2005年4月自学考试复变函数与积分变换试题
复变函数积分变换复习题
复变函数及拉普拉斯变换复习题一、选择题 1.复数z=1625825-i 的辐角为（ ）02-4 A.arctan 12B.-arctan12 C.π-arctan 12D. π+arctan122.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ） A.圆 B.直线C.椭圆D.双曲线3.复数z=--355(cossin )ππi 的三角表示式为（ ） A.-+34545(cos sin )ππiB.34545(cos sin )ππ-iC. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi4.设z=cosi ，则（ ）A.Imz=0B.Rez=πC.|z|=0D.argz=π 5.复数e 3+i 所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限6.设w=Ln(1-i)，则Imw 等于（ ） A.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,, C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,, 7.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（ ） A.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<2 8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C ()()-+⎰1等于（ ）A.211πin f a n ()!()()++B.2πi n f a !()C.2πif a n ()()D.2πi n f a n !()()9.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（ ）A.1B.2πiC.0D.12πi10.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（ ） A.0 B.2πi C.2πD.-2π11.设函数f z e d z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（ ）A.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +112.设积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z z dz C +⎰12等于（ ）A.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi13.下列积分中，积分值不为零的是（ ） A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C ⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=2 14．复数方程z=2+θi e (θ为实参数，0≤θ<2π)所表示的曲线为（ ）04-4 A ．直线 B ．圆周 C ．椭圆D ．抛物线15．已知4z arg 2π=，则argz=（ ） A ．8πB ．4π C ．2πD ．π16．Re(cosi)= （ ） A ．2e e 1-+B ．2e e 1--C ．2e e 1+--D ．2e e 1--17．设f(z)=(1-z)e -z ，则)z (f '=（ ）A ．(1-z)e -zB ．(z -1)e -zC ．(2-z)e -zD ．(z -2)e -z18．设e z =i 31+，则Imz 为（ ）A ．ln2B ．32π C ．2k π,k=1,0±…D ．3π+2k π,k=0, 1±… 19．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=C dz z zcos （ ） A ．i πB ．2i πC ．0D ．120．设C 为正向圆周|z -1|=1，则积分dz )1z (2z 3z 5C32⎰-+-等于（ ）A ．5i πB ．7i πC ．10i πD ．20i π21．设C 为正向圆周|ξ|=1.则当|z|>1时，f(z)==-ξ-ξξπ⎰C3)z )(2(d i21（ ）A ．0B ．1C ．3)2z (2-D ．3)2z (2--22．设z=3+4i,，则Re z 2=( )05-4 A ．-7B ．9C ．16D ．2523．下列复数中，使等式z1=-z 成立的是( ) A ．z=e 2πiB ．z=e πiC ．z=i2e π-D ．z=i 43e π24．设0<t ≤2π,则下列方程中表示圆周的是( ) A ．z=(1+i)tB ．z=e it +2iC ．z=t+tiD ．z=2cost+i3sint25．下列区域为有界单连通区域的是( ) A ．0<|z-i|<1B ．0<Imz<πC ．|z-3|+|z+3|<12D ．0<argz<43π26．若f(z)=u+iv 是复平面上的解析函数，则f '(z)=( )A ．y u i x u ∂∂+∂∂B ．x v i y v ∂∂+∂∂C ．xv i x u ∂∂-∂∂ D ．xvi y v ∂∂-∂∂ 27．设f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=-0z ,ze 0z ,A 1z 在整个复平面上解析，则常数A=( )A ．0B ．e -1C ．1D ．e28．设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数，则实常数a,b 为( ) A ．a=-1,b=1 B ．a=1, b=1 C ．a=-1,b=-1D ．a=1,b=-129．设z 为复数，则e -iz =( ) A ．cosz+isinzB ．sinz+icoszC ．cosz-isinzD ．sinz-icosz 30．设f(z)和g(z)在有向光滑曲线C 上连续，则下列式子错误．．的是( ) A ．⎰⎰=zCdz )z (f )z (g dz )z (f )z (gB ．⎰⎰--=CC ,dz )z (f dz )z (f 其中C －为C 的反向曲线C ．⎰⎰⎰±=±CCCdz )z (g dz )z (f dz ))z (g )z (f (D ．⎰⎰=CCdz )z (f 3dz )z (f 331．设C 为从-I 到I 的左半单位圆周，则⎰=Cdz |z |( )A ．iB ．2iC ．-iD ．-2i 32． 设C 为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为．．0的是( ) A ．⎰-C dz 1z zB ．⎰C 3zdz cos zC ．⎰C dz zz sinD ．⎰-C zdz 3z e 33．设D 是单连通区域，C 是D 内的正向简单闭曲线，则对D 内的任意解析函数f(z)恒有( )A ．f(z)=⎰ζ-ζζπC d z )(f i 21, z 在C 的外部 B ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 21，z 在C 的内部，n ≥2 C ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπC n d )z ()(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 D ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 34．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a zz+=_，则a 2+b 2的值（ ）08-4 A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1D ．大于135．设2,3z w i z =+=,则（ ） A ．3arg π=w B ．6arg π=wC ．6arg π-=wD ．3arg π-=w36．=i 2ln （ ） A ．2ln B ．i 22ln π+C ．i 22ln π-D ．i i 2Arg 2ln +37．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=（ ）A ．i π6B ．i π4C ．i π2D ．038．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=（ ） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2πD ．