)利用基本量法可求得1,a d ,进而求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)求数列前n 项和,首先考虑其通项公式,根据通项公式的不同特点,选择相应的求和方法,本题2nn b n =+,故可采取分组求和法求其前10项和.试题解析:(I )设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩,解得131a d =⎧⎨=⎩.所以()112n a a n d n =+-=+.考点:1、等差数列通项公式;2、分组求和法.6、(2015广东文)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,n *∈N .已知11a =,232a =,354a =,且当2n ≥时,211458n n n n S S S S ++-+=+.()1求4a 的值; ()2证明:112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列; ()3求数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)78;(2)证明见解析;(3)()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.考点:1、等比数列的定义;2、等比数列的通项公式;3、等差数列的通项公式.7.(2015广东理)数列{}n a 满足1212242-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. (1) 求3a 的值;(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ; (3) 令11b a =,()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭,证明:数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<【答案】(1)14;(2)1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭;(3)见解析.(3)依题由1211112n n n a a a b a n n -+++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭知11b a =,1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前n 项和、不等式放缩等知识,属于中高档题. 8.(2015湖北理)设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(Ⅰ)121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩;(Ⅱ)12362n n -+-.2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-,故n T 12362n n -+=-.考点:1.等差数列、等比数列通项公式,2.错位相减法求数列的前n 项和. 9. (2015湖北文)设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(Ⅰ)121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩;(Ⅱ)12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和,属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题,其解题思路:第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解,第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主,以教材为蓝本,注重计算能力培养的基本方向.10. (2015湖南文)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知121,2a a ==,且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈,(I )证明:23n n a a +=; (II )求n S 。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷,含解析)
![2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷,含解析)](https://img.taocdn.com/s3/m/5a4a5af4998fcc22bcd10d83.png)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则MN =( )A .[0,1]B .(0,1]C .[0,1)D .(,1]-∞ 【答案】A 【解析】试题分析:{}{}20,1x x x M ===,{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤,所以[]0,1MN =,故选A .考点:1、一元二次方程;2、对数不等式;3、集合的并集运算.2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( ) A .167 B .137 C .123 D .93【答案】B考点:扇形图.3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++,据此函数可知,这段时间水深(单位:m )的最大值为( )A .5B .6C .8D .10【答案】C 【解析】试题分析:由图象知:min 2y =,因为min 3y k =-+,所以32k -+=,解得:5k =,所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=,故选C . 考点:三角函数的图象与性质.4.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15,则n =( )A .4B .5C .6D .7 【答案】C考点:二项式定理.5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .3πB .4πC .24π+D .34π+【答案】D 【解析】试题分析:由三视图知:该几何体是半个圆柱,其中底面圆的半径为1,母线长为2,所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+,故选D . 考点:1、三视图;2、空间几何体的表面积.6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析:因为22cos 2cos sin 0ααα=-=,所以sin cos αα=或sin cos αα=-,因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”,但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”,所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件,故选A . 考点:1、二倍角的余弦公式;2、充分条件与必要条件. 7.对任意向量,a b ,下列关系式中不恒成立的是( )A .||||||a b a b ⋅≤B .||||||||a b a b -≤-C .22()||a b a b +=+D .22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点:1、向量的模;2、向量的数量积.8.根据右边的图,当输入x 为2006时,输出的y =( )A .28B .10C .4D .2【答案】B 【解析】试题分析:初始条件:2006x =;第1次运行:2004x =;第2次运行:2002x =;第3次运行:2000x =;⋅⋅⋅⋅⋅⋅;第1003次运行:0x =;第1004次运行:2x =-.不满足条件0?x ≥,停止运行,所以输出的23110y =+=,故选B . 考点:程序框图.9.设()ln ,0f x x a b =<<,若p f =,()2a b q f +=,1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是( )A .q r p =<B .q r p =>C .p r q =<D .p r q => 【答案】C考点:1、基本不等式;2、基本初等函数的单调性.10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最 大利润为( )A .12万元B .16万元C .17万元D .18万元【答案】D 【解析】试题分析:设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨,则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,其表示如图阴影部分区域:当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时,z 取得最大值,所以max 324318z =⨯+⨯=,故选D .考点:线性规划.11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈,若||1z ≤,则y x ≥的概率为( )A .3142π+B .1142π-C .112π-D .112π+【答案】B 【解析】试题分析:22(1)||1(1)1z x yi z x y =-+⇒=⇒-+≤如图可求得(1,1)A ,(1,0)B ,阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=- 若||1z ≤,则y x ≥的概率是211142142πππ-=-⨯,故选B . 考点:1、复数的模;2、几何概型.12.对二次函数2()f x ax bx c =++(a 为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A .-1是()f x 的零点B .1是()f x 的极值点C .3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A考点:1、函数的零点; 2、利用导数研究函数的极值. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.中位数1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为 . 【答案】5 【解析】试题分析:设数列的首项为1a ,则12015210102020a +=⨯=,所以15a =,故该数列的首项为5,所以答案应填:5. 考点:等差中项.14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点,则p= .【答案】考点:1、抛物线的简单几何性质;2、双曲线的简单几何性质. 15.设曲线xy e =在点(0,1)处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直,则p 的坐标为 .【答案】()1,1 【解析】试题分析:因为x y e =,所以x y e '=,所以曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率101x k y e ='===,设P 的坐标为()00,x y (00x >),则001y x =,因为1y x =,所以21y x '=-,所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-,因为121k k ⋅=-,所以211x -=-,即201x =,解得01x =±,因为00x >,所以01x =,所以01y =,即P 的坐标是()1,1,所以答案应填:()1,1.考点:1、导数的几何意义;2、两条直线的位置关系.16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .【答案】1.2 【解析】试题分析:建立空间直角坐标系,如图所示:原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=,设抛物线的方程为22x py =(0p >),因为该抛物线过点()5,2,所以2225p ⨯=,解得254p =,所以2252x y =,即2225y x =,所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰,故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=,所以答案应填:1.2. 考点:1、定积分;2、抛物线的方程;3、定积分的几何意义.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17.(本小题满分12分)C ∆AB 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行. (I )求A ; (II )若a =2b =求C ∆AB 的面积.【答案】(I)3π;(II )2.试题解析:(I )因为//m n ,所以sincos 0a B A -=,由正弦定理,得sinAsinB 0-=又sin 0B ≠,从而tan A 由于0Aπ<<,所以3A π=(II)解法一:由余弦定理,得2222cos a b c bc A =+- 而2,a =3πA =得2742c c =+-,即2230c c --= 因为0c >,所以3c =. 故∆ABC 的面积为1bcsinA 2.考点:1、平行向量的坐标运算;2、正弦定理;3、余弦定理;4、三角形的面积公式. 18.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形CD AB 中,D//C A B ,D 2π∠BA =,C 1AB =B =,D 2A =,E 是D A 的中点,O 是C A 与BE 的交点.将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置,如图2.(I )证明:CD ⊥平面1C A O ;(II )若平面1A BE ⊥平面CD B E ,求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值.【答案】(I )证明见解析;(II )3试题解析:(I )在图1中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=2π,所以BE ⊥AC 即在图2中,BE ⊥ 1OA ,BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1AOC 又CD BE ,所以CD ⊥平面1AOC.(II)由已知,平面1A BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,BE⊥ 1OA ,BE ⊥OC 所以1AOC ∠为二面角1--C A BE 的平面角,所以1OC 2A π∠=.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系, 因为11B=E=BC=ED=1A A , BC ED所以1((0,0,2222B -得2BC(22-12A C(0,22-,CD BE (==-. 设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z =,平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z =,平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ, 则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得11110x y y z -+=⎧⎨-=⎩,取1(1,1,1)n =,2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得22200x y z =⎧⎨-=⎩,取2(0,1,1)n =,从而12cos |cos ,|n n θ=〈〉== 即平面1BC A与平面1CD A考点:1、线面垂直;2、二面角;3、空间直角坐标系;4、空间向量在立体几何中的应用. 19.(本小题满分12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,(II )刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 【答案】(I )分布列见解析,32;(II )0.91. 【解析】试题分析:(I )先算出T 的频率分布,进而可得T 的分布列,再利用数学期望公式可得数学期望ET ;(II )先设事件A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”,再算出A 的概率.从而 0.4400.132⨯+⨯=(分钟)(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间,12,T T 的取值相互独立,且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一:121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.解法二:121(A )P P T T T=+>=12P(40,40)T T +== 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=.考点:1、离散型随机变量的分布列与数学期望;2、独立事件的概率.20.(本小题满分12分)已知椭圆:E 22221x y a b+=(0a b >>)的半焦距为c ,原点O 到经过两点(),0c ,()0,b 的直线的距离为12c .(I )求椭圆E 的离心率;(II )如图,AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径,若椭圆E 经过A ,B 两点,求椭圆E 的方 程.【答案】(III )221123x y +=. 【解析】试题分析:(I )先写过点(),0c ,()0,b 的直线方程,再计算原点O 到该直线的距离,进而可得椭圆E 的离心率;(II )先由(I )知椭圆E 的方程,设AB 的方程,联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,可得12x x +和12x x 的值,进而可得k,再利用AB =可得2b 的值,进而可得椭圆E 的方程.试题解析:(I )过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=, 则原点O到直线的距离bcd a==, 由12d c =,得2a b ==c a . (II)解法一:由(I )知,椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1) 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|易知,AB 不与x 轴垂直,设其直线方程为(2)1y k x =++,代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++ 由124x x +=-,得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =.从而21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 解法二:由(I )知,椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2) 依题意,点A ,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=,2222244x y b +=, 两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=. 易知,AB 不与x 轴垂直,则12x x ≠,所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x -==-因此AB 直线方程为1(2)12y x =++,代入(2)得224820.x x b ++-= 所以124x x +=-,21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 考点:1、直线方程;2、点到直线的距离公式;3、椭圆的简单几何性质;4、椭圆的方程;5、圆的方程;6、直线与圆的位置关系;7、直线与圆锥曲线的位置.21.(本小题满分12分)设()n f x 是等比数列1,x ,2x ,⋅⋅⋅,nx 的各项和,其中0x >,n ∈N , 2n ≥.(I )证明:函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点(记为n x ),且11122n n n x x +=+; (II )设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为()n g x ,比较()n f x与()n g x 的大小,并加以证明.【答案】(I )证明见解析;(II )当1x =时, ()()n n f x g x =,当1x ≠时,()()n n f x g x <,证明见解析. 【解析】试题分析:(I )先利用零点定理可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点,再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点,进而利用n x 是()F n x 的零点可证11122n n n x x +=+;(II )先设()()()n n h x f x g x =-,再对x 的取值范围进行讨论来判断()h x 与0的大小,进而可得()n f x 和()n g x 的大小. 试题解析:(I )2()()212,n n n F x f x x x x =-=+++-则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=++>,故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增,所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x . 因为n x 是()n F x 的零点,所以()=0n n F x ,即11201n n nx x +--=-,故111=+22n n n x x +.(II)解法一:由题设,()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-若01x <<,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'<++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减, 所以()(1)0h x h <=,即()()n n f x g x <.综上所述,当1x =时, ()()n n f x g x =;当1x ≠时()()n n f x g x < 解法二 由题设,()()211()1,(),0.2nn n n n x f x x x x g x x ++=+++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时,不等式成立,即()()k k f x g x <. 那么,当+1n k =时,()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx +++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=. 又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k k k h x kx k x +=-++>,则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减; 当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=,从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =,不等式也成立. 所以,对于一切2n ≥的整数,都有()()n n f x g x <.解法三:由已知,记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,, 1.n =+则111a b ==,11n n n a b x ++==,所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤,所以10k ->,11n k -+≥.若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<,当1x >,11n k x-+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=, 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=,故()()n n f x g x < 综上所述,当1x =时, ()()n n f x g x =;当1x ≠时()()n n f x g x < 考点:1、零点定理;2、利用导数研究函数的单调性.请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB 切O 于点B ,直线D A 交O 于D ,E 两点,C D B ⊥E ,垂足为C . (I )证明:C D D ∠B =∠BA ;(II )若D 3DC A =,C B =O 的直径.【答案】(I )证明见解析;(II )3. 【解析】试题分析:(I )先证C D D ∠B =∠BE ,再证D D ∠BA =∠BE ,进而可证C D D ∠B =∠BA ;(II )先由(I )知D B 平分C ∠BA ,进而可得D A 的值,再利用切割线定理可得AE 的值,进而可得O 的直径.试题解析:(I )因为DE 为圆O 的直径,则BED EDB ∠+∠=90, 又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°,从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ,得∠DAB=∠BED ,所以∠CBD=∠DBA. (II )由(I )知BD 平分∠CBA ,则=3BA AD BC CD=,又BCAB =所以4AC =,所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ×,即2=ADAB AE =6,故DE=AE-AD=3,即圆O 的直径为3.考点:1、直径所对的圆周角;2、弦切角定理;3、切割线定理. 23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中,直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴 建立极坐标系,C的极坐标方程为ρθ=.(I )写出C 的直角坐标方程;(II )P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 【答案】(I)(223x y +=;(II )()3,0.【解析】试题分析:(I )先将ρθ=两边同乘以ρ可得2sin ρθ=,再利用222x y ρ=+,sin x ρθ=可得C 的直角坐标方程;(II )先设P 的坐标,则C P =,再利用二次函数的性质可得C P 的最小值,进而可得P 的直角坐标.试题解析:(I)由2,sin ρθρθ==得,从而有(2222+,+3x y x y ==所以.(II)设1(32P +又,则|PC |== 故当t=0时,|PC|取最小值,此时P 点的直角坐标为(3,0).考点:1、极坐标方程化为直角坐标方程;2、参数的几何意义;3、二次函数的性质.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<. (I )求实数a ,b 的值;(II 的最大值. 【答案】(I )3a =-,1b =;(II )4. 【解析】试题分析:(I )先由x a b +<可得b a x b a --<<-,再利用关于x 的不等式x a b+<的解集为{}24x x <<可得a ,b 的值;(II )试题解析:(I )由||x a b +<,得b a x b a --<<-则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-,1b =(II ≤4==,即1t =时等号成立,故max4=.考点:1、绝对值不等式;2、柯西不等式.。
2015年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
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2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|(x﹣1)(x+2)<0},则A ∩B=()A.{﹣1,0}B.{0,1}C.{﹣1,0,1}D.{0,1,2} 2.(5分)若a为实数,且(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,则a=()A.﹣1B.0C.1D.23.(5分)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.(5分)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.845.(5分)设函数f(x)=,则f(﹣2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.126.(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.7.(5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,﹣7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.2B.8C.4D.108.(5分)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=()A.0B.2C.4D.149.(5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π10.(5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x 的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为()A.B.C.D.11.(5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E的离心率为()A.B.2C.D.12.(5分)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x >0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)B.(﹣1,0)∪(1,+∞)C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)设向量,不平行,向量λ+与+2平行,则实数λ=.14.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为.15.(5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.16.(5分)设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=﹣1,a n+1=S n+1S n,则S n=.三、解答题(共5小题,满分60分)17.(12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC 面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.18.(12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.19.(12分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.20.(12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.21.(12分)设函数f(x)=e mx+x2﹣mx.(1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求m的取值范围.四、选做题.选修4-1:几何证明选讲22.(10分)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC;(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.选修4-4:坐标系与参数方程23.在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α≤π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.选修4-5:不等式选讲24.设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则+>+;(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|(x﹣1)(x+2)<0},则A ∩B=()A.{﹣1,0}B.{0,1}C.{﹣1,0,1}D.{0,1,2}【考点】1E:交集及其运算.【专题】5J:集合.【分析】解一元二次不等式,求出集合B,然后进行交集的运算即可.【解答】解:B={x|﹣2<x<1},A={﹣2,﹣1,0,1,2};∴A∩B={﹣1,0}.故选:A.【点评】考查列举法、描述法表示集合,解一元二次不等式,以及交集的运算.2.(5分)若a为实数,且(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,则a=()A.﹣1B.0C.1D.2【考点】A1:虚数单位i、复数.【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】首先将坐标展开,然后利用复数相等解之.【解答】解:因为(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,所以4a+(a2﹣4)i=﹣4i,4a=0,并且a2﹣4=﹣4,所以a=0;故选:B.【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件,熟记运算法则以及复数相等的条件是关键.3.(5分)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8:频率分布直方图.【专题】5I:概率与统计.【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多,故A正确;B从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,与年份负相关,故D错误.【解答】解:A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最多,故A正确;B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多,从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故D错误.故选:D.【点评】本题考查了学生识图的能力,能够从图中提取出所需要的信息,属于基础题.4.(5分)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84【考点】88:等比数列的通项公式.【专题】11:计算题;54:等差数列与等比数列.【分析】由已知,a1=3,a1+a3+a5=21,利用等比数列的通项公式可求q,然后在代入等比数列通项公式即可求.【解答】解:∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴,∴q4+q2+1=7,∴q4+q2﹣6=0,∴q2=2,∴a3+a5+a7==3×(2+4+8)=42.故选:B.【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用,属于基础试题.5.(5分)设函数f(x)=,则f(﹣2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12【考点】3T:函数的值.【专题】11:计算题;51:函数的性质及应用.【分析】先求f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3,再由对数恒等式,求得f(log212)=6,进而得到所求和.【解答】解:函数f(x)=,即有f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3,f(log212)==2×=12×=6,则有f(﹣2)+f(log212)=3+6=9.故选:C.【点评】本题考查分段函数的求值,主要考查对数的运算性质,属于基础题.6.(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离.【分析】由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可.【解答】解:设正方体的棱长为1,由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=,∴剩余部分体积为1﹣=,∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为.故选:D.【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状,求几何体的体积.7.(5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,﹣7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.2B.8C.4D.10【考点】IR:两点间的距离公式.【专题】11:计算题;5B:直线与圆.【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入点的坐标,求出D,E,F,令x=0,即可得出结论.【解答】解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则,∴D=﹣2,E=4,F=﹣20,∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0,令x=0,可得y2+4y﹣20=0,∴y=﹣2±2,∴|MN|=4.故选:C.【点评】本题考查圆的方程,考查学生的计算能力,确定圆的方程是关键.8.(5分)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=()A.0B.2C.4D.14【考点】EF:程序框图.【专题】5K:算法和程序框图.【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的a,b的值,即可得到结论.【解答】解:由a=14,b=18,a<b,则b变为18﹣14=4,由a>b,则a变为14﹣4=10,由a>b,则a变为10﹣4=6,由a>b,则a变为6﹣4=2,由a<b,则b变为4﹣2=2,由a=b=2,则输出的a=2.故选:B.【点评】本题考查算法和程序框图,主要考查循环结构的理解和运用,以及赋值语句的运用,属于基础题.9.(5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π【考点】LG:球的体积和表面积.【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离.【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大,利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,求出半径,即可求出球O的表面积.【解答】解:如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36,故R=6,则球O的表面积为4πR2=144π,故选:C.【点评】本题考查球的半径与表面积,考查体积的计算,确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键.10.(5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x 的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为()A.B.C.D.