第18篇第1节含参变量的反常积分

不 摧
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第十八章 含参变量的反常积分
魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法
知 难
(1).对于含参量积分I(y)= （f x，y）dx有 a
而
进
设有函数 F(x) ,使得
,
| f (x, y) | F(x), a x , c y d,
无
若
F (x) dx 收敛，则I ( y)
A
A
A
难 而
因为 F ( y) dy收敛，所以由广义积分一致收敛
的柯西c 准则，有
进
,
A
0,
A0 c,
A, A A0,
| F( y) dy | A
从而 x [a, b]
无 坚
A
A
A f (x, y)dy A F( y)dy
不 摧
所以 f (x, y) dy 关于 x [a, b] 一致收敛。 c
知 难 而
设有函数 F(y) ,使得
进
,
f (x, y) F( y),a x b,c y .
若 F( y)dy 收敛， c
无 坚
则I(x)= f (x, y)dy 关于x[a,b]上一致收敛. c
不 摧
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第十八章 含参变量的反常积分
知
证明
A
A
A
f (x, y)dy | f (x, y) |dy F(y)dy
I(y)= +f(x,y)dx在[c,d]上连续. a
c f (x, y)dy
进
,
都收敛,则它的值是 x 在区间 [a,b] 上取值的函数,
记作: I(x)
f (x, y)dy,
x [a,b]
c
无 坚
称为定义在 [a,b] 上的含参量 x的无穷限反常积分,
不
或简称为含参量反常积分.
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第十八章 含参变量的反常积分
含参量反常积分一致收敛的定义
无
则含参量反常积分
f (x, y)g(x, y)dy
c
坚
在[a, b]上一致收敛.
不
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第十八章 含参变量的反常积分
三、含参量反常积分一致收敛的性质
知
1. 连续性定理
难 而
(1) 设f (x, y)在{(x, y) | a x , c y d}上连续,
进
,
I ( y) f (x, y)dx在[c,d]上一致收敛,则函数 a
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第十八章 含参变量的反常积分
(2). 含参量瑕积分
设I(x)= d f (x, y)dy对于x [a,b]有奇点y d， c
知 难 而
又对每一个x，这个有奇点的瑕积分存在，
进
,
若 0, 0 ( )(与x （a，b）无关），
使当0 , 0 ( )时，
d f (x, y)dy 或 d f (x, y)dy ,
d
d
无 坚 不
则称含参瑕积分I(x)= d f (x, y)dy在[a，b]上一致收敛. c
摧
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第十八章 含参变量的反常积分
二.含参量反常积分一致收敛的判别方法
知
一致收敛的柯西准则:
难 而
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的 c
,
进
充要条件是 0,M c,A1, A2 M ,x [a,b],
y)dy
无 坚
在[a, b]上一致收敛.
不
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第十八章 含参变量的反常积分
狄利克雷判别法;
知
若 (i) N c,含参量反常积分 N f (x, y)dy c 对参数x在[a, b]上一致有界,
难 而 进
(ii) x [a,b],函数g(x)关于y是单调递减
,
且当y 时对参量x, g(x, y)一致地收敛于0,
第十八章 含参变量的反常积分
知
主要内容
难
1.含参量反常积分的定义
而
进
,
2.含参量反常积分一致收敛的定义
无
3.含参量反常积分一致收敛的判别方法
坚
不
4.含参量反常积分一致收敛的性质
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第十八章 含参变量的反常积分
知
本节研究形如
难
a f (x, y) dx
而 进
,
b
f (x, y) dx,
f (x, y) dx
a
a
坚 不
关于y [c, d]一致收敛.
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第十八章 含参变量的反常积分
知
证明
A
A
A
f (x, y) dx | f (x, y) |dx F(x) dx
A
A
A
难
因为
F(x) dx
收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西
a
准则，有
而 进
,
A
0,
知
难
(1). 含参量无穷广义积分
而
对于含参量反常积分c f (x, y)dy 与函数 I(x)
进
,
若 0,A0() c,A, A A0,x[a,b],都有
A f (x, y)dy 或
f (x, y)dy ,
A
A
无 坚
则称含参量反常积分 f (x, y)dy在 [a,b] c
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上一致收敛于I (x).
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第十八章 含参变量的反常积分
知
阿贝耳判别法:
难
若 (i) c
f ( x, y)dy 在[a,b]上一致收敛;
(ii) x [a,b],函数g(x, y)为y的单调函数,
而 进
,
且对参量x, g(x, y)在[a,b]上一致有界
则含参量反常积分
c
f
( x,
y)g( x,
都有
无 坚
A2 f (x, y)dy . A1
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第十八章 含参变量的反常积分
知
一致收敛的柯西准则:
难
而
含参量反常积分 f (x, y)dx 在 [c,d]上一致收敛的 a
进
,
充要条件是 0,M a,A1, A2 M ,y [c,d],都有 无
坚
A2 f (x, y)dx . A1
( b为瑕点 )
a
无
的含参变量广义积分(无穷限积分，无界
坚
函数的积分)的连续性、可微性与可积性。
不
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第十八章 含参变量的反常积分
一.含参量反常积分及一致收敛定义
知 难
设 f (x, y)定义在无界区域 R(x, y) a x b,c y
而
若对每一个固定的
x [a,b], 反常积分
A0 a,
A, A A0 ,
| F (x) dx | A
从而 y [c, d]
无
坚
A
A
A f (x, y) dx A F(x) dx
不
所以 f (x, y) dx 关于 y [c, d] 一致收敛。 a
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第十八章 含参变量的反常积分
魏尔斯特拉斯判别法:
(2).对于含参量积分I(x)= （f x，y）dy有 c