均值不等式的推广形式及其运用
均值不等式课件
在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$，其中$x, y$为向量，$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等 式，表示两个或多个正数的平均数与 它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等 式、柯西均值不等式、排序均值不等 式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种，包括 利用导数证明、利用矩阵的迹证明、 利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等
。
柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$，有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用
均值不等式的推广
11 A1 r(fr) = m i
r -a 0
之 一 ~x生一+一 yn 十 ‘ 0 一 一 -一 一 z' 一 4
证明: (1)因 为M,.(a)关于r 在(- x .+x )上严格单调递增。 x" 十v闷 z4,粤 犷+ 沪+ 扩、 十 x2+ v2+ z}. 1
所 咬一 一 )’ 以一 了 一 2(一下 一 )‘ 厂一
一 + — + …+ — ‘
令x,. =a," Ina,， = a户 = 1,2,，， ， 、 (: 一n)
当r>0 时， (r) > 0 =::>g(0) = 0 =:>1 (r) > o(i = 1.2,. ,n) g ;
(4平 均=a an--n。 ) 方 。了 '+-a 平 ， i+
则以上平均值的关系为H s G 5 r1 5 Q ， ) 关于均值不等式的证明这
。本文着重讲述了这几种均值不等式之间的关系 ， 对他们之间的关系加以推广 ， 并给予证明。
: 不等式在初等数学中占有重要的地位。不等式的证明经常要用到算术平均值、几何平均值、调和平均值和平方平均值之间
文献标识码: A 文章编号: 1672- 3791(2007)12(a 卜0139- 01
关键词: 不等式 平均值 中图分类号: TP 3
证明 由 M,.(a) 的 定义知 当r # 0 时， 易得M, (a)关于r 在(一 ， +00)上 连续: 根据函数在一点连续的定义 ， 当r = 0时， 只要当r - 0时， 4 M,(a)的 极限 于Vala2...a. ， 可证明 (a)关 厂 等 即 M, 干 在(‘ ， )上连续。 +二
均值不等式推广的应用举例
均值不等式推广的应用举例以均值不等式推广的应用举例：1. 优化生产过程：假设某公司有多个工厂，每个工厂的产量不同。
为了提高整体产量，可以将生产任务分配给产量较低的工厂，以提高整体平均产量。
2. 管理团队的绩效评估：假设一个公司有多个部门，每个部门的绩效不同。
为了提高整体绩效，可以将资源和项目分配给绩效较低的部门，以提高整体平均绩效。
3. 资源分配：假设一个国家有多个地区，每个地区的发展水平不同。
为了促进整体发展，可以将资源和投资分配给相对较落后的地区，以提高整体平均水平。
4. 教育资源的分配：假设一个城市有多所学校，每所学校的教育质量不同。
为了提高整体教育水平，可以将更多的教育资源分配给教育质量较差的学校，以提高整体平均水平。
5. 投资组合优化：在投资组合中，不同的资产具有不同的收益和风险水平。
为了降低整体风险，可以将资金分配给风险较低的资产，以提高整体平均风险水平。
6. 健康管理：假设一个社区中有多个家庭，每个家庭的健康状况不同。
为了改善整体健康水平，可以将医疗资源和健康服务优先提供给健康状况较差的家庭，以提高整体平均健康水平。
7. 环境保护：假设一个地区有多个工业企业，每个企业的环境影响不同。
为了改善整体环境质量，可以加强对环境影响较大的企业的监管和管理，以提高整体平均环境质量。
8. 城市规划：在城市规划中，不同的地区具有不同的功能和发展潜力。
为了实现整体均衡发展，可以将资源和投资分配给发展潜力较大的地区，以提高整体平均发展水平。
9. 食品安全：假设一个国家有多个农田，每个农田的农产品质量不同。
为了保障整体食品安全，可以加强对农产品质量较低的农田的监管和管理，以提高整体平均食品质量。
10. 社会福利分配：假设一个社会有多个群体，每个群体的福利水平不同。
为了实现整体社会公平，可以将福利资源分配给福利水平较低的群体，以提高整体平均福利水平。
以上是以均值不等式推广的应用举例，通过合理的资源分配和管理，可以提高整体水平，实现更好的平衡和发展。
均值不等式
均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件（一） 原型： ;2:22ab b a R b a ≥+∈，都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有：、、对于任意的正数（二） 均值不等式：任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） （等号仅当a b c ===d 时成立） （三）均值不等式常见的变形时取得最小值）为常数，则若时取得最小值）（注意当且仅当的最小值为，则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若（注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式：① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+（可以推广到n 的情形）【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）的几何意义ab b a 222≥+：如右图，不妨设0>>a b ，两个正方体的体积 之和为22b a +，两个矩形的面积之和为：ab 2 显然，这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有：、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2： 【其一】分析：设ab x =，其意义是什么？联想到圆幂定理：ab x =2如右图：设a AB =，b AC =，则a b BC -=，以BC 为直径作圆，切线AD 与圆相切于D 点，则有：AD=ab ，AO=2ba +（为什么？）. 显然，AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义）（ab b a ≥+22： 如右图，设a AC =，b AB =，中点为BC D ，则，2b a AD +=，正方形ADEF 的面积=22）（b a + 矩形ACHG 的面积= ab ，这两面积的差= MHNE S 矩形，（为什么？）即22）（b a +=ab +S 矩形（注意：CD EN S S 矩形=（3）如右图：设a AC =，则，2ba AD +=， 则222b a +而b a ）（22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22）（b a ++MNG S ∆（为什么？）ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+）（）成立的是（则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证：、、）已知：（，证明：、、）已知：、（ 【方法三种：均值不等式、构造函数的方法、配方法】（一）应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明：log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈）（、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+），求证：（、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、）（；（）（求证：，若、设 9111 (3)≥++c b a ； ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证：、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a ）（，求证：、设【第（1）题方法：具有代表性，五种方法。
均值不等式的推广形式及其运用
教学实践2013-05均值不等式是高中数学的重要内容,由于其在求最值方面的特殊功效,因此也一直是高考考查的热点与重点,是中学数学中不可或缺的一部分.但回顾中学数学的均值不等式部分,我们不难发现,由于高中生水平的限制,到高中课程完结,我们学到的均值不等式的几种常见形式可以用来解决的问题是极为有限的,在本文中,我将在中学所学到的均值不等式的内容进一步推广并将其运用技巧进一步归纳总结.1.均值不等式定理及其推广后的结论均值不等式定理:设a 1,a 2,…a n 为正数,则a 1+a 2+…+a n n ≥a 1,a 2,…a n n√;当a 1=a 2=…=a n 时等号成立.由此定理容易推出以下结论:结论1:设在点集D 中u i (x)≥0(i =1,2…n )存在点x 0∈D ,u 1(x 0)=u 2(x 0)=…=u n(x 0),那么若z =ni =1∑u i(x )≡常数,则y =ni =1∏u i (x )在点x 0处得最大值(z n )n ;若y =ni =1∏u i (x)≡常数,则z =ni =1∑u i (x)在点x 0处得最小值n y n√.结论2:设在点集D 中u i (x )≥0(i =1,2…n ),p 1,p 2,…p n 是正有理数,且存在点x 0∈D ,使得u 1(x )p 1=u 2(x )p 2=…=u n (x )p n ,那么若z =ni =1∑u i (x )≡常数,则y =ni =1∏[u i (x)]p ,在x 0处取得最大值;若y =ni =1∏[u i (x )]p =常数,则z =ni =1∑u i (x)在点x 0处得最小值.至此,我们克服了运用均值不等式来解决最值问题的两大瓶颈,以下我们就均值不等式及其推广结论对几种常见的代数函数通式求极值的条件进行推广,并用其求具体问题的极值.2.利用均值不等式及其推论求最值利用均值不等式求最值,必须:一正、二定、三相等.这三个条件中,“正数”条件往往可由题设得,而“定值”条件与“取等号”条件密切联系是我们解题的重点和核心,要满足这两个条件,需要一定的灵活性和技巧性,先看一道例题:如:求y=x 2(1-3x )(0<x <13)的最大值.分析:原式=49·3x 2·3x 2(1-3x )≤49(3x 2+3x 2+(1-3x )3)3=49×127-=4243当且仅当3x 2=1-3x ,即x =29时,y max =4243.2.1由上式一般化,我们来讨论通式y=ax n (b-cx m )(a ,b ,c ∈R +,n ,m ∈N +)定义域为D 的情况.模仿上式,要使应用均值不等式的各项之和为常数,必须使相同次幂的项之和为0,若次幂数不等,必将使高次幂分解成符合要求的低次幂的同时,凑上适合的系数,从而消掉某些项,得到定值.为满足(1)则必得n m =k ∈N +,即y =a (k c )k ·(c k·x m )k ·(b-cx m )此式若得到它的最大值则必须满足:c k ·x m =b -cx m >0⇒x 0=bc+c k m√>0.又c k·x m =b-cx m >0,故x 0=bc+ckm√.落在指定的定义域D 内,则可取到最大值,否则不能.我们接着讨论y=ax n ·(b-cx )m 的情况(a ,b ,c ∈R +,n ,m ∈N +).若此式想用均值不等式求最值,则必能化为:y =a (1k )n ·(kx )n ·(b-cx )m且nkx+bm-mcx=mb ⇒nk=mc kx=b-cx ⇒x 0=bk+c{又kx 0=b-cx 0>0即x 0=b k+c ,若落在定义域内则可以取到最大值,否则不能.2.2我们进一步讨论y=(a+bx )n -(c-dx )m (n ,m ∈N +,a ,b ,c ,d ∈R +),D 为函数定义域的情况.若此式能用降幂后采用均值不等式求最值,则必能化为:y =(1k )n ·(ka +kbx )n ·(c -dx )m 且nka+nkbx+mc-mdx=nka+mc ⇔nkb=md ⇔k=mdnb ka+kbx=c-dx ⇒x 0=c-kakb+d⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐由c-dx =c -cd-kad kb+d =c-c-ka kb d+1>0故x 0=c-ka kb+d ,若落在定义域内则可取到其最大值,否则不能.同理我们也可以判断:y =(a+bx )1m (c-dx )1n能否取到最大值,因为y =(a+bx )1m (c-dx )1n =[(a+bx )n(c-dx )m)]1mn.2.3我们再来考虑一下三个因式相乘的情况并且放宽对其因式的系数及次幂数的限制,y =(a 1+b 1x )p 1(a 2+b 2x )p 2(a 3+b 3x )p 3(b i ≠0,b i ≠b j ,i ≠j ,p i >0,i =1,2,3)且D 为满足a i +b i x >0的定义域.均值不等式的推广形式及其运用文/魏丽芳摘要:在高中对均值不等式认识的基础上进一步整理得到均值不等式定理和四个重要结论,并运用定理及其推广结论对多项式函数(包括由简单的两个因式相乘的多项式函数、三个因式相乘的多项式函数到四个因式相乘的多项式函数,甚至是五个因式相乘的多项式函数)求极值的条件进行推广,并用其求具体问题的极值。
[精品]均值不等式的推广
![[精品]均值不等式的推广](https://img.taocdn.com/s3/m/8ba6ac63f6ec4afe04a1b0717fd5360cba1a8dc0.png)
[精品]均值不等式的推广均值不等式是广义的数，是表示数论中所有的数学问题都是均值不等式的一种形式。
是从均值不等式在广义分布中所取的位置以及参数所对应的区间之和。
也是根据均值不等式的特征所求。
在实际应用中常用。
但均值不等式在应用中存在很多缺陷。
比如：均值不等式一般应用于一些较复杂的问题及较大系统中，但对于大部分情况则不适用。
因此很多时候它就成为一个较难解答的问题。
为了解决这一问题用很多方法解决这类问题，本文主要就均值不等式展开推导求解其数学原理和应用问题，并应用在实际数学中。