【考点】HC:正切函数的图象.【分析】根据函数图象关系,利用排除法进行求解即可.【解答】解:当0≤x≤时,BP=tanx,AP==,此时f(x)=+tanx,0≤x≤,此时单调递增,当P在CD边上运动时,≤x≤且x≠时,如图所示,tan∠POB=tan(π﹣∠POQ)=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣,∴OQ=﹣,∴PD=AO﹣OQ=1+,PC=BO+OQ=1﹣,∴PA+PB=,当x=时,PA+PB=2,当P在AD边上运动时,≤x≤π,PA+PB=﹣tanx,由对称性可知函数f(x)关于x=对称,且f()>f(),且轨迹为非线型,排除A,C,D,故选:B.【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键.11.(5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E的离心率为()A.B.2C.D.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上,由题意可得M的坐标为(﹣2a,a),代入双曲线方程可得a=b,再由离心率公式即可得到所求值.【解答】解:设M在双曲线﹣=1的左支上,且MA=AB=2a,∠MAB=120°,则M的坐标为(﹣2a,a),代入双曲线方程可得,﹣=1,可得a=b,c==a,即有e==.故选:D.【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法,运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键.12.(5分)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x >0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)B.(﹣1,0)∪(1,+∞)C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.【专题】2:创新题型;51:函数的性质及应用;53:导数的综合应用.【分析】由已知当x>0时总有xf′(x)﹣f(x)<0成立,可判断函数g(x)=为减函数,由已知f(x)是定义在R上的奇函数,可证明g(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,根据函数g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性,模拟g(x)的图象,而不等式f(x)>0等价于x•g(x)>0,数形结合解不等式组即可.【解答】解:设g(x)=,则g(x)的导数为:g′(x)=,∵当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立,即当x>0时,g′(x)恒小于0,∴当x>0时,函数g(x)=为减函数,又∵g(﹣x)====g(x),∴函数g(x)为定义域上的偶函数又∵g(﹣1)==0,∴函数g(x)的图象性质类似如图:数形结合可得,不等式f(x)>0⇔x•g(x)>0⇔或,⇔0<x<1或x<﹣1.故选:A.【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,并由函数的奇偶性和单调性解不等式,属于综合题.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)设向量,不平行,向量λ+与+2平行,则实数λ=.【考点】96:平行向量(共线).【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5A:平面向量及应用.【分析】利用向量平行的条件直接求解.【解答】解:∵向量,不平行,向量λ+与+2平行,∴λ+=t(+2)=,∴,解得实数λ=.故答案为:.【点评】本题考查实数值的解法,考查平面向量平行的条件及应用,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是基础题.14.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为.【考点】7C:简单线性规划.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】首先画出平面区域,然后将目标函数变形为直线的斜截式,求在y轴的截距最大值.【解答】解:不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线经过D点时,z 最大,由得D(1,),所以z=x+y的最大值为1+;故答案为:.【点评】本题考查了简单线性规划;一般步骤是:①画出平面区域;②分析目标函数,确定求最值的条件.15.(5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= 3.【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题;5P:二项式定理.【分析】给展开式中的x分别赋值1,﹣1,可得两个等式,两式相减,再除以2得到答案.【解答】解:设f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,令x=1,则a0+a1+a2+…+a5=f(1)=16(a+1),①令x=﹣1,则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f(﹣1)=0.②①﹣②得,2(a1+a3+a5)=16(a+1),所以2×32=16(a+1),所以a=3.故答案为:3.【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时,一般先设出展开式,再用赋值法代入特殊值,相加或相减.16.(5分)设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=﹣1,a n+1=S n+1S n,则S n=﹣.【考点】8H:数列递推式.【专题】54:等差数列与等比数列.﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n,两边同时除以S n+1S n可知﹣【分析】通过S n+1=1,进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列,计算即得结论.=S n+1S n,【解答】解:∵a n+1﹣S n=S n+1S n,∴S n+1∴﹣=1,又∵a1=﹣1,即=﹣1,∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列,∴=﹣n,∴S n=﹣,故答案为:﹣.【点评】本题考查数列的通项,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.三、解答题(共5小题,满分60分)17.(12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC 面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.【考点】HP:正弦定理;HT:三角形中的几何计算.【专题】58:解三角形.【分析】(1)如图,过A作AE⊥BC于E,由已知及面积公式可得BD=2DC,由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=,sin∠C=,从而得解.(2)由(1)可求BD=.过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,由AD平分∠BAC,可求AB=2AC,令AC=x,则AB=2x,利用余弦定理即可解得BD和AC的长.【解答】解:(1)如图,过A作AE⊥BC于E,∵==2∴BD=2DC,∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中,=,∴sin∠B=在△ADC中,=,∴sin∠C=;∴==.…6分(2)由(1)知,BD=2DC=2×=.过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,∵AD平分∠BAC,∴DM=DN,∴==2,∴AB=2AC,令AC=x,则AB=2x,∵∠BAD=∠DAC,∴cos∠BAD=cos∠DAC,∴由余弦定理可得:=,∴x=1,∴AC=1,∴BD的长为,AC的长为1.【点评】本题主要考查了三角形面积公式,正弦定理,余弦定理等知识的应用,属于基本知识的考查.18.(12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.【考点】BA:茎叶图;CB:古典概型及其概率计算公式.【专题】5I:概率与统计.【分析】(1)根据茎叶图的画法,以及有关茎叶图的知识,比较即可;(2)根据概率的互斥和对立,以及概率的运算公式,计算即可.【解答】解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出,A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散;(2)记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”,记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”,记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”,记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,则C=C A1C B1∪C A2C B2,P(C)=P(C A1C B1)+P(C A2C B2)=P(C A1)P(C B1)+P(C A2)P(C B2),由所给的数据C A1,C A2,C B1,C B2,发生的频率为,,,,所以P(C A1)=,P(C A2)=,P(C B1)=,P(C B2)=,所以P(C)=×+×=0.48.【点评】本题考查了茎叶图,概率的互斥与对立,用频率来估计概率,属于中档题.19.(12分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.【考点】MI:直线与平面所成的角.【专题】5G:空间角;5H:空间向量及应用.【分析】(1)容易知道所围成正方形的边长为10,再结合长方体各边的长度,即可找出正方形的位置,从而画出这个正方形;(2)分别以直线DA,DC,DD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,考虑用空间向量解决本问,能够确定A,H,E,F几点的坐标.设平面EFGH的法向量为,根据即可求出法向量,坐标可以求出,可设直线AF与平面EFGH所成角为θ,由sinθ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值.【解答】解:(1)交线围成的正方形EFGH如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则:EH=EF=BC=10,EM=AA1=8;∴,∴AH=10;以边DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8);∴;设为平面EFGH的法向量,则:,取z=3,则;若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ,则:sinθ==;∴直线AF与平面α所成角的正弦值为.【点评】考查直角三角形边的关系,通过建立空间直角坐标系,利用空间向量解决线面角问题的方法,弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系,以及向量夹角余弦的坐标公式.20.(12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.【考点】I3:直线的斜率;KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】2:创新题型;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(1)联立直线方程和椭圆方程,求出对应的直线斜率即可得到结论.(2)四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M,建立方程关系即可得到结论.【解答】解:(1)设直线l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M),将y=kx+b代入9x2+y2=m2(m>0),得(k2+9)x2+2kbx+b2﹣m2=0,则判别式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,则x1+x2=,则x M==,y M=kx M+b=,于是直线OM的斜率k OM==,即k OM•k=﹣9,∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.∵直线l过点(,m),∴由判别式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,即k2m2>9b2﹣9m2,∵b=m﹣m,∴k2m2>9(m﹣m)2﹣9m2,即k2>k2﹣6k,即6k>0,则k>0,∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3,由(1)知OM的方程为y=x,设P的横坐标为x P,由得,即x P=,将点(,m)的坐标代入l的方程得b=,即l的方程为y=kx+,将y=x,代入y=kx+,得kx+=x解得x M=,四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M,于是=2×,解得k1=4﹣或k2=4+,∵k i>0,k i≠3,i=1,2,∴当l的斜率为4﹣或4+时,四边形OAPB能为平行四边形.【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题,联立方程组转化为一元二次方程,利用根与系数之间的关系是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.21.(12分)设函数f(x)=e mx+x2﹣mx.(1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求m的取值范围.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数研究函数的最值.【专题】2:创新题型;52:导数的概念及应用.【分析】(1)利用f′(x)≥0说明函数为增函数,利用f′(x)≤0说明函数为减函数.注意参数m的讨论;(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在[﹣1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,则恒成立问题转化为最大值和最小值问题.从而求得m的取值范围.【解答】解:(1)证明:f′(x)=m(e mx﹣1)+2x.若m≥0,则当x∈(﹣∞,0)时,e mx﹣1≤0,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,e mx﹣1≥0,f′(x)>0.若m<0,则当x∈(﹣∞,0)时,e mx﹣1>0,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,e mx﹣1<0,f′(x)>0.所以,f(x)在(﹣∞,0)时单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在[﹣1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x1,x2∈[﹣1,1],|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1的充要条件是即设函数g(t)=e t﹣t﹣e+1,则g′(t)=e t﹣1.当t<0时,g′(t)<0;当t>0时,g′(t)>0.故g(t)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(﹣1)=e﹣1+2﹣e<0,故当t∈[﹣1,1]时,g(t)≤0.当m∈[﹣1,1]时,g(m)≤0,g(﹣m)≤0,即合式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m﹣m>e﹣1.当m<﹣1时,g(﹣m)>0,即e﹣m+m>e﹣1.综上,m的取值范围是[﹣1,1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用.属于难题,高考压轴题.四、选做题.选修4-1:几何证明选讲22.(10分)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC;(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.【考点】N4:相似三角形的判定.【专题】26:开放型;5F:空间位置关系与距离.【分析】(1)通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F,利用相似的性质即得结论;(2)通过(1)知AD是EF的垂直平分线,连结OE、OM,则OE⊥AE,利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可.【解答】(1)证明:∵△ABC为等腰三角形,AD⊥BC,∴AD是∠CAB的角平分线,又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F,∴AE=AF,∴AD⊥EF,∴EF∥BC;(2)解:由(1)知AE=AF,AD⊥EF,∴AD是EF的垂直平分线,又∵EF为圆O的弦,∴O在AD上,连结OE、OM,则OE⊥AE,由AG等于圆O的半径可得AO=2OE,∴∠OAE=30°,∴△ABC与△AEF都是等边三角形,∵AE=2,∴AO=4,OE=2,∵OM=OE=2,DM=MN=,∴OD=1,∴AD=5,AB=,∴四边形EBCF的面积为×﹣××=.【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系,考查四边形面积的计算,注意解题方法的积累,属于中档题.选修4-4:坐标系与参数方程23.在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α≤π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.【专题】5S:坐标系和参数方程.【分析】(I)由曲线C2:ρ=2sinθ,化为ρ2=2ρsinθ,把代入可得直角坐标方程.同理由C3:ρ=2cosθ.可得直角坐标方程,联立解出可得C2与C3交点的直角坐标.(2)由曲线C1的参数方程,消去参数t,化为普通方程:y=xtanα,其中0≤α≤π,α≠;α=时,为x=0(y≠0).其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0),利用|AB|=即可得出.【解答】解:(I)由曲线C2:ρ=2sinθ,化为ρ2=2ρsinθ,∴x2+y2=2y.同理由C3:ρ=2c osθ.可得直角坐标方程:,联立,解得,,∴C2与C3交点的直角坐标为(0,0),.(2)曲线C1:(t为参数,t≠0),化为普通方程:y=xtanα,其中0≤α≤π,α≠;α=时,为x=0(y≠0).其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0),∵A,B都在C1上,∴A(2sinα,α),B.∴|AB|==4,当时,|AB|取得最大值4.【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.选修4-5:不等式选讲24.设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则+>+;(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件;R6:不等式的证明.【专题】59:不等式的解法及应用;5L:简易逻辑.【分析】(1)运用不等式的性质,结合条件a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,即可得证;(2)从两方面证,①若+>+,证得|a﹣b|<|c﹣d|,②若|a﹣b|<|c﹣d|,证得+>+,注意运用不等式的性质,即可得证.【解答】证明:(1)由于(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,则>,即有(+)2>(+)2,则+>+;(2)①若+>+,则(+)2>(+)2,即为a+b+2>c+d+2,由a+b=c+d,则ab>cd,于是(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,(c﹣d)2=(c+d)2﹣4cd,即有(a﹣b)2<(c﹣d)2,即为|a﹣b|<|c﹣d|;②若|a﹣b|<|c﹣d|,则(a﹣b)2<(c﹣d)2,即有(a+b)2﹣4ab<(c+d)2﹣4cd,由a+b=c+d,则ab>cd,则有(+)2>(+)2.综上可得,+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.【点评】本题考查不等式的证明,主要考查不等式的性质的运用,同时考查充要条件的判断,属于基础题.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷)(含答案全解析)
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2015年普通高等学校招生全国统一考试江苏数学数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题.共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟,本试卷结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式:圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积,h 为高. 圆锥的体积公式:V 圆锥=13Sh ,其中S 是圆锥的底面积,h 为高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.(2015江苏,1)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A ∪B 中元素的个数为 . 答案:5解析:A ∪B={1,2,3}∪{2,4,5}={1,2,3,4,5},即A ∪B 中元素的个数是5.2.(2015江苏,2)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 . 答案:6 解析:平均数x =4+6+5+8+7+6=6.3.(2015江苏,3)设复数z 满足z 2=3+4i(i 是虚数单位),则z 的模为 . 答案: 5解析:因为z 2=3+4i,所以|z 2|= 32+42=5,所以|z|= 5.解析:S=1,I=1;S=S+2=1+2=3,I=I+3=1+3=4<8; S=S+2=3+2=5,I=I+3=4+3=7<8; S=S+2=5+2=7,I=I+3=7+3=10>8. 故S=7.5.(2015江苏,5)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 . 答案:5解析:根据条件得P=C 11C 11+C 11C 21+C 11C 21C 42=56或P=1-C 22C 42=56.6.(2015江苏,6)已知向量a =(2,1),b =(1,-2),若m a +n b =(9,-8)(m ,n ∈R ),则m-n 的值为 . 答案:-3解析:由m a +n b =(9,-8)得,m (2,1)+n (1,-2)=(9,-8), 即(2m+n ,m-2n )=(9,-8),所以 2m +n =9,m -2n =-8,解得 m =2,n =5,故m-n=-3.7.(2015江苏,7)不等式2x2-x<4的解集为.答案:{x|-1<x<2}(或(-1,2))解析:2x2-x<4,即2x2-x<22,所以x2-x<2,即x2-x-2<0,所以(x-2)(x+1)<0.解得-1<x<2,故不等式的解集为{x|-1<x<2}(或(-1,2)).8.(2015江苏,8)已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为.答案:3解析:tan β=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)-tanα=17+21-27=3.9.(2015江苏,9)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.答案:7解析:设新的底面半径为r,根据题意得1×π×52×4+π×22×8=1πr2×4+πr2×8,即28r2=196,解得r=.10.(2015江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案:(x-1)2+y2=2解析:(方法一)设A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),即该方程表示所有过定点P的直线系方程.当直线与AP垂直时,所求圆的半径最大.此时,半径为|AP|=(2-1)2+(-1-0)2=2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.(方法二)设圆的半径为r,根据直线与圆相切的关系得r=|m+1|2=m2+2m+12=1+2m2,当m<0时,1+2m2<1,故1+2m2无最大值;当m=0时,r=1;当m>0时,m2+1≥2m(当且仅当m=1时取等号).所以r≤1+1=,即r max=故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y2=2.11.(2015江苏,11)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*).则数列1a n前10项的和为. 答案:20解析:a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,a n-a n-1=n,以上n-1个式子相加,得a n-a1=2+3+4+…+n.∵a1=1,∴a n=1+2+3+…+n=n(n+1)2,∴1a n =2n(n+1)=21n-1n+1.∴S10=21-1+1-1+1-1+…+1 9-110+110-111=21-111=2011.12.(2015江苏,12)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.答案:22解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为2.由图形知,双曲线右支上的动点P 到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于 22,要使距离d 大于c 恒成立,只需c ≤ 2即可,故c 的最大值为 2.13.(2015江苏,13)已知函数f (x )=|ln x|,g (x )= 0,0<x ≤1,|x 2-4|-2,x >1,则方程|f (x )+g (x )|=1实根的个数为 .答案:4解析:f (x )= -ln x ,0<x ≤1,ln x ,x >1,g (x )= 0,0<x ≤1,2-x 2,1<x <2,x 2-6,x ≥2.(1)当0<x ≤1时,方程化为|-ln x+0|=1,解得x=1或x=e(舍去). 所以此时方程只有一个实根1e.(2)当1<x<2时,方程可化为|ln x+2-x 2|=1. 设h (x )=ln x+2-x 2,h'(x )=1-2x=1-2x 2.因为1<x<2,所以h'(x )=1-2x 2x<0,即函数h (x )在(1,2)上单调递减.因为h (1)=ln 1+2-12=1,h (2)=ln 2+2-22=ln 2-2,所以h (x )∈(ln 2-2,1). 又ln 2-2<-1,故当1<x<2时方程只有一解. (3)当x ≥2时,方程可化为|ln x+x 2-6|=1.记函数p (x )=ln x+x 2-6,显然p (x )在区间[2,+∞)上单调递增. 故p (x )≥p (2)=ln 2+22-6=ln 2-2<-1. 又p (3)=ln 3+32-6=ln 3+3>1,所以方程|p (x )|=1有两个解,即方程|ln x+x 2-6|=1有两个解. 综上可知,方程|f (x )+g (x )|=1共有4个实根. 14.(2015江苏,14)设向量a k = cos kπ6,sin kπ6+cos kπ6 (k=0,1,2,…,12),则∑k =011(a k ·a k+1)的值为 .答案:9 解析:因为a k = coskπ6,sin kπ6+cos kπ6 , 所以a k+1= cos k +16π,sin k +16π+cos k +16π ,于是a k ·a k+1=cos kπ6·cos k +16π+ sin kπ6+cos kπ6 sin k +16π+cos k +16π=cos kπ6cos kπ6+π6 +sin kπ6sin kπ6+π6 +sin kπ6cos kπ6+π6 +cos kπ6sin kπ6+π6 +cos kπ6cos kπ6+π6=cos π6+sin kπ3+π6 +cos kπ6cos kπ6+π6=3 3+ 3-1 sin kπ+ 3+1 cos kπ, 则∑k =011(a k ·a k+1) =∑k =0113 34+32-14sinkπ3+ 34+12 cos kπ3=9 +∑k =0113-1sin kπ+∑k =011 3+1 cos kπ=9 + 3-1 ×0+ 3+1×0=9 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)(2015江苏,15)在△ABC 中,已知AB=2,AC=3,A=60°. (1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.解:(1)由余弦定理知,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A=4+9-2×2×3×12=7,所以BC= 7.(2)由正弦定理知,ABsin C=BCsin A, 所以sin C=AB ·sin A=2sin60°7=21.因为AB<BC ,所以C 为锐角,则cos C=1-sin2C=1-37=277.因此sin 2C=2sin C·cos C=2×21×27=43.16.(本小题满分14分)(2015江苏,16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.求证:(1)DE∥平面AA1C1C;(2)BC1⊥AB1.证明:(1)由题意知,E为B1C的中点,又D为AB1的中点,因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C.因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB1.17.(本小题满分14分)(2015江苏,17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y=ax2+b (其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=a x 2+b ,得 a25+b =40,a =2.5,解得 a =1 000,b =0.(2)①由(1)知,y=1 000x2(5≤x ≤20),则点P 的坐标为 t ,1 000t 2, 设在点P 处的切线l 交x ,y 轴分别于A ,B 点,y'=-2 000x 3, 则l 的方程为y-1 000t 2=-2 000t3(x-t ), 由此得A 3t ,0 ,B 0,3 0002 . 故f (t )= 3t 2 2+3 000t 2 2=32 t 2+4×106t 4,t ∈[5,20]. ②设g (t )=t 2+4×1064,则g'(t )=2t-16×106t5.令g'(t )=0,解得t=10 2.当t ∈(5,10 2)时,g'(t )<0,g (t )是减函数; 当t ∈(10 时,g'(t )>0,g (t )是增函数.从而,当t=10 2时,函数g (t )有极小值,也是最小值, 所以g (t )min =300,此时f (t )min =15 3.答:当t=10 2时,公路l 的长度最短,最短长度为15 3千米.18.(本小题满分16分)(2015江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为 22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC=2AB ,求直线AB 的方程.解:(1)由题意,得c a=22且c+a 2c=3,解得a= 2,c=1,则b=1, 所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)当AB ⊥x 轴时,AB= 2, 又CP=3,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y=k (x-1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将AB 的方程代入椭圆方程,得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2(k 2-1)=0,则x 1,2=2k 2± 2(1+k 2)1+2k2,C 的坐标为2k21+2k2,-k 1+2k2 ,且AB= (x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2 = (1+k 2)(x 2-x 1)2=2 2(1+k 2)1+2k2.若k=0,则线段AB 的垂直平分线为y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而k ≠0,故直线PC 的方程为y+k1+2k2=-1kx -2k21+2k2 ,则P 点的坐标为 -2,5k 2+2k (1+2k 2),从而PC=2(3k 2+1) 1+k 2|k |(1+2k 2).因为PC=2AB , 所以2(3k 2+1) 1+k 2|k |(1+2k 2)=4 2(1+k 2)1+2k2,解得k=±1.此时直线AB 方程为y=x-1或y=-x+1.19.(本小题满分16分)(2015江苏,19)已知函数f (x )=x 3+ax 2+b (a ,b ∈R ).(1)试讨论f (x )的单调性;(2)若b=c-a (实数c 是与a 无关的常数),当函数f (x )有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是(-∞,-3)∪ 1,32∪ 32,+∞ ,求c 的值. 解:(1)f'(x )=3x 2+2ax ,令f'(x )=0,解得x 1=0,x 2=-2a. 当a=0时,因为f'(x )=3x 2>0(x ≠0), 所以函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增;当a>0时,x ∈ -∞,-2a ∪(0,+∞)时,f'(x )>0,x ∈ -2a,0 时,f'(x )<0, 所以函数f (x )在 -∞,-2a 3 ,(0,+∞)上单调递增,在 -2a3,0 上单调递减;当a<0时,x ∈(-∞,0)∪ -2a 3,+∞ 时,f'(x )>0,x ∈ 0,-2a3 时,f'(x )<0,所以函数f (x )在(-∞,0), -2a ,+∞ 上单调递增,在 0,-2a上单调递减.(2)由(1)知,函数f (x )的两个极值为f (0)=b ,f -2a =4a 3+b ,则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f -2a 3 =b 427a 3+b <0,从而a >0,-4a 3<b <0或a <0,0<b <-4a 3. 又b=c-a ,所以当a>0时,4a 3-a+c>0或当a<0时,4a 3-a+c<0.设g (a )=427a 3-a+c ,因为函数f (x )有三个零点时,a 的取值范围恰好是(-∞,-3)∪ 1,32∪ 32,+∞ , 则在(-∞,-3)上g (a )<0,且在 1,3 ∪ 3,+∞ 上g (a )>0均恒成立, 从而g (-3)=c-1≤0,且g 3 =c-1≥0,因此c=1.此时,f (x )=x 3+ax 2+1-a=(x+1)[x 2+(a-1)x+1-a ],因函数有三个零点,则x 2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以Δ=(a-1)2-4(1-a )=a 2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a ≠0,解得a ∈(-∞,-3)∪ 1,3 ∪ 3,+∞ .综上c=1.20.(本小题满分16分)(2015江苏,20)设a 1,a 2,a 3,a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列. (1)证明:2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列;(2)是否存在a 1,d 使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a 1n ,a 2n +k ,a 3n +2k ,a 4n +3k依次构成等比数列?并说明理由. 解:(1)证明:因为2a n +1a n=2a n +1-a n =2d (n=1,2,3)是同一个常数,所以2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列.(2)令a 1+d=a ,则a 1,a 2,a 3,a 4分别为a-d ,a ,a+d ,a+2d (a>d ,a>-2d ,d ≠0).假设存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列,则a 4=(a-d )(a+d )3,且(a+d )6=a 2(a+2d )4.令t=d ,则1=(1-t )(1+t )3,且(1+t )6=(1+2t )4 -1<t <1,t ≠0 , 化简得t 3+2t 2-2=0(*),且t 2=t+1. 将t 2=t+1代入(*)式,t (t+1)+2(t+1)-2=t 2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-14. 显然t=-1不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列.(3)假设存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a 1n ,a 2n +k ,a 3n +2k ,a 4n +3k依次构成等比数列,则a 1n(a 1+2d )n+2k =(a 1+d )2(n+k ),且(a 1+d )n+k (a 1+3d )n+3k =(a 1+2d )2(n+2k ).分别在两个等式的两边同除以a 12(n +k )及a 12(n +2k ),并令t=d a 1t >-13,t ≠0 , 则(1+2t )n+2k =(1+t )2(n+k ),且(1+t )n+k (1+3t )n+3k =(1+2t )2(n+2k ). 将上述两个等式两边取对数, 得(n+2k )ln(1+2t )=2(n+k )ln(1+t ), 且(n+k )ln(1+t )+(n+3k )ln(1+3t ) =2(n+2k )ln(1+2t ).化简得2k [ln(1+2t )-ln(1+t )] =n [2ln(1+t )-ln(1+2t )],且3k[ln(1+3t)-ln(1+t)]=n[3ln(1+t)-ln(1+3t)].再将这两式相除,化简得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t).(**) 令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)ln(1+t),则g'(t)=2[(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t)](1+t)(1+2t)(1+3t).令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),则φ'(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)ln(1+t)].令φ1(t)=φ'(t),则φ'1(t)=6[3ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t)].令φ2(t)=φ'1(t),则φ'2(t)=12(1+t)(1+2t)(1+3t)>0.由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ'2(t)>0,知φ2(t),φ1(t),φ(t),g(t)在-1,0和(0,+∞)上均单调.故g(t)只有唯一零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立.