i e 22π-39．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z zC4)1(++⎰=（ ） A ．i e3π B ．e6πC ．ei π2D ．i e 3π 40．设z =1-i ,则Im(21z)=（ ）09-4 A ．-1 B ．-21 C ．21 D ．141．复数z =ii-+23的幅角主值是（ ） A ．0 B ．4π C ．2π D ．43π 42．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（ ）A ．1-2πiB ．)22(πn π-iC ．1+)i π(n π22-D ．1+i π(n π)22+43．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（ ） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =144．积分⎰=2i iπz dz e （ ）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi2D ．π245．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=（ ） A ．i π23- B ．i π3- C ．i π43 D ．i π2346．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（ ） A ．i π2- B ．i π- C ．i πD ．2i π47．拉普拉斯变换()[]()dt e t f t f L st ⎰=+∞-0中的f(t)的自变量的范围是 （ ）（A ）()+∞,0 （B ）[)+∞,0 （C ）()+∞∞-, （D ）()0,∞-48．拉普拉斯变换()()dt e t f s F st ⎰=+∞-0中的参数s 是 （ ）（A ） 实变数 （B ）虚变数 （C ）复变数 （D ）有理数49．若()[]()s F t f L =，那么()[]=-t f e L at （ ）（A ）()a s F - (B)()a s F + (C)()e s F as - (D)()a s F s+150．若t ≥0时函数f(t)有拉氏变换()[]1=t f L ，则 （ ）（A ）()()t u t f = （B ）()t t f = （C ）()()t t f δ= （D ）()1=t f 51．若()[]()s F t f L =，那么()[]=+a t f L （ ）（A ）()s F e as - （B ）()s F e as （C ）()a s F e as -- （D ）()a s F e as +52．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t f t L 1（ ）（A ）()s F '- （B ）()s F s 1（C ）()ds s F s ⎰+∞ （D ）()ds s F s ⎰053．若()[]()s F t f L =，那么()[]='t f L （ ）（A ）()s F ' （B ）()s sF （C ）()s F s ' （D ）()()0f s sF -54．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dt t f L t 0 （ ） （A ）()s F s 1（B ）()ds s F s ⎰+∞ （C ）()ds s F s ⎰0（D ）()s F s e -55．若()[]()s F t f L =，当0>a 时，那么()[]=at f L （ ）（A ）()s F a 1 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛a s F a 1 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛a s aF （D ）()a s F - 56．若()[]()s F t f L =，且()()000='=f f ，那么()[]=''t f L （ ）（A ）()s F s ' （B ）()s F '' （C ）()s F s 2 （D ）()s F s '2 二、填空题1.复数z=4+48i 的模|z|= .2.设z=(1+i)100，则Imz= .3.设z=e 2+i ，则argz= .4.f(z)=z 2的可导处为 . 5.方程lnz=π3i 的解为 . 6.设C 为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C +=⎰. 7.设C 为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2.8.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C，其中|z|<2，则'=f ()1 . 9．设i z 101103+-=，则=_z ____________.10．方程i z 31ln π+=的解为____________.11．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz CRe ____________.12．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C 3_)(____________.13．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-Cdz z z 32)2(cos π____________.14．复数1i --的指数形式为__________.15．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则z =__________. 16．区域0<arg z<4π在映射w =z 3下的像为__________.17．设C 为正向圆周,2=z 则⎰=-C zdz z e 12__________. 18.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.19.若cosz=0，则z=________.20.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 21．在复数域内，方程cosz=0的全部解为 。
2002年4月～2010年4月全国自考复变函数与积分变换试题试卷真题
第一部分 选择题 (共40分)一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.复数z=1625825-i 的辐角为（ ） A.arctan12 B.-arctan 12 C.π-arctan 12 D. π+arctan 122.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ）A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线 3.复数z=--355(cossin )ππi 的三角表示式为（ ） A.-+34545(cos sin )ππiB.34545(cos sin )ππ-iC. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi4.设z=cosi ，则（ ）A.Imz=0B.Rez=πC.|z|=0D.argz=π5.复数e 3+i 所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.设w=Ln(1-i)，则Imw 等于（ ） A.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,, C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,, 7.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（ ） A.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<2 8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C ()()-+⎰1等于（ ）A.211πin f a n ()!()()++ B.2πi n f a !() C.2πif a n ()() D.2πi n f a n !()() 9.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（ ）A.1B.2πiC.0D.12πi10.