问题背景：求出均值不等式时可以选择在任意数点上分别取和对应到均值不等式中的任意点所对应到集合之中来推导出这个数项所对应的区间（或者整个区间）之中所对应到什么位置的点所对应的解，如果所对应到相应点，则这个点对应到什么位置上去了这个点所对应到集合上所对应到每个点之上的最大值便是该最值，那么我们把这个最值叫做“均值”。
求出这个点所对应到的均值不等式是有正负两个参数（一个）是一个常数且均不小于0,即它等于1.也就是我们说的1;或2.等于1.如果求出其中一个（或者另有）就取另有一定大小了所以就等于无穷大为最小值为无穷小(n)等式则不成立.当用均值不等式来求解时需证明。
应用范围：求均值不等式及应用在随机变量统计分析中常用到它来解决一般问题。
此问题由线性代数方程组和非线性方程组可以证明（二);本文结合实际应用得到如下具体应用为图1所示: a、当集不大于2时存在四个参数满足均值不等式的正解时，求出 a+ b分别对应最大值为 k的均值大小和范围（一般情况);且在求极限中有最小二乘支持项 B和 C即 A和 B之间也存在1、设给定的值 a为整数 n,且满足以下条件：、对任意一个均值不等式可得且其中设{}-{c}是满足其正解的集合。
所以求出 a+ b可得，由概率论的角度讲求解这个问题为常微分方程组（三）。
而不考虑函数 R是均值不等式中包含正解的唯一方程，其公式是 a? p| f 1+ f 2? f (g)=1.所以它即为均值不等式。
均值不等式及其应用ppt课件
2
2
2
ab
即 2
0，
ab ．
而且，等号成立时，当且仅当 ( a b ) 2 0 ，即a＝b．
值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正
实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比
67
如
2
42 一定是正确的．
均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还
可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它
4
y 4x
y 4x
y
4 ，当且仅当 y 4 x ，即 x 2 ， y 8 时等号成立，所以 x 4 .
4 min
又x
y
m2 3m 有解，所以 m2 3m 4 ，解得 m 1 或 m 4 .故选 D.
4
6.某批救灾物资随 41 辆汽车从某市以 v km / h 的速度匀速直达灾区，已知两地公
用来展示校友的书画作品.它的左、右两侧及顶部和底部都留有宽为 2 米的自由
C)
活动区域，如图所示，则整个书画展区域（大矩形）的最小面积是(
A.360 平方米
B.384 平方米
C.361 平方米
D.400 平方米
解析：设小矩形的一边长为 x 米，其邻边长为 y 米，整个书画展区域（大矩形）
的面积为 S 平方米.由 x 0 ， y 0 及 xy 225 ，得 S ( x 4)( y 4) xy 4 y 4 x
1
4
B.4
C.
1
2
D).
D.2
解析： a 0 ，b 0 ， 4 2a b 2 2ab （当且仅当 2a b ，即 a 1 ，b 2 时
《均值不等式及其应用》等式与不等式时均值不等式的应用时均值不等式的应用
要点二
避免直接代入
对于非标准形式的均值不等式，不能直接代入数值计算，需要先变形为标准形式。
考虑所有变量
在使用均值不等式时，需要注意所有相关变量是否都参与了运算，避免遗漏。
要点三
1
均值不等式的推广与拓展
2
3
均值不等式可以推广到多维空间，用向量和矩阵等工具进行更广泛的应用。
推广到多维空间
均值不等式可以与其他数学工具结合使用，如微积分、线性代数等，进一步拓展其应用范围。
求最值的方法
多个函数乘积的最值与均值不等式的关系
当多个函数乘积为常数时，均值不等式可以用来求多个函数乘积的最值。
求最值的方法
利用均值不等式求多个函数乘积的最值时，需要满足的条件是等号成立的条件，即等号成立时对应的自变量取值需要同时满足多个条件：一是对应的函数值取到最值；二是等号成立的条件。
多个函数乘积的最值
加速度公式
与物理有关的均值不等式
消费者价格指数（CPI）
是衡量一定时期内城乡居民所购买的生活消费品和服务项目价格变动趋势和程度的相对数，反映居民购买的消费品及服务的价格变动情况。
生产价格指数（PPI）
是反映全部工业产品出厂价格总水平变动情况的重要指标，可以用来衡量企业所购买的原材料、燃料和动力价格总水平的变化情况。
与经济有关的均值不等式
04
均值不等式的拓展应用
利用均值不等式证明勾股定理
$a^2 + b^2 \geq 2ab$，当且仅当$a = b$时等号成立。
利用均值不等式证明三角形的面积公式
$S = \frac{1}{2}ab\sin C \leq \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2$，当且仅当$a = b$时等号成立。
均值不等式教学课件ppt
均值不等式的形式与性质
基于基本不等式的证明：利用基本不等式证明均值不等式的方法是最常用的方法之一。
均值不等式的证明
均值不等式的应用
03
1
均值不等式在数学中的应用
2
3
利用均值不等式可以简洁明了地证明一些不等式成立。
证明不等式
通过运用均值不等式，可以求出函数的最值，使函数取得最优解。
解决最值问题
在求解一些方程时，运用均值不等式能够简化计算，提高解题效率。
均值不等式的现代形式
对于任意正数$a$和$b$，总有$(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
均值不等式的推广形式
均值不等式的定义
形式
均值不等式有许多形式，如$A \geq B \geq C \geq D$，其中A、B、C、D是实数或变量。
性质
均值不等式具有对称性、传递性和可加性等性质。
求解方程
03
生产计划
通过均值不等式，可以帮助生产厂家制定生产计划，实现产能和成本的最优配置。
均值不等式在经济学中的应用
01
投资组合选择
在确定投资组合时，利用均值不等式可以找到最优投资组合的比例，以实现最大收益。
02
资本预算
在资本预算中，运用均值不等式可以确定最优资本结构，以最小成本获得最大收益。
教学内容的难度和深度需要进一步调整和完善
虽然小组讨论的教学方式有助于培养学生的合作精神和思维能力，但在实际操作中容易出现小组讨论不够充分、讨论方向偏离主题等问题。因此，在今后的教学中，我将更加注重小组讨论的组织和引导，确保学生能够充分参与到讨论中，并沿着正确的方向展开讨论。
小组讨论的组织需要更加严谨
均值不等式公式总结及技巧应用典例解析
均值不等式应用知识梳理：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a=时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项 例1 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式的推广及应用
lnan
从而有
n n a a L 1 λ1 2 λ2 an λn≤
λ1 a1 +λ2 a2 +L+λn an λ1 +λ2 +L+λn
λ1 +λ2 +L+λn
由 Jensen 不等式取等号的条件知,当且仅当 λ1 a1 =λ2 a2 =Λ=λn an 时
上式等号成立.