所以不存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列.数学Ⅱ(附加题)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1.本试卷共2页,均为非选择题(第21题~第23题),本卷满分为40分,考试时间为30分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名,准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答.在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘,写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.21.(2015江苏,21)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题........,.并在相应的答题区域内作答.............若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆☉O的弦AE交BC于点D.求证:△ABD∽△AEB.证明:因为AB=AC,所以∠ABD=∠C.又因为∠C=∠E,所以∠ABD=∠E.又∠BAE为公共角,可知△ABD∽△AEB.B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知x,y∈R,向量α=1-1是矩阵A=x1y0的属于特征值-2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.解:由已知,得Aα=-2α,即x1y01-1=x-1y=-22,则x-1=-2,y=2,即x=-1,y=2,所以矩阵A=-1120.从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ-1),所以矩阵A的另一个特征值为1.C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知圆C的极坐标方程为ρ2+22ρsin θ-π4-4=0,求圆C的半径.解:以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2+22ρ2sinθ-2cosθ -4=0,化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0.则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为6.D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)解不等式x+|2x+3|≥2.解:原不等式可化为x<-32,-x-3≥2或x≥-3,3x+3≥2,解得x≤-5或x≥-13.综上,原不等式的解集是x x≤-5或x≥-13.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)(2015江苏,22)如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π,PA=AD=2,AB=BC=1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.解:以{AB,AD,AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).(1)因为AD⊥平面PAB,所以AD是平面PAB的一个法向量,AD=(0,2,0).因为PC=(1,1,-2),PD=(0,2,-2).设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),则m·PC=0,m·PD=0.即x+y-2z=0, 2y-2z=0.令y=1,解得z=1,x=1.所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.从而cos<AD,m>=AD·m|AD||m|=3,所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为33.(2)因为BP=(-1,0,2),设BQ=λBP=(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又CB=(0,-1,0),则CQ=CB+BQ=(-λ,-1,2λ),又DP =(0,-2,2),从而cos <CQ ,DP >=CQ ·DP|CQ ||DP |=10λ+2.设1+2λ=t ,t ∈[1,3], 则cos 2<CQ ,DP >=2t 25t 2-10t +9=29 1t -59 2+209≤9. 当且仅当t=95,即λ=25时,|cos <CQ,DP >|的最大值为3 1010.因为y=cos x 在 0,π2上是减函数,此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值.又因为BP= 2+22= 5,所以BQ=25BP=2 55.23.(本小题满分10分)(2015江苏,23)已知集合X={1,2,3},Y n ={1,2,3,…,n }(n ∈N *),设S n ={(a ,b )|a 整除b 或b 整除a ,a ∈X ,b ∈Y n }.令f (n )表示集合S n 所含元素的个数. (1)写出f (6)的值;(2)当n ≥6时,写出f (n )的表达式,并用数学归纳法证明. 解:(1)f (6)=13.(2)当n ≥6时,f (n )=n +2+ n2+n3 ,n =6t ,n +2+ n -12+n -13 ,n =6t +1,n +2+ n +n -2,n =6t +2,n +2+ n -12+n3,n =6t +3,n +2+ n +n -1 ,n =6t +4,n +2+ n -12+n -23,n =6t +5,(t ∈N *). 下面用数学归纳法证明:①当n=6时,f (6)=6+2+6+6=13,结论成立;②假设n=k (k ≥6)时结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k 的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t ,则k=6(t-1)+5,此时有f (k+1)=f (k )+3=k+2+k -12+k -23+3 =(k+1)+2+k +1+k +1,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t ,此时有 f (k+1)=f (k )+1=k+2+k +k+1=(k+1)+2+(k +1)-1+(k +1)-1,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有 f (k+1)=f (k )+2=k+2+k -1+k -1+2 =(k+1)+2+k +1+(k +1)-2,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有 f (k+1)=f (k )+2=k+2+k 2+k -23+2 =(k+1)+2+(k +1)-1+k +1,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有 f (k+1)=f (k )+2=k+2+k -12+k3+2 =(k+1)+2+k +1+(k +1)-1,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有 f (k+1)=f (k )+1=k+2+k2+k -13+1=(k+1)+2+(k+1)-12+(k+1)-23,结论成立.综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.。
2015年全国高中数学联赛参考答案(A卷word版本)
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2015 年全国高中数学联合竞赛(A 卷)参考答案及评分标准一试说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题该分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题份分,满分64分.1.设b a ,为不相等的实数,若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =,则=)2(f 答案:4.解:由己知条件及二次函数图像的轴对称性,可得22a b a+=-,即20a b +=,所以(2)424f a b =++=.2.若实数α满足ααtan cos =,则αα4cos sin 1+的值为 . 答案:2. 解:由条件知,ααsin cos 2=,反复利用此结论,并注意到1sin cos 22=+αα,得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα.3.已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ,则=2015z .答案:2015 + 1007i .解:由己知得,对一切正整数n ,有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+.4.在矩形ABCD 中,1,2==AD AB ,线段DC 上的动点P 与CB 延长线上的动点Q 满=,则PQ PA ⋅的最小值为 .答案34.解:不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) .设 P 的坐标为(t , l) (其中02t ≤≤),则由||||DP BQ =得Q 的坐标为(2,-t ),故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此,22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥.当12t =时,min 3()4PA PQ ⋅=.5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 答案:255.解:设正方体为ABCD-EFGH ,它共有12条棱,从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向(即 AB 、AD 、AE 的方向),具有相同方向的4条棱两两共面,因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱,这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ,则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ,共2种可能.当AD 方向取棱是EH 或FG 时,AE 方向取棱分别只能是CG 或DH .由上可知,3条棱两两异面的取法数为4×2=8,故所求概率为8222055=.6.在平面直角坐标系中,点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 . 答案:24.解:设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤. 先考虑1K 在第一象限中的部分,此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部.由对称性知,1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部.同理,设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤,则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部.由点集K 的定义知,K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分,因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S .由于直线CD 的方程为36x y +=,直线GH 的方程为36x y +=,故它们的交点P 的坐标为33(,)22.由对称性知,138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=.7.设ω为正实数,若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ,使得2sin sin =+b a ωω,则ω的取值范围为 . 答案:9513[,)[,)424w ∈+∞.解:2sin sin =+b a ωω知,1sin sin ==b a ωω,而]2,[,ππωωw w b a si ∈,故题目条件等价于:存在整数,()k l k l <,使得 ππππππw l k w 22222≤+≤+≤. ①当4w ≥时,区间]2,[ππw w 的长度不小于π4,故必存在,k l 满足①式. 当04w <<时,注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ,故仅需考虑如下几种情况:(i) ππππw w 2252≤<≤,此时21≤w 且45>w 无解;(ii) ππππw w 22925≤<≤,此时2549≤≤w ;(iii) ππππw w 221329≤<≤,此时29413≤≤w ,得4413<≤w .综合(i)、(ii)、(iii),并注意到4≥w 亦满足条件,可知9513[,)[,)424w ∈+∞.8.对四位数abcd ,若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数,若d c c b b a <><,,,则称abcd 为Q 类数,则P 类数总量与Q 类数总量之差等于 .答案:285.解:分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ,再将个位数为零的P 类数全体记为0A ,个位数不等于零的尸类数全体记为1A .对任一四位数1A abcd ∈,将其对应到四位数dcba ,注意到1,,≥><>d c c b b a ,故B dcba ∈.反之,每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd .这建立了1A 与B 之间的一一对应,因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=.下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1,…,9,对其中每个b ,由9≤<a b 及9≤<c b 知,a 和c 分别有b -9种取法,从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑. 因此,()()285N P N Q -=. 三、解答题9.(本题满分16分)若实数c b a ,,满足cb ac b a 424,242=+=+,求c 的最小值. 解:将2,2,2abc分别记为,,x y z ,则,,0x y z >.由条件知,222,x y z x y z +=+=,故2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+.8分因此,结合平均值不等式可得,4221111(2)244y y z y y y y +==++≥⋅=12分 当212y y =,即y =时,zx求).由于2log c z =,故c的最小值225log log 33=-.16分 10.(本题满分20分)设4321,,,a a a a 为四个有理数,使得:{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji,求4321a a a a +++的值. 解:由条件可知,(14)i j a a i j ≤<≤是6个互不相同的数,且其中没有两个为相反数,由此知,4321,,,a a a a 的绝对值互不相等,不妨设||||||||4321a a a a <<<,则||||(14)i j a a i j ≤<≤中最小的与次小的两个数分别是12||||a a 及13||||a a ,最大与次大的两个数分别是34||||a a 及24||||a a ,从而必须有121324341,81,3,24,a a a a a a a a ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 10 分 于是2341112113,,248a a a a a a a =-===-. 故2231412113{,}{,24}{2,}82a a a a a a =--=--,15分结合1a Q ∈,只可能114a =±.由此易知,123411,,4,642a a a a ==-==-或者123411,,4,642a a a a =-==-=.检验知这两组解均满足问题的条件. 故123494a a a a +++=±. 20 分 11.(本题满分20分)设21,F F 分别为椭圆1222=+y x 的左右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点B A ,,焦点2F 到直线l 的距离为d ,如果11,,BF l AF 的斜率依次成等差数列,求d 的取值范围.解:由条件知,点1F 、2F 的坐标分别为(-1, 0)和(l, 0) .设直线l 的方程为y kx m =+,点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ,则12,x x 满足方程22()12x kx m ++=,即 222(21)4(22)0k x kmx m +++-=.由于点A 、B 不重合,且直线l 的斜率存在,故12,x x 是方程①的两个不同实根,因此有①的判别式22222(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆=-⋅+⋅-=+->,即2221k m +>.②由直线11,,BF l AF 的斜率1212,,11y y k x x ++依次成等差数列知,1212211y yk x x +=++,又1122,y kx m y kx m =+=+,所以122112()(1)()(1)2(1)(1)kx m x kx m x k x x +++++=++,化简并整理得,12()(2)0m k x x -++=.假如m k =,则直线l 的方程为y kx k =+,即 z 经过点1F (-1, 0),不符合条件. 因此必有1220x x ++=,故由方程①及韦达定理知,1224()221kmx x k =-+=+,即12m k k=+.③ 由②、③知,222121()2k m k k +>=+,化简得2214k k>,这等价于||2k >. 反之,当,m k满足③及||2k >l 必不经过点1F (否则将导致m k =,与③矛盾), 而此时,m k 满足②,故l 与椭圆有两个不同的交点A 、B ,同时也保证了1AF 、1BF 的斜率存在(否则12,x x 中的某一个为- l ,结合1220x x ++=知121x x ==-,与方程①有两个不同的实根矛盾).10分点2F (l , 0)到直线l: y kx m =+的距离为211|2|(2)22d k kk ==+=+.注意到||2k >t =t ∈,上式可改写为 21313()()222t d t t t=⋅+=⋅+.考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在上上单调递减,故由④得,(1)f d f <<,即2)d ∈.20 分加试1.(本题满分40分)设)2(,,,21≥⋅⋅⋅n a a a n 是实数,证明:可以选取{}1,1,,,21-∈⋅⋅⋅n εεε,使得))(1()()(122121∑∑∑===+≤+ni i i n i i ni i a n a a ε.证法一:我们证明:2[]222111[]2()(1)()n n n n i i j i n i i i j a a a n a ====⎛⎫ ⎪+-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑,① 即对1,2,,[]2n i =,取1i ε=,对[]1,,2ni n =+,取1i ε=-符合要求.(这里,[]x 表示实数x 的整数部分.) 10分事实上,①的左边为2222[][][]222111[]1[]1[]122222n n n n n n i j i j i j n n n i i i j j j a a a a a a ====+=+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ []2221[]122222n n i j n i j n n a n a ==+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪≤+- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑(柯西不等式)30分 []2221[]1212222n n i j n i j n n a a ==+⎛⎫⎛⎫⎛+⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪=+ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑(利用122n n n +⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦) []2221[]12(1)n n i j n i j n a n a ==+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑(利用[]x x ≤) 21(1)()ni i n a =≤+∑.所以 ① 得证,从而本题得证.证法二:首先,由于问题中12,,,n a a a 的对称性,可设12n a a a ≥≥≥.此外,若将12,,,n a a a 中的负数均改变符号,则问题中的不等式左边的21)(∑=n i i a 不减,而右边的21ni i a=∑不变,并且这一手续不影响1i ε=±的选取,因此我们可进一步设120n a a a ≥≥≥≥. 10分引理:设120n a a a ≥≥≥≥,则1110(1)ni i i a a -=≤-≤∑.事实上,由于1(1,2,,1)i i a a i n +≥=-,故当n 是偶数时,1123411(1)()()()0ni i n n i a a a a a a a --=-=-+-++-≥∑,11232111(1)()()ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=------≤∑.当n 是奇数时,11234211(1)()()()0ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=-+-++-+≥∑,1123111(1)()()ni i n n i a a a a a a a --=-=-----≤∑.引理得证. 30 分回到原题,由柯西不等式及上面引理可知22122211111(1)(1)n n n ni i i i i i i i i a a n a a n a -====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑,这就证明了结论. 40分证法三:加强命题:设12,,,n a a a ⋅⋅⋅(2n ≥)是实数,证明:可以选取12,,,{1,1}n εεε⋅⋅⋅∈-,使得 2221111()()()()n nn i i i i i i i a a n a n ε===+≤+∑∑∑.证明 不妨设22212n a a a ≥≥⋅⋅⋅≥,以下分n 为奇数和n 为偶数两种情况证明.当n 为奇数时,取12121n εεε-==⋅⋅⋅==,13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-,于是有12221112()[()()]n nni i jn i i j a a a -+===+-∑∑∑12221122[()+()]n ni jn i j a a -+===∑∑1222112112()+2()()22n n i j n i j n n a n a -+==--≤⋅⋅-∑∑(应用柯西不等式).1222112(1)()+(1)()n ni jn i j n a n a -+===-+∑∑ ①另外,由于22212n a a a≥≥⋅⋅⋅≥,易证有122211211(1)(1)n n i j n i j a a n n -+==+≥-∑∑,因此,由式①即得到1222112(1)()+(1)()n nijn i j n a n a -+==-+∑∑211()()n i i n a n =≤+∑,故n 为奇数时,原命题成立,而且由证明过程可知,当且仅当12121n εεε-==⋅⋅⋅==,13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-,且12n a a a ==⋅⋅⋅=时取等号.当n 为偶数时,取1221n εεε==⋅⋅⋅==,24221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-,于是有2222112()[()()]n nni i j n i i j a a a +===+-∑∑∑22222122[()+()]n ni j n i j a a +===∑∑2222122()+2()()22nn i j n i j n n a n a +==≤⋅⋅-∑∑(应用柯西不等式).222212[()+()]n nijn i j n a a +===∑∑22111()()()nn ii i i n a n a n ===≤+∑∑,故n 为偶数时,原命题也成立,而且由证明过程可知,当且仅当120n a a a ==⋅⋅⋅==时取等号,若12,,,n a a a ⋅⋅⋅不全为零,则取不到等号.综上,联赛加试题一的加强命题获证. 2.(本题满分40分)设{},,,,21n A A A S ⋅⋅⋅=其中n A A A ,,,21⋅⋅⋅是n 个互不相同的有限集合)2(≥n ,满足对任意的S A A j i ∈,,均有S A A j i ∈ ,若2min 1≥=≤≤i ni A k ,证明:存在i ni A x 1=∈ ,使得x 属于n A A A ,,,21⋅⋅⋅中的至少kn个集合.证明:不妨设1||A k =.设在12,,,n A A A 中与1A 不相交的集合有s 个,重新记为12,,,s B B B ,设包含1A 的集合有t 个,重新记为12,,,t C C C .由已知条件,1()i B A S ∈,即112(){,,,}i t B A C C C ∈,这样我们得到一个映射12121:{,,,}{,,,},()s t i i f B B B C C C f B B A →=. 显然f 是单映射,于是,s t ≤. 10 分设112{,,,}k A a a a =.在n A A A ,,,21⋅⋅⋅中除去12,,,s B B B ,12,,,t C C C 后,在剩下的n s t --个集合中,设包含i a 的集合有i x 个(1i k ≤≤),由于剩下的n s t --个集合中每个集合与从的交非空,即包含某个i a ,从而12k x x x n s t +++≥--. 20 分不妨设11max i i k x x ≤≤=,则由上式知i n s tx k --≥,即在剩下的n s t --个集合中,包含1a的集合至少有n s tk--个.又由于),,2,1(1t i C A i ⋅⋅⋅=⊆,故12,,,t C C C 都包含1a ,因此包含1a 的集合个数至少为(1)n s t n s k t n s tt k k k---+---+=≥(利用2k ≥) nk ≥(利用s t ≤). 40 分 3.(本题满分50分)如图,ABC ∆内接于圆O ,P 为BC 弧上一点,点K 在AP 上,使得BK 平分ABC ∠,过C P K ,,三点的圆Ω与边AC 交于D ,连接BD 交圆Ω于E ,连接PE ,延长交AB 于F ,证明:FCB ABC ∠=∠2.证法一:设CF 与圆Q 交于点L (异于C),连接PB 、PC 、 BL 、KL .注意此时C 、D 、L 、K 、E 、P 六点均在圆Ω上,结合A 、 B 、P 、C 四点共圆,可知∠FEB=∠DEP=180°-∠DCP=∠ABP=∠FBP ,因此△FB E ∽△FPB ,故FB 2=FE ·FP .10分又由圆幂定理知,FE ·FP= FL ·FC ,所以FB 2=FL ·FC . 从而△FBL ∽△FCB .因此, ∠FLB=∠FBC=∠APC=∠KPC=∠FLK, 即B 、K 、L 三点共线. 30 分再根据△FBL ∽△FCB 得,∠FCB=∠FBL=12∠ABC, 即∠ABC=2∠FCB .证法二:设CF 与圆Ω交于点L (异于C).对圆内接广义六边形DCLKPE 应用帕斯卡定理可知, DC 与KP 的交点A 、CL 与PE 的交点F 、LK 与ED 的交点了共线,因此B ’是AF 与ED 的交点,即B ’=B .所以B 、K 、L 共线.10分根据A 、B 、P 、C 四点共圆及L 、K 、P 、C 四点共圆,得 ∠ABC=∠APC=∠FLK=∠FCB+∠LBC,又由BK 平分∠ABC 知,∠FBL=12∠ABC ,从而 ∠ABC=2∠FCB .4.(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数n 都有1)1(2+-n k 不整除!)!(n kn . 解:对正整数m ,设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂,则熟知2(!)()v m m S m =-,①这里()S m 表示正整数m 在二进制表示下的数码之和.由于1)1(2+-n k 不整除()!!kn n ,等价于2()!()(1)!kn v k n n ≤-,即22(()!)(!)kn v kn n v n -≥-,进而由①知,本题等价于求所有正整数k ,使得()()S kn S n ≥对任意正整数n 成立. 10分我们证明,所有符合条件的k 为2(0,1,2,)aa =.一方面,由于(2)()aS n S n =对任意正整数n 成立,故2ak =符合条件. 20 分另一方面,若k 不是2的方幂,设2,0,ak q a q =⋅≥是大于1的奇数.下面构造一个正整数n ,使得()()S kn S n <.因为()(2)()aS kn S q S qn <⋅=, 因此问题等价于我们选取q 的一个倍数m ,使得()()m S m S q <. 由(2,q )=l ,熟知存在正整数u ,使得21(mod )uq ≡.(事实上,由欧拉定理知,u 可以取()q ϕ的.)设奇数q 的二进制表示为1212222,0,2t a a at a a a t +++=<<<≥.取1122222t t a a tu aa-+++++,则()S m t =,且2(21)0(mod )t a tu m q q =+-≡.我们有1(1)02121211212(122)12t t ttu uu t a a lu a u t ul m q q q q q -+-=---=++⋅=+⋅+++=+⋅∑由于2102u uq -<<,故正整数21u q -的二进制表示中的最高次幂小于u ,由此易知,对任意整数,(01)i j i j t ≤<≤-,数212t u iu a q +-⋅与212tu ju a q+-⋅的二进制表示中没有相同的项.又因为0i a >,故212(0,1,,1)tu lu a l t q +-⋅=-的二进制表示中均不包含1,故由②可知21()1()()u m S S t t S m q q-=+⋅>=, 因此上述选取的m 满足要求.综合上述的两个方面可知,所求的k 为2(0,1,2,)aa =.50分。
2015高考真题理科数学答案
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2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案 A 卷选择题答案 一、 选择题(1)A (2)D (3)C (4)A (5)A (6)B (7)A (8)D (9)C (10)C (11)B (12)D A 、B 卷非选择题答案 二、填空题(13)1 (14) 22325()24x y ±+= (15)3 (16)二、 解答题(17)解:(I )由2243n n n a a S +=+,可知211124 3.n n n a a S ++++=+可得221112()4n n n n a a a a a +++-+-= 即2211112()()()n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-由于0n a >可得1 2.n n a a +-=又2111243a a a +=+,解得111()3a a =-=舍去, 所以{}n a 是首相为3,公差为2的等差数列,通项公式为2 1.n a n =+ (II )由21n a n =+111111().(21)(23)22123n n b a a n n n n +===-++++设数列{}n b 的前n 项和为n T ,则12n n T b b b =+++1111111()()()()235572123.3(23)n n n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦=+(18)解:(I )连结BD ,设BD AC=G ,连结EG ,FG ,EF.在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由∠ABC=120°,可得由 BE ⊥平面ABCD, AB=BC 可知AE=EC.又AE ⊥EC ,所以且EG ⊥AC.在Rt ∆EBG 中,可得DF=2.在Rt ∆FDG 中,可得在直角梯形BDFE 中,由BD=2,DF=,可得.从而222,EG FG EF EG FG +=⊥所以又,.AC FG G EG AFC =⊥ 可得平面因为E G A E ⊂平面 所以平面AEC AFC ⊥平面(I ) 如图,以G 为坐标原点,分别以GB ,GC 的方向为x 轴,y 轴正方向,GB为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(I)可得(0(10(10(02A E F C -,,所以(1AE CF ==-故cos ,AE CF AE CF AE CF⋅==⋅所以直线AE 与直线CF所成直角的余弦值为3.(19)解(I )由散点图可以判断,y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型。
2015年高考数学试卷附详细答案
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2015年高考数学试卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)1.(5分)(2015•原题)已知集合P={x|x2﹣2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁R P)∩Q=()A .[0,1)B.(0,2] C.(1,2)D.[1,2]2.(5分)(2015•原题)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()A .8cm3B.12cm3C.D.3.(5分)(2015•原题)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则()A .a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>04.(5分)(2015•原题)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n05.(5分)(2015•原题)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()A .B.C.D.6.(5分)(2015•原题)设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数()命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立,命题②不成立D.命题①不成立,命题②成立7.(5分)(2015•原题)存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有()A .f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|8.(5分)(2015•原题)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD折成△A′CD,所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α,则()A .∠A′DB≤αB.∠A′DB≥αC.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9.(6分)(2015•原题)双曲线=1的焦距是,渐近线方程是.10.(6分)(2015•原题)已知函数f(x)=,则f(f(﹣3))= ,f(x)的最小值是.11.(6分)(2015•原题)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,单调递减区间是.12.(4分)(2015•原题)若a=log43,则2a+2﹣a= .13.(4分)(2015•原题)如图,三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.14.(4分)(2015•原题)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是.15.(6分)(2015•原题)已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意x,y∈R,,则x0= ,y0= ,|= .三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(14分)(2015•原题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2﹣a2=c2.(1)求tanC的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.17.(15分)(2015•原题)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(2)求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值.18.(15分)(2015•原题)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[﹣1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.19.(15分)(2015•原题)已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).20.(15分)(2015•原题)已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2(n∈N*)(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{a n2}的前n项和为S n,证明(n∈N*).2015年高考数学试卷(理科)答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试(原题卷)数学(理科)1.(5分)考点:交、并、补集的混合运算.专题:集合.分析:求出P中不等式的解集确定出P,求出P补集与Q的交集即可.解答:解:由P中不等式变形得:x(x﹣2)≥0,解得:x≤0或x≥2,即P=(﹣∞,0]∪[2,+∞),∴∁R P=(0,2),∵Q=(1,2],∴(∁R P)∩Q=(1,2),故选:C.点评:此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.2.(5分)考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:判断几何体的形状,利用三视图的数据,求几何体的体积即可.解答:解:由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体,上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥,所求几何体的体积为:23+×2×2×2=.故选:C.点评:本题考查三视图与直观图的关系的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力.3.(5分)考点:等差数列与等比数列的综合.专题:等差数列与等比数列.分析:由a3,a4,a8成等比数列,得到首项和公差的关系,即可判断a1d和dS4的符号.解答:解:设等差数列{a n}的首项为a1,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d,由a3,a4,a8成等比数列,得,整理得:.∵d≠0,∴,∴,=<0.故选:B.点评:本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前n项和,是基础题.4.(5分)考点:命题的否定.专题:简易逻辑.