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（ ） A.0B.2πiC.2πD.-2π11.设函数f z ed z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（ ）A.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +112.设积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z zdz C+⎰12等于（ ）A.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi13.幂级数z n n n -=∞∑11!的收敛区域为（ ） A.0<|z|<+∞ B.|z|<+∞ C.0<|z|<1D.|z|<114.z=π3是函数f(z)=sin()z z --ππ33的（ ） A.一阶极点 B.可去奇点 C.一阶零点D.本性奇点15.z=-1是函数cot ()πzz +14的（ ） A.3阶极点 B.4阶极点 C.5阶极点 D.6阶极点16.幂级数()!()!n n z n n+=∞∑120的收敛半径为（ ） A.0B.1C.2D.+∞17.设Q(z)在点z=0处解析，f(z)=Q z z z ()()-1，则Res[f(z),0]等于（ ）A.Q(0)B.-Q(0)C.'Q ()0D.-'Q ()018.下列积分中，积分值不为零的是（ ） A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C ⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=2 19.映射w=z 2+2z 在下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ） A.|z+1|>12B.|z+1|<12 C.|z|>12D.|z|<1220.下列映射中，把角形域0<argz<π4保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A.w=z z 4411+- B.w=z z 4411-+ C.w=z i z i44-+ D.w=z i z i44+-21.复数z=4+48i 的模|z|= . 22.设z=(1+i)100，则Imz= . 23.设z=e 2+i ，则argz= . 24.f(z)=z 2的可导处为 . 25.方程lnz=π3i 的解为 . 26.设C 为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C +=⎰.27.设C 为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2.28.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C，其中|z|<2，则'=f ()1 . 29.幂级数n nz nn n !=∞∑1的收敛半径为 .30.函数f(z)=1111115z z z [()]+++⋅⋅⋅++在点z=0处的留数为 .三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31.求u=x 2+2xy -y 2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1. 32.计算积分I=z zz dz C+⎰||的值，其中C 为正向圆周|z|=2. 33.试求函数f(z)=e d z-⎰ζζ2在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.34.计算积分I=e z i z i dz zCπ()()-+⎰223的值，其中C 为正向圆周|z -1|=3.四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。
07000048-05级复变函数与积分变换(工科A卷)参考答案
课程编号：07000048北京理工大学2006—2007学年第二学期2005级复变函数与积分变换试题A 卷参考答案与评分标准一 (6) 求下列复数的值。
(1) ()i i - 解：原式(ln||2)2()22()i i ik i k iLn i e eek Z ππππ----===∈ …………3’(2) ()i Ln e解：原式ln ||arg()2(21) ()i i e i e k i k i k Z ππ=++=+∈ …………3’二 (10) (1) 求区域{:||1}z z i -<在映射2()w z i =-下的像，并作出其映射过程的图形。
解：该映射可分解为11, 2,w z i w w =-=而区域{:||1}z z i -<是以i 为心、1为半径的圆盘，经平移1w z i =-后得到在1w 平面的象为圆盘11{:||1}w w <，然后伸长2倍得到在w 平面的象为圆盘{:||2}w w <。
………2’(2) 判别函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在复平面上哪些点处可导，哪些点处解析。
解：设222(,), (,)2u x y x y x v x y xy y =--=-，则21,2,2,22.u u v v x y y x y xyxy∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂………1’若()f z 在z x iy =+处可导，则由Cauchy-Riemann 方程得1w 1=z -iw =2w 1,.u v u v xyyx∂∂∂∂==-∂∂∂∂ ………2’即2122, 22,x x y y y -=--=-得 1.2y =………3’故()f z 仅在直线12y =上可导，从而在复平面上处处不解析。
………5’三 (10) 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，其中(,), (,)u x y v x y 为二元实函数，并且2(,)(,)v x y u x y =，试证：()f z 在区域D 内是一个常数。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数考试题及答案自考
复变函数考试题及答案自考一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是复数z = 3 + 4i的共轭复数？A. 3 - 4iB. -3 + 4iC. -3 - 4iD. 3 + 4i答案：A2. 如果复变函数f(z)在点z₀处解析，那么它的导数f'(z₀)等于：A. 极限lim(Δz→0) [f(z₀ + Δz) - f(z₀)] / ΔzB. f(z₀)的实部C. f(z₀)的虚部D. f(z₀)的模答案：A3. Cauchy积分定理适用于：A. 仅在实数域B. 仅在复平面上的简单闭合曲线C. 仅在复平面上的开区域D. 所有以上情况答案：C4. 如果一个复变函数在某区域内除了一个孤立奇点外处处解析，那么这个函数在该区域内：A. 一定有原函数B. 一定没有原函数C. 可能是周期函数D. 以上都不对答案：A5. 复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)中，u和v分别表示：A. 实部和虚部B. 模和辐角C. 辐角和模D. 都不对答案：A6. 以下哪个是复变函数的柯西-黎曼方程？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = -∂v/∂xC. ∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x答案：B7. 复变函数的级数展开式中的系数是：A. 常数B. 复数C. 实数D. 以上都不对答案：B8. 如果一个复变函数在某个区域内处处连续，那么它的模：A. 也必定处处连续B. 可能不连续C. 必定不连续D. 以上都不对答案：A9. 复变函数的Taylor级数展开是关于：A. 模的展开B. 辐角的展开C. z的展开D. 共轭复数的展开答案：C10. 下列哪个是复变函数的Laurent级数展开的一个特性？A. 它只能展开在解析函数上B. 它包含负幂项C. 它只能展开在奇点附近D. 以上都是答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 复数z = 2 - 3i的模是________。
自考复变函数与积分变换试题试卷真题