注
1:当
λ1
=λ2
=Λ=λn
=
1 n
由(6)得
d c p＋n
Tn ≤
－1 －1 －1
－n
p＋2 ＋4 ＋8 ＋L＋2
－n
令 p＝2 ，得
姨 2 ·姨4 4 ·姨8 8L ·姨n 2n
－n
≤n＋2
科
●
【参考文献】
［1］ 匡 继 昌 . 常 用 不 等 式 [M]. 济 南 ： 山 东 科 学 技 术 出 版 社 ,2004．
［2］刘 鸿 雁 .由 Jensen 不 等 式 导 出 某 些 重 要 不 等 式 [J].成 都 大 学 学 报 ,2003（22、
【Key words】Average Inequality；Jensen Inequality；Strictly convex function
1.引 言
均值不等式在不等式理论中处于核心地位,是现代分析数学中应
用最广泛的不等式之一.巧妙地应用此不等式在求最值,比较大小,证
明不等式等各方面都可得到较为理想的解法.均值不等式的推广是均
值不等式的延伸,也是解题的重要依据之一.
定理 A(均值不等式) 设 a1 a2 Lan 为 n 个正数,则其算术平均,几何平
均与调和平均有:
均值不等式的猫狗公式(二)
均值不等式的猫狗公式(二)均值不等式的猫狗公式简介均值不等式是数学中一类重要的不等式，它用于描述一组数的平均值与其他统计量之间的关系。
其中，均值不等式的猫狗公式是一种特殊形式，适用于两个非负数之间的关系。
公式表达对于任意两个非负数a和b，猫狗公式可以表达为：a+b2≥√ab解释说明猫狗公式可以理解为“猫的平均体重一定不小于狗的平均体重”，即两个非负数的均值一定大于等于它们的几何平均。
对于具体的例子，我们可以取a=4，b=9进行解释说明。
根据猫狗公式，有：4+92≥√4⋅9132≥6$ ≥ 6$由此可见，猫狗公式成立，证明了猫的平均体重一定不小于狗的平均体重。
相关公式均值不等式的猫狗公式与一些相关的不等式密切相关，以下列举几个常见的例子：1.算术平均值与几何平均值的关系根据算术平均值与几何平均值之间的关系，有：a+b2≥√ab这与猫狗公式是等价的。
2.平均值不等式的更一般形式对于n个非负数a1,a2,...,a n，平均值不等式可以表达为：a1+a2+...+a nn≥√a1⋅a2⋅...⋅a nn这是猫狗公式的推广形式。
3.加权平均值不等式对于n个非负数a1,a2,...,a n，以及相应的权重w1,w2,...,w n，加权平均值不等式可以表示为：w1a1+w2a2+...+w n a n w1+w2+...+w n ≥√a1w1⋅a2w2⋅...⋅anw nw1+w2+...+w n这是猫狗公式的加权形式。
以上是猫狗公式的相关公式及其解释说明，它们在数学中具有重要的应用价值。
通过猫狗公式，可以更好地理解和比较一组数的平均值及其关系。
均值不等式的推广和应用
当且仅当
ａ＝（ｌ ２…， ）ｂ＝（１ｂ， ｂ） ａ， ， ａ ， ａ ｂ，２…， ｌ １， ， ｌ ＝（１１ …， ） ２ 正数列中存在一组与各组都成比例．
证明
易见，１ 式和（） （） ２ 式都是引理 １ 的特殊情况． 对（） ２ 式做另外一种推广， 有下面的结果．
定理 １ 对正数列
Ａ ｓａｔｎ ｐｐｒ ｍ ａ ｖｌ ｉｑａｏ ｉｐｐｌｉｄ ａｄ ｔ ｄ ｏ ｕｉ ｍ ａ ｖｌ ｉ ｑａｏ ｔ ｂ ｒ ： ｉ ａｅ， ｎ ｕ ｎ ｕｔｎ ｏｕ ｒｅ， ｍ ｈ ｓ ｓｇ ｎ ｕ ｎ ｕｔｎ ｔ ｃ Ｉ ｔｓ ｈ ｅ ａ ｅ ｉ ｓ ａｚ ｎ ｅ ｏ ｆ ｅ ｎ ｅ ａ ｅ ｉ ｏ ｅ
Ｍｎａ， （ ）从 （） （）凡 ａ ， ａ 表示几何平均值、 调和平均
值、 算术平均值， 从 ） （ ａ Ｈ （） ． ａ
， 口２， ， 二’ ａｎ
ｎ
ｍ ｘ ， ， ａ） ：＝＋ Ｃ ２…，ｎ （ ａ（１ａ ａ Ｏ）
特 别地， ｉ ２ ． 一 １ 当ｐ ＝ｐ ＝ｐ ＝・ 时，
０） （ ：＝ ＝ ｍｉ ａ ２ ， ） ｎ ｔａ ， ａ ＝ （ 一 ｃ （ ， 、 ｃ）
一 半
ｌ 」 （ ｐｚ ａ 一 ７Ｐｚａ２ Ｚ ｌ ｚ （ ｚｏ７ ｄｇ ｉｏ ） １ ｄｇ） ２
（） ３
由Ｃｕ ｙ ａｃ 不等式可知Ｇ ｔ在（， ） ｈ （） ０ ＋Ｃ 上是增 ｃ 函 在（ ｃ， 上是减函数， 数， －ｃ０ ） 函数 Ｇ和９ 在 ‘
： 为调和平均值； ＝一１ 时， ： 时， ＝０ 为几何平均值； ： 时， ＝１ 为算术平均值．
上面所定义的均值关于 、 是连续的．
土 ． ．＿ 土 土 ＿ ＿．
ａｌ十 ａ２ 十 ．．一 ａｎ ．
均值不等式
均值不等式及其应用戴又发一．基本均值不等式（一般形式）设0>i a ，n i ,,,, 321=， 记：na a a nH 1++1+1=21 为n a a a a ,,,, 321的调和平均值， n n a a a a G 321= 为n a a a a ,,,, 321的几何平均值， n a a a a A n++++=321 为n a a a a ,,,, 321的算术平均值， na a a a Q n 2232221++++=为n a a a a ,,,, 321的平方平均值， 则 Q A G H ≤≤≤，当且仅当n a a a a ====321 时，等号成立． （特殊形式2=n ）若0>0>b a ,，则 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ， 当b a =时，等号成立．二．基本均值不等式证明1．证明一 （2=n ） （比较法证A G ≤）0≥21=2+21=2+=2)()(b a ab b a ab b a G A －－－－ ． A G ≤∴，当b a =时，等号成立．（分析法证Q A ≤）由 2+≤2+22b a b a ， 得2+≤42++2222b a ab b a ，即 22+≤2b a ab ，显然成立，以上各步均可逆，所以2+≤2+22b a b a ． 当b a =时，等式成立．（放缩法证Q A ≤）2+=2+=42++≥4+++=2+222222222ba b a ab b a b a b a b a )( ，所以2+≤2+22b a b a ． 当b a =时，等式成立．（放缩法证G H ≤）ab ba abab b a ab ba ≤+2×=+2=1+12． 所以 ab ba ≤1+12∴．当b a =时，等式成立．2．证明二 （3=n ）如果+R c b a ∈,,，那么abc c b a 3≥++333．