分析:根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.解答:解:命题为全称命题,则命题的否定为:∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0,故选:D.点评:本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.5.(5分)考点:直线与圆锥曲线的关系.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可.解答:解:如图所示,抛物线的准线DE的方程为x=﹣1,过A,B分别作AE⊥DE于E,交y轴于N,BD⊥DE于E,交y轴于M,由抛物线的定义知BF=BD,AF=AE,则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1,|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1,则===,故选:A点评:本题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键.6.(5分)考点:复合命题的真假.专题:集合;简易逻辑.分析:命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可,③借助新定义,根据集合的运算,判断即可.解答:解:命题①:对任意有限集A,B,若“A≠B”,则A∪B≠A∩B,则card(A∪B)>card(A∩B),故“d(A,B)>0”成立,若d(A,B)>0”,则card(A∪B)>card(A∩B),则A∪B≠A∩B,故A≠B成立,故命题①成立,命题②,d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),d(B,C)=card(B∪C)﹣card(B∩C),∴d(A,B)+d(B,C)=card(A∪B)﹣card(A∩B)+card(B∪C)﹣card(B∩C)=[card (A∪B)+card(B∪C)]﹣[card(A∩B)+card(B∩C)]≥card(A∪C)﹣card(A∩C)=d(A,C),故命题②成立,故选:A点评:本题考查了,元素和集合的关系,以及逻辑关系,分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系,注意本题对充要条件的考查.集合的元素个数,体现两个集合的关系,但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系,属于基础题.7.(5分)考点:函数解析式的求解及常用方法.专题:函数的性质及应用.分析:利用x取特殊值,通过函数的定义判断正误即可.解答:解:A.取x=0,则sin2x=0,∴f(0)=0;取x=,则sin2x=0,∴f(0)=1;∴f(0)=0,和1,不符合函数的定义;∴不存在函数f(x),对任意x∈R都有f(sin2x)=sinx;B.取x=0,则f(0)=0;取x=π,则f(0)=π2+π;∴f(0)有两个值,不符合函数的定义;∴该选项错误;C.取x=1,则f(2)=2,取x=﹣1,则f(2)=0;这样f(2)有两个值,不符合函数的定义;∴该选项错误;D.令|x+1|=t,t≥0,则f(t2﹣1)=t;令t2﹣1=x,则t=;∴;即存在函数f(x)=,对任意x∈R,都有f(x2+2x)=|x+1|;∴该选项正确.故选:D.点评:本题考查函数的定义的应用,基本知识的考查,但是思考问题解决问题的方法比较难.8.(5分)考点:二面角的平面角及求法.专题:创新题型;空间角.分析:解:画出图形,分AC=BC,AC≠BC两种情况讨论即可.解答:解:①当AC=BC时,∠A′DB=α;②当AC≠BC时,如图,点A′投影在AE上,α=∠A′OE,连结AA′,易得∠ADA′<∠AOA′,∴∠A′DB>∠A′OE,即∠A′DB>α综上所述,∠A′DB≥α,故选:B.点评:本题考查空间角的大小比较,注意解题方法的积累,属于中档题.二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9.(6分)双曲线的简单性质.考点:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.专题:确定双曲线中的几何量,即可求出焦距、渐近线方程.分析:解解:双曲线=1中,a=,b=1,c=,答:∴焦距是2c=2,渐近线方程是y=±x.故答案为:2;y=±x.本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.点评:10.(6分)函数的值.考点:计算题;函数的性质及应用.专题:分根据已知函数可先求f(﹣3)=1,然后代入可求f(f(﹣3));由于x≥1时,f(x)=,析:当x<1时,f(x)=lg(x2+1),分别求出每段函数的取值范围,即可求解解答:解:∵f(x)=,∴f(﹣3)=lg10=1,则f(f(﹣3))=f(1)=0,当x≥1时,f(x)=,即最小值,当x<1时,x2+1≥1,(x)=lg(x2+1)≥0最小值0,故f(x)的最小值是.故答案为:0;.本题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于基础试题.点评:11.(6分)两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性.考点:专三角函数的求值.题:分由三角函数公式化简可得f(x)=sin(2x﹣)+,易得最小正周期,解不等析:式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间.解答:解:化简可得f(x)=sin2x+sinxcosx+1=(1﹣cos2x)+sin2x+1=sin(2x﹣)+,∴原函数的最小正周期为T==π,由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+,∴函数的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z)故答案为:π;[kπ+,kπ+](k∈Z)点评:本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题.12.(4分)考点:对数的运算性质.专题:函数的性质及应用.分析:直接把a代入2a+2﹣a,然后利用对数的运算性质得答案.解答:解:∵a=log43,可知4a=3,即2a=,所以2a+2﹣a=+=.故答案为:.点评:本题考查对数的运算性质,是基础的计算题.13.(4分)考点:异面直线及其所成的角.专题:空间角.分析:连结ND,取ND 的中点为:E,连结ME说明异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC通过解三角形,求解即可.解答:解:连结ND,取ND 的中点为:E,连结ME,则ME∥AN,异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC,∵AN=2,∴ME==EN,MC=2,又∵EN⊥NC,∴EC==,∴cos∠EMC===.故答案为:.点评:本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.14.(4分)考点:函数的最值及其几何意义.专题:不等式的解法及应用;直线与圆.分析:根据所给x,y的范围,可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y,再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分,分别去绝对值,运用线性规划的知识,平移即可得到最小值.解答:解:由x2+y2≤1,可得6﹣x﹣3y>0,即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y,如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分,在直线的上方(含直线),即有2x+y﹣2≥0,即|2+y﹣2|=2x+y﹣2,此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=(2x+y﹣2)+(6﹣x﹣3y)=x﹣2y+4,利用线性规划可得在A(,)处取得最小值3;在直线的下方(含直线),即有2x+y﹣2≤0,即|2+y﹣2|=﹣(2x+y﹣2),此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣(2x+y﹣2)+(6﹣x﹣3y)=8﹣3x﹣4y,利用线性规划可得在A(,)处取得最小值3.综上可得,当x=,y=时,|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3.故答案为:3.点本题考查直线和圆的位置关系,主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法,属于中档题.评:15.(6分)空间向量的数量积运算;平面向量数量积的运算.考点:专创新题型;空间向量及应用.题:分由题意和数量积的运算可得<•>=,不妨设=(,,0),=(1,0,0),由析:已知可解=(,,t),可得|﹣(|2=(x+)2+(y﹣2)2+t2,由题意可得当x=x0=1,y=y0=2时,(x+)2+(y﹣2)2+t2取最小值1,由模长公式可得|.解解:∵•=||||cos<•>=cos<•>=,答:∴<•>=,不妨设=(,,0),=(1,0,0),=(m,n,t),则由题意可知=m+n=2,=m=,解得m=,n=,∴=(,,t),∵﹣()=(﹣x﹣y,,t),∴|﹣(|2=(﹣x﹣y)2+()2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=(x+)2+(y﹣2)2+t2,由题意当x=x0=1,y=y0=2时,(x+)2+(y﹣2)2+t2取最小值1,此时t2=1,故|==2故答案为:1;2;2点本题考查空间向量的数量积,涉及向量的模长公式,属中档题.评:三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(14分)余弦定理.考点:解三角形.专题:分(1)由余弦定理可得:,已知b2﹣a2=c2.可得,a=.利析:用余弦定理可得cosC.可得sinC=,即可得出tanC=.(2)由=×=3,可得c,即可得出b.解解:(1)∵A=,∴由余弦定理可得:,∴b2﹣a2=bc﹣c2,答:又b2﹣a2=c2.∴bc﹣c2=c2.∴b=c.可得,∴a2=b2﹣=,即a=.∴cosC===.∵C∈(0,π),∴sinC==.∴tanC==2.(2)∵=×=3,解得c=2.∴=3.点评:本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(15分)考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(1)以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系,通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论;(2)所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数,计算即可.解答:(1)证明:如图,以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系.则BC=AC=2,A1O==,易知A1(0,0,),B(,0,0),C(﹣,0,0),A(0,,0),D(0,﹣,),B1(,﹣,),=(0,﹣,0),=(﹣,﹣,),=(﹣,0,0),=(﹣2,0,0),=(0,0,),∵•=0,∴A1D⊥OA1,又∵•=0,∴A1D⊥BC,又∵OA1∩BC=O,∴A1D⊥平面A1BC;(2)解:设平面A1BD的法向量为=(x,y,z),由,得,取z=1,得=(,0,1),设平面B1BD的法向量为=(x,y,z),由,得,取z=1,得=(0,,1),∴cos<,>===,又∵该二面角为钝角,∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣.点评:本题考查空间中线面垂直的判定定理,考查求二面角的三角函数值,注意解题方法的积累,属于中档题.18.(15分)考点:二次函数在闭区间上的最值.专题:函数的性质及应用.分析:(1)明确二次函数的对称轴,区间的端点值,由a的范围明确函数的单调性,结合已知以及三角不等式变形所求得到证明;(2)讨论a=b=0以及分析M(a,b)≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1,进一步求出|a|+|b|的求值.解答:解:(1)由已知可得f(1)=1+a+b,f(﹣1)=1﹣a+b,对称轴为x=﹣,因为|a|≥2,所以或≥1,所以函数f(x)在[﹣1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1),|f(﹣1)|}=max{|1+a+b|,|1﹣a+b|},所以M(a,b)≥(|1+a+b|+|1﹣a+b|)≥|(1+a+b)﹣(1﹣a+b)|≥|2a|≥2;(2)当a=b=0时,|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0,所以0为最小值,符合题意;又对任意x∈[﹣1,1].有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1,易知|a|+|b|=max{|a﹣b|,|a+b|}=3,在b=﹣1,a=2时符合题意,所以|a|+|b|的最大值为3.点评:本题考查了二次函数闭区间上的最值求法;解答本题的关键是正确理解M(a,b)是|f(x)|在区间[﹣1,1]上的最大值,以及利用三角不等式变形.19.(15分)考点:直线与圆锥曲线的关系.专题:创新题型;圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:(1)由题意,可设直线AB的方程为x=﹣my+n,代入椭圆方程可得(m2+2)y2﹣2mny+n2﹣2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2).可得△>0,设线段AB的中点P(x0,y0),利用中点坐标公式及其根与系数的可得P,代入直线y=mx+,可得,代入△>0,即可解出.(2)直线AB与x轴交点横坐标为n,可得S△OAB=,再利用均值不等式即可得出.解答:解:(1)由题意,可设直线AB的方程为x=﹣my+n,代入椭圆方程,可得(m2+2)y2﹣2mny+n2﹣2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意,△=4m2n2﹣4(m2+2)(n2﹣2)=8(m2﹣n2+2)>0,设线段AB的中点P(x0,y0),则.x0=﹣m×+n=,由于点P在直线y=mx+上,∴=+,∴,代入△>0,可得3m4+4m2﹣4>0,解得m2,∴或m.(2)直线AB与x轴交点纵坐标为n,∴S△OAB==|n|•=,由均值不等式可得:n2(m2﹣n2+2)=,∴S△AOB=,当且仅当n2=m2﹣n2+2,即2n2=m2+2,又∵,解得m=,当且仅当m=时,S△AOB取得最大值为.点评:本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20.(15分)考点:数列的求和;数列与不等式的综合.专题:创新题型;点列、递归数列与数学归纳法.分析:(1)通过题意易得0<a n≤(n∈N*),利用a n﹣a n+1=可得≥1,利用==≤2,即得结论;(2)通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1,利用数学归纳法可证明≥a n≥(n≥2),从而≥≥,化简即得结论.解答:证明:(1)由题意可知:0<a n≤(n∈N*),又∵a2=a1﹣=,∴==2,又∵a n﹣a n+1=,∴a n>a n+1,∴≥1,∴==≤2,∴1≤≤2(n∈N*);(2)由已知,=a n﹣a n+1,=a n﹣1﹣a n,…,=a1﹣a2,累加,得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1,易知当n=1时,要证式子显然成立;当n≥2时,=.下面证明:≥a n≥(n≥2).易知当n=2时成立,假设当n=k时也成立,则a k+1=﹣+,由二次函数单调性知:a n+1≥﹣+=≥,a n+1≤﹣+=≤,∴≤≤,即当n=k+1时仍然成立,故对n≥2,均有≥a n≥,∴=≥≥=,即(n∈N*).点评:本题是一道数列与不等式的综合题,考查数学归纳法,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.。
2015年陕西高考数学(理科)试题与答案
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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学一、选择题(本大题共12 个小题,每小题5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 .)1. 1.设集合M { x | x2x} ,N{ x | lg x0},则 M N()A .[0,1]B.(0,1]C.[0,1) D .(,1]【答案】 A试题分析:x x 2x0,1,x lg x 0x 0x 1 ,所以0,1,故选.A考点: 1、一元二次方程;2、对数不等式;3、集合的并集运算.【分析及点评】本题主要考察了集合的表示及其相关运算,并结合一元二次方程以及对数运算,属于基础题型,难度不大。
2.某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.167B.137C.123D.93【答案】 B考点:扇形图.【分析及点评】本题主要考察了统计以及统计图表的相关知识,难度系数很小,属于基础题型。
3. 如图,某港口一天6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin( x) k ,据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A .5B.6C.8D.10【答案】 C试题分析:由图象知:y min 2 ,因为y min3k ,所以3 k2 ,解得:k5 ,所以这段时间水深的最大值是y max 3 k358 ,故选C.考点:三角函数的图象与性质.【分析及点评】本题重在转化,将实际问题转化成三角函数问题,对三角函数的图像、性质有较高要求,但作为基础题型,难度不大。
4. 二项式(x 1)n(n N ) 的展开式中x2的系数为15,则n()A .4B .5C.6 D .7【答案】 C考点:二项式定理.【分析及点评】本题主要考察了学生对二项式定理的理解,以及二项式系数的计算,难度不大,属于基础题型。
5. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A .3B .4C.24D.34【答案】 D试题分析:由三视图知:该几何体是半个圆柱,其中底面圆的半径为1,母线长为 2 ,所以该几何体的表面积是121 1 2 2 2 34,故选 D.2考点: 1、三视图;2、空间几何体的表面积.【分析及点评】三视图以及体积、面积求值几乎每年必考,今年也不例外,题目设置与往年没有改变,难度不大,变化也不大。
2015年高考山东理科数学试题及答案解析
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12015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)【2015年山东,理1】已知集合2{|430}x x x -+<,{|24}B x x =<<,则A B = ()(A )()1,3(B )()1,4(C )()2,3(D )()2,4(2)【2015年山东,理2】若复数z 满足i 1i z=-,其中i 是虚数单位,则z =()(A )1i -(B )1i +(C )1i --(D )1i-+(3)【2015年山东,理3】要得到函数sin(4)3y x p=-的图象,只需将函数sin 4y x =的图像()(A )向左平移12p个单位(B )向右平移12p个单位(C )向左平移3p 个单位(D )向右平移3p个单位(4)【2015年山东,理4】已知菱形ABCD 的边长为a ,60ABC Ð= ,则BD ·CD =()(A )232a -(B )234a -(C )234a (D )232a (5)【2015年山东,理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是()(A )(,4)-¥(B )(,1)-¥(C )(1,4)(D )(1,5)(6)【2015年山东,理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -³ìï+£íï³î若z ax y =+的最大值为4,则a =()(A )3 (B )2 (C )-2 (D )-3 (7)【2015年山东,理7】在梯形ABCD 中,2ABC pÐ=,//AD BC ,222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()(A )23p (B )43p (C )53p (D )2p(8)【2015年山东,理8】已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布2(0,3)N ,从中随机取一件,其长度误差落在区间()3,6内的概率为()(附:若随机变量x 服从正态分布2(,)N m s ,则()68.26%P m s x m s -<<+=,(22)95.44%P m s x m s -<<+=)(A )4.56%(B )13.59%(C )27.18%(D )31.74%(9)【2015年山东,理9】一条光线从点(2,3)--射出,经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切,则反射光线所在的直线的斜率为()(A )53-或35-(B )32-或23-(C )54-或45-(D )43-或34-(10)【2015年山东,理10】设函数31,1,()2, 1.x x x f x x -<ì=í³î则满足()(())2f a f f a =的取值范围是()(A )2[,1]3(B )[0,1](C )2[,)3+¥(D )[1,)+¥第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分(11)【2015年山东,理11】观察下列各式:0010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++= 照此规律,当*n ÎN 时,012121212121n n n n n C C C C -----++++= .(12)【2015年山东,理12】若“[0,],tan 4x x m p "Σ”是真命题,则实数m 的最小值为.的最小值为.(13)【2015年山东,理13】执行右边的程序框图,输出的T 的值为.的值为. (14)【2015年山东,理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >¹的定义域和值域都是[1,0]-,则a b +=.(15)【2015年山东,理15】平面直角坐标系xOy 中,双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ,若OAB D 的垂心为2C 的焦点,则1C 的离心率为.的离心率为.三、解答题:本大题共6题,共75分.(16)【2015年山东,理16】(本小题满分12分)设2()sin cos cos ()4f x x x x p =-+.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;的单调区间;(Ⅱ)在锐角ABC D 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()0,12Af a ==,求ABC D 面积.面积.(17)【2015年山东,理17】(本小题满分12分)如图,在三棱台DEF ABC -中,中,2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点. (Ⅰ)求证://BD 平面FGH ;(Ⅱ)若CF ^平面ABC ,,,45AB BC CF DE BAC ^=Ð=,求平面FGH 与平面与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小.所成角(锐角)的大小.(18)【2015年山东,理18】(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知233nn S =+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;的通项公式;(Ⅱ)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .(19)【2015年山东,理19】(本小题满分12分)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.分.(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX .(20)【2015年山东,理20】(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32,左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心,以3为半径的圆与以2F 为圆心,以1为半径的圆相交,交点在椭圆C 上.上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;的方程; (Ⅱ)设椭圆2222:144x y E a b +=,P 为椭圆C 上的任意一点,过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .(i )求||||OQ OP 的值;(ii )求ABQ D 面积最大值.面积最大值.(21)【2015年山东,理21】(本题满分14分)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,其中a R Î.(Ⅰ)讨论函数()f x 极值点的个数,并说明理由;极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若0x ">,()0f x ³成立,求a 的取值范围.的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)【2015年山东,理1】已知集合2{|430}x x x -+<,{|24}B x x =<<,则A B = ()()(A )()1,3(B )()1,4(C )()2,3(D )()2,4 【答案】C 【解析】2{|430}{|13}A x x x x x =-+<=<<,(2,3)A B = ,故选C . (2)【2015年山东,理2】若复数z 满足i 1iz=-,其中i 是虚数单位,则z =()(A )1i -(B )1i +(C )1i --(D )1i -+ 【答案】A 【解析】2(1i)i i i 1i z =-=-+=+,1i z =-,故选A .(3)【2015年山东,理3】要得到函数sin(4)3y x p =-的图象,只需将函数sin 4y x =的图像()的图像()(A )向左平移12p 个单位(B )向右平移12p 个单位(C )向左平移3p 个单位(D )向右平移3p 个单位个单位 【答案】B 【解析】sin 4()12y x p =-,只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12p 个单位,故选B .(4)【2015年山东,理4】已知菱形ABCD 的边长为a ,60ABC Ð=,则BD ·CD =()()(A )232a -(B )234a - (C )234a (D )232a 【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ,60ABC Ð=可知18060120BAD Ð=-= ,2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ×=-×-=-×+=-×+= ,故选D .(5)【2015年山东,理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是()的解集是()(A )(,4)-¥ (B )(,1)-¥(C )(1,4)(D )(1,5) 【答案】A 【解析】当1x <时,1(5)42x x ---=-<成立;当15x £<时,1(5)262x x x ---=-<,解得4x <,则,则14x £<;当5x ³时,1(5)42x x ---=<不成立.综上4x <,故选A .(6)【2015年山东,理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -³ìï+£íï³î若z ax y =+的最大值为4,则a =()() (A )3(B )2 (C )-2(D )-3 【答案】B 【解析】由z ax y =+得y ax z =-+,借助图形可知:当1a -³,即1a £-时在0x y ==时有最大值0,不符合题意;当01a £-<,即10a -<£时在1x y ==时有最大值14,3a a +==,不满足10a -<£;当10a -<-£,即01a <£时在1x y ==时有最大值14,3a a +==,不满足01a <£;当1a -<-,即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==,满足1a >,故选B .(7)【2015年山东,理7】在梯形ABCD 中,2ABC p Ð=,//AD BC ,222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()(A )23p (B )43p (C )53p(D )2p 【答案】C 【解析】2215121133V p p p =××-××=,故选C .(8)【2015年山东,理8】已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布2(0,3)N ,从中随机取一件,其长度误差落在区间()3,6内的概率为()(附:若随机变量x 服从正态分布2(,)N m s ,则()68.26%P m s x m s -<<+=,(22)95.44%P m s x m s -<<+=) (A )4.56%(B )13.59%(C )27.18%(D )31.74% 【答案】D 【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P x <<=-=,故选D .(9)【2015年山东,理9】一条光线从点(2,3)--射出,经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切,则反射光线相切,则反射光线 所在的直线的斜率为()所在的直线的斜率为()(A )53-或35-(B )32-或23-(C )54-或45-(D )43-或34-【答案】D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-,设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=,则22|3223|1,|55|11k k d k k k ----==+=++,解得43k =-或34-,故选D .(10)【2015年山东,理10】设函数31,1,()2, 1.x x x f x x -<ì=í³î则满足()(())2f a f f a =的取值范围是()的取值范围是()(A )2[,1]3(B )[0,1](C )2[,)3+¥(D )[1,)+¥【答案】C 【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ³,则121a a ³ìí³î或1311a a <ìí-³î,解得23a ³,故选C . 第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分(11)【2015年山东,理11】观察下列各式:】观察下列各式:0010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++= 照此规律,当*n ÎN 时,012121212121n n n n n C C C C -----++++= .【答案】14n -【解析】0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++021********1212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=×= (12)【2015年山东,理12】若“[0,],tan 4x x m p "Σ”是真命题,则实数m 的最小值为.的最小值为.【答案】1 【解析】“[0,],tan 4x x m p "Σ”是真命题,则tan 14m p ³=,于是实数m 的最小值为1.(13)【2015年山东,理13】执行右边的程序框图,输出的T 的值为.的值为.【答案】116【解析】11200111111236T xdx x dx =++=++=òò. (14)【2015年山东,理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >¹的定义域和值域都是[1,0]-,则a b +=.【答案】32-【解析】当1a >时1010a b a b -ì+=-í+=î,无解;当01a <<时1001a b a b -ì+=í+=-î,解得12,2b a =-=,则13222a b +=-=-.(15)【2015年山东,理15】平面直角坐标系xOy 中,双曲线22122:1(0,0)x yC a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ,若OAB D 的垂心为2C 的焦点,则1C 的离心率为.的离心率为. 【答案】32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±,则22222222(,),(,)pb pb pb pbA B a a a a-22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2pF ,则22222AFpb p a a kpb b a-==,即2254b a =,2222294c a b a a +==,32c e a ==.三、解答题:本大题共6题,共75分.(16)【2015年山东,理16】(本小题满分12分)设2()sin cos cos ()4f x x x x p =-+.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;的单调区间;(Ⅱ)在锐角ABC D 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()0,12Af a ==,求ABC D 面积.面积.解:(Ⅰ)由111111()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222f x x x x x x p =-++=-+=-,由222,22k x k k Z p p p p -££+Î得,44k x k k Z p p p p -££+Î, 则()f x 的递增区间为[,],44k k k Z p p p p -+Î;由3222,22k x k k Z p p p p +££+Î得3,44k x k k Z p p p p +££+Î,则()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z p p p p ++Î.(Ⅱ)在锐角ABC D 中,11()sin 0,sin 222A f A A =-==,6A p =,而1a =,由余弦定理可得2212cos 23(23)6b c bc bc bc bc p =+-³-=-,当且仅当b c =时等号成立,时等号成立,即12323bc £=+-,11123sin sin 22644ABC S bc A bc bc p D +===£故ABC D 面积的最大值为234+. (17)【2015年山东,理17】(本小题满分12分)如图,在三棱台DEF ABC -中,中,2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点. (Ⅰ)求证://BD 平面FGH ;(Ⅱ)若CF ^平面ABC ,,,45AB BC CF DE BAC ^=Ð=,求平面FGH 与平面与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小.所成角(锐角)的大小.解:(Ⅰ)证明:连接DG ,DC ,设DC 与GF 交于点T ,在三棱台DEF ABC -中,2AB DE =,则2AC DF =,而G 是AC 的中点,DF AC ,则//DF GC ,所以四边形DGCF 是平行四边形,T 是DC 的中点,DG FC . 又在BDC D ,是BC 的中点,则TH DB ,又BD Ë平面FGH ,TH Ì平面FGH ,故//BD 平面FGH . (Ⅱ)由CF ^平面ABC ,可得DG ^平面ABC 而,AB BC ^,45BAC Ð=,则GB AC ^,于是,,GB GA GC 两两垂直,以点G 为坐标原点,为坐标原点,,,GA GB GC 所在的直线,分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,轴建立空间直角坐标系, 设2AB =,则1,22,2DE CF AC AG ====, 22(0,2,0),(2,0,0),(2,0,1),(,,0)22B C F H ---,则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1(0,1,0),0)n =,设平面FGH 的法向量为的法向量为2222(,,)n x y z = ,则2200n GH n GF ì×=ïí×=ïî,即22222202220x y x z ì-=ïíï-+=î, 取21x =,则221,2y z ==,2(1(1,1,1,1,,2)n =,1211cos ,2112n n <>==++ ,故平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60. (18)【2015年山东,理18】(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知233nn S =+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .解:(Ⅰ)由233n n S =+可得111(33)32a S ==+=,11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=³,而11133a -=¹,则13,13,1n n n a n -=ì=í>î.(Ⅱ)由3log n n n a b a =及13,13,1n n n a n -=ì=í>î,可得3111log 3113n n n nn a b n a n -ì=ïï==í-ï>ïî 2311123133333n n n T --=+++++ ,2234111123213333333n n n n n T ---=++++++ ,22312231211111111111111()3333333333333331121213113213319392233182313n n n n nn n n nn n n T n n n ----=+-++++-=-+++++----+=+-=+--=-××-113211243n n n T -+=-× (19)【2015年山东,理19】(本小题满分12分)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.分.(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX . 125135145235245345(Ⅱ)X 的所有取值为-1,0,1.32112844443339992111(0),(1),(1)31442C C C C C P X P X P X C C C ×+====-=====甲得分X 的分布列为:的分布列为:X0 -1 1 P23 114 1142211140(1)13144221EX =´+´-+´=.(20)【2015年山东,理20】(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的离心率为32,左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心,以3为半径的圆与以2F 为圆心,以1为半径的圆相交,交点在椭圆C 上.上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;的方程; (Ⅱ)设椭圆2222:144x yE a b+=,P 为椭圆C 上的任意一点,过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .(i )求||||OQ OP 的值;(ii )求ABQ D 面积最大值.面积最大值.