倒易点阵与衍射

磁学与磁性材料
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倒易点阵的图形表示
图3是用平面图像表明立方 系晶体与其倒易点阵的关 系 可以看出，H矢量的长度 等于其对应晶面的间距的 倒数，且与晶面相垂直。 必须指出，像nh,nk,nl(n 为整数)这样的倒易阵点， 对应着与（hkl）平行且间 距为其1/n的点阵面。如图 3中的H220平行于H110，且 是H110的两倍。
厄瓦尔（Ewald）图解是衍射条件的几何表达法。 布拉格方程为2dsin θ=λ,并令Hhkl=k/dhkl中的比例 系数为λ，则Hhkl=λ/dhkl,代入布拉格方程得： sin θhkl=Hhkl/2 上式表明，某族反射面（hkl）所对应的布拉格角 的正弦等于其倒易矢量长度之半。可以用两维简图 来表示上述关系。
H
Phkl
(hkl)
O
X
图1.晶体点阵中的晶面与倒易点 阵中倒易矢量的关系
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一、倒易点阵基础
从原点到Phkl点的 矢量称为倒易矢 量，其大小为： Hhkl=k/dhkl
式中k位比例系数，在多 数场合下取作1，但很多 时候亦可令之等于X射线 的波长。
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一、倒易点阵基础 真点阵中的一组晶面 （hkl），在倒易空间 中将用一个点Phkl表示
点子与晶面有倒易关 系，这种关系表现为： 点子取在（hkl）的法线 上，且Phkl点到倒易点 阵原点的距离与晶面间 距成反比。
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Z
Y N
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倒易矢量的数学定义
a*·a=c*·c=b*·b=1 同文字的倒易矢量与正矢量的 数量积为1的图形解释见图2. 从图2可知，c cosδ是（001） 面的面间距d001，因此： c*·c=c* c cosδ=c*d001=1 可得 c*=1/d001 b*
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倒易点阵的应用举例
3、晶带与晶带轴 若干个晶面族同时平行于某一轴向时，则这些晶面族属于 同一晶带，而这个轴向就称为晶带轴。 设晶带轴矢量= u a+v b+w c 晶面族的任一个晶面的倒易矢量= h a*+k b*+l c* 若两个矢量互相垂直，则其数量积必为零，故 （u a+v b+w c）·（h a*+k b*+l c*）=0 简化可得： h u+k v+l w=0 这就是判别晶面是否平行于某晶向的条件。
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d P a B θ 1 2θ A t b
图6.在倒易空间中反射的几何条件 a—入射线；b—反射球； C—反射线；d—反射线方向。
c θ θ
R t
Hhkl O
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三、厄瓦尔（Ewald）图解
将倒易点阵置于反射球中， 就可将衍射和倒易点阵联系 起来。 如图6，以O点作为倒易点阵 原点，而入射线的方向BO与 倒易点阵的基本平移矢量一 致。在这种情况下，所有落 到球面上的结点均处于射线 束的反射位置。例如有一个 倒易结点落到球面的P点 处，则反射线的方向将与反 射球的中心A到P点的连线相 平行。
倒易空间不同点阵面与反射球相交的投影示意图
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几点讨论 （2）如果晶胞的尺寸增加，倒易点阵参数将较小， 各个结点将更互相靠近，从而使它们与反射球交 截得几率更大，衍射斑点也更靠近。 （3）如果用于照射晶体的X射线波长较短，则反射 球的半径增大，这时能落到球面上的结点当然亦 会增多，增加晶体衍射的光点数目。
劳埃衍射方程
a·(S-S0)=a(cosα-cos α0)=hλ
b·(S-S0)=b (cos β -cos β0)= kλ c· (S-S0)=c(cos γ -cos γ0)=lλ
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二、衍射方程
