选修4-4坐标系导学案

§4.1.1平面直角坐标系

本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标法解决实际问题与几何问题.

一、

1．到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？

2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹方程.

二、

【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.）（详解见课本）

【问题2】：已知⊿ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.

三、

4．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹.

5．求直线0532=+-y x 与曲线x

y 1

=

的交点坐标.

6．求证：三角形的三条高线交于一点.

7．已知A （-2，0），B （2，0），则以AB 为斜边的直角三角形的顶点C 的轨迹方程 是 .

8．已知A （-3，0），B （3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为

9

4

，则 点M 的轨迹方程是 .

9．已知B 村位于A 村的正西方向1公里处，原计划经过B 村沿着北偏东600

的方向埋设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？

课前小测 典型问题

技能训练

平面直角坐标系中的伸缩变换

【基础知识导学】

1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。

2、 “坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自

始至终强化这一思想方法。

3、 坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是

一样的。

【典型例题】 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。 （1） 将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ，

（2） 曲线022

2=--x y x 变成曲线0416/

2

2

=-'-'x y x

【解题能力测试】

1、已知x x f x x f ωsin )(,sin )(21==（)0>ω)(2x f 的图象可以看作把)(1x f 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的3

1

倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为（ ） A ．

21 B .2 C.3 D.3

1 2.在同一直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y

y x x 35后，曲线C 变为曲线18222='+'y x 则曲

线C 的方程为（ ）

A ．172502

2

=+y x B.110092

2

=+y x C ．12410=+y x D.

19

82522

2=+y x 3．在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y

y x x ,3后，曲线C 变为曲线992

2='+'y x ，

求曲线C 的方程并画出图象。

【知识要点归纳】

（1） 以坐标法为工具，用代数方法研究几何图形是解析几何的主要问题，它的特点是“数

形结合”。

（2） 能根据问题建立适当的坐标系又是能否准确解决问题的关键。 （3） 设点P （x,y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

⎩⎨

⎧>⋅='>⋅='),

0(,),

0(,:μμλλϕy y x x 的作用下，点P(x,y)对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

【潜能强化训练】1.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换

⎪⎩

⎪⎨⎧='='y

y x x 31

21后的图形。 （1）;025=+y x （2）12

2=+y x 。

2，已知点A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知|BC|=4，点A 到直线l 的距离为3，求∆ABC 的外心的轨迹方程。

O

X

1.2.1极坐标系的的概念

学习目标

1．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.

2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.

学习过程

一、学前准备

情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？

情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M 后到达什么位置？该位置唯一确定吗？

（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？

问题2：如何刻画这些点的位置？ 二、新课导学

◆探究新知（预习教材P 8～P 10，找出疑惑之处）

1、如右图，在平面内取一个 O ，叫做 ； 自极点O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个 ，一个 （通常取 ）及其 （通

常取 方向），这样就建立了一个 。 2、设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离||OM 叫做点M 的 ，记为 ；以

极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 ，记为 。有序数对 叫做点

M 的 ，记作 。

3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？ ___________________________________________.

◆应用示例

例题1：(1)写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标)20,0(πθρ<≤>.

（2）：思考下列问题，给出解答。

①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ ⑤本题点G 的极坐标统一表达式。 答：

◆反馈练习

在下面的极坐标系里描出下列各点

小结：在平面直角坐标系中，一个点对应 个

坐标表示，一个直角坐标对应 个点。极坐标系里的点的极坐标有 种表示，但每个极坐

标只能对应 个点。

三、总结提升

1．本节学习了哪些内容？答：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 1．已知5,

3M π⎛⎫

⎪⎝⎭

，下列所给出的能表示该点的坐标的是 A ．⎪⎭⎫

⎝⎛

-3,5π B ．⎪⎭⎫

⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫

⎝⎛

-32,5π D ．55,3π⎛

⎫

- ⎪⎝⎭

2、在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )

A 、),(θρ

B 、),(θρ-

C 、),(πθρ+

D 、),(θπρ-

3、设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P

的极坐标为（ ） A.(23，π43) B. (32，π45) C. (3，π45) D. (3，π43) 4、（课本习题1.2第二题） 1.2.2. 极坐标与直角坐标的互化

学习目标

),(θρM

●

ρ

θ

O

x

(3,0)(6,2)(3,)

245(5,

)(3,

)(4,)

36

5(6,)

3A B C D E F G π

πππππ