解:(Ⅰ)由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32可知32c e a ==,而222a b c =+则2,3a b c b ==,左、右焦点分别是12(3,0),(3,0)F b F b -,圆1F :22(3)9,x b y ++=圆2F :22(3)1,x b y -+= 由两圆相交可得2234b <<,即132b <<,交点222(,1())33b b±-在椭圆C 上,上,则222221(3)43134b b b b b --+=×,整理得424510b b -+=,解得21b =,214b =(舍去), 故21b =,24a =,椭圆C 的方程为2214xy +=.(Ⅱ)(i )椭圆E 的方程为221164x y+=,设点00(,)P x y ,满足220014x y +=,射线000:(0)y PO y x xx x =<,代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --,于是22002200(2)(2)||2||x y OQ OP x y -+-==+. (ii )点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍:倍:0022|22|||311kx y m m d k k --+==++,221164y kx mxy =+ìïí+=ïî,得224()16x kx m ++=,整理得222(14)84160k x kmx m +++-=.2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m D =-+-=+->,22221||16(164)14kAB k m k+=+-+ 22222211||||164||341646221414m m k m S AB d k m k kD +-==×××+-=++22221646122(41)m k m k ++-£×=+,当且仅当2222||164,82m k m m k =+-=+等号成立.等号成立.而直线y kx m =+与椭圆22:14x C y +=有交点P ,则2244y kx m x y =+ìí+=î有解,有解,即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解,有解,其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m D =-+-=+-³,即2214k m +³,则上述2282m k =+不成立,等号不成立,不成立,等号不成立,设2||(0,1]14m t k=Î+,则222||16466(4)14m k m S t t k D +-==-+在(0,1]为增函数,为增函数, 于是当2214k m +=时max 6(41)163S D =-×=,故ABQ D 面积最大值为12.(21)【2015年山东,理21】(本题满分14分)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,其中a R Î.(Ⅰ)讨论函数()f x 极值点的个数,并说明理由;极值点的个数,并说明理由;(Ⅱ)若0x ">,()0f x ³成立,求a 的取值范围.的取值范围.解:(Ⅰ)2()ln(1)()f x x a x x =++-,定义域为(1,)-+¥, 21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-¢=+-==+++,设2()21g x ax ax a =++-, 当0a =时,1()1,()01g x f x x ¢==>+,函数()f x 在(1,)-+¥为增函数,无极值点.为增函数,无极值点. 当0a >时,228(1)98a a a a a D =--=-,若809a <£时0D £,()0,()0g x f x ¢³³,函数()f x 在(1,)-+¥为增函数,无极值点.为增函数,无极值点. 若89a >时0D >,设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ,且12x x <, 且1212x x +=-,而(1)10g -=>,则12114x x -<<-<,所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x ¢Î->>单调单调 递增;当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x ¢Î<<单调递减;当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x ¢Î+¥>>单调递增.单调递增. 因此此时函数()f x 有两个极值点;有两个极值点;当0a <时0D >,但(1)10g -=>,121x x <-<,所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x ¢Î->>单调单调递増;当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x ¢Î+¥<<单调递减,所以函数只有一个极值点.单调递减,所以函数只有一个极值点.综上可知当809a ££时()f x 的无极值点;当0a <时()f x 有一个极值点;当89a >时,()f x 的有两个的有两个 极值点.极值点.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当809a ££时()f x 在(0,)+¥单调递增,而(0)0f =, 则当(0,)x Î+¥时,()0f x >,符合题意;,符合题意;当819a <£时,2(0)0,0g x ³£,()f x 在(0,)+¥单调递增,而(0)0f =, 则当(0,)x Î+¥时,()0f x >,符合题意;,符合题意;当1a >时,2(0)0,0g x <>,所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减,而(0)0f =, 则当2(0,)x x Î时,()0f x <,不符合题意;,不符合题意;当0a <时,设()ln(1)h x x x =-+,当(0,)x Î+¥时1()1011x h x x x¢=-=>++, ()h x 在(0,)+¥单调递增,因此当(0,)x Î+¥时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<,于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-,当11x a >-时2(1)0ax a x +-<,此时()0f x <,不符合题意.,不符合题意.综上所述,a 的取值范围是01a ££. 另解:(Ⅰ)2()ln(1)()f x x a x x =++-,定义域为(1,)-+¥ 21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-¢=+-==,当0a =时,1()01f x x ¢=>+,函数()f x 在(1,)-+¥为增函数,无极值点.为增函数,无极值点. 设222()21,(1)1,8(1)98g x ax ax a g a a a a a =++--=D =--=-,当0a ¹时,根据二次函数的图像和性质可知()0g x =的根的个数就是函数()f x 极值点的个数.极值点的个数.若(98)0a a D =-£,即809a <£时,()0g x ³,()0f x ¢³函数在(1,)-+¥为增函数,无极值点.为增函数,无极值点. 若(98)0a a D =->,即89a >或0a <,而当0a <时(1)0g -³此时方程()0g x =在(1,)-+¥只有一个实数根,此时函数()f x 只有一个极值点;只有一个极值点;当89a >时方程()0g x =在(1,)-+¥都有两个不相等的实数根,此时函数()f x 有两个极值点;有两个极值点; 综上可知当809a ££时()f x 的极值点个数为0;当0a <时()f x 的极值点个数为1;当89a >时,时,()f x 的极值点个数为2. (Ⅱ)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,0x ">,都有()0f x ³成立,即2ln(1)()0x a x x ++-³当1x =时,ln 20³恒成立;恒成立;当1x >时,20x x ->,2ln(1)0x a x x++³-; 当01x <<时,20x x -<,2ln(1)0x a x x++£-;由0x ">均有ln(1)x x +<成立.成立. 故当1x >时,,2ln(1)11x x x x +<--(0,)Î+¥,则只需0a ³; 当01x <<时,2ln(1)1(,1)1x x x x +>Î-¥---,则需10a -+£,即1a £.综上可知对于0x ">,都有,都有 ()0f x ³成立,只需01a ££即可,故所求a 的取值范围是01a ££. 另解:(Ⅱ)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,(0)0f =,要使0x ">,都有()0f x ³成立,成立,只需函数函数只需函数函数()f x 在(0,)+¥上单调递增即可,于是只需0x ">,1()(21)01f x a x x ¢=+-³+成立,成立, 当12x >时1(1)(21)a x x ³-+-,令210x t -=>,2()(,0)(3)g t t t =-Î-¥+, 则0a ³;当12x =时12()023f ¢=>;当102x <<,1(1)(21)a x x £-+-, 令21(1,0)x t -=Î-,2()(3)g t t t =-+关于(1,0)t Î-单调递增,单调递增, 则2()(1)11(13)g t g >-=-=--+,则1a £,于是01a ££. 又当1a >时,2(0)0,0g x <>,所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减,而(0)0f =, 则当2(0,)x x Î时,()0f x <,不符合题意;,不符合题意;当0a <时,设()ln(1)h x x x =-+,当(0,)x Î+¥时1()1011x h x x x¢=-=>++, ()h x 在(0,)+¥单调递增,因此当(0,)x Î+¥时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<,于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-,当11x a>-时2(1)0ax a x +-<,此时()0f x <,不符合题意. 综上所述,a 的取值范围是01a ££.【评析】求解此类问题往往从三个角度求解:一是直接求解,通过对参数a 的讨论来研究函数的单调性,进一步确定参数的取值范围;确定参数的取值范围;二是分离参数法,二是分离参数法,二是分离参数法,求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的;求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的;求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的;三是凭三是凭借函数单调性确定参数的取值范围,然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意,然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意,即可即可确定所求. 确定所求.。
江苏省2015年数学高考试卷含答案和解析
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2015年江苏省高考数学试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)(2015•江苏)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为.2.(5分)(2015•江苏)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为.3.(5分)(2015•江苏)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.4.(5分)(2015•江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为.5.(5分)(2015•江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.6.(5分)(2015•江苏)已知向量=(2,1),=(1,﹣2),若m+n=(9,﹣8)(m,n∈R),则m﹣n的值为.7.(5分)(2015•江苏)不等式2<4的解集为.8.(5分)(2015•江苏)已知tanα=﹣2,tan(α+β)=,则tanβ的值为.9.(5分)(2015•江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.10.(5分)(2015•江苏)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.11.(5分)(2015•江苏)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1(n∈N*),则数列{}的前10项的和为.12.(5分)(2015•江苏)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点,若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.13.(5分)(2015•江苏)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.14.(5分)(2015•江苏)设向量=(cos,sin+cos)(k=0,1,2,…,12),则(a k•a k+1)的值为.二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(2015•江苏)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.16.(14分)(2015•江苏)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.求证:(1)DE∥平面AA1C1C;(2)BC1⊥AB1.17.(14分)(2015•江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.18.(16分)(2015•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.19.(16分)(2015•江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c﹣a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),求c的值.20.(16分)(2015•江苏)设a1,a2,a3.a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.(1)证明:2,2,2,2依次构成等比数列;(2)是否存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列?并说明理由.三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】21.(10分)(2015•江苏)如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证:△ABD∽△AEB.【选修4-2:矩阵与变换】22.(10分)(2015•江苏)已知x,y∈R,向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.(2015•江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,求圆C的半径.[选修4-5:不等式选讲】24.(2015•江苏)解不等式x+|2x+3|≥2.【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25.(10分)(2015•江苏)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.26.(10分)(2015•江苏)已知集合X={1,2,3},Y n={1,2,3,…,n)(n∈N*),设S n={(a,b)|a整除b或整除a,a∈X,B∈Y n},令f(n)表示集合S n所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)考点:并集及其运算.专题:集合.分析:求出A∪B,再明确元素个数解答:解:集合A={1,2,3},B={2,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5};所以A∪B中元素的个数为5;故答案为:5点评:题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属于基础题2.(5分)考点:众数、中位数、平均数.专题:概率与统计.分析:直接求解数据的平均数即可.解答:解:数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为:=6.故答案为:6.点评:本题考查数据的均值的求法,基本知识的考查.3.(5分)考点:复数求模.专题:数系的扩充和复数.分析:直接利用复数的模的求解法则,化简求解即可.解答:解:复数z满足z2=3+4i,可得|z||z|=|3+4i|==5,∴|z|=.故答案为:.点评:本题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力.4.(5分)考点:伪代码.专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的I,S的值,当I=10时不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为7.解答:解:模拟执行程序,可得S=1,I=1满足条件I<8,S=3,I=4满足条件I<8,S=5,I=7满足条件I<8,S=7,I=10不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为7.故答案为:7.点评:本题主要考查了循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.5.(5分)考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:根据题意,把4个小球分别编号,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可.解答:解:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为C1、C2,则一次取出2只球,基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种,其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种;所以所求的概率是P=.故答案为:.点评:本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目.6.(5分)考点:平面向量的基本定理及其意义.专题:平面向量及应用.分析:直接利用向量的坐标运算,求解即可.解答:解:向量=(2,1),=(1,﹣2),若m+n=(9,﹣8)可得,解得m=2,n=5,∴m﹣n=﹣3.故答案为:﹣3.点评:本题考查向量的坐标运算,向量相等条件的应用,考查计算能力.7.(5分)考点:指、对数不等式的解法.专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析:利用指数函数的单调性转化为x2﹣x<2,求解即可.解答:解;∵2<4,∴x2﹣x<2,即x2﹣x﹣2<0,解得:﹣1<x<2故答案为:(﹣1,2)点评:本题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解,属于简单的综合题目,难度不大.8.(5分)考点:两角和与差的正切函数.专题:三角函数的求值.分析:直接利用两角和的正切函数,求解即可.解答:解:tanα=﹣2,tan(α+β)=,可知tan(α+β)==,即=,解得tanβ=3.故答案为:3.点评:本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查.9.(5分)考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径r,求出体积,由前后体积相等列式求得r.解答:解:由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为:.设新圆锥和圆柱的底面半径为r,则新圆锥和圆柱的体积和为:.∴,解得:.故答案为:.点评:本题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题.10.(5分)考点:圆的标准方程;圆的切线方程.专题:计算题;直线与圆.分析:求出圆心到直线的距离d的最大值,即可求出所求圆的标准方程.解答:解:圆心到直线的距离d==≤,∴m=1时,圆的半径最大为,∴所求圆的标准方程为(x﹣1)2+y2=2.故答案为:(x﹣1)2+y2=2.点评:本题考查所圆的标准方程,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基础.11.(5分)考点:数列的求和;数列递推式.专题:等差数列与等比数列.分析:数列{a n}满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1(n∈N*),利用“累加求和”可得a n=.再利用“裂项求和”即可得出.解答:解:∵数列{a n}满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1(n∈N*),∴当n≥2时,a n=(a n﹣a n﹣1)+…+(a2﹣a1)+a1=+n+…+2+1=.当n=1时,上式也成立,∴a n=.∴=2.∴数列{}的前n项的和S n===.∴数列{}的前10项的和为.故答案为:.点评:本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离.解答:解:由题意,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立,所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离,即.故答案为:.点评:本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.13.(5分)考点:根的存在性及根的个数判断.专题:综合题;函数的性质及应用.分析::由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=﹣f(x)±1,分别作出函数的图象,即可得出结论.解答:解:由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=﹣f(x)±1.g(x)与h(x)=﹣f(x)+1的图象如图所示,图象有两个交点;g(x)与φ(x)=﹣f(x)﹣1的图象如图所示,图象有两个交点;所以方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.故答案为:4.点评:本题考查求方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.14.(5分)考点:数列的求和.专题:等差数列与等比数列;平面向量及应用.分析:利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出.解答:解:=+=++++=++=++,∴(a k•a k+1)=+++++++…+++++++…+=+0+0=.故答案为:9.点评:本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)考点:余弦定理的应用;二倍角的正弦.专题:解三角形.分析:(1)直接利用余弦定理求解即可.(2)利用正弦定理求出C的正弦函数值,然后利用二倍角公式求解即可.解答:解:(1)由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7,所以BC=.(2)由正弦定理可得:,则sinC===,∵AB<BC,∴C为锐角,则cosC===.因此sin2C=2sinCcosC=2×=.点评:本题考查余弦定理的应用,正弦定理的应用,二倍角的三角函数,注意角的范围的解题的关键.16.(14分)考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.专题:证明题;空间位置关系与距离.分析:(1)根据中位线定理得DE∥AC,即证DE∥平面AA1C1C;(2)先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC,即证AC⊥CC1;再证明AC⊥平面BCC1B1,即证BC1⊥AC;最后证明BC1⊥平面B1AC,即可证出BC1⊥AB1.解答:证明:(1)根据题意,得;E为B1C的中点,D为AB1的中点,所以DE∥AC;又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,所以DE∥平面AA1C1C;(2)因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1;又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1;又因为BC1⊂平面平面BCC1B1,所以BC1⊥AC;因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,所以BC1⊥平面B1AC;又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB1.点评:本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目.17.(14分)考点:函数与方程的综合运用.专题:综合题;导数的综合应用.分析:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,建立方程组,即可求a,b的值;(2)①求出切线l的方程,可得A,B的坐标,即可写出公路l长度的函数解析式f (t),并写出其定义域;②设g(t)=,利用导数,确定单调性,即可求出当t为何值时,公路l的长度最短,并求出最短长度.解答:解:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,得,解得,(2)①由(1)y=(5≤x≤20),P(t,),∴y′=﹣,∴切线l的方程为y﹣=﹣(x﹣t)设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,则A(,0),B(0,),∴f(t)==,t∈[5,20];②设g(t)=,则g′(t)=2t﹣=0,解得t=10,t∈(5,10)时,g′(t)<0,g(t)是减函数;t∈(10,20)时,g′(t)>0,g(t)是增函数,从而t=10时,函数g(t)有极小值也是最小值,∴g(t)min=300,∴f(t)min=15,答:t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.点评:本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,正确求导是关键.18.(16分)考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)运用离心率公式和准线方程,可得a,c的方程,解得a,c,再由a,b,c的关系,可得b,进而得到椭圆方程;(2)讨论直线AB的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.解答:解:(1)由题意可得,e==,且c+=3,解得c=1,a=,则b=1,即有椭圆方程为+y2=1;(2)当AB⊥x轴,AB=,CP=3,不合题意;当AB与x轴不垂直,设直线AB:y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB方程代入椭圆方程可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2(k2﹣1)=0,则x1+x2=,x1x2=,则C(,),且|AB|=•=,若k=0,则AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意;则k≠0,故PC:y+=﹣(x﹣),P(﹣2,),从而|PC|=,由|PC|=2|AB|,可得=,解得k=±1,此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1.点评:本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档题.19.(16分)考点:利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.专题:综合题;导数的综合应用.分析:(1)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可得出f(x)的单调性;(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(﹣)=+b,则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)f(﹣)=b(+b)<0,进一步转化为a>0时,﹣a+c>0或a<0时,﹣a+c<0.设g(a)=﹣a+c,利用条件即可求c的值.解答:解:(1)∵f(x)=x3+ax2+b,∴f′(x)=3x2+2ax,令f′(x)=0,可得x=0或﹣.a=0时,f′(x)>0,∴f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;a>0时,x∈(﹣∞,﹣)∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈(﹣,0)时,f′(x)<0,∴函数f(x)在(﹣∞,﹣),(0,+∞)上单调递增,在(﹣,0)上单调递减;a<0时,x∈(﹣∞,0)∪(﹣,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0,﹣)时,f′(x)<0,∴函数f(x)在(﹣∞,0),(﹣,+∞)上单调递增,在(0,﹣)上单调递减;(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(﹣)=+b,则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)f(﹣)=b(+b)<0,∵b=c﹣a,∴a>0时,﹣a+c>0或a<0时,﹣a+c<0.设g(a)=﹣a+c,∵函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),∴在(﹣∞,﹣3)上,g(a)<0且在(1,)∪(,+∞)上g(a)>0均恒成立,∴g(﹣3)=c﹣1≤0,且g()=c﹣1≥0,∴c=1,此时f(x)=x3+ax2+1﹣a=(x+1)[x2+(a﹣1)x+1﹣a],∵函数有三个零点,∴x2+(a﹣1)x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根,∴△=(a﹣1)2﹣4(1﹣a)>0,且(﹣1)2﹣(a﹣1)+1﹣a≠0,解得a∈(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),综上c=1.点评:本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨论的数学思想,难度大.20.(16分)考点:等比关系的确定;等比数列的性质.专题:等差数列与等比数列.分析:(1)根据等比数列和等差数列的定义即可证明;(2)利用反证法,假设存在a1,d使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,推出矛盾,否定假设,得到结论;(3)利用反证法,假设存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列,得到a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k),利用等式以及对数的性质化简整理得到ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln (1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**),多次构造函数,多次求导,利用零点存在定理,推出假设不成立.解答:解:(1)证明:∵==2d,(n=1,2,3,)是同一个常数,∴2,2,2,2依次构成等比数列;(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a﹣d,a,a+d,a+2d(a>d,a>﹣2d,d≠0)假设存在a1,d使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,则a4=(a﹣d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4,令t=,则1=(1﹣t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(﹣<t<1,t≠0),化简得t3+2t2﹣2=0(*),且t2=t+1,将t2=t+1代入(*)式,t(t+1)+2(t+1)﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=﹣,显然t=﹣不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列.(3)假设存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列,则a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k),分别在两个等式的两边同除以=a12(n+k),a12(n+2k),并令t=,(t>,t≠0),则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k),将上述两个等式取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t),化简得,2k[ln(1+2t)﹣ln(1+t)]=n[2ln(1+t)﹣ln(1+2t)],且3k[ln(1+3t)﹣ln(1+t)]=n[3ln(1+t)﹣ln(1+3t)],再将这两式相除,化简得,ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**)令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)﹣ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t),则g′(t)=[(1+3t)2ln(1+3t)﹣3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t)],令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)﹣3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),则φ′(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)﹣2(1+2t)ln(1+2t)+3(1+t)ln(1+t)],令φ1(t)=φ′(t),则φ1′(t)=6[3ln(1+3t)﹣4ln(1+2t)+ln(1+t)],令φ2(t)=φ1′(t),则φ2′(t)=>0,由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ2′(t)>0,知g(t),φ(t),φ1(t),φ2(t)在(﹣,0)和(0,+∞)上均单调,故g(t)只有唯一的零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立,所以不存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列.点评:本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,函数与方程等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力,属于难题.三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】21.(10分)考点:相似三角形的判定.专题:推理和证明.分析:直接利用已知条件,推出两个三角形的三个角对应相等,即可证明三角形相似.解答:证明:∵AB=AC,∴∠ABD=∠C,又∵∠C=∠E,∴∠ABD=∠E,又∠BAE是公共角,可知:△ABD∽△AEB.点评:本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,考查逻辑推理能力.【选修4-2:矩阵与变换】22.(10分)考点:特征值与特征向量的计算.专题:矩阵和变换.分析:利用A=﹣2,可得A=,通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论.解答:解:由已知,可得A=﹣2,即==,则,即,∴矩阵A=,从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ﹣1),∴矩阵A的另一个特征值为1.点评:本题考查求矩阵及其特征值,注意解题方法的积累,属于中档题.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.(2015•江苏)考点:简单曲线的极坐标方程.专题:计算题;坐标系和参数方程.分析:先根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,求出圆的直角坐标方程,求出半径.解答:解:圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0,化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0,化为标准方程为(x﹣1)2+(y+1)2=6,圆的半径r=.点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,以及求点的极坐标的方法,关键是利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,比较基础,[选修4-5:不等式选讲】24.(2015•江苏)考点:绝对值不等式的解法.专题:不等式.分析:思路1(公式法):利用|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≥g(x),或f(x)≤﹣g(x);思路2(零点分段法):对x的值分“x≥”“x<”进行讨论求解.解答:解法1:x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x,得2x+3≥2﹣x,或2x+3≥﹣(2﹣x),即x≥,或x≤﹣5,即原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.解法2:令|2x+3|=0,得x=.①当x≥时,原不等式化为x+(2x+3)≥2,即x≥,所以x≥;②x<时,原不等式化为x﹣(2x+3)≥2,即x≤﹣5,所以x≤﹣5.综上,原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.点评:本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法,不管用哪种方法,其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号,利用公式法要快捷一些,其套路为:|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≥g(x),或f(x)≤﹣g(x);|f(x)|≤g(x)⇔﹣g(x)≤f(x)≤g(x).可简记为:大于号取两边,小于号取中间.使用零点分段法时,应注意:同一类中取交集,类与类之间取并集.【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25.(10分)(考点:二面角的平面角及求法;点、线、面间的距离计算.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz.(1)所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值,计算即可;(2)利用换元法可得cos2<,>≤,结合函数y=cosx在(0,)上的单调性,计算即得结论.解答:解:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图,由题可知B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).(1)∵AD⊥平面PAB,∴=(0,2,0),是平面PAB的一个法向量,∵=(1,1,﹣2),=(0,2,﹣2),设平面PCD的法向量为=(x,y,z),由,得,取y=1,得=(1,1,1),∴cos<,>==,∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为;(2)∵=(﹣1,0,2),设=λ=(﹣λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又=(0,﹣1,0),则=+=(﹣λ,﹣1,2λ),又=(0,﹣2,2),从而cos<,>==,设1+2λ=t,t∈[1,3],则cos2<,>==≤,当且仅当t=,即λ=时,|cos<,>|的最大值为,因为y=cosx在(0,)上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又∵BP==,∴BQ=BP=.点评:本题考查求二面角的三角函数值,考查用空间向量解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.26.(10分)考点:数学归纳法.专题:综合题;点列、递归数列与数学归纳法.分析:(1)f(6)=6+2++=13;(2)根据数学归纳法的证明步骤,分类讨论,即可证明结论.解答:解:(1)f(6)=6+2++=13;(2)当n≥6时,f(n)=.下面用数学归纳法证明:①n=6时,f(6)=6+2++=13,结论成立;②假设n=k(k≥6)时,结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t﹣1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=(k+1)+2++,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1=(k+1)+2++,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立.综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.点评:本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,正确归纳是关键.。