（当且仅当c b a ==时等号成立）∵abc ab b a c b a abc c b a 333++=3++2233333－－－－)()(])())[((c b a ab c c b a b a c b a ++3+++++=22－－ ])[(ab c bc ac b ab a c b a 3++2+++=222－－－ ))((ca bc ab c b a c b a －－－222++++=])()())[((222++++21=a c cb b ac b a －－－．A BCDOA 1 A 2A 3A 4B 1 B 2 B 3 B 4∵+R c b a ∈,, ， 0≥3++∴333abc c b a －，即 abc c b a 3≥++333．当且仅当c b a ==时等号成立． 于是有 3333333333≥++c b a c b a )()()(⇒33≥++abc c b a3≥3++abc c b a ． 3．均值不等式（2=n ）几何解释1：以b a +为直径作圆O （如图），AB 为直径，a AC =，b CB =，过C 作AB CD ⊥交圆上一点D ， 过O 作AB OM ⊥交圆上一点M ， 连接CM ，OD ，过C 作OD CE ⊥于E ， 于是2=b a OC －，2+==ba OM OD ，ab CD =，2+=22b a CM ，ba DE 1+12=，由CM OM CD DE ≤≤≤，得 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ． 当b a =时，等号成立．4．均值不等式（2=n ）几何解释2 ：梯形ABCD 中，上底a AB =，上底b CD =，对角线BD AC ,相交于O （如图）， 点4321A A A A ,,,在AD 上，点4321B B B B ,,,在BC 上，且44332211B A B A B A B A //////，若11B A 过点O ，则ba b a ab B A 1+12=+2=11； 若22B A 使得梯形∽22A ABB 梯形CD B A 22，则ab B A =22；ABCDOMabE若33B A 是梯形ABCD 的中位线，则2+=33ba B A ；若44B A 使得梯形44A ABB 和梯形CD B A 44的面积相等，则2+=2244b a B A ；于是有 得 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ．三．对数均值不等式和指数均值不等式及其证明 1．若0>0>b a ,，且b a ≠，称ba ba ln ln －－为b a ,的对数平均值，则2+<<ba b a b a ab ln ln －－．证明：不妨设0>>b a ，另1>=bat ， 由2+<<b a b a b a ab ln ln －－，得21+<1<)(ln )(t b t t b t b －， 即21+<1<t t t t ln －， 所以 tt t t t 1<<1+12－－ln )(． 构造函数1+12=t t t t f )(ln )(－－，则0>1+1=1+41=′222)()()()(t t t t t t f －－， 所以)(t f 在),[∞+1上是增函数，又0=1)(f ， 所以0>)(t f ，即t t t ln )(<1+12－． 再构造函数tt t t g 1+=－ln )(， 则0<21=212=21211=′2tt t t t t t t t t t t g )()(－－－－－－， 所以)(t g 在),[∞+1上是减函数，又0=1)(g ，所以0<)(t g ，即tt t 1<－ln ．所以tt t t t 1<<1+12－－ln )(，故2+<<ba b a b a ab ln ln －－． 2．若R b R a ∈,∈，且b a ≠，称ba e e ba －－为b a ,的指数平均值， 则 2+<<2+b a b a b a e e b a e e e－－． 证明：在对数均值不等式2+<<ba b a b a ab ln ln －－中，将正数b a ,分别用b a e e ,代替，即得2+<<2+b a b a ba e eb a e e e－－．四．均值不等式应用 利用均值不等式求最值：（1）如果正数y x ,满足积P xy =（是定值），则y x =时，和y x +有最小值P 2；（2）如果正数y x ,满足和S y x =+（是定值），则y x =时，积xy 有最大值22)(S ． 例1 已知实数y x ,满足0>>y x ，且1=2+4+1yx y x －，则y x +2的最小值是 ．解析： 0>2+0>y x y x ,－ ，)()(y x y x y x 2++=+2－))(())((yx yx y x y x y x y x y x y x －－－－2++2+4+4+1=2+4+12++= 9=42+5≥．当6=2+=2y x y x )(－时，即1=4=y x ,时，y x +2的最小值是9．例2 已知正实数y x ,满足6=3+2xy x ，则y x 3+2的最小值是（ ）3.A234－.B 29.C211.A 解析：由6=3+2xy x ，得26=3－xy ，234≥26+2=3+2－－∴xx y x ． 当3=x 时，y x 3+2 取得最小值 234－，选B ．例3 设0>>b a ，则)(b a a ab a －1+1+2的最小值是（ ） 1.A2.B3.C4.D解析：4≥1++1+=1+1+2abab b a a b a a b a a ab a )()()(－－－ ， 当1=ab ，且1=)(b a a －时，即22=2=b a ,等号成立，故选.D例4．求证：)(c b a a c c b b a ++2≥+++++222222．解析： 由2+≥2+22b a b a ，得)(b a b a +22≥+22，同理)(c b c b +22≥+22，)(a c a c +22≥+22， 所以)(c b a a c c b b a ++2≥+++++222222．例5．设0>0>b a ,，且1=+b a ，求证：225≥1++1+22)()(b b a a ． 解析：∵21=2+≤b a ab ， ∴41≤ab ， ∴4≥1ab， 于是 22)()(21+1+12=21++1+2≥1++1+22b a b b a a bb a a )()(225=252≥21+12=2++12=2)(22)()(ab ab b a ． 225≥1++1+∴22)()(b b a a ．