复变函数与积分变换试题一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)1.z=2-2i ，|z 2|=（ ）A.2B.8C.4D.82.复数方程z=cost+isint 的曲线是（ ）A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线3.Re(e 2x+iy )=（ ）A.e 2xB.e yC.e 2x cosyD.e 2x siny4.下列集合为有界单连通区域的是（ ）A.0<|z-3|<2B.Rez>3C.|z+a|<1D.π≤<πargz 215.设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（ ）A.-3B.1C.2D.36.若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x (ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（）A.e x (ycosy-xsiny)B.e x (xcosy-xsiny)C.e x (ycosy-ysiny)D.e x (xcosy-ysiny) 7.⎰=-3|i z |zdz =（ ）A.0B.2πC.πiD.2πi 8.⎰=---11212z z sinzdz |z |=（ ） A.0 B.2πisin1C.2πsin1D.1sin 21i π9.⎰302dz zcosz =（ ） A.21sin9 B.21cos9 C.cos9D.sin9 10.若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，2π ]=（ ） A.-2πB.-πC.-1D.0 11.f(z)=2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（ ） A.0B.1C.2D.3 12.z=0为函数cosz 1的（ ） A.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点 13.f(z)=)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（ ） A.∑∞=-01n n n z )( B.∑∞=-021n n z )z ( C.∑∞=-02n n )z ( D.∑∞=---0121n n n )z ()(14.线性变换ω=iz z i +-（ ） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<115.函数f(t)=t 的傅氏变换J [f(t)]为（ ）A.δ(ω)B.2πi δ(ω)C.2πi δ'(ω)D.δ'(ω)二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)16.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.17.若cosz=0，则z=________.18.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 19.幂级数∑∞=1n n n z n !n 的收敛半径是________.20.线性映射ω=z 是关于________的对称变换.三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)21.计算复数z=327-的值.22.已知调和函数v=arctg xy ,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 23.设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.24.求积分I=⎰+C dz z i 的22值，其中C ：|z|=4为正向. 25.求积分I=⎰+C zdz )i z (e 的42值，其中C ：|z|=2为正向. 26.利用留数计算积分I=⎰C zsinzdz ，其中C 为正向圆周|z|=1. 27.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数.28.将函数f(z)=()22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数. 四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。
高等教育自学考试-复变函数与积分变换试题与答案-课程代码
全国2010年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3π B.3π C.π23 D.π23+2n π 2.w =|z |2在z =0( )A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( )A.f (z )=x 2-y 2+i 2xyB.f (z )=x -iyC.f (z )=x +i 2yD.f (z )=2x +iy 4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰C z z d ||=( ) A.2πiB.0C.1D.2 5.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰-C z z z )2(d =( ) A.-πiB.0C.πiD.2πi 6.设C 为正向圆周|z |=2，则⎰-C izi z z e 3)(d z =( )A.0B.e -1C.2πiD.-πe -1i7.z =0是3sin z z的极点，其阶数为( )A.1B.2C.3D.48.以z=0为本性奇点的函数是( ) A.z z sin B.2)1(1-z z C.z 1e D.1e 1-z9.设f (z )的罗朗展开式为-11)1(22---z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=() A.-2 B.-1C.1D.210.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)()(z f z f '在z =a 的留数为( )A.-mB.-m +lC.m -1D.m二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.|z -i |=|z -1|的图形是_______________.12.设z =i i ，则Im z =_______________.13.设C 为由点z =-l-i 到点z =l+i 的直线段，则⎰C z 3d z =_______________.14.设C 是顶点为z=±21,z=±i 56的菱形的正向边界，则⎰-C i z e 2dz=______________.15.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰C z cos z d z =_________.16.函数21-z 在点z =4的泰勒级数的收敛半径为_________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17.设z =x +iy ,求复数11+-z z 的实部与虚部.（6分）18.求复数i 8-4i 25+i 的模.(6分)19.求f (z )=(z -1)2e z 在z =1的泰勒展开式.(6分)20.求f (z )=)2)(1(2--z z 在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分) 21.求解方程cos z =2.（7分）22.设z =x +iy ,试证v (x ,y )=x 2+2xy -y 2为调和函数，并求解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ).(7分)23.设C 为正向圆周|z-2|=1,求⎰-C z z z 2)2(e d z .(7分) 24.设C 为正向圆周|z|=1，求⎰C z1sin d z .(7分) 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。
4月全国自考复变函数与积分变换试题及答案解析