(完整版)2015年江苏省高考数学试卷答案与解析
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2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1. (5分)(2015?江苏)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A U B中元素的个数为5 .考点:并集及其运算.专题:集合.分析:求出A U B,再明确元素个数解答:解:集合A={1 , 2, 3} , B={2 , 4, 5},则A U B={1 , 2, 3, 4, 5};所以A U B中元素的个数为5;故答案为:5点评:题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属于基础题2. (5分)(2015?江苏)已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为6考点:众数、中位数、平均数. 专题:概率与统计.分析:直接求解数据的平均数即可.解答:解:数据4, 6, 5, 8, 7, 6, 那么这组数据的平均数为:'=6.| 6 |故答案为:6.点评:本题考查数据的均值的求法,基本知识的考查.3. (5分)(2015?江苏)设复数z满足z2=3+4i (i是虚数单位),则z的模为—仃考点:复数求模.专题:数系的扩充和复数.分析:直接利用复数的模的求解法则,化简求解即可.解答:解:复数z满足z2=3+4i,可得|z||z|=|3+4i|=二.:_=5,••• |z|=,厂故答案为:.口.点评:本题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力.4. (5分)(2015?江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为7考点:伪代码.专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的I ,S的值,当1=10时不满足条件I v 8, 退出循环,输出S的值为7.解答:解:模拟执行程序,可得S=1 , I=1满足条件I v8,S=3,I=4满足条件I v8,S=5,I=7满足条件I v8,S=7,I=10不满足条件I v 8,退出循环,输出S的值为7.故答案为:7.点评:本题主要考查了循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.5. (5分)(2015?江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为—考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:根据题意,把4个小球分别编号,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可. 解答:解:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为C1、C2,则一次取出2只球,基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种,其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC 2、BC1、BC2共5种;所以所求的概率是卩二.故答案为:上.点评:本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目.6. ( 5 分)(2015?江苏)已知向量3= (2, 1), b| = (1, - 2),若nb= ( 9,- 8) ( m, n €R),贝U m - n的值为 -3 考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用.分析:直接利用向量的坐标运算,求解即可.解答:农宀曰-1 - 卄f r解:向量 3= (2,1) , b =( 1,— 2),右 m 右+nb= (9, - 8)可得卜於口一9 ,解得m=2 , n=5,[阳 _ 2n= _ 8 /• m - n= — 3. 故答案为:-3.点评:本题考查向量的坐标运算,向量相等条件的应用,考查计算能力.考点:指、对数不等式的解法.专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析:利用指数函数的单调性转化为 X 2- x < 2,求解即可. 解答:■■解;•/ 2 套 K < 4,/• x 2 - x < 2, 即 X 2- X - 2< 0, 解得:-1 < x < 2 故答案为:(-1, 2)点评:本题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解,属于简单的综合题目,难度不大.解得 tan 3=3. 故答案为:3.本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查.9. ( 5分)(2015?江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为4的圆锥和底面半径为 2, 高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变, 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 _ ' _.考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.7. ( 5分)(2015?江苏)不等式(-1, 2)& ( 5分)(2015?江苏)已知tan a = - 2, tan ( a + ®=■,贝U tan 3的值为考点:两角和与差的正切函数. 专题:三角函数的求值.分析: 解答:直接利用两角和的正切函数, 解:tan a = - 2, tan ( a + 3)求解即可.刁,可知 tan (3)=tan 。
2015年高考陕西省理科数学真题含答案解析(超完美版)
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2015年高考陕西省理科数学真题一、选择题1.设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M N =( )A .[0,1]B .(0,1]C .[0,1)D .(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A .167B .137C .123D .933.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++,据此函数可知,这段时间水深(单位:m )的最大值为( ) A .5B .6C .8D .104.二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15,则n =( )A .4B .5C .6D .75.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .3πB .4πC .24π+D .34π+ 6. “sin cos αα=”是“cos20α=”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要 7.对任意向量,a b ,下列关系式中不恒成立的是( ) A .|?|||||a b a b ≤B .||||||||a b a b -≤-C .22()||a b a b +=+D .22(a b)(a b)a b +-=-8.根据下边的图,当输入x 为2006时,输出的y =( )A .28B .10C .4D .29.设()ln ,0f x x a b =<<,若()p f ab =,()2a b q f +=,1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是( )A .q r p =<B .q r p =>C .p r q =<D .p r q =>10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示,如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A .12万元B .16万元C .17万元D .18万元11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈,若||1z ≤,则y x ≥的概率( ) A .3142π+ B .1142π- C .112π- D .112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++(a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A .-1是()f x 的零点 B .1是()f x 的极值点 C .3是()f x 的极值D .点(2,8)在曲线()y f x =上二、填空题13.中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点,则p=15.设曲线x y e =在点(0,1)处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直,则p 的坐标为 16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题17.C ∆AB 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行.()I 求A ; ()II 若7a =,2b =求C ∆AB 的面积.18.如图1,在直角梯形CD AB 中,D//C A B ,D 2π∠BA =,C 1AB =B =,D 2A =,E 是D A 的中点,O 是C A 与BE 的交点.将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置,如图2.()I 证明:CD⊥平面1CA O;()II若平面1A BE⊥平面CDB E,求平面1CA B与平面1CDA夹角的余弦值.19.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:()I求T的分布列与数学期望ET;()II刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.20.已知椭圆:E22221x ya b+=(0a b>>)的半焦距为c,原点O到经过两点(),0c,()0,b的直线的距离为12c.()I求椭圆E的离心率;()II如图,AB是圆:M()()225212x y++-=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.21.设()nf x是等比数列1,x,2x,⋅⋅⋅,n x的各项和,其中0x>,n∈N,2n≥.()I证明:函数()()F2n nx f x=-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点(记为nx),且11122nn nx x+=+;()II设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为()ng x,比较()nf x与()ng x的大小,并加以证明.22.如图,AB切O于点B,直线DA交O于D,E两点,C DB⊥E,垂足为C.()I证明:C D D∠B=∠BA;()II若D3DCA=,C2B=,求O的直径.23.在直角坐标系x yO中,直线l的参数方程为13232x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴C ()I 写出C 的直角坐标方程;()II P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.2015年高考陕西省理科数学真题答案一、选择题 1.答案:A 解析过程: 由==⇒=2{x }{0,1},M xx M=≤⇒=<≤N {x lg 0}N {x 0x 1}x所以0,1MN ⎡⎤=⎣⎦,选A2.答案:B解析过程:由图可知该校女教师的人数为,选B3.答案:C 解析过程:试题分析:由图像得, 当时,求得, 当时,,选C4.答案:B 解析过程:二项式(1)nx +的展开式的通项是1r rr n T C x +=,令2r =得2x 的系数是2n C ,因为2x 的系数为15,所以215n C =,即2300n n --=,解得:6n =或5n =-,11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+=sin()16x π+Φ=-min 2y =5k =sin()16x π+Φ=max 3158y =⨯+=因为n N +∈,所以6n =,选C 5.答案:D 解析过程:试题分析:由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半, 所以该几何体的表面积为,选 6. 答案:A 解析过程:ααα=⇒-=22cos 20cos sin 0αααα⇒-+=(cos sin )(cos sin )0所以sin cos 或sin =-cos αααα=,选A 7.答案:B 解析过程:因为cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤,所以选项A 正确;当a 与b 方向相反时,a b a b -≤-不成立,所以选项B 错误; 向量的平方等于向量的模的平方,所以选项C 正确;22(a b)(a b)a b +-=-所以选项D 正确,选B8.答案:C 解析过程:初始条件:;第1次运行:;第2次运行:; 第3次运行:;;第1003次运行:; 第1004次运行:.不满足条件,停止运行, 所以输出的,故选 B .9.答案:B 解析过程:()ln p f ab ab ==,()ln22a b a bq f ++==, 11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增,21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+D 2006x =2004x =2002x =2000x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅0x =2x =-0?x ≥23110y =+=因为2a b ab +>,所以()()2a bf f ab +>, 所以q p r >=,故选C10.答案:D 解析过程:设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨,则利润由题意可列,其表示如图阴影部分区域:当直线过点时,取得最大值, 所以,故选D 11.答案:D解析过程:如图可求得,,阴影面积等于 若,则的概率是,故选B . 12.答案:A 解析过程:假设选项A 错误,则选项B 、C 、D 正确,()2f x ax b '=+, 因为1是()f x 的极值点,3是()f x 的极值,所以(1)0(1)3f f '=⎧⎨=⎩,203a b a b c +=⎧⎨++=⎩,解得23b ac a=-⎧⎨=+⎩,因为点(2,8)在曲线()y f x =上,所以428a b c ++=, 解得:5a =,所以10b =-,8c =, 所以2()5108f x x x =-+x y 34z x y =+32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩340x y z +-=(2,3)A z max 324318z =⨯+⨯=2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤(1,1)A (1,0)B 21111114242ππ⨯-⨯⨯=-||1z ≤y x ≥211142142πππ-=-⨯因为()215(1)10(1)8230f -=⨯--⨯-+=≠,所以1-不是()f x 的零点,所以假设成立,选A 二、填空题 13.答案:5 解析过程:设数列的首项为,则, 所以,故该数列的首项为 14.答案:解析过程:抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-, 双曲线221x y-=的一个焦点1(F , 因为抛物线22(0)y px p =>的准线 经过双曲线221x y -=的一个焦点, 所以2p-=p =15.答案:(1,1) 解析过程:因为,所以,所以曲线在点处的切线的斜率,设的坐标为(),则, 因为,所以, 所以曲线在点处的切线的斜率, 因为,所以,即,解得, 因为,所以,所以,即的坐标是1a 12015210102020a +=⨯=15a =5xy e =xy e '=xy e =()0,10101x k y e ='===P ()00,x y 00x >001y x =1y x =21y x'=-1y x=P 02201x x k y x ='==-121k k ⋅=-211x -=-201x =01x =±00x >01x =01y =P ()1,116.答案:1.2 解析过程:建立空间直角坐标系,如图所示:原始的最大流量是, 设抛物线的方程为(), 因为该抛物线过点,所以,解得,所以,即, 所以当前最大流量是,故原始的最大流量与当前最大流量的比值是三、解答题 17.答案:(I );(II ).解析过程:(I )因为,所以,由正弦定理,得 又,从而,由于,所以(II)解法一:由余弦定理,得而得,即因为,所以.故ABC 的面积为()11010222162⨯+-⨯⨯=22x py =0p >()5,22225p ⨯=254p =2252x y =2225y x =()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰161.2403=3π332//m n sin 3cos 0a B b A sinAsinB 3sinBcos A 0sin 0B ≠tan 3A 0A π<<3A π=2222cos a b c bc A 7b 2,a 3πA =2742c c 2230c c 0c3c ∆133bcsinA 22解法二:由正弦定理得72sin sin3Bπ=,从而21sin 7B =,又由a b >,知A B >,所以27cos 7B = 故sin sin()C A B =+sin()3B π=+sin coscos sin33B B ππ=+32114=所以ABC ∆的面积为133sin 22bc A = 18.答案:(I )证明见解析;(II )解析过程:(I )在图1中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,BAD=,所以BE AC 即在图2中,BE ,BE OC 从而BE 平面又CD BE ,所以CD 平面. (II)由已知,平面平面BCDE , 又由(1)知,BE ,BE OC所以为二面角的平面角,所以.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为, 所以 63∠2π⊥⊥1OA ⊥⊥1A OC ⊥1A OC 1A BE ⊥⊥1OA ⊥1A OC ∠1--C A BE 1OC 2A π∠=11B=E=BC=ED=1A A BC ED 12222(,0,0),E(,0,0),A (0,0,),C(0,,0),2222B得 ,.设平面的法向量, 平面的法向量,平面与平面夹角为,则,得,取,,得,取, 从而, 即平面与平面夹角的余弦值为 19.答案:()I T 的分布列为:ET=32(分钟)()II解析过程:从而 (分钟) (II)设分别表示往、返所需时间,的取值相互独立,且与T 的分布列相同.22BC(,,0),22122A C(0,)22CD BE (2,0,0)1BC A 1111(,,)n x y z 1CD A 2222(,,)n x y z 1BC A 1CD A θ11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111100x y yz -+=⎧⎨-=⎩1(1,1,1)n 2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22200xy z =⎧⎨-=⎩2(0,1,1)n =12cos |cos ,|3n n θ=〈〉==1BC A 1CD A 30.910.4400.132⨯+⨯=12,T T 12,T T设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟, 所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一:.解法二:故.20.答案:()I 2()II 22x y +=1123解析过程:(I )过点(c,0),(0,b)的直线方程为,则原点O 到直线的距离,由, 得,解得离心率. (II)解法一:由(I )知,椭圆E 的方程为. (1) 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB 的中点,且.易知,AB 不与x 轴垂直, 设其直线方程为,代入(1)得设 则 由,得解得. 从而.121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T 12P(40,40)T T 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=(A)1P(A)0.91P 0bx cy bc bcd a ==12d c 2222ab ac 32c a22244x y b |AB |10(2)1yk x 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b 1122(,y ),B(,y ),A x x 221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k 124x x 28(21)4,14k k k 12k21282x x b于是. 由,得,解得.故椭圆E 的方程为.解法二:由(I )知,椭圆E 的方程为. (2) 依题意,点A ,B 关于圆心M(-2,1)对称,且.设 则,,两式相减并结合得.易知,AB 不与x 轴垂直,则, 所以AB 的斜率 因此AB 直线方程为, 代入(2)得 所以,.于是. 由,得,解得.故椭圆E 的方程为.21.答案:(I )证明见解析;(II )当时, ,12|AB ||x x =-==|AB |1022)1023b 221123x y 22244x y b |AB |101122(,y ),B(,y ),A x x 2221144x y b 2222244x y b 12124,y 2,x x y 1212-4()80x x y y 12x x ≠12121k .2AB y y x x 1(2)12yx 224820.xx b 124x x 21282x x b 12|AB ||x x =-==|AB |1022)1023b 221123x y 1x ()()n n f x g x当时,,证明见解析.解析过程: (I )则所以在内至少存在一个零点. 又,故在内单调递增,所以在内有且仅有一个零点. 因为是的零点,所以,即,故.(II)解法一:由题设,设当时,当时,若,1x ≠()()n n f x g x 2()()212,n n n F x f x x x x (1)10,n F n 1211111112()1220,12222212n nn n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-()n F x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭n x 1()120n n F x x nx -'=++>1,12⎛⎫⎪⎝⎭()n F x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭n x n x ()n F x ()=0n n F x 11201n n nx x 111=+22n n n x x 11().2nn n x g x 211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-01x ()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-11110.22nnn n n n x x若,所以在上递增,在上递减, 所以,即.综上所述,当时, ;当时解法二 由题设,当时,当时, 用数学归纳法可以证明.当时, 所以成立.假设时,不等式成立,即.那么,当时,.又令,则所以当,,在上递减;当,,在上递增. 1x ()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'<++-11110.22nnn n n n x x ()h x (0,1)(1,)+∞()(1)0h x h ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 211()1,(),0.2nn n n n x f x x x x g x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 2n2221()()(1)0,2f xg x x 22()()f x g x (2)n k k =≥()()k k f x g x +1nk 111k+1k 11()()()2kk kk k k x f x f x x g x x x 12112kk x k x k 11k+121111()22kk kk x k x k kx k x g x 1()11(x 0)kk k h x kx k x ()()11()(k 1)11(x 1)kk k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-01x ()0k h x '<()k h x (0,1)1x ()0kh x '>()k h x (1,)+∞所以,从而故.即,不等式也成立.所以,对于一切的整数,都有.解法三:由已知,记等差数列为,等比数列为,则,,所以, 令当时, ,所以.当时, 而,所以,.若, ,,当,,, 从而在上递减,在上递增.所以,所以当又,,故综上所述,当时, ;当时22.答案:()I 见解析()II 直径为3 解析过程:(Ⅰ)因为是的直径,则,又,所以, 又切于点,得,所以;(Ⅱ)由(Ⅰ)知平分,则, ()(1)0k k h x h 1k+1211()2kk x k x k g x 11()()k k f x g x +1n k 2n ≥()()n n f x g x k a k b k 1,2,, 1.n 111a b 11n n na b x ()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤1(2),k k b x k n -=≤≤()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤1x =k k a b ()()n n f x g x 1x ≠()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=--2k n ≤≤10k 11n k -+≥01x 11nk x ()0k m x '<1x 11nk x()0km x '>()k m x (0,1)()k m x (1,)+∞()(1)0k k m x m 01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,11a b 11n n a b ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x DE O 90BED EDB ∠+∠=︒BC DE ⊥90CBD EDB ∠+∠=︒AB O B DBA BED ∠=∠CBD DBA ∠=∠BD CBA ∠3BA ADBC CD==又,从而,由,解得,所以,由切割线定理得,解得, 故,即的直径为3.23.答案:()I 22(-3x y +=()II (3,0)解析过程:(1)由,得,从而有,所以(2)设,又, 则24.已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<.()I 求实数a ,b 的值;()II答案:()I a=-3,b=1()II 4 解析过程:(Ⅰ)由,得,由题意得,解得;,时等号成立, 故BC=AB =222AB BC AC =+4AC =3AD =2AB AD AE =⋅6AE =3DE AE AD =-=O ρθ=2sin ρθ=22x y +=(223x y +-=132P t ⎛⎫+⎪⎝⎭C PC ==x a b +<b a x b a --<<-24b a b a --=⎧⎨-=⎩3,1a b =-==+≤4===1t =min4=。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(全word可编辑版,全解全析)
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2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ理科数学注意事项:1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅰ,理1)设复数z满足1+z=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2答案:A解析:∵1+z=i,∴z=i−1=(i−1)(−i+1)=i,∴|z|=1.2.(2015课标全国Ⅰ,理2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-32B.32C.-12D.12答案:D解析:sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=12.3.(2015课标全国Ⅰ,理3)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为()A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n答案:C解析:∵p:∃n∈N,n2>2n,∴p:∀n∈N,n2≤2n.故选C.4.(2015课标全国Ⅰ,理4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案:A解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C330.63=0.648.5.(2015课标全国Ⅰ,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:x 22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是()A. −3,3B. −3,3C. −22,22D. −23,23答案:A解析:由条件知F1(-3,0),F2(3,0),∴MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),∴MF1·MF2=x02+y02-3<0.①又∵x022−y02=1,∴x02=2y02+2.代入①得y02<13,∴-3<y0<3. 6.(2015课标全国Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 答案:B解析:设底面圆半径为R ,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=1×1·πR 2h=1×π× 16 2×5.∵π≈3,∴V ≈3209(尺3). ∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).7.(2015课标全国Ⅰ,理7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC =3CD ,则( )A .AD =-1AB +4AC B .AD =1AB −4AC C .AD =43AB +13AC D .AD=43AB −13AC 答案:A解析:如图:∵AD =AB +BD,BC =3CD , ∴AD =AB +43BC =AB +43(AC −AB )=-13AB +43AC. 8.(2015课标全国Ⅰ,理8)函数f (x )=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f (x )的单调递减区间为( ) A . kπ−1,kπ+3 ,k ∈Z B . 2kπ−1,2kπ+3 ,k ∈Z C . k −14,k +34 ,k ∈Z D . 2k −1,2k +3 ,k ∈Z 答案:D解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2× 54−14=2,所以2πω=2,解得ω=π. 所以f (x )=cos(πx+φ).由图像可知,当x=12 14+54=34时,f (x )取得最小值,即f 3 =cos3π+φ =-1,解得3π4+φ=2k π+π(k ∈Z ),解得φ=2k π+π4(k ∈Z ).令k=0,得φ=π,所以f (x )=cos πx +π.令2k π≤πx+π≤2k π+π(k ∈Z ),解得2k-14≤x ≤2k+34(k ∈Z ).所以函数f (x )=cos πx +π4的单调递减区间为 2k−14,2k +34(k ∈Z ).结合选项知应选D .9.(2015课标全国Ⅰ,理9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A .5B .6C .7D .8答案:C解析:∵S=1,n=0,m=1,t=0.01,∴S=S-m=12,m=m 2=14,n=n+1=1,S>0.01,∴S=14,m=18,n=2,S>0.01,∴S=1,m=1,n=3,S>0.01,∴S=1,m=1,n=4,S>0.01,∴S=132,m=164,n=5,S>0.01,∴S=1,m=1,n=6,S>0.01,∴S=1,m=1,n=7,S<0.01,∴n=7.10.(2015课标全国Ⅰ,理10)(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数为( ) A .10 B .20 C .30 D .60 答案:C解析:由于(x 2+x+y )5=[(x 2+x )+y ]5,其展开式的通项为T r+1=C 5r (x 2+x )5-r y r (r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T 3=C 52(x 2+x )3y 2中才能含有x 5y 2项.设(x 2+x )3的展开式的通项为S i+1=C 3i (x 2)3-i ·x i =C 3i x 6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x 2+x )3的展开式中x 5项的系数是C 31=3,故(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数是C 52·3=10×3=30. 11.(2015课标全国Ⅰ,理11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 答案:B解析:由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S 表=2r×2r+2×12πr 2+πr×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015课标全国Ⅰ,理12)设函数f (x )=e x (2x-1)-ax+a ,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( )A. −32e ,1B. −32e,34C.32e ,34D.32e,1答案:D解析:设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-12时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-12时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g −1.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图像.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=e x(2x-1)的图像与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D1,0.取点C −1,−3e.由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.而k PC=0−−3e=3,k PA=0−(−1)=1,所以32e ≤a<1.故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅰ,理13)若函数f(x)=x ln(x+ a+x2)为偶函数,则a=.答案:1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=ln a+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-ln a=ln(a+1+1),于是ln a=0,∴a=1.14.(2015课标全国Ⅰ,理14)一个圆经过椭圆x 2+y2=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案: x−32+y2=25解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以(a−0)2+(0−2)2=4-a,解得a=32,故圆心为32,0,此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是 x−322+y2=254.15.(2015课标全国Ⅰ,理15)若x,y满足约束条件x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx的最大值为.答案:3解析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使y最大,则y−0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A时,yx max =3−01−0=3.16.(2015课标全国Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 答案:( 6− 2, 6+ 2) 解析:如图.作CE ∥AD 交AB 于E ,则∠CEB=75°,∠ECB=30°. 在△CBE 中,由正弦定理得,EB= − 延长CD 交BA 的延长线于F ,则∠F=30°. 在△BCF 中,由正弦定理得,BF= 6+ 2, 所以AB 的取值范围为( 6− 2, 6+ 2).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.解:(1)由a n 2+2a n =4S n +3,可知a n +12+2a n+1=4S n+1+3.