(S-SO）/ λ=ha*+kb*+lc*=Hhkl
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几点讨论
（4）理想晶体的倒易点阵是规则排列阵点。但当晶体为薄 片状时，由于在某个方向上的原子数目过少，其倒易点阵 将演化成细圆棒；而针状晶体的倒易点阵将由一组平行的 平面组成。如果晶体在三维方向上原子数目都很少，其倒 易结点将变成漫散的体积。于是，这时的衍射线条会宽化。 （5）如果一个相当大的晶体中出现了一些针状或片状的不 均匀区域，且二者具有共格关系（如铝合金中的沉淀GP 区），这时将在高密度的倒易结点处出现一些薄片状或细 圆棒状的异常散射区，在X射线衍射花样上将可看到通过 某些衍射斑点的强度较低的条痕。有时反射球面和倒易点 虽不相遇，但却通过这些异常散射区域，则微弱的条痕将 单独出现在衍射花样中。
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d P Hhk θ t 2 θ l A θ O t b
图6.在倒易空间中反射的几何条件 a—入射线；b—反射球； C—反射线；d—反射线方向。
c
R
a B
θ 1
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几点讨论
（1）反射球是立体 的，所以真实图像 时不同的倒易点阵 与不同的球面相 交，空间衍射点分 布在不同半径的圆 上。但实际记录往 往是二维的。 如图反射球与 倒易点阵结点相交 的投影。
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倒易点阵与衍射
西安交通大学 材料物理系 宋晓平
2008.07
1
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一、倒易点阵基础 倒易点阵是一种数学方法 利用这一概念，可使晶体几何的问题大为简化。 对于一般的衍射现象 其解释变得更加简单 理解亦可更加深入。 对于复杂的衍射效应， 它可以提供必要的门径。
δ=On-Am=OA·S-OA·SO=OA·(S-SO)
1
Hhkl
2
t
O
θ
m
A θ
θ n
s t s - s0 s0
相应的位相差为：
Φ=2πδ/λ=2π（(S-SO）/ λ) · OA 图5、衍射关系说明图 1-入射线； 2-衍射线
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二、衍射方程
O
1
Hhkl
2
t
θ
m
A θ
θ n
s t s - s0 s0
图5、衍射关系说明图 1-入射线； 2-衍射线
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二、衍射方程
(S-SO）/ λ=ha*+kb*+lc*=Hhkl
劳埃方程的推导。
对衍射矢量方程的两边分别 点乘a,b,c 则可得：
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一、倒易点阵基础 晶体由质点按一定的规律排列而成，如果将这种 周期排列规律抽象出来，就是空间点阵。 将空间点阵（真实点阵或实点阵）经过倒易变 换，就得到倒易点阵。 倒易点阵的外形也很像点阵，但其上的结点并不 代表质点，而是对应着真点阵的一组晶面。
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几点讨论 （6)当X射线以固定的方向照射不动的单晶体时，有 可能倒易点与反射球不相交。这时可采用连续X射 线谱，此时将有一整套半径连续变化的反射球， 故倒易结点有机会与球面相交，这就是劳埃法。 （7）当用单色X射线照射单晶体时，常使X射线与晶 体某主轴垂直，并使晶体围绕此晶轴旋转或回 摆，此时，晶体的倒易点阵亦将围绕过原点并与 反射球相切的一根轴旋转或摆动，于是某些结点 将瞬时地与静止的反射球相交，这就是周转晶体 法，或回摆晶体衍射法。
δ
c*
c b γ (001)
O
a
a*
图2.晶体点阵基矢与倒易 点阵基矢的关系
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倒易矢量的数学定义 从以上定义可知： （1）如果正点阵晶轴相互垂直，则 倒易轴亦相互垂直且平行于晶轴。 （2）倒易矢量可以表征真点阵（hkl） 晶面的方位，而H（hkl）的长度可以 表示（hkl）的晶面间距dhkl.
