(江西版)高考数学总复习 第二章2.7 指数与指数函数教案 理 北师大版

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第二章2.7 指数与指数

函数

考纲要求

1．了解指数函数模型的实际背景．

2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．

知识梳理 1．根式

(1)根式的概念

根式的概念

符号表示 备注

如果存在实数x ，使得______，那么x 叫作a 的n 次方根 a ∈R ，n ＞1且n ∈N ＋

当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个____，负数的n 次方根是一个____ n a 零的n 次方根是零 当n 为偶数时，正数的n 次方根有______，它们互为______

±n

a

负数没有偶次方根

(2)两个重要公式

①n

a n

＝⎩⎨⎧

(n 为奇数)，|a |＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

，a ≥0， ，a <0(n 为偶数)；

②(n

a )n

＝______(n ＞1且n ∈N ＋)(注意a 必须使n

a 有意义)．

2．实数指数幂

(1)分数指数幂的表示

①正数的正分数指数幂的意义是

=m n

a ______(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．

②正数的负分数指数幂的意义是

=m n

a

-

______＝

1

n

a m

(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．

③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质

①a r a s

＝____(a ＞0，r ，s ∈Q )；

②(a r )s

＝____(a ＞0，r ，s ∈Q )；

③(ab )r

＝____(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． (3)无理指数幂

一般地，无理指数幂a α

(a ＞0，α是无理数)是一个____的实数，有理指数幂的运算法则________于无理指数幂．

函数 y ＝a x (a ＞0，且a ≠1) 图像 0＜a ＜1 a ＞1

图像特征

在x 轴______，过定点

当x 逐渐增大时，图像逐渐下降 当x 逐渐增大时，图像逐渐上升

性 质 定义域 __________ 值域 __________

单调性 在R 上__________ 在R 上__________ 函数值变

化规律

当x ＝0时，__________

当x ＜0时，__________； 当x ＞0时，__________ 当x ＜0时，__________；

当x ＞0时，__________

1．化简416x 8y 4

(x ＜0，y ＜0)得( )．

A ．2x 2

y B ．2xy

C ．4x 2y

D ．－2x 2

y

2．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x

是指数函数，则有( )． A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2

D ．a ＞0且a ≠1

3．把函数y ＝f (x )的图像向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y ＝2x

的图像，则( )．

A ．f (x )＝2x ＋2＋2

B ．f (x )＝2x ＋2

－2

C ．f (x )＝2x －2＋2

D ．f (x )＝2x －2

－2

4．设指数函数f (x )＝a x

(a ＞0且a ≠1)，则下列等式不正确的是( )．

A ．f (x ＋y )＝f (x )·f (y

) B ．f [(xy )n ]＝f n (x )·f n

(y )

C ．f (x －y )＝f (x )f (y )

D ．f (nx )＝f n

(x )

5．函数()223

x x f x a

m ＋－＝＋(a ＞1)恒过点(1,10)，则m ＝__________.

思维拓展

1．分数指数幂与根式有何关系？ 提示：m n m

n

a

a =a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)，1m n

m n

m

n

a

a

a

-

=

=

(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且

n ＞1)．

2．如图是指数函数(1)y ＝a x

，(2)y ＝b x

，(3)y ＝c x

，(4)y ＝d x

的图像，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？

提示：图中直线x ＝1与它们图像交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1＞d 1＞1＞a 1

＞b 1

，∴c ＞d ＞1＞a ＞b ，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．

3．函数y ＝a x ，y ＝a |x |，y ＝|a x

|(a ＞0，a ≠1)三者之间有何关系？

提示：y ＝a x 与y ＝|a x |是同一个函数的不同表现形式，函数y ＝a |x |与y ＝a x

不同，前者是一个偶函数，其图像关于y 轴对称，当x ≥0时两函数图像相同．

一、指数幂的化简与求值 【例1】计算：

20.521130.253223435(0.008)(0.02)(0.32)0.062 589---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+÷⨯÷÷= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

__________. 方法提炼指数幂的化简与求值

(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．

提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．

(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．

请做[针对训练]3

二、指数函数的图像与性质的应用

【例2－1】在同一坐标系中，函数y ＝2x

与y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x 的图像之间的关系是( )．

A ．关于y 轴对称

B ．关于x 轴对称

C ．关于原点对称

D ．关于直线y ＝x 对称

【例2－2】已知函数243

1()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪

⎝⎭

(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．

【例2－3】k 为何值时，方程|3x

－1|＝k 无解？有一解？有两解？

方法提炼1．与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．

2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤： (1)求复合函数的定义域；

(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性；

(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．

3．函数y ＝a f (x )

的值域的求解，先确定f (x )的值域，再根据指数函数的单调性，确定y ＝a f (x )

的值域．

请做[针对训练]2

三、指数函数的综合应用 【例3】已知f (x )＝

a

a 2

－1

(a x －a －x

)(a ＞0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；

(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 方法提炼1．利用指数函数的性质解决相关的综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

2．解决恒成立问题，一般需通过分离变量，通过转化为求函数的最值来实现．

请做[针对训练]5