可得a n +12−a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1,即2(a n+1+a n )=a n +12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ). 由于a n >0,可得a n+1-a n =2.又a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去),a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. 6分(2)由a n =2n+1可知b n =1n n +1=1=11−1.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n=12 13−15 + 15−17 +⋯+12n +1−12n +3=n . 12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理18)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 解:(1)连结BD ,设BD ∩AC=G ,连结EG ,FG ,EF.在菱形ABCD 中,不妨设GB=1. 由∠ABC=120°,可得AG=GC=由BE ⊥平面ABCD ,AB=BC ,可知AE=EC. 又AE ⊥EC ,所以EG= 3,且EG ⊥AC. 在Rt △EBG 中,可得BE= 2,故DF= 2. 在Rt △FDG 中,可得FG= 62.在直角梯形BDFE 中,由BD=2,BE= 2,DF= 22,可得EF=3 22. 从而EG 2+FG 2=EF 2,所以EG ⊥FG. 又AC ∩FG=G ,可得EG ⊥平面AFC.因为EG ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面AFC. 6分(2)如图,以G 为坐标原点,分别以GB ,GC 的方向为x 轴、y 轴正方向,|GB |为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A (0,- E (1,0, F −1,0,2,C (0, 3,0),所以AE =(1, 3, 2),CF= −1,− 3, 2 . 10分故cos <AE ,CF >=AE ·CF|AE ||CF|=- 33. 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为 3.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i = x i ,w =18∑i =18w i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i −u )(v i −v )∑i =1n(u i −u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w= x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i =18(w i −w )(y i −y )∑i =18(w i −w )2=108.81.6=68, c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68 x . 6分(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值y ^=100.6+68 49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. 9分②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12.所以当 x =13.6=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理20)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=x 24与直线l :y=kx+a (a>0)交于M ,N两点.(1)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由. 解:(1)由题设可得M (2 a ,a ),N (-2 a ,a ),或M (-2 a ,a ),N (2 a ,a ).又y'=x 2,故y=x 24在x=2 a 处的导数值为 a ,C 在点(2 a ,a )处的切线方程为y-a= a (x-2 a ),即 a x-y-a=0. y=x 2在x=-2 a 处的导数值为- a ,C 在点(-2 a ,a )处的切线方程为y-a=- a (x+2 a ),即 a x+y+a=0. 故所求切线方程为 a x-y-a=0和 a x+y+a=0. 5分(2)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0. 故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a.从而k 1+k 2=y 1−b x 1+y 2−bx 2=2kx 1x 2+(a−b )(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a.当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补,故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意. 12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理21)已知函数f (x )=x 3+ax+1,g (x )=-ln x.(1)当a 为何值时,x 轴为曲线y=f (x )的切线;(2)用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值,设函数h (x )=min{f (x ),g (x )}(x>0),讨论h (x )零点的个数. 解:(1)设曲线y=f (x )与x 轴相切于点(x 0,0),则f (x 0)=0,f'(x 0)=0,即 x 03+ax 0+1=0,3x 02+a =0.解得x 0=1,a=-3.因此,当a=-34时,x 轴为曲线y=f (x )的切线. 5分(2)当x ∈(1,+∞)时,g (x )=-ln x<0,从而h (x )=min{f (x ),g (x )}≤g (x )<0,故h (x )在(1,+∞)无零点. 当x=1时,若a ≥-54,则f (1)=a+54≥0,h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0,故x=1是h (x )的零点;若a<-54,则f (1)<0,h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0,故x=1不是h (x )的零点.当x ∈(0,1)时,g (x )=-ln x>0.所以只需考虑f (x )在(0,1)的零点个数.(ⅰ)若a ≤-3或a ≥0,则f'(x )=3x 2+a 在(0,1)无零点,故f (x )在(0,1)单调.而f (0)=14,f (1)=a+54,所以当a ≤-3时,f (x )在(0,1)有一个零点;当a ≥0时,f (x )在(0,1)没有零点.(ⅱ)若-3<a<0,则f (x )在 0, −3单调递减,在 −3,1 单调递增,故在(0,1)中,当x= −3时,f (x )取得最小值,最小值为f −a =2a −a +1. ①若f −a >0,即-3<a<0,f (x )在(0,1)无零点; ②若f −a =0,即a=-3,则f (x )在(0,1)有唯一零点;③若f −3 <0,即-3<a<-34,由于f (0)=14,f (1)=a+54,所以当-54<a<-34时,f (x )在(0,1)有两个零点;当-3<a ≤-54时,f (x )在(0,1)有一个零点.10分综上,当a>-3或a<-5时,h (x )有一个零点;当a=-3或a=-5时,h (x )有两个零点;当-5<a<-3时,h (x )有三个零点. 12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(2)若OA=3CE,求∠ACB的大小.解:(1)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.5分(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=2.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=12−x2,即x4+x2-12=0.可得x=3,所以∠ACB=60°.10分23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.5分(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2.故ρ1-ρ2=2,即|MN|= 2.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为1.10分24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为 x2<x<2.5分(2)由题设可得,f(x)=x−1−2a,x<−1,3x+1−2a,−1≤x≤a,−x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a−13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为2(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).10分。
2015年全国高考理科数学试题与答案-新课标2
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2015 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
1 已知全集U {1,2,3,4}, 集合 A {1,2} , B {2,3} ,求 C U (AB)A.{1 , 3, 4}B.{3 , 4}C.{3}D.{4}2.函数f ( x)11)1 x2 的定义域为ln( xA. 1,0 0,1B.1,0 0,1C.[-1, 1]D.1,13.命题p :“xR ,2x 1 0 ”,命题 q :“函数f (x)x 1 是奇函数” .则下列命题x 正确的是A .命题 “q ”是真命题B .命题 “p)q ”是真命题p(C .命题 “(q) ”是真命题D .命题 “( q) ”是真命题p( p)4.函数f ( x)A sin( x)(其中A 0,0 , | |)的图象的一部分如图所示,2则函数解析式为A. f ( x)sin(2 x) B . f ( x)sin(2 x)36C . f ( x)sin(4 x)D . f ( x)sin(4 x)365.曲线 f ( x)x1在点 (3, f (3)) 处的切线方程为x 1A . x 2 y 1 0B . x 2 y 7 0C . 2x y 4 0D . 2x y 8 0本卷第 1 页(共 13 页)6.20(4 x 21)dxA .7.下列四个图中,函数yB .C .2yln x 1的图象大致为x 1yyD .2y-1 Ox-1 Ox-1 OABC8.若 tan1 3 , 则 sin 2=2tan2A .12B .3 C .313559. “”是 “sin 2x acos2x的一条对称轴是xa 1f ( x)A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件x-1O xD12D .”的810.在△ABC 中,内角A, B,C 对应的边分别是a,b, c ,已知 c2, C,SABC3,3则△ ABC 周长为A .6B .5C . 4D .423111.已知函数f ( x)x 3x 3,若不等式 f (4 x m 2x 1 ) f (4 xm 2 x 1 )0 恒成立,则实数 m 的取值范围是A .m1 1C .m 1D .m 12B .m212.设f ( x) | xe x |,若关于x 的方程(1 t) f2( x) f (x)t 0 有四个不同的实数解, 则实数 t 的取值范围为A .(,0)B .(0, 1 )C .(2e ,1) D .(1,)e1e 1第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,共 20 分 .13.已知为锐角,化简4cos 22 2sin;2sin()cos(1)14.已知△ABC 中,sin A5 ,则 tan Acos A5本卷第 2 页(共 13 页)15.已知函数f (x) sin x, g( x)x2ax 2 ,如果对于任意的 x1[0, 2 ] ,都存在 x2R 使得 f ( x1 ) g( x2 ) 成立,则 a 的取值范围是x2ax a( x0) ,下列说法正确的是16.关于函数f ( x)x①函数 f ( x) 有两个极值点x a ;②函数 f ( x) 的值域为 (,2 a a] [2 a a,) ;③当 a 1 时,函数f ( x)在[1,) 是增函数;④函数 f ( x) 的图象与x轴有两个公共点的充要条件是 a 4 或 a 0 .三、解答题:17.数列 {a n}的前 n 项和为 S n, a n是 S n和1的等差中项,等差数列{ b n } 满足b1S40 ,b9a1.[]( 1)求数列 { a n } , { b n } 的通项公式;( 2)若c n1,求数列c n的前 n 项和 W n.(b n16) b n 18本卷第 3 页(共 13 页)18.某厂生产一种内径为105 mm的零件,为了检查该生产流水线的质量情况,随机抽取该流水线上50 个零件作为样本测出它们的内径长度(单位 : mm ),长度的分组区间为[90,95),[95 ,100), [100 , 105), [105 ,110)[110 , 115),由此得到样本的频率分布直方图,如下图所示 . 已知内径长度在[100 ,110)之间的零件被认定为一等品,在 [95,100)或 [110 ,115)之间的零件被认定为二等品,否则认定为次品.( Ⅰ ) 从上述样品中随机抽取1 个零件,求恰好是一个次品的概率;( Ⅱ ) 以上述样本数据来估计该流水线的总体数据,若从流水线上(产品众多)任意抽取3个零件,设一等品的数量为X ,求 X 的分布列及数学期望.频率 /组距0.080.060.0320.020.00890 95 100 105 110 115长度19.(本小题满分 12 分)如图 ,四棱锥P ABCD 中,PD 平面ABCD,AB //CD,ADC90 且CD2, AD2, AB PD1, E 在线段PC上移动,且PE PC .(Ⅰ)当1时 ,证明 : 直线PA //平面EBD 3( Ⅱ) 是否存在, 使面EBD与面PBC所成二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由 .PDCAB本卷第 4 页(共 13 页)x 2 y 2 1(ab 0) 的右顶点和上顶点分别为A,B ,| AB| 5 ,离心率20.已知椭圆b 2a 2 y为3.( Ⅰ) 求椭圆的标准方程;( Ⅱ ) 过点A 作斜率为k(k0) 的直线lB2O A x与椭圆交于另外一点C ,求△ ABC 面积的最大值,并求此时直线 l 的方程.21.(本小题满分12 分)已知常数 a 0 ,函数 f ( x) ln(1 x)a x 2 x ( x 0) .f (x) 的单调性;2(Ⅰ)讨论函数n(Ⅱ)设 n N ,求证:ln( n 1)k 11ln( n 1)2n 1 . k2n本卷第 5 页(共 13 页)23.(本小题满分10 分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程为x a tx 轴的正半轴y( t为参数 ),以坐标原点为极点,3t为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为 2 . ( Ⅰ ) 求曲线C1 ,C2的普通方程;( Ⅱ ) 若曲线C1 , C2有公共点,求a 的取值范围.本卷第 6 页(共 13 页)24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知定义在 R 上的函数f ( x)| x 1| | x 2 | 的最小值为a.( Ⅰ ) 求a的值;( Ⅱ ) 若m, n是正实数 , 且m n a ,求12的最小值 . m n本卷第 7 页(共 13 页)二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,共 20 分.(13)2cos;( 14) 2 ;(15)a或2 3;( 16)③④2 3 a三、解答题:解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)(含答案全解析)
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2015年普通高等学校招生全国统一考试山东理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015山东,理1)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案:C解析:A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2<x<4},结合数轴,知A∩B={x|2<x<3}.2.(2015山东,理2)若复数z满足z=i,其中i为虚数单位,则z=()A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答案:A解析:∵z1−i=i,∴z=i(1-i)=i-i2=1+i.∴z=1-i.3.(2015山东,理3)要得到函数y=sin4x−π的图象,只需将函数y=sin 4x的图象()A.向左平移π个单位B.向右平移π个单位C.向左平移π个单位D.向右平移π3个单位答案:B解析:∵y=sin4x−π3=sin4 x−π12,∴只需将函数y=sin 4x的图象向右平移π12个单位即可.4.(2015山东,理4)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则BD·CD=()A.-32a2 B.-34a2 C.34a2 D.32a2答案:D解析:如图设BA=a,BC=b.则BD·CD=(BA+BC)·BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos 60°=a2+1a2=3a2.5.(2015山东,理5)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)答案:A解析:当x≤1时,不等式可化为(1-x)-(5-x)<2,即-4<2,满足题意;当1<x<5时,不等式可化为(x-1)-(5-x)<2,即2x-6<2,解得1<x<4; 当x≥5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,不成立.故原不等式的解集为(-∞,4).6.(2015山东,理6)已知x,y满足约束条件x−y≥0,x+y≤2,y≥0.若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3答案:B解析:由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y,即y=-ax+z.设直线l0:ax+y=0.当-a≥1,即a≤-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,z max=0+0=0,不合题意;当0≤-a<1,即-1<a≤0时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,z max=a+1=4,∴a=3(舍去);当-1<-a<0时,即0<a<1时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,z max=2a+1=4,∴a=3(舍去);当-a≤-1,即a≥1时,l0过A(2,0)时,z取得最大值,z max=2a+0=4,∴a=2.综上,a=2符合题意.7.(2015山东,理7)在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D.2π答案:C解析:由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V圆柱=π×12×2=2π,V圆锥=13×π×12×1=π3.∴V几何体=V圆柱-V圆锥=2π-π=5π.8.(2015山东,理8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案:B解析:由正态分布N(0,32)可知,ξ落在(3,6)内的概率为P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)−P(μ−σ<ξ<μ+σ)=95.44%−68.26%2=13.59%.9.(2015山东,理9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或-35B.-32或-23C.-5或-4D.-4或-3答案:D解析:如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.∴圆心到直线的距离d=1+k=1,解得k=-4或k=-3.10.(2015山东,理10)设函数f (x )= 3x −1,x <1,2x ,x ≥1.则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是( )A. 23,1 B.[0,1]C. 2,+∞ D.[1,+∞)答案:C解析:当a=2时,f (2)=4,f (f (2))=f (4)=24,显然f (f (2))=2f (2),故排除A,B .当a=2时,f 2 =3×2-1=1,f f 2 =f (1)=21=2. 显然f f 2 =2f 23 .故排除D . 综上,选C .第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(2015山东,理11)观察下列各式: C 10=40; C 30+C 31=41; C 50+C 51+C 52=42; C 70+C 71+C 72+C 73=43; ……照此规律,当n ∈N *时,C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C 2n−1n−1= . 答案:4n-1解析:观察各式有如下规律:等号左侧第n 个式子有n 项,且上标分别为0,1,2,…,n-1,第n 行每项的下标均为2n-1.等号右侧指数规律为0,1,2,…,n-1.所以第n 个式子为C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C 2n−1n−1=4n-1. 12.(2015山东,理12)若“∀x ∈ 0,π4,tan x ≤m ”是真命题,则实数m 的最小值为 . 答案:1解析:由题意知m ≥(tan x )max .∵x ∈ 0,π,∴tan x ∈[0,1], ∴m ≥1.故m 的最小值为1.13.(2015山东,理13)执行下边的程序框图,输出的T 的值为 .答案:11解析:初始n=1,T=1.又 10x n d x=1n +1x n+1|01=1n +1, ∵n=1<3,∴T=1+1=3,n=1+1=2; ∵n=2<3,∴T=32+12+1=116,n=2+1=3; ∵n=3,不满足“n<3”,执行“否”,∴输出T=11.14.(2015山东,理14)已知函数f (x )=a x +b (a>0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= . 答案:-3解析:f (x )=a x +b 是单调函数,当a>1时,f (x )是增函数,∴ a −1+b =−1,a 0+b =0,无解.当0<a<1时,f (x )是减函数,∴ a −1+b =0,a 0+b =−1,∴ a =12,b =−2. 综上,a+b=1+(-2)=-3.15.(2015山东,理15)平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C 2:x 2=2py (p>0)交于点O ,A ,B.若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为 .答案:3解析:双曲线的渐近线为y=±ba x.由y =ba x ,x 2=2py ,得A 2bp a ,2b 2p a 2.由 y =−b a x ,x 2=2py ,得B −2bp a ,2b 2p a2 .∵F 0,p为△OAB 的垂心,∴k AF ·k OB =-1.即2b 2p a 2−p 22bpa−0· −b a =-1,解得b 2a2=54,∴c 2a 2=94,即可得e=32.三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)(2015山东,理16)设f (x )=sin x cos x-cos 2 x +π4. (1)求f (x )的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若f A 2=0,a=1,求△ABC 面积的最大值.解:(1)由题意知f (x )=sin2x −1+cos 2x +π2 =sin2x −1−sin2x =sin 2x-1.由-π2+2k π≤2x ≤π2+2k π,k ∈Z ,可得-π4+k π≤x ≤π4+k π,k ∈Z ; 由π+2k π≤2x ≤3π+2k π,k ∈Z ,可得π+k π≤x ≤3π+k π,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是 −π+kπ,π+kπ (k ∈Z );单调递减区间是 π+kπ,3π+kπ (k ∈Z ).(2)由f A 2 =sin A-12=0,得sin A=12,由题意知A 为锐角,所以cos A= 32.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 可得1+ 3bc=b 2+c 2≥2bc ,即bc ≤2+ 3,且当b=c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2+ 34. 所以△ABC 面积的最大值为2+ 3. 17.(本小题满分12分)(2015山东,理17)如图,在三棱台DEF-ABC 中,AB=2DE ,G ,H 分别为AC ,BC 的中点.(1)求证:BD ∥平面FGH ;(2)若CF ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,CF=DE ,∠BAC=45°,求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.(1)证法一:连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OH∥BD,又OH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形.可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)解法一:设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=1AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DG∥FC.又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,G是AC中点,所以AB=BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1).可得H2,2,0,F(0,2,1),故GH=2,2,0,GF=(0,.设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则由n·GH=0,n·GF=0,可得x+y=0,2y+z=0.可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,2).因为GB是平面ACFD的一个法向量,GB=(2,0,0),所以cos<GB,n>=GB·n|GB|·|n|=222=12.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.解法二:作HM⊥AC于点M,作MN⊥GF于点N,连接NH.由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC,又FC∩AC=C,所以HM⊥平面ACFD.因此GF⊥NH,所以∠MNH即为所求的角.在△BGC中,MH∥BG,MH=1BG=2,由△GNM ∽△GCF ,可得MN FC=GMGF,从而MN= 66.由HM ⊥平面ACFD ,MN ⊂平面ACFD ,得HM ⊥MN ,因此tan ∠MNH=HM = 3,所以∠MNH=60°.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.18.(本小题满分12分)(2015山东,理18)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n =3n +3. (1)求{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足a n b n =log 3a n ,求{b n }的前n 项和T n . 解:(1)因为2S n =3n +3,所以2a 1=3+3,故a 1=3, 当n>1时,2S n-1=3n-1+3,此时2a n =2S n -2S n-1=3n -3n-1=2×3n-1,即a n =3n-1,所以a n = 3,n =1,3n−1,n >1.(2)因为a n b n =log 3a n ,所以b 1=13,当n>1时,b n =31-n log 33n-1=(n-1)·31-n . 所以T 1=b 1=1;当n>1时,T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =13+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n ), 所以3T n =1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n ),两式相减,得2T n =2+(30+3-1+3-2+…+32-n )-(n-1)×31-n =2+1−31−n 1−3−1-(n-1)×31-n =13−6n +3n, 所以T n =13−6n +3n.经检验,n=1时也适合. 综上可得T n =1312−6n +34×3n. 19.(本小题满分12分)(2015山东,理19)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX.解:(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为C 93=84,随机变量X 的取值为:0,-1,1,因此P (X=0)=C 83C 93=23,P (X=-1)=C 42C 93=114,P (X=1)=1-114−23=1142. 所以X 的分布列为则EX=0×23+(-1)×114+1×1142=421. 20.(本小题满分13分)(2015山东,理20)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 22+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为3,左、右焦点分别是F 1,F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程; (2)设椭圆E :x 24a 2+y 24b2=1,P为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A ,B 两点,射线PO 交椭圆E于点Q.①求|OQ ||OP |的值;②求△ABQ 面积的最大值. 解:(1)由题意知2a=4,则a=2.又c =3,a 2-c 2=b 2,可得b=1,所以椭圆C 的方程为x 2+y 2=1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 2+y 2=1. ①设P (x 0,y 0),|OQ |=λ,由题意知Q (-λx 0,-λy 0).因为x 02+y 02=1,又(−λx 0)2+(−λy 0)2=1, 即λ24 x 024+y 02 =1,所以λ=2,即|OQ ||OP |=2. ②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y=kx+m 代入椭圆E 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0, 由Δ>0,可得m 2<4+16k 2. ①则有x 1+x 2=-8km 1+4k2,x 1x 2=4m 2−161+4k2.所以|x 1-x 2|=4 16k 2+4−m 21+4k2.因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m ), 所以△OAB 的面积S=12|m||x 1-x 2|=2 16k 2+4−m 2|m |1+4k2=2 (16k 2+4−m 2)m 21+4k2=2 4−m 1+4k2m 1+4k2.设m 21+4k2=t.将y=kx+m 代入椭圆C 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2. ②由①②可知0<t ≤1,因此S=2 (4−t )t =22+4t . 故S ≤2 ,当且仅当t=1,即m 2=1+4k 2时取得最大值2 3. 由①知,△ABQ 面积为3S ,所以△ABQ 面积的最大值为6 3.21.(本小题满分14分)(2015山东,理21)设函数f (x )=ln(x+1)+a (x 2-x ),其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数,并说明理由; (2)若∀x>0,f (x )≥0成立,求a 的取值范围. 解:(1)由题意知函数f (x )的定义域为(-1,+∞),f'(x )=1+a (2x-1)=2ax 2+ax−a +1. 令g (x )=2ax 2+ax-a+1,x ∈(-1,+∞).当a=0时,g (x )=1,此时f'(x )>0,函数f (x )在(-1,+∞)单调递增,无极值点; 当a>0时,Δ=a 2-8a (1-a )=a (9a-8).①当0<a ≤8时,Δ≤0,g (x )≥0,f'(x )≥0,函数f (x )在(-1,+∞)单调递增,无极值点;②当a>89时,Δ>0,设方程2ax 2+ax-a+1=0的两根为x 1,x 2(x 1<x 2), 因为x 1+x 2=-1,所以x 1<-1,x 2>-1. 由g (-1)=1>0,可得-1<x 1<-1.所以当x ∈(-1,x 1)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当x ∈(x 1,x 2)时,g (x )<0,f'(x )<0,函数f (x )单调递减, 当x ∈(x 2,+∞)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增. 因此函数有两个极值点. 当a<0时,Δ>0,由g (-1)=1>0,可得x 1<-1.当x ∈(-1,x 2)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增; 当x ∈(x 2,+∞)时,g (x )<0,f'(x )<0,函数f (x )单调递减; 所以函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,函数f (x )有一个极值点; 当0≤a ≤8时,函数f (x )无极值点; 当a>89时,函数f (x )有两个极值点. (2)由(1)知,①当0≤a ≤8时,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增, 因为f (0)=0,所以x ∈(0,+∞)时,f (x )>0,符合题意;②当8<a ≤1时,由g (0)≥0,得x 2≤0,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.又f (0)=0,所以x ∈(0,+∞)时,f (x )>0,符合题意; ③当a>1时,由g (0)<0,可得x 2>0. 所以x ∈(0,x 2)时,函数f (x )单调递减;因为f (0)=0,所以x ∈(0,x 2)时,f (x )<0,不合题意; ④当a<0时,设h (x )=x-ln(x+1). 因为x ∈(0,+∞)时,h'(x )=1-1=x>0, 所以h (x )在(0,+∞)上单调递增. 因此当x ∈(0,+∞)时,h (x )>h (0)=0, 即ln(x+1)<x.可得f (x )<x+a (x 2-x )=ax 2+(1-a )x , 当x>1-1a时,ax 2+(1-a )x<0, 此时f (x )<0,不合题意.综上所述,a 的取值范围是[0,1].。
2015-2016高数(一.二)期末试卷A参考答案
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课程名称:高等数学(一、二)(期末考试A )第 3 页 (共 4 页)学 院: 专 业: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――提示:请将答案写在答题纸上,写在试卷页或草稿纸上的无效。
交卷时请将答题纸(1-2页)和试卷页、草稿纸分开上交。
写在背面或写错位置的一定要注明。
一、 填空题(3分*5=15分)1. 设曲线L 是正方形区域{}(,)|01,01x y x y ≤≤≤≤的边界,则曲线积分4Lds =⎰16.2. 若级数∑∞=-1)1(n nu收敛,则=∞→n n u lim 1.3. 设0>p ,当p 满足1p >时,级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛. 4. 微分方程y x y y '=''-'''2)(的通解中含有 3 个相互独立的任意常数. 5. 微分方程212y x ''=满足初始条件00x y ==,01x y ='=的特解为4y x x =+. 二、单项选择题(3分*5=15分)1. 设∑是球面2221x y z ++=,而1∑是∑位于第一卦限部分,则曲面积分d z S ∑=⎰⎰( A ).(A )0; (B )12d z S ∑⎰⎰; (C )18d z S ∑⎰⎰; (D )⎰⎰∑1d 4S z .2.若级数∑∞=1n nu绝对收敛,则下列级数中发散的是( C ).(A )1n n u ∞=∑; (B )1n n u ∞=∑; (C )11()n n u n ∞=+∑; (D )11()3n n n u ∞=+∑.3.设2lim1=+∞→nn n a a ,则幂级数20n n n a x ∞=∑的收敛半径=R ( A ). (A )21; (B )1; (C )2; (D )2.4. 函数221ec x c y +=(21,c c 为任意常数)是微分方程02=-'-''y y y 的(C )(A )通解. (B)特解. (C)解但不是通解、特解. (D)不是解.5.已知二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 对应的特征方程有根2,3,则该微分方程通解为( D ).(A)12cos 2sin 3y C x C x =+. (B) 212()x y C C x e =+. (C)32x x y e e =+. (D)3212x x y C e C e =+.三、曲线积分与曲面积分(8分*2=16分)1. 沿曲线L 从点)01(,A 到点)10(,B 计算对坐标的曲线积分⎰++Ly x x xy 1)d (d 22,其中L 为折线AOB (O 是原点).解:法(1)2P Qx y x∂∂==∂∂,所以积分与路径无关,(2分) 选择路径:L x y -=1,则(4分)⎰⎰-++-=++0122d )]1)(1()1(2[1)d (d 2x x x x y x x xy L (6分)=+-=+-=⎰111d )123(12x x x 1. (8分)法(2)OB AO L +=,其中:AO 0=y ; :OB 0=x ,则⎰⎰⎰+++++=++OBAOLy x x xy y x x xy y x x xy 1)d (d 21)d (d 21)d (d 2222(2分)012120d 00(01)d x x x =⋅++++⎰⎰(6分)1=.(8分) 2. 计算曲面积分()()()I y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰,其中∑是z =在0,1z z ==部分下侧.解:补面1221:1z x y =⎧∑⎨+≤⎩方向向上,(2分)记22:1xy D x y +≤,100I I dv Ω+==⎰⎰⎰,(5分) 所以1()0xyD I I x y dxdy =-=--=⎰⎰.(8分)课程名称:高等数学(一、二)(期末考试A )第 3 页 (共 4 页)学 院: 专 业: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――四、级数(8分*3=24分) 1. 证明级数∑∞=+-121)1(n n n 条件收敛.解:由n nn n n n 2131111)1(2222=+≥+=+- ,及级数∑∞=121n n 发散, 得级数∑∞=+-121)1(n n n 发散(3分);又112+=n u n ,有nn u n n u =+≤++=+111)1(1221,及011limlim 2=+=∞→∞→n u n n n ,由莱布尼茨判别法,得∑∞=+-121)1(n n n 收敛.(6分)因此级数∑∞=+-121)1(n n n 条件收敛。