1全国2018年4月自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3π B.3π C.π23 D.π23+2n π 2.w =|z |2在z =0( ) A.不连续 B.可导 C.不可导D.解析3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( ) A.f (z )=x 2-y 2+i 2xy B.f (z )=x -iy C.f (z )=x +i 2yD.f (z )=2x +iy4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰Cz z d ||=( )A.2πiB.0C.1D.25.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰-Cz z z)2(d =( )A.-πiB.0C.πiD.2πi6.设C 为正向圆周|z |=2，则⎰-Ciz i z z e 3)(d z =( )A.0B.e -1C.2πiD.-πe -1i2 7.z =0是3sin z z 的极点，其阶数为( )A.1B.2C.3D.48.以z=0为本性奇点的函数是( ) A.zzsin B.2)1(1-z zC.z1eD.1e 1-z9.设f (z )的罗朗展开式为-11)1(22---z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=( ) A.-2 B.-1C.1D.2 10.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)()(z f z f '在z =a 的留数为( )A.-mB.-m +lC.m -1D.m二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.|z -i |=|z -1|的图形是_______________. 12.设z =i i ，则Im z =_______________.13.设C 为由点z =-l-i 到点z =l+i 的直线段，则⎰Cz 3 d z =_______________.14.设C 是顶点为z=±21,z=±i 56的菱形的正向边界，则⎰-Ciz e 2dz=______________. 15.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰Cz cos z d z =_________.16.函数21-z 在点z =4的泰勒级数的收敛半径为_________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17.设z =x +iy ,求复数11+-z z 的实部与虚部.（6分） 18.求复数i 8-4i 25+i 的模.(6分)19.求f (z )=(z -1)2e z 在z =1的泰勒展开式.(6分)3 20.求f (z )=)2)(1(2--z z 在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分)21.求解方程cos z =2.（7分）22.设z =x +iy ,试证v (x ,y )=x 2+2xy -y 2为调和函数，并求解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ).(7分) 23.设C 为正向圆周|z-2|=1,求⎰-Cz z z 2)2(e d z .(7分)24.设C 为正向圆周|z|=1，求⎰Cz1sind z .(7分) 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。
复变函数与积分变换考试题
[试题分类]:复变函数与积分变换[题型]:单选[分数]:2分1.复数 3 – 2i的虚部为（）。
A. 3B.– 2iC.– 2D.–i[答案]:C2.算式(3 – 2i) – (–1 + i) 的值等于（）。
A. 4 –iB. 4 – 3iC. 2 –iD. 2 – 3i[答案]:B3.算式(–1 + i)2的值等于（）。
A. –2iB. 2 – 2iC. 2D. 2i[答案]:A4.算式的值等于（）A.B.C.D.[答案]:D5.已知z1和z2 是两个复数，以下关于共轭复数运算的式子（）是正确的。
A.B.C.D.[答案]:A6.方程组的解为（）。
A.B.C.D.[答案]:B7. 复数的三角表示式为（）。
A.B.C.D.[答案]:D8.复数z的主辐角在（）上不连续。
A. 负实轴B. 正实轴C. 原点及负实轴D. 原点及正实轴[答案]:C9. 复数的三角表示式为（）。
A.B.C.D.[答案]:D10. 的值等于（）。
A.8iB.–8iC. 8D.–8[答案]:B11. 圆周方程的复数形式为（）。
A.B.C.D.[答案]:A12.复数的模等于（）。
A.13B.49C.7D.[答案]:C13.复数6 – 8i的模等于（）。
A. 10B.–10C.D. 100[答案]:A14.复数2 + 3i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:B15.复数–4 + 6i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:D16.复数–1 – 2i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:B17.复数 1 – 2i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:C18.以下式子中，不正确的是（）。
（注：Re表示实部，Im表示虚部）A.2i > 0B.| 2i | > 1C.Re (2i) = 0D.Re (2i) < Im (2i)[答案]:A19.以下（）不是方程的根。
A.B.C. 2D. –2[答案]:C20. 以下复数中只有（）是方程的根。
(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2.证明()f z =0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()f z =2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=.则22(),(0,1)k if z k θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数及积分变换试题及答案
第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。
A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。
2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。
A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（ ）。
A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。
A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（ ）。
A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。
A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。
A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。
复变函数试卷答案(2005)
一、单项选择题（20分，每题4分）1、 函数w=Lnz 的解析区域为（ D ）A.复平面B.扩充复平面C ．除去原点的复平面 D.除去原点与负实轴的复平面2、函数f( z )=z 在复平面上（ C ）A 处处可导 B.仅在Z=0处可导C.处处不可导D.仅在Z=0处解析3、Z=1为函数f( z )=211sin 1(1)z z +--的（ C ） A.可去奇点 B.奇点C ．本性奇点 D.非孤立奇点4、设C 为圆周z i -=2，方向为正向，则积分2sin zce zdz z -⎰等于（ B ） A ．10πi B.2πiC.0D.3e i π5、由不等式0<0arg(1)2Re(z)34z π<-<≤≤与所确定的点集是（ D ）A.开集，但非区域B.闭区域C ．区域 D.非开集，亦非闭区域二、填空题（24分，每题4分）1、若(1)ni =-n (1+i)，则n=___________。
（4k ，k ∈整数）2、方程3z+8的所有根为____________。
（，-2，） 3、2sin ii zdz ππ-⎰=_____________。
（πi -22i sh π） 4、f (z)=311z +的收敛半径为_____________。
（ 1 ） 5、Z=2是函数f (z)=3238(4)z z +-的____________阶极点。
（ 2 ） 6、映射w=2z 把半个圆域：z <R, Im( z )>0映射成_______________。
