§4.3轴心压杆的临界力

§4.3 轴心压杆的临界力

一轴心受力构件由于截面形式不同，可能有三种屈曲形式而丧失稳定。即弯曲屈曲、扭转屈曲和弯扭屈曲。

3) 屈曲时变形很小，忽略杆长变化。

4) 屈曲时截面保持平面，屈曲轴线为正弦半波。 2．弹性屈曲

通过平衡微分方程

↵

=→=⋅+欧拉临界力

2

2cr 22π0l EI

N y N dz y d EI

运用能量法：外荷载势能变化＝杆件应变能变化

0δδ=+W V

dz y N dz dz

N N V l

l

2 cr cr cr )(2)cos α(

δ⎰⎰-=--=∆-=

dz V dz EI M W l

l ⎰⎰+=22δ12γ

dz y N dz y EI N l

l ⎰⎰+=2 2

cr 122cr )(22γ ，代入等式得设l

z

y y ⋅=πsin

m 1

2222cr π11

πγl

EI l

EI N +⋅

=

1γ——单位力作用下的剪切角。

通常对于实腹式截面，1γ很小，故可以忽略不计，则式变为：

2

2cr 2

2cr ππλσE

l

EI N =

=或

当cr σ≤p f 时，上式成立，因为E ＝常数。 3．弹塑性屈曲

E

E E t

2

2cr π=

=

τλτ

σ， t E ——切线模量,E f f f f E p p y y t )()(--=

σσ

界限长细比：p

p π

f E =λ

y

cr

x cr σσ≠，不经济，因此应想办法使它们相近，实际上，若达到y x λλ=，就基本上达到了等稳定。

二．扭转屈曲

选择纵向纤维为考察对象

纤维受到的轴心压力为：dN dA σ= 纤维倾侧产生横向力为：

'tan d dV dN dN

dA dz

ρϕ

ασρϕ=⋅≈=

截面扭矩为：

λ

σ

f y p

f 0

σ

E

k

E t

λp =πE/σ

p

a)b)

f p

f y ε

E

'2'2'

0z A

A

M dV dA I Ni ρρσϕρσϕϕ=⋅===⎰⎰

其中：2

0/i I A ρ=为极回转半径。

根据内力平衡：

''''z K t M M M GI EI ωωϕϕ=+=-

即：

2'

''''0t Ni GI EI ωϕϕϕ=-

公式两边做一次微分：

(4)2

''0()0t EI GI Ni ωϕϕ--=

其中：K M 为截面纯扭矩；M ω为约束扭矩。 解方程可得轴心受压构件的约束扭矩临界值。

ρt

ρ

2w 2cr

2

t

202w 2ωππI GI I l EI i GI i l EI N +=+=σ或 其中：3i i t 3

1.3

t b I ∑=

——截面扭转常数 3

112

1tb I =

——翼缘板的惯性矩 2

21w

h I I =——扇形惯性矩（弯曲扭转常数）

十字型截面会产生扭转屈曲。

常见截面弯曲扭转常数I ω

三．弯扭屈曲（单轴对称截面）

杆件受到的外力扭矩：

2'

'0z M Ni Nau ϕ=+

所以有：

2'

'''''0t Ni Nau GI EI ωϕϕϕ+=-

即：

(4)''2''

''00 (1)t EI GI Ni Nau ωϕϕϕ-++=

杆件绕y 轴的弯曲平衡微分方程为：

''()0 (2)y EI u N u a ϕ++=

联立求解方程（1）和（2）可求弯扭临界力0N ：

0)(

))((2

020w 0y =---N i a N N N N 0

20

t

2020w 2w

2

0y

y 2y ππi GI i l EI N l EI N +==，，

A

I I a i y x 2

2

++

=,a ——截面剪切中心至形心的距离。

由上可解得，弯扭临界力0N 。

通常0N 恒比y N 和w N 小，因此0/i a 越大，0N 越小，但可能大于x

cr N ，因此对称截面的承载力决定于x cr N 和0N 中的较小者。