例6 已知的三边长为c b a ,,，其外接圆半径为R ，求证：222222236≥1+1+1++R CB A c b a )sin sin sin )((． 解析：由正弦定理，有R a A 2=sin ，所以2224=1aR A sin ，同理，2224=1b R B sin ，2224=1cR C sin ，所以，)sin sin sin )((CB A c b a 2222221+1+1++ 2322232222222222236=3×3×≥1+1+1++4=R cb ac b a R c b a c b a R 4))((，即 222222236≥1+1+1++R CB A c b a )sin sin sin )((．例7 设c b a ,,为正实数，求证32≥+1+1+1333abc c b a ． 解析：32≥+3≥+1+1+1333abc abc abc c b a ．当且仅当613===c b a 时，等号成立．例8 设c b a ,,均为正数，证明：361+1+1+++2222≥)(cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时等号成立．解析：3≥2222223++c b a c b a ，322223219=131+1+1cb a abc c b a ))((≥， 36=27219+31+1+1+++32222222222≥≥∴3cb ac b a c b a c b a )(．当且仅当c b a ==，且3=2223c b a 时等号成立，即43===c b a 时等号成立．例9 已知函数x xe x f －=)(，如果21≠x x ，且)()(21=x f x f ， 证明：2>+21x x ．证明：由x xe x f －=)(，x x x e x xe e x f －－－－－)()(1==′，可知，当0<x 时，0<)(x f ；当0>x 时，0>)(x f ；当1<x 时，0>′)(x f ；当1>x 时，0<′)(x f ； 由)()(21=x f x f ，得0>0>21x x ,，2121=x x e x e x －－，2211=x x x x －－ln ln即1=2121x x x x ln ln －－，由 2+<=1212121x x x x x x ln ln －－， 所以2>+21x x ．例10 设数列}{n a 的通项公式为na n 1++31+21+1= ，证明：)ln(1+2<n a n ． 证明：由2+<b a b a b a ln ln －－，得 ba b a b a +2>－－ln ln ， 令 12=1+2=－n b n a ,，得n n n 21>2121+2)ln()ln(－－， 所以 nn n 1>121+2)ln()ln(－－． 于是 na n 1++31+21+1= )ln()ln()ln(ln ln ln ln 1+2=121+2++35+13<n n n －－－－ ，即 )ln(1+2<n a n ．四．练习题1． 已知正数b a ,满足2=2+1b a ，求224+1ba 的最小值． 2．已知0>>y x ，且1=xy ，则yx y x －22+的最小值为 ．3．若对任意0>x ，a x x x≤1+3+2恒成立，则的取值范围是 ．4．若0>0>b a ,，且不等式0≥++1+1ba kb a 恒成立，则实数k 的最小值等于 ． 5．①求函数)(x x y －1=2的最大值)(1<<0x ；②求函数)(21=x x y －的最大值)(1<<0x ．6．若1=+b a ，求证：2≤21++21+b a ． 7．设c b a ,,均为正数，且1=++c b a ，证明：31≤++ca bc ab ．8．当2>n 时，求证：1<1+1)(log )(log n n n n －．9．设函数x a ax x x f )(ln )(－－2+=2的两个零点是21x x ,，求证：0<2+′1)(xx f ． 10．设数列}{n a 的通项公式为1+1+1=)(n n a n ，其前n 项和为n S ，证明：)ln(1+<n S n ．参考答案与提示：第1题 2； 第2题 22； 第3题（),[+∞51）； 第4题 4－； 第5题 ①274，32=x② 932，33=x ； 第9题 由0=2+=12111x a ax x x f )(ln )(－－，0=2+=22222x a ax x x f )(ln )(－－，两式相减，0=2++21212121))(())((ln ln x x a x x x x a x x －－－－－，2+<2++1=21212121x x a x x a x x x x －－－)(ln ln ， 于是有 0>2+2++21221－－))(()(x x a x x a ，即0>1++2+2121))()((x x x x a －， 0>2+21－)(x x a ，且0>a ，又因为))(()()(11+2=1+2+2=2+21=′2－－－－－－ax x xx a ax a ax x x f ，当0≤a 时，0>′)(x f 在),(+∞0上恒成立；当0>a 时，)(x f 在),(a10上单调递增，在),(+∞1a上单调递减；由0>2+21－)(x x a ，且0>a ，知a x x 1>2+21，0<2+′∴1)(xx f ．第10题 设0>>b a ，由2+<22b a b a b a ln ln －－，得22+2>ba b a b a )(ln ln －－，令n b n a =1+=,，有 n a n n n n >1+2+22>1+2ln )ln(－，所以 n n a a a S +++=21)ln(ln )ln(ln ln ln ln 1+=1+++23+12<n n n －－－ ，所以 )ln(1+<n S n ．。
均值不等式的拓广及其应用
均值不等式的拓广及其应用均值不等式（Mean Inequality）是初等数学中经典的一道定理，它有三种形式：算术平均数大于等于几何平均数、平方算术平均数大于等于平均数的平方、调和平均数小于等于算术平均数。
而随着数学的发展，人们发现均值不等式的应用范围不仅仅局限于初等数学，还能在更高级的数学领域中起到不可替代的作用。
因此，本文将从不同的角度介绍均值不等式的拓广及其应用。
一、初等数学中的均值不等式首先，介绍一下初等数学中的均值不等式。
