人教版选修4-4 极坐标与参数方程(学生版)

教学辅导教案

学生姓名年级高二学科数学上课时间教师姓名

课题极坐标与参数方程综合复习

1．已知a∈R，函数f (x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．

（1）当a＝2时，求函数f (x)的单调递增区间；

（2）是否存在a使函数f (x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

2．已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋5，记f (x)的导数为f ′(x)．

（1）若曲线f (x)在点(1，f （1）)处的切线斜率为3，且x＝

2

3时，y＝f (x)有极值，求函数f (x)的解析式；

（2）在（1）的条件下，求函数f (x)在[－4，1]上的最大值和最小值．

3．已知函数f (x)＝－x3＋3x2＋9x＋a．

（1）求f (x)的单调递减区间；

（2）若f (x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

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4．已知函数f (x)＝ax＋ln x(a∈R)．

（1）若a＝2，求曲线y＝f (x)在x＝1处切线的斜率；

（2）求f (x)的单调区间；

（3）设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0，1]，使得f (x1)＜g(x2)，求a 的取值范围．

1．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线

()2,0P ．

（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）设点Q 和点G 的极坐标分别为()32,

,2,2

ππ⎛⎫

⎪⎝

⎭

，若直线l 经过点Q ，且与曲线C 相交于,A B 两点，求GAB ∆的面积．

考点1 极坐标

1．极坐标系与极坐标

（1）极坐标系：如图所示，在平面上取一个定点O 叫做极点；自点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．

1．参数方程的意义

在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标,x y都是某个变量的函数

()

()

x f t

y g t

=

⎧⎪

⎨

=

⎪⎩

并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M()

,x y都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数,x y的变数t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

2．常见曲线的参数方程的一般形式

（1）经过点()

000

,

P x y，倾斜角为α的直线的参数方程为0

cos

sin

x x t

y y t

α

α

=+

⎧

⎨

=+

⎩

(t为参数)．

设P是直线上的任一点，则t表示有向线段

P P

u u u r

的数量．

（2）圆的参数方程

cos

sin

x r

y r

θ

θ

=

⎧

⎨

=

⎩

(θ为参数)．

（3）圆锥曲线的参数方程:椭圆)0

(1

2

2

2

2

>

>

=

+b

a

b

y

a

x

的参数方程为

cos

sin

x a

y b

θ

θ

=

⎧

⎨

=

⎩

(θ为参数)．双曲线

22

22

1(0,0)

x y

a b

a b

-=>>的参数方程为

sec

tan

x a

y b

ϕ

ϕ

=

⎧

⎨

=

⎩

(ϕ为参数)．抛物线px

y2

2=的参数方程为

2

2

2

x pt

y pt

⎧=

⎨

=

⎩

(t为参数)．

3．参数方程和普通方程的互化

（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．

（2）如果知道变数,x y中的一个与参数t的关系，例如()

x f t

=，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()

y g t

=，那么，

()

()

x f t

y g t

=

⎧⎪

⎨

=

⎪⎩

就是曲线的参数方程．

1．在极坐标系中，已知曲线:cos()1

4

C

π

ρθ+=，过极点O作射线与曲线C交于点Q，在射线OQ上取一点P，使2

OP OQ

⋅=．

（1）求点P的轨迹

1

C的极坐标方程；