（圆心在原点，半径为2R ，且沿由0到2R 的半径有割痕的圆域）三、解答下列各题（36分）1、 设函数f ( z )=22222()x ax y by i cx dxy y +++++,问常数a,b,c,d 取何值时，f （z ）在复平面的处处解析。
（8分） 答：由于2u x ay x∂=+∂ 2u a x b y y ∂=+∂ 2u cx dy x∂=+∂ 2v d x y y ∂=+∂ 从而使得,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂,即2x+ay=dx+2y,2cx+dy=-ax-2by 因此当a=2,b=-1,c=-1,d=2时，此函数在复平面内处处解析。
复变函数自考试题及答案
复变函数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在复变函数中，下列哪一项不是复数的基本概念？A. 复数域B. 共轭复数C. 复数的模D. 复数的导数答案：D2. 复变函数中的柯西-黎曼方程是指什么？A. 函数的实部和虚部满足的方程B. 函数的导数满足的方程C. 函数的积分满足的方程D. 函数的级数展开满足的方程答案：A3. 下列哪一项不是解析函数的特征？A. 在定义域内处处可导B. 在定义域内连续C. 导数在定义域内连续D. 柯西-黎曼方程成立答案：B4. 复变函数的级数展开中，幂级数的收敛半径是什么？A. 函数的模的最大值B. 函数的实部的最大值C. 函数的虚部的最大值D. 函数的模的倒数答案：D5. 复变函数的积分路径必须是？A. 直线B. 曲线C. 可以是任意形状的连续路径D. 必须闭合的路径答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \in \mathbb{R} \)）的共轭复数是 \( \_\_\_\_\_\_\_\)。
答案：\( a - bi \)7. 如果 \( f(z) \) 是解析函数，那么 \( f(z) \) 的导数 \( f'(z) \) 满足________。
答案：柯西-黎曼方程8. 复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 的实部 \( u(x, y) \) 和虚部 \( v(x, y) \) 必须满足________。
答案：偏导数的连续性9. 复变函数的级数展开中的幂级数 \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z- z_0)^n \) 在 \( |z - z_0| < R \) 内收敛，其中 \( R \) 是收敛半径，且 \( R \) 满足________。
答案：Cauchy-Hadamard公式10. 复变函数的积分 \( \oint_C f(z)dz \) 表示沿着闭合路径 \( C \) 的积分，根据柯西积分定理，如果 \( f(z) \) 在闭合路径 \( C \) 内解析，则 \( \oint_C f(z)dz = \_\_\_\_\_\_\_\)。
《复变函数与积分变换》试卷及答案
得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ ）；4．0=z 是 4sin z zz -的（ ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （ ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a得分（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数323 2)(sin)3 ()2)(1()(z zzzzzfπ-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1得分五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z zz -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
4月浙江自考复变函数试题及答案解析
1浙江省2018年4月自学考试复变函数试题课程代码：10019一、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1．arg ［(3+i )-3］ =___________.2． 函数w =z 1将z 平面上的直线y =x 变成w 平面上的___________. 3．⎰+C dz z z 2sin = ___________，其中C 是椭圆x 2+42y =1. 4．∑∞=-1)1(n n n z i 的收敛半径是___________.5．e 3z 在z =0的幂级数展开式为___________.6． 设w 是1的n 次方根，且w ≠1，则1+w +w 2+…+w n -1=___________.7．zz z z z z sin cos lim 0--→=___________. 8．e 2iz 的周期是___________.二、判断题（本大题共7小题，每小题2分，共14分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。
1．若)(lim 0z f z z →存在，则存在z 0的某个邻域，使得f (z )在此邻域内有界.( ) 2．设f (z )在D ∶|z -a |<R 内解析，若z =a 是f (z )零点的一个聚点，则在D 上f (z )≡0.( )3．设函数f n (z )(n =1,2,…)在区域D 内连续，且级数∑∞=1)(n n z f在D 内收敛于函数f (z )，则f (z )在区域D 内连续.( )4．若w =f (z )在区域D 内单叶解析，则其在D 内是共形的.( )5．任何有界的复数列必存在一收敛的子数列.( )6．若函数f (z )在z 0点解析，则f (z )在z 0点连续.( )7．设z 0是f (z )和g (z )的奇点，则z 0也必是f (z )+g (z )的奇点.( )2三、完成下列各题(本大题共6小题，每小题5分,共30分)1．问当x ,y 等于什么实数时，等式iy i x 35)3(1+-++=1+i 成立？ 2．讨论函数f (z )=z 1在z 平面上的可微性与解析性.3．求方程z 5+5z 3+z -2=0在|z |<25内的零点个数. 4．若z n =n ni n n )11(12++-+，求n n z ∞→lim . 5．求函数f (z )=)2)(1(1--z z 在区域1<|z |<2内的洛朗(Laurent )展开式. 6．求tan z +cot z 在z =0处的留数.四、（本大题10分）求出函数f (z )=z e z z π++πsin )1)(1(12的奇点，并确定其类别（对于极点，要指出它们的阶，不考虑无穷远点）.五、（本大题10分）设w =3z 确定在从原点z=0起沿负实轴割破了的z 平面上,并且w (i )=-i,试求w (-i )的值.六、（本大题10分）设C 为圆周x 2+y 2=3，f (z )=⎰-++C d zξξξξ1732，求f ′(1+i )及f ′(3+i ). 七、（本大题10分）求出将上半z 平面Im z >0共形映射成圆|w |<R 的分式线性变换w =L (z )，且满足L (i )=0, L ′(i )>0.。
自考复变函数与积分变换试题试卷真题
自考复变函数与积分变换试题试卷真题复变函数与积分变换试题一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)1.z=2-2i ，|z 2|=（）A.2B.8C.4D.82.复数方程z=cost+isint 的曲线是（）A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线3.Re(e 2x+iy )=（）A.e 2xB.e yC.e 2x cosyD.e 2x siny4.下列集合为有界单连通区域的是（）A.0<|z-3|<2B.Rez>3C.|z+a|<1D.π≤<πargz 215.设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（）A.-3B.1C.2D.36.若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x(ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（）A.e x (ycosy-xsiny)B.e x (xcosy-xsiny)C.e x (ycosy-ysiny)D.e x (xcosy-ysiny) 7.?=-3|i z |zdz =（）A.0B.2πC.πiD.2πi 8.=---11212z z sinzdz |z |=（）A.0 B.2πisin1C.2πsin1D.1sin 21i π9.?302dz zcosz =（） A.21sin9 B.21cos9 C.cos9D.sin9 10.