设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是$n$ 个正实数，则有：$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$$$$\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}\geq\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_ n}{n}\right)^2$$$$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\leq\frac{a _1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$这三种形式分别称为算术平均数大于等于几何平均数、平方算术平均数大于等于平均数的平方、调和平均数小于等于算术平均数。
这三种不等式对初学者来说，都具有重要的指导意义。
例如，在几何学中，均值不等式可以用来证明不等式关系，推导不等式中的等号条件等。
二、拓广形式进一步地，均值不等式也可以用一般的函数形式来表述，即通过增加条件或修改指标可以得到各种拓广形式。
以下给出一些常见的拓广形式。
1. 平均数为加权平均数：设 $w_1,w_2,\cdots,w_n$ 是 $n$ 个正数，并且$S=w_1+w_2+\cdots+w_n$，则有：$$\frac{w_1a_1+w_2a_2+\cdots+w_na_n}{S}\geq\sqrt[\frac{S}{w_1+w_2 +\cdots+w_n}]{a_1^{w_1}a_2^{w_2}\cdots a_n^{w_n}}$$其中 $\sqrt[\frac{S}{w_1+w_2+\cdots+w_n}]{a_1^{w_1}a_2^{w_2}\cdots a_n^{w_n}}$ 表示以权重进行加权后的平均值。
均值不等式的推广
p
化简， 得
设 r 二 qh ， Y e' c, 我们不难验证它是
:， 一 二 +(2pr q): PZ2
令s =
x +y +:
一 + — + …+ — ‘
令x,. =a," Ina,， = a户 = 1,2,，， ， 、 (: 一n)
当r>0 时， (r) > 0 =::>g(0) = 0 =:>1 (r) > o(i = 1.2,. ,n) g ;
(4平 均=a an--n。 ) 方 。了 '+-a 平 ， i+
则以上平均值的关系为H s G 5 r1 5 Q ， ) 关于均值不等式的证明这
里就不再叙述 ， 下面我们着重讲述均值不等式的推广及延伸。
=>M; >0=>A， (0,+o 单 递 : T 在 o)上 调 增
当r< 0 时， <0.g(r) >g(o) 。g(r) > 0=:>A , > 0 =>M, g'(r) l
在(0,+o 单调递增 M, (a)关于r 在卜 ， )上严 ( o)上 所以 ‘‘ + 格单调递
3
黎卡提方程(* 的一个解， ) 由定理 2 ， 既得黎卡 提方程( * 的通解。 )
， 易得s > 1， _ 则
[2l 郭要红 一道不等式的 再研讨【 .福建中 il 学数学， 20000 0). [3] 符小苏 一道数学问题的简证与推广【 .数学通报， il 2006, 45(2):
均值不等式课件
要点二
基于柯西-施瓦茨不等式的证明
考虑两个向量x和y，它们的柯西-施瓦茨不等式为 $\sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot \sum_{i=1}^n y_i^2 \geq (\sum_{i=1}^n x_iy_i)^2$。当且仅当存在一个实数k，使 得x=ky时等号成立。将这个不等式两边同时除以4，得到 $\frac{(x+y)^2}{4} \geq (xy)^2$，即$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$。当且仅当x=y时等号成立。
基于均值不等式的经济模型研究
总结词
经济分析工具
VS
详细描述
在经济模型的研究中，均值不等式常常被 用作一种重要的分析工具。例如，在研究 经济增长、通货膨胀、就业等问题时，可 以通过运用均值不等式来分析这些问题的 内在机制和规律。
基于均值不等式的决策理论研
总结词
决策理论应用
详细描述
在决策理论中，均值不等式被广泛应用于风 险型决策、不确定型决策以及多目标决策等 问题中。通过运用均值不等式，可以获得各 种决策问题的最优解，从而实现决策的科学 化和最优化。
THANKS
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应用
柯西不等式在数学多个领域有着广 泛的应用，如几何、分析学等。
贝努利不等式
1 2
内容
贝努利不等式是概率论和统计学中的重要不等式 ，它表述了对于任意实数a,b,有$e^(a+b) \geq e^a+b^b$
公式
$e^(a+b) \geq e^a+b^b$
3
应用
贝努利不等式在概率论、统计学、经济学等领域 有着广泛的应用。
在投资组合理论中，CAPM模型利用均值不等式来衡量投资者对某项资产的预期 收益以及风险厌恶程度。根据均值不等式，资产的预期收益越高，其风险也越高 ，投资者需要根据自身风险承受能力来选择合适的投资策略。
高中数学均值不等式的十一大方法与八大应用(解析版)
均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为( )A.9B.6C.3D.32【答案】D【分析】由x>0，y>0，且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.【详解】因为x>0，y>0，且2x+3y=6，所以xy=16×2x⋅3y≤162x+3y22=32，当且仅当2x=3y，即x=32，y=1时，等号成立，即xy的最大值为3 2.故选：D.典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为( )A.36B.25C.16D.9【答案】B【分析】由x+y=7，得x+1+y+2=10，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：由x+y=7，得x+1+y+2=10，则1+x2+y≤1+x+2+y22=25，当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以1+x2+y的最大值为25.故选：B.【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+1a≥2(a>0)(3)ba+ab≥2(a,b>0)2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。