2015年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
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2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设复数z满足=i,则|z|=()A.1B.C.D.22.(5分)sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=()A.B.C.D.3.(5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为()A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n4.(5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3125.(5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C.D.6.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.(5分)设D为△ABC所在平面内一点,,则()A.B.C.D.8.(5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.(kπ﹣,kπ+),k∈z B.(2kπ﹣,2kπ+),k∈zC.(k﹣,k+),k∈z D.(,2k+),k∈z9.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()A.5B.6C.7D.810.(5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.6011.(5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.812.(5分)设函数f(x)=e x(2x﹣1)﹣ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()A.[)B.[)C.[)D.[)二、填空题(本大题共有4小题,每小题5分)13.(5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=.14.(5分)一个圆经过椭圆=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.则该圆标准方程为.15.(5分)若x,y满足约束条件.则的最大值为.16.(5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则AB的取值范围是.三、解答题:17.(12分)S n为数列{a n}的前n项和,已知a n>0,a n2+2a n=4S n+3(I)求{a n}的通项公式:(Ⅱ)设b n=,求数列{b n}的前n项和.18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE丄平面ABCD,DF丄平面ABCD,BE=2DF,AE丄EC.(Ⅰ)证明:平面AEC丄平面AFC(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.19.(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(x i﹣)2(w i﹣)2(x i﹣)(y i﹣)(w i﹣)(y i﹣)46.6563 6.8289.8 1.61469108.8表中w i=i,=(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…..(u n v n),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=﹣.20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(Ⅰ)当k=0时,分別求C在点M和N处的切线方程.(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由)21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=﹣lnx(i)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(ii)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.选修4一1:几何证明选讲22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小.选修4一4:坐标系与参数方程23.(10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.选修4一5:不等式选讲24.(10分)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设复数z满足=i,则|z|=()A.1B.C.D.2【考点】A8:复数的模.【专题】11:计算题;5N:数系的扩充和复数.【分析】先化简复数,再求模即可.【解答】解:∵复数z满足=i,∴1+z=i﹣zi,∴z(1+i)=i﹣1,∴z==i,∴|z|=1,故选:A.【点评】本题考查复数的运算,考查学生的计算能力,比较基础.2.(5分)sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=()A.B.C.D.【考点】GP:两角和与差的三角函数.【专题】56:三角函数的求值.【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数,化简求解即可.【解答】解:sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=.故选:D.【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用,基本知识的考查.3.(5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为()A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n【考点】2J:命题的否定.【专题】5L:简易逻辑.【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.【解答】解:命题的否定是:∀n∈N,n2≤2n,故选:C.【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.4.(5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.【专题】5I:概率与统计.【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验,然后求解概率即可.【解答】解:由题意可知:同学3次测试满足X∽B(3,0.6),该同学通过测试的概率为=0.648.故选:A.【点评】本题考查独立重复试验概率的求法,基本知识的考查.5.(5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C.D.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用向量的数量积公式,结合双曲线方程,即可确定y0的取值范围.【解答】解:由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02﹣1<0,所以﹣<y0<.故选:A.【点评】本题考查向量的数量积公式,考查双曲线方程,考查学生的计算能力,比较基础.6.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可.【解答】解:设圆锥的底面半径为r,则r=8,解得r=,故米堆的体积为××π×()2×5≈,∵1斛米的体积约为1.62立方,∴÷1.62≈22,故选:B.【点评】本题主要考查椎体的体积的计算,比较基础.7.(5分)设D为△ABC所在平面内一点,,则()A.B.C.D.【考点】96:平行向量(共线).【专题】5A:平面向量及应用.【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为,然后结合已知表示为的形式.【解答】解:由已知得到如图由===;故选:A.【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用;关键是想法将向量表示为.8.(5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.(kπ﹣,kπ+),k∈z B.(2kπ﹣,2kπ+),k∈zC.(k﹣,k+),k∈z D.(,2k+),k∈z【考点】HA:余弦函数的单调性.【专题】57:三角函数的图像与性质.【分析】由周期求出ω,由五点法作图求出φ,可得f(x)的解析式,再根据余弦函数的单调性,求得f(x)的减区间.【解答】解:由函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象,可得函数的周期为=2(﹣)=2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+ϕ).再根据函数的图象以及五点法作图,可得+ϕ=,k∈z,即ϕ=,f(x)=cos (πx+).由2kπ≤πx+≤2kπ+π,求得2k﹣≤x≤2k+,故f(x)的单调递减区间为(,2k+),k∈z,故选:D.【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值;还考查了余弦函数的单调性,属于基础题.9.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()A.5B.6C.7D.8【考点】EF:程序框图.【专题】5K:算法和程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:第一次执行循环体后,S=,m=,n=1,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=2,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=3,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=4,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=5,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=6,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=7,满足退出循环的条件;故输出的n值为7,故选:C.【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.10.(5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题;5P:二项式定理.【分析】利用展开式的通项,即可得出结论.=,【解答】解:(x2+x+y)5的展开式的通项为T r+1令r=2,则(x2+x)3的通项为=,令6﹣k=5,则k=1,∴(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为=30.故选:C.【点评】本题考查二项式定理的运用,考查学生的计算能力,确定通项是关键.11.(5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.8【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】5Q:立体几何.【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱,计算即可.【解答】解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知,截圆柱的平面过圆柱的轴线,该几何体是一个半球拼接半个圆柱,∴其表面积为:×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2,又∵该几何体的表面积为16+20π,∴5πr2+4r2=16+20π,解得r=2,故选:B.【点评】本题考查由三视图求表面积问题,考查空间想象能力,注意解题方法的积累,属于中档题.12.(5分)设函数f(x)=e x(2x﹣1)﹣ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()A.[)B.[)C.[)D.[)【考点】51:函数的零点;6D:利用导数研究函数的极值.【专题】2:创新题型;53:导数的综合应用.【分析】设g(x)=e x(2x﹣1),y=ax﹣a,问题转化为存在唯一的整数x0使得g (x0)在直线y=ax﹣a的下方,求导数可得函数的极值,数形结合可得﹣a>g (0)=﹣1且g(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,解关于a的不等式组可得.【解答】解:设g(x)=e x(2x﹣1),y=ax﹣a,由题意知存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax﹣a的下方,∵g′(x)=e x(2x﹣1)+2e x=e x(2x+1),∴当x<﹣时,g′(x)<0,当x>﹣时,g′(x)>0,∴当x=﹣时,g(x)取最小值﹣2,当x=0时,g(0)=﹣1,当x=1时,g(1)=e>0,直线y=ax﹣a恒过定点(1,0)且斜率为a,故﹣a>g(0)=﹣1且g(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,解得≤a<1故选:D.【点评】本题考查导数和极值,涉及数形结合和转化的思想,属中档题.二、填空题(本大题共有4小题,每小题5分)13.(5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=1.【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】由题意可得,f(﹣x)=f(x),代入根据对数的运算性质即可求解.【解答】解:∵f(x)=xln(x+)为偶函数,∴f(﹣x)=f(x),∴(﹣x)ln(﹣x+)=xln(x+),∴﹣ln(﹣x+)=ln(x+),∴ln(﹣x+)+ln(x+)=0,∴ln(+x)(﹣x)=0,∴lna=0,∴a=1.故答案为:1.【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用,属于基础试题.14.(5分)一个圆经过椭圆=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.则该圆标准方程为(x﹣)2+y2=.【考点】K3:椭圆的标准方程.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标,然后求出圆心坐标,求出半径即可得到圆的方程.【解答】解:一个圆经过椭圆=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.可知椭圆的右顶点坐标(4,0),上下顶点坐标(0,±2),设圆的圆心(a,0),则,解得a=,圆的半径为:,所求圆的方程为:(x﹣)2+y2=.故答案为:(x﹣)2+y2=.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,圆的方程的求法,考查计算能力.15.(5分)若x,y满足约束条件.则的最大值为3.【考点】7C:简单线性规划.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定的最大值.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).设k=,则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率,由图象知OA的斜率最大,由,解得,即A(1,3),k OA==3,即的最大值为3.故答案为:3.【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义以及直线的斜率,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.16.(5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则AB的取值范围是(﹣,+).【考点】HT:三角形中的几何计算.【专题】15:综合题;2:创新题型;58:解三角形.【分析】如图所示,延长BA,CD交于点E,设AD=x,AE=x,DE=x,CD=m,求出x+m=+,即可求出AB的取值范围.【解答】解:方法一:如图所示,延长BA,CD交于点E,则在△ADE中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,∠E=30°,∴设AD=x,AE=x,DE=x,CD=m,∵BC=2,∴(x+m)sin15°=1,∴x+m=+,∴0<x<4,而AB=x+m﹣x=+﹣x,∴AB的取值范围是(﹣,+).故答案为:(﹣,+).方法二:如下图,作出底边BC=2的等腰三角形EBC,B=C=75°,倾斜角为150°的直线在平面内移动,分别交EB、EC于A、D,则四边形ABCD即为满足题意的四边形;当直线移动时,运用极限思想,①直线接近点C时,AB趋近最小,为﹣;②直线接近点E时,AB趋近最大值,为+;故答案为:(﹣,+).【点评】本题考查求AB的取值范围,考查三角形中的几何计算,考查学生的计算能力,属于中档题.三、解答题:17.(12分)S n为数列{a n}的前n项和,已知a n>0,a n2+2a n=4S n+3(I)求{a n}的通项公式:(Ⅱ)设b n=,求数列{b n}的前n项和.【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】(I)根据数列的递推关系,利用作差法即可求{a n}的通项公式:(Ⅱ)求出b n=,利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和.【解答】解:(I)由a n2+2a n=4S n+3,可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n2+2(a n+1﹣a n)=4a n+1,即2(a n+1+a n)=a n+12﹣a n2=(a n+1+a n)(a n+1﹣a n),∵a n>0,∴a n+1﹣a n=2,∵a12+2a1=4a1+3,∴a1=﹣1(舍)或a1=3,则{a n}是首项为3,公差d=2的等差数列,∴{a n}的通项公式a n=3+2(n﹣1)=2n+1:(Ⅱ)∵a n=2n+1,∴b n===(﹣),∴数列{b n}的前n项和T n=(﹣+…+﹣)=(﹣)=.【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算,利用裂项法是解决本题的关键.18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE丄平面ABCD,DF丄平面ABCD,BE=2DF,AE丄EC.(Ⅰ)证明:平面AEC丄平面AFC(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【考点】LM:异面直线及其所成的角;LY:平面与平面垂直.【专题】5F:空间位置关系与距离;5G:空间角;5H:空间向量及应用.【分析】(Ⅰ)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG、EF、FG,运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC,再由面面垂直的判定定理,即可得到;(Ⅱ)以G为坐标原点,分别以GB,GC为x轴,y轴,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系G﹣xyz,求得A,E,F,C的坐标,运用向量的数量积的定义,计算即可得到所求角的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG、EF、FG,在菱形ABCD中,不妨设BG=1,由∠ABC=120°,可得AG=GC=,BE⊥平面ABCD,AB=BC=2,可知AE=EC,又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC,在直角△EBG中,可得BE=,故DF=,在直角三角形FDG中,可得FG=,在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,FD=,可得EF==,从而EG2+FG2=EF2,则EG⊥FG,(或由tan∠EGB•tan∠FGD=•=•=1,可得∠EGB+∠FGD=90°,则EG⊥FG)AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC,由EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC;(Ⅱ)如图,以G为坐标原点,分别以GB,GC为x轴,y轴,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系G﹣xyz,由(Ⅰ)可得A(0,﹣,0),E(1,0,),F(﹣1,0,),C(0,,0),即有=(1,,),=(﹣1,﹣,),故cos<,>===﹣.则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为.【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法,主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法:向量法,考查运算能力,属于中档题.19.(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(x i ﹣)2(w i ﹣)2(x i ﹣)(y i ﹣)(w i ﹣)(y i ﹣)46.6563 6.8289.8 1.61469108.8表中w i =i ,=(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…..(u n v n),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=﹣.【考点】BK:线性回归方程.【专题】5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)根据散点图,即可判断出,(Ⅱ)先建立中间量w=,建立y关于w的线性回归方程,根据公式求出w,问题得以解决;(Ⅲ)(i)年宣传费x=49时,代入到回归方程,计算即可,(ii)求出预报值得方程,根据函数的性质,即可求出.【解答】解:(Ⅰ)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型;(Ⅱ)令w=,先建立y关于w的线性回归方程,由于==68,=﹣=563﹣68×6.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68,(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32,(ii)根据(Ⅱ)的结果可知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)﹣x=﹣x+13.6+20.12,当==6.8时,即当x=46.24时,年利润的预报值最大.【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题,准确的计算是本题的关键,属于中档题.20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(Ⅰ)当k=0时,分別求C在点M和N处的切线方程.(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由)【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.【分析】(I)联立,可得交点M,N的坐标,由曲线C:y=,利用导数的运算法则可得:y′=,利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程.(II)存在符合条件的点(0,﹣a),设P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为:k1,k2.直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0,利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=.k1+k2=0⇔直线PM,PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN.即可证明.【解答】解:(I)联立,不妨取M,N,由曲线C:y=可得:y′=,∴曲线C在M点处的切线斜率为=,其切线方程为:y﹣a=,化为.同理可得曲线C在点N处的切线方程为:.(II)存在符合条件的点(0,﹣a),下面给出证明:设P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为:k1,k2.联立,化为x2﹣4kx﹣4a=0,∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4a.∴k1+k2=+==.当b=﹣a时,k1+k2=0,直线PM,PN的倾斜角互补,∴∠OPM=∠OPN.∴点P(0,﹣a)符合条件.【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=﹣lnx(i)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(ii)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.【考点】6E:利用导数研究函数的最值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】2:创新题型;53:导数的综合应用.【分析】(i)f′(x)=3x2+a.设曲线y=f(x)与x轴相切于点P(x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0解出即可.(ii)对x分类讨论:当x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0,可得函数h(x)=min { f(x),g(x)}≤g(x)<0,即可得出零点的个数.当x=1时,对a分类讨论:a≥﹣,a<﹣,即可得出零点的个数;当x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑f(x)在(0,1)内的零点个数即可.对a分类讨论:①当a≤﹣3或a≥0时,②当﹣3<a<0时,利用导数研究其单调性极值即可得出.【解答】解:(i)f′(x)=3x2+a.设曲线y=f(x)与x轴相切于点P(x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0,∴,解得,a=.因此当a=﹣时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(ii)当x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0,∴函数h(x)=min { f(x),g(x)}<0,故h(x)在x∈(1,+∞)时无零点.当x=1时,若a≥﹣,则f(1)=a+≥0,∴h(x)=min { f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是函数h(x)的一个零点;若a<﹣,则f(1)=a+<0,∴h(x)=min { f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是函数h(x)的零点;当x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑f(x)在(0,1)内的零点个数即可.①当a≤﹣3或a≥0时,f′(x)=3x2+a在(0,1)内无零点,因此f(x)在区间(0,1)内单调,而f(0)=,f(1)=a+,∴当a≤﹣3时,函数f(x)在区间(0,1)内有一个零点,当a≥0时,函数f(x)在区间(0,1)内没有零点.②当﹣3<a<0时,函数f(x)在内单调递减,在内单调递增,故当x=时,f(x)取得最小值=.若>0,即,则f(x)在(0,1)内无零点.若=0,即a=﹣,则f(x)在(0,1)内有唯一零点.若<0,即,由f(0)=,f(1)=a+,∴当时,f(x)在(0,1)内有两个零点.当﹣3<a时,f(x)在(0,1)内有一个零点.综上可得:a<时,函数h(x)有一个零点.当时,h(x)有一个零点;当a=或时,h(x)有两个零点;当时,函数h(x)有三个零点.【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题.选修4一1:几何证明选讲22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小.【考点】N9:圆的切线的判定定理的证明.【专题】5B:直线与圆.【分析】(Ⅰ)连接AE和OE,由三角形和圆的知识易得∠OED=90°,可得DE是⊙O的切线;(Ⅱ)设CE=1,AE=x,由射影定理可得关于x的方程x2=,解方程可得x 值,可得所求角度.【解答】解:(Ⅰ)连接AE,由已知得AE⊥BC,AC⊥AB,在RT△ABC中,由已知可得DE=DC,∴∠DEC=∠DCE,连接OE,则∠OBE=∠OEB,又∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°,∴∠OED=90°,∴DE是⊙O的切线;(Ⅱ)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=,由射影定理可得AE2=CE•BE,∴x2=,即x4+x2﹣12=0,解方程可得x=∴∠ACB=60°【点评】本题考查圆的切线的判定,涉及射影定理和三角形的知识,属基础题.选修4一4:坐标系与参数方程23.(10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.【专题】5S:坐标系和参数方程.【分析】(Ⅰ)由条件根据x=ρcosθ,y=ρsinθ求得C1,C2的极坐标方程.(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0,求得ρ1和ρ2的值,结合圆的半径可得C2M⊥C2N,从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值.【解答】解:(Ⅰ)由于x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2,故C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1的极坐标方程为:(ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ﹣2)2=1,化简可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0.(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程θ=(ρ∈R)代入圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0,求得ρ1=2,ρ2=,∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=,由于圆C2的半径为1,∴C2M⊥C2N,△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=.【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程,点的极坐标的定义,属于基础题.选修4一5:不等式选讲24.(10分)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.【考点】R5:绝对值不等式的解法.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)当a=1时,把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.(Ⅱ)化简函数f(x)的解析式,求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标,从而求得f(x)的图象与x轴围成的三角形面积;再根据f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,从而求得a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,即①,或②,或③.解①求得x∈∅,解②求得<x<1,解③求得1≤x<2.综上可得,原不等式的解集为(,2).(Ⅱ)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=,由此求得f(x)的图象与x轴的交点A (,0),B(2a+1,0),故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),由△ABC的面积大于6,可得[2a+1﹣]•(a+1)>6,求得a>2.故要求的a的范围为(2,+∞).【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.。
(95)2015年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷及解析
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2015年高考山东省理科数学真题一、选择题1.已知集合{}243|0A x x x =-+<,{}24|B x x =<<,则A B =( )A .(1,3)B .(1,4)C .(2,3)D .(2,4)2.若复数Z 满足1Zi i=-,其中i 为虚数为单位,则Z=( ) A .1-iB .1+iC .-1-iD .-1+i3.要得到函数sin(4)3y x π=-的图像,只需要将函数y=sin4x 的图像( )A .向左平移12π个单位 B .向右平移12π个单位 C .向左平移3π个单位 D .向右平移3π个单位 4.已知菱形ABCD 的边长为a ,60ABC ∠=︒,则BD CD ⋅=( ) A .232a -B .234a -C .234a D .232a 5.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( ) A .(,4)-∞B .(,1)-∞C .(1,4)D .(1,5)6.已知x,y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,若z=ax+y 的最大值为4,则a=( )A .3B .2C .-2D .-37.在梯形ABCD 中,2ABC π∠=,AD//BC ,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A .23π B .43π C .53π D .2π8.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N (0,3),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附:若随机变量服从正态分布2(,)N μσ,则(P μσ-<)68.26%μσ<+=,(2P μσ-<2)95.44%μσ<+=。
) A .4.56% B .12.59% C .27.18% D .31.74%9.一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A .53-或35-B .32-或23- C .54-或45- D .43-或34- 10.设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩,则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是( )A .2[,1]3B .[0,1]C .2[,)3+∞D .[1,)+∞二、填空题11.观察下列各式:001011330122555012337777=4444C C C C C C C C C C +=++=+++=……照此规律,当当n ∈N 时,C 02n-1 + C 12n-1 + C 22n-1 +…+ C n-12n-1 = .12.若“∀x ∈[0,4π],tanx ≤m”是真命题,则实数m 的最小值为 . 13.执行下面的程序框图,输出的T 的值为 .14.已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ,则a b +=________15.平面直角坐标系xOy 中,双曲线C :22221x y a b-=(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C 2:x 2=2py(p>0)交于O ,若ABC∆的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为___________. 16.设2()sin cos cos ()4f x x x x x π=-+。
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(2)记 ,则 ,由罗尔定理:
使 .…………..6分
得分
三、求解下列各题(本题共8小题,每小题7分)
1、若 在 的某邻域内连续,求
2、求由方程 确定的隐函数 的二阶导数
3、函数 由参数方程 确定,求
4、求不定积分
5、求反常积分
6、若 是 上周期为4的可导函数, ,且 ,求曲线上
点 处的切线方程。
7、已知 ,求 在 内的表达式。
8、已知 ,其中 为实数,问 为何值时,函数 恰有三个零点。
则 ……………..7分
…………试卷装订线………………装订线内不要答题,不要填写考生信息………………试卷装订线…………
…………试卷装订线………………装订线内不要答题,不要填写考生信息………………试卷装订线…………
8、解:令 得驻点 。。。。。。。2分
-3
(-3,1)
1
0
-
0
+
增
极大值27+a
减
极小值-5+ a
…………试卷装订线………………装订线内不要答题,不要填写考生信息………………试卷装订线…………
姓名
学号
专业班级
学院
武汉理工大学考试试卷(A卷)
2015~2016学年1学期高等数学A(上)课程任课教师
题号
一
二
三
四
五
合计
满分
15
15
56
8
6
100
得分
得分
一、单项选择题(本题共5小题,每小题3分)
1、当 时,与 是等价无穷小的是()。
……..7分
2、解: 。 …………3分
………….7分
3、解: ,……………….3分
……………..7分
4、解:原式=
…………..7分
5、解:原式= ….7分
6、解:由表达式可知 .…………….2分。
又因为
………………..5分
则曲线在点 处的切线方程为 …………………7分
7、解:当 时, 。。。2分
当 时物线 与 轴围成的平面图形为D,问 为何值时,平面图形D的面积最小。
得分
五、证明题(本题6分)
设 在 上连续,在 内可导,且 。证明:
(1) ,使 ;
(2)对任意实数 , ,使
标准答案:一、ADCDC。
二、1、 ;2、6;3、 ;4、;5、14/3。
三、1、解:原式
=
2、单调函数 在 二阶可导,且 ,则 ()。
(A) (B) (C) (D)
3、曲线 的渐近线有()条。
(A)0(B)1(C)2(D)3
4、设函数 在 二阶可导,且 ,则()。
(A) 不是 的驻点;
(B) 是 的驻点,但不是 的极值点;
(C) 是 的驻点,且是 的极小值点;
(D) 是 的驻点,且是 的极大值点。
增
又 ,。。。。。。。。。。5分
所以当 时, 恰有三个零点。……..7分
四、解:抛物线与 轴的交点坐标为 (这里 )……..2分
则 …………….5分
令 得唯一驻点 且取极小值,故当 时,平面图形
的面积最小,为 ……..8分
五、证明:(1)设 ,则 在[0,2]上连续,在(0,2)上可导。由拉格朗
日定理可知: ,使
5、在[0,1]内 , ,
,则这三个积分的大小关系是()。
得分
二、填空题(本题共5小题,每小题3分)
1、已知 是函数 的可去间断点,若定义 ,则 在 连续。
2、若函数 则 。
3、已知 是 的一个原函数,则 。
4、设函数 可导,且 ,则 当自变量 在 处取得增量 时,相应的函数的微分 。
5、曲线 上相应于 的一段弧的弧长等于。