若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，2π ]=（） A.-2πB.-πC.-1D.0 11.f(z)=2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（） A.0B.1C.2D.3 12.z=0为函数cosz 1的（） A.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点 13.f(z)=)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n n n z )( B.∑∞=-021n n z )z ( C.∑∞=-02n n )z ( D.∑∞=---0121n n n )z ()(14.线性变换ω=iz z i +-（） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<115.函数f(t)=t 的傅氏变换J [f(t)]为（）A.δ(ω)B.2πi δ(ω)C.2πi δ'(ω)D.δ'(ω)二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)16.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.17.若cosz=0，则z=________.18.设f ′(z)=?==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜，55d ζz)( cos e 2________.19.幂级数∑∞=1n n n z n !n 的收敛半径是________.20.线性映射ω=z 是关于________的对称变换.三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)21.计算复数z=327-的值.22.已知调和函数v=arctg xy ,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 23.设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.24.求积分I=?+C dz z i 的22值，其中C ：|z|=4为正向. 25.求积分I=?+C zdz )i z (e 的42值，其中C ：|z|=2为正向. 26.利用留数计算积分I=?C zsinzdz ，其中C 为正向圆周|z|=1. 27.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数.28.将函数f(z)=()22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数. 四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。
复变函数自考试题和答案
复变函数自考试题和答案### 一、单项选择题1. **复数的代数形式**设复数 \( z = a + bi \)，其中 \( a, b \) 是实数，\( i \) 是虚数单位，满足 \( i^2 = -1 \)。
A. \( z \) 是实数B. \( z \) 是虚数C. \( z \) 可以是实数也可以是虚数D. \( z \) 既不是实数也不是虚数**答案：C**2. **复数的模**设 \( z = 3 + 4i \)，求 \( |z| \) 的值。
A. 5C. 12D. 25**答案：A**3. **复数的辐角**设 \( z = 3 + 4i \)，求 \( \arg(z) \) 的值。
A. \( \frac{\pi}{4} \)B. \( \frac{\pi}{3} \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \frac{3\pi}{4} \)**答案：B**4. **复数的乘法**设 \( z_1 = 1 + i \) 和 \( z_2 = 1 - i \)，求 \( z_1 \cdot z_2 \) 的值。
A. 2B. 0C. -2**答案：A**5. **复数的除法**设 \( z_1 = 1 + i \) 和 \( z_2 = 1 - i \)，求 \( \frac{z_1}{z_2} \) 的值。
A. \( i \)B. \( -i \)C. 1D. -1**答案：C**## 二、填空题1. 复数 \( z = a + bi \) 的共轭复数是 \( \overline{z} =\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
**答案：\( a - bi \)**2. 复数 \( z = 2 + 3i \) 的模是 \( |z| = \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
**答案：\( \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \)**3. 复数 \( z = 2 + 3i \) 的辐角是 \( \arg(z) = \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
全国高等教育自学考试复变函数与积分变换真题与答案
全国2011年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设复数z 1cos i sin 33ππ=++，则arg z=（ ） A.-3π B.6πC.3πD.23π2.w=z 2将Z 平面上的实轴映射为W 平面的（ ）A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴3.下列说法正确的是（ ）A.ln z 的定义域为 z>0B.|sin z|≤1C.e z ≠0D.z -3的定义域为全平面4.设C 为正向圆周|z|=1，n Csin zdz z ⎰=2π i ，则整数n 为（ ）A.-1B.0C.1D.2 5.设C 为正向圆周|z|=2，则2Czdz z ⎰=（ ）A.-2πiB.0C.2πiD.4πi6.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=2C sin 6d (z)πςςς-⎰，则f′(1)=（ ）A.-3i 36π B.3i 36π7.设nn n 0a z∞=∑n n n 0b z ∞=∑和n n n n 0(a b )z ∞=+∑的收敛半径分别为R 1，R 2和R ，则（ ）A.R=R 1B.R=min{R 1,R 2}C.R=R 2D.R≥min{R 1,R 2}8.罗朗级数nn n 1n 0n 01z z 2∞∞-==+∑∑的收敛域为（ ） A.|z|<1 B.|z|<2C.1<|z|<2D.|z|>29.已知sinz=n 2n 1n 0(1)z (2n 1)!+∞=-+∑，则Res 4sin z,0z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（ ）A.1B.-13!C.13! D.15!10.整数k≠0，则Res[cot kz, π]=（ ） A.-1k B.0 C.1kD.k 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2005年复变函数与积分变换试题及解答.