均值不等式的推广
均值不等式的推广作者：赵国礼来源：《中学教学参考·理科版》2011年第04期【定理】如果a， b是正数，那么a+b2≥ab（当且仅当a=b时取“＝”号）.定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.将定理加以推广：一般地，如果对于n个正数，，…，，把，分别叫做这n个正数的算术平均数与几何平均数，那么有（当且仅当＝时等号成立），即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.一、结论的证明证法一：（数学归纳法）当n=2时，由-，知，其中等号当且仅当时成立.假设命题对于任意k个正数成立，则对于任意k+1个正数，，…，，有-∵＝（k+1）(k-1)个k2，①-≥--即-两边2k次方，得-，两边约去-，得开k+1方，得②当且仅当，即时①（或②）取等号.所以，当n=k+1时，命题也成立.至此，证明了结论对任何整数n≥2都成立，则有即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.证法二：（琴生不等式法）琴生不等式：上凸函数是函数在区间（a,b）内的任意n个点，则有设f(x)=lnx,f(x)为上凸函数，∴即则，即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.二、结论的应用【例1】证明：在圆的内接n边形中，以正n边形的面积为最大.证明：设圆的半径为r，内接n边形的面积为S，各边所对的圆心角分别为，，…，，则设f(x)=sinθ，由于它在（0，π）内上凸，于是根据上述结论有所以当时，S取最大值，也就是以正n边形的面积为最大.即在圆的内接n边形中，以正n边形的面积为最大.【例2】已知n∈N，求证：＜证明：对任意的n∈N，由上述结论有＜［n(1+1n)+1n+1］＝＝即＜参考文献余元希，田万海，毛宏德. 初等代数研究（下册）［M］.北京：高等教育出版社，1988. (责任编辑金铃）。
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均值不等式的推广形式及其运用
作者：魏丽芳
来源：《新课程·中学》2013年第05期
摘要：在高中对均值不等式认识的基础上进一步整理得到均值不等式定理和四个重要结论，并运用定理及其推广结论对多项式函数（包括由简单的两个因式相乘的多项式函数、三个因式相乘的多项式函数到四个因式相乘的多项式函数，甚至是五个因式相乘的多项式函数）求极值的条件进行推广，并用其求具体问题的极值。
关键词：均值不等式；求极值；推广形式
均值不等式是高中数学的重要内容，由于其在求最值方面的特殊功效，因此也一直是高考考查的热点与重点，是中学数学中不可或缺的一部分.但回顾中学数学的均值不等式部分，我们不难发现，由于高中生水平的限制，到高中课程完结，我们学到的均值不等式的几种常见形式可以用来解决的问题是极为有限的，在本文中，我将在中学所学到的均值不等式的内容进一步推广并将其运用技巧进一步归纳总结.
1.均值不等式定理及其推广后的结论
至此，我们克服了运用均值不等式来解决最值问题的两大瓶颈，以下我们就均值不等式及其推广结论对几种常见的代数函数通式求极值的条件进行推广，并用其求具体问题的极值.
2.利用均值不等式及其推论求最值
利用均值不等式求最值，必须：一正、二定、三相等.
这三个条件中，“正数”条件往往可由题设得，而“定值”条件与“取等号”条件密切联系是我们解题的重点和核心，要满足这两个条件，需要一定的灵活性和技巧性，先看一道例题：
根据《福建中学数学》——关于均值不等式求最值的进一步探讨一文的结论，可知若将（k1b1，k1a1），（k2b2，k2a2），（k3b3，k3a3）看作坐标系上的三个点的话，则综合（2-3-2），（2-3-3）问题转化为是否存在k1，k2，k3使得（k1b1，k1a1），（k2b2，k2a2），（k3b3，k3a3）三点共线且k1b1+k2b2+k3b3=0.注意到Ai′（kibi，kiai）为原点与点Ai（bi，ai）连线上的一点，因而ki（i=1，2，3）是否存在，只需转向考虑从原点出发的三条射线
OA1，OA2，OA3上是否存在三点共线，且这三点的横坐标之和为0.
2.3.1当A1，A2，A3中存在两点其连接过原点时，如果另一点不在这一射线上，则
OA1，OA2，OA3上不存在不同三点共线，故此时k1，k2，k3不存在，无法求最大值.如果另一点在这条射线上，则存在三点共线，此时k1，k2，k3存在，可求出最大值.
2.3.2当A1，A2，A3中任意两点连线都不过原点时，k1，k2，k3必存在，故必可求其最大值.至于pi≠pj的情况较为复杂，我们暂不予以讨论.
若将（k1b1，k1a1），（k2b2，k2a2），（k3b3，k3a3），（k4b4，k4a4）看作坐标系上的四个点的话，则综合（2-4-1）（2-4-4），从几何的角度知函数y能用定理的方法求最大值的条件是：点（k1b1，k1a1），（k2b2，k2a2），（k3b3，k3a3），（k4b4，k4a4）共线且这四个点的横坐标之和为零.问题转化为是否存在k1，k2，k3，k4使得（k1b1，k1a1），
（k2b2，k2a2），（k3b3，k3a3），（k4b4，k4a4）四点共线且k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0.注意到Ai′（kibi，kiai）为原点与点Ai（bi，ai）连线上的一点，因而ki（i=1，2，3，4）是否存在，只需转向考虑从原点出发的四条射线OA1，OA2，OA3，OA4是否存在四点共线，且这
四点的横坐标之和为零.
根据所学的知识，知此方程必定有解，即ki（i=1，2，3，4）必存在，且可通过公式求解.
我们还可以继续研究五个因式、六个因式相乘的情况，这将为我们求最值带来极大的方便！
参考文献：
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[5]叶其孝，沈永欢.实用数学手册.2版.科学出版社，2006：17.。