布拉格衍射方程的推导： （s-s0）/λ=(s sinθ+s0sin θ)/λ =(2 sin θ)/λ=H=1/d 故可得布拉格方程： 2d sin θ= λ
1
Hhkl
2
t
O
θ
m
A θ
θ n
s t s - s0 s0
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三、厄瓦尔（Ewald）图解
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三、厄瓦尔（Ewald）图解
以单位半径作园，以圆直径为斜边的 内接三角形均为直角三角形。Θ是斜 边与一直角边的夹角，而H是对边， 可看出，△BOP满足上述关系 H是晶面（hkl）的倒易矢量，它垂直 于晶面（hkl），图中 t-t 是该晶面的 迹线。 若BO为入射X射线，且它与(hkl)呈布 拉格角，则反射方向为OR,而AP与 它有同一方向。在三维空间中，所有 类似的内接于球中的三角形均遵循着 上述关系。 若X射线束沿着这单位半径的球的直 径通过，则所有球面上的点均满足布 拉格反射条件，于是它被逻辑地命名 为“反射球”，亦称厄瓦尔（Ewald） 球。
Z
Y N
H
Phkl
(hkl)
O
X
图1.晶体点阵中的晶面与倒易点 阵中倒易矢量的关系
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倒易矢量的数学定义
设真点阵的基本平移矢量为 a b c
设倒易点阵的基本平移矢量为 a* b* c* a*·b=a*·c=b*·a=b*·c=c*·a=c*·b=0 不同文字的倒易矢量与正矢量的数量积为零，其涵义为 a*⊥b及c; c* ⊥a及b; b*⊥a及c。 a*·a=c*·c=b*·b=1 同文字的倒易矢量与正矢量的数量积为1.
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二、衍射方程
倒易点阵不仅可使晶体几何 学问题的解决简化，更为重 要的是同衍射问题相联系。 设入射光波长为λ，其方向 由单位质量 S0 表示；衍射光 方向由单位矢量 S 表示。 设晶体沿三个轴方向的的那 位矢量为 a, b, c. 若希望 在 S 方向上的散射加强，则 在与此相垂直的波阵面上， 晶体中各原子的散射线的位 相必须相同。
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1
Hhkl
2
t
O
θ
m
A θ
θ n
s t s - s0 s0
图5、衍射关系说明图 1-入射线； 2-衍射线
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二、衍射方程
过 O 作垂直于 SO 的波阵面得 m 点；又过 A 作垂直于 S 的 波阵面得 n 点，则 O 和 A 两个原子的散射线在 S 方向 上的程差为：
4埃
0.25埃-1
(010)
b
(110) (210)
020
120 110
220
(100) 010
210
b*
H110
H210
c
a
000
c* a*
100
200
图3. a=4埃 的立方晶体及其倒易点阵
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倒易点阵的应用举例 1、单胞体积 c* 单胞体积等于底面积乘高。 底面积为 a b sin γ=a×b 高是（001）面的面间 距，为 c cosδ 故体积： O V= a b sin γ c cosδ
若(S-SO）/ λ) 恰好为倒易矢量，即 (S-SO）/ λ=ha* +kb*+lc* 则有： Φ=2πδ/λ=2π（(S-SO）/ λ) · OA = 2π（ha*+kb*+lc*）·（pa+qb+rc） = 2π(hp+kq+lr ) 为2π的整数倍，满足衍射加强条件。 因此： (S-SO）/ λ=ha*+kb*+lc*=Hhkl 是获 得衍射的必要条件的矢量方程。式 中hkl 为整数。
=（a×b）· c =（b×c）· a =（c×a）· b
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b*
δ
c b γ (001) a
a*
图2.晶体点阵基矢与倒易 点阵基矢的关系
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倒易点阵的应用举例
2、晶面间距 Hhkl=1/dhkl，两边平方得： H2=1/d2=H · H=（ha*+kb*+lc*）·（ha*+kb*+lc*）= =h2a*2+k2b*2+l2c*2+2hk(a* · b*)+2kl(b* ·c*)+2kl(b* ·c*) 对立方晶系 a*2=b*2=c*2 ，(a* · b*)=(b* ·c*)=(b* ·c*)=0 代入上式得： 1/d2=h2a*2+k2a*2+l2a*2=(h2+k2+l2)a*2= =(h2+k2+l2) / a2 故: d= a / √ h2+k2+l2 对其他晶系，把参数带入公式中，可求出晶面间距。