复变函数与积分变换试题2005.11系别___________ 班级__________ 学号__________________ 姓名___________一、填空（每题3分，共24分）1．复数()ii z --=1132的模为_________，辐角为____________.2．曲线()2z i t =+在映射2w z =下的象曲线为____________.3．ii =____________.4．0z =为函数()81cos zf z z-=的_____级极点；在该点处的留数为_____. 5．函数()Im Re f z z z z =-仅在z =____________处可导.6．设()2sin2f z d zξπξξξ==-⎰Ñ，其中2z ≠，则()1f '=_______.7. 在映射2w z iz =-下，z i =处的旋转角为_______，伸缩率为______.8．已知()()()()12,,tf t e u t f t tu t ==则它们的卷积()()12f t f t *=____________.二、（10分）验证()22,22v x y x y x =-+是一调和函数，并构造解析函数()f z u iv =+满足条件()2f i i =-.三、计算下列各题（每小题5分，共25分）：1．41cos z d z z=⎰Ñ . 2．211z z z e d z z π+=+⎰Ñ . 3.211sin d πθθ+⎰. 4.()2224x d x x+∞-∞+⎰.5. 用留数计算()220cos (0,0)bx I b dx a b x a +∞=>>+⎰，由此求出()221F aωω=+的傅里叶(Fourier)逆变换. 四、（12分）把函数()211f z z =+在复平面上展开为z i -的洛朗级数.五、（6分）试求Z 平面上如图所示区域在映射z iw iz iπ+=--下的象区域.六、（8分）求一保形映射，把区域30Im 2Re 0z z π⎧<<⎪⎨⎪<⎩映射为区域1w <.七、（8分）用拉普拉斯(Laplace)变换求解微分方程2ty y e ''''+=满足初始条件()()()0000y yy '''===的解.八、证明题：（7分）1． 设函数()f z 在区域()00z z R R r -<>>内除二阶极点0z 外处处解析，证明：()()04z z rf z dz i f z π-='=-⎰Ñ .（4分）2． 求积分1z z e dz z =⎰Ñ，从而证明：()cos 0cos sin e d πθθθπ=⎰.（3分）复变函数与积分变换评分细则一、填空1．, 5/12π- 2． 43v u =3．22k e ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭4． 6, 0 5．（0，-1）6．07.2π, 18．1tt e --+二、0,4,4=+-==yy xx yy xx v v v v ，故),(y x v 为调和函数。
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全国2005年4月高等教育自学考试
复变函数与积分变换试题
课程代码：02199
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设z=3+4i,，则Re z 2=( ) A ．-7
B ．9
C ．16
D ．25
2．下列复数中，使等式z
1
=-z 成立的是( ) A ．z=e 2πi B ．z=e πi C ．z=
i 2
e π
-
D ．z=
i 4
3e π
3．设0<t ≤2π,则下列方程中表示圆周的是( ) A ．z=(1+i)t
B ．z=e it +2i
C ．z=t+t
i
D ．z=2cost+i3sint
4．下列区域为有界单连通区域的是( ) A ．0<|z-i|<1
B ．0<Imz<π
C ．|z-3|+|z+3|<12
D ．0<argz<4
3π
5．若f(z)=u+iv 是复平面上的解析函数，则f '(z)=( )
A ．y u i x u ∂∂+∂∂
B ．x v i
y v ∂∂+∂∂ C ．
x
v
i
x u ∂∂-∂∂ D ．
x
v
i
y v ∂∂-∂∂ 6．设f(z)=⎪⎩⎪
⎨⎧≠=-0z ,z
e 0
z ,A 1z 在整个复平面上解析，则常数A=( )
A ．0
B ．e -1
C ．1
D ．e
7．设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数，则实常数a,b 为( ) A ．a=-1,b=1 B ．a=1, b=1 C ．a=-1,b=-1
D ．a=1,b=-1
8．设z 为复数，则e -iz =( ) A ．cosz+isinz
B ．sinz+icosz
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C ．cosz-isinz
D ．sinz-icosz 9．设f(z)和g(z)在有向光滑曲线C 上连续，则下列式子错误．．的是( ) A ．⎰⎰=z
C
dz )z (f )z (g dz )z (f )z (g
B ．⎰
⎰
-
-
=C
C ,dz )z (f dz )z (f 其中C －
为C 的反向曲线
C ．⎰⎰⎰±=±C
C
C
dz )z (g dz )z (f dz ))z (g )z (f (
D ．
⎰⎰=C
C
dz )z (f 3dz )z (f 3
10．设C 为从-I 到I 的左半单位圆周，则⎰=C
dz |z |( )
A ．i
B ．2i
C ．-i
D ．-2i 11． 设C 为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为．．0的是( ) A ．
⎰-C dz 1
z z
B ．⎰
C
3zdz cos z
C ．⎰
C dz z
z sin
D ．⎰
-C z
dz 3
z e
12．设D 是单连通区域，C 是D 内的正向简单闭曲线，则对D 内的任意解析函数f(z)恒有( )
A ．f(z)=⎰
ζ-ζζπC d z )
(f i 21, z 在C 的外部
B ．f (n)(z)=⎰
ζ-ζζπ+C 1
n d )z ()
(f i 21，z 在C 的内部，n ≥2
C ．f (n)(z)=
⎰
ζ-ζζπC n
d )z ()
(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2
D ．f (n)(z)=
⎰
ζ-ζζπ+C 1
n d )z ()
(f i
2!
n ，z 在C 的内部，n ≥2
13．复数列的极限n
e lim in
n ∞→是( )
A ．1+i
B ．∞
C ．1
D ．0
14．z=i 是f(z)=2
2)1z (1
+的( )
A ．一阶极点
B ．二阶极点
C ．本性奇点
D ．解析点
15．映射w=2z+z 2在点z 0=1+i 处的伸缩率为( )
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A ．25
B ．35
C ．22
D ．52
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 16．arg(1+i)= .
17．设z=x+iy, 则曲线|z-1|=1的直角坐标方程为 . 18．设f(z)=ze z , 则=')z (f .
19．设函数f(z)在单连通区域D 内解析，且F(z)=⎰
ζζ0
z d )(f , 其中z,0D ∈, 则)z (F '= .
20．Res ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡0,e z 1= . 三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 21．求方程cosz=5在复平面上的全部解.
22．讨论函数w=xy-x+iy 2的可导性，并在可导点处求其导数.
23．设Ｃ为正向圆周|z-2|=1,计算I=⎰
-C 3
3
dz )2z (ze .
24．设C 为从0到1+2i 的直线段，计算积分I=⎰
C
zdz Re .
25．(1)将函数
z
1
在点z=-1处展开为泰勒级数； (2)利用以上结果，将函数f(z)=2z
1
在点z=-1处展开为泰勒级数.
26．求函数f(z)=)
1e ()1z (1
z
2--的全部孤立奇点. 若为极点，则指出其阶数. 27．将函数f(z)=)
2z )(1z (1
--在圆环域1<|z|<2内展开为罗朗级数.
28．设f(z)=5z
2z
e .
(1)计算Res[f(z),0]
(2)利用以上结果，计算积分I=
⎰C
dz )z (f , 其中C 为正向圆周|z|=1.
四、综合题(下列3小题中，29题必做，30、31题中选做一题。
每小题10分，共20分)
29．(1)求f(z)=16
z z 42
+在上半平面内所有的孤立奇点，并说明它们的类型；
(2)计算f(z)在上半平面内各个孤立奇点的留数；
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(3)利用以上结果计算广义积分I=
⎰
+∞
+0
42
dx 16
x x .
30．设D 为Z 平面上的带形域0<Imz<1. 试求以下保角映射： (1)w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面上的带形域0<Imw 1<π；
(2)w 2=f 2(w 1)把带形域0<Imw 1<π映射成W 2平面的上半平面； (3)w=f 3(w 2)把W 2平面的上半平面映射成单位圆盘|w|<1； (4)综合以上三步，求保角映射w=f(z)把D 映射成单位圆盘|w|<1. 31．(1)求cost 的拉氏变换F [cost]
(2)设F(p)=F [[y(t)], 其中函数y(t)可导，而且y(0)=0.求F [[)t (y '].
(3)利用拉氏变换解常微分方程的初值问题 ⎩
⎨⎧==-'0)0(y t
cos 2y y。