画法几何直线直线的相对位置直角投影定理直角三角性法

Z
V
a' A c' C b' X
a'' c''
W
0
a' a''
c'
c''
b' X
0 b''
YW
勇功于的开路始c，才a能找到成
a
b''
Bc
b
b
Y
YH
• 直线上点的投影，必在直线的同面投影上；
• （c∈ab, c'∈a' b' ,c''∈a'' b'')
• 线段上的点分割线段之比，投影后保持不变。 • AC/CB=ac/cb= a' c' / c' b' = a'' b''/ c'' b'')
例3 判断图中两条直线是否平行。
b 1 d
a
x
c
o
a
c
1
b
d
ab ∥ cd, a b ∥ c d
由此可知：对于一般 位置直线，只要有两个同 名投影互相平行，空间两 直线就平行。
∵ ab ∥ cd, a b ∥ c d ∴ ab: cd = a b: c d △ ab1∽ △ 1cd; △ a b 1 ∽ △ 1 c d; ∴ a1: 1d = a 1: 1 d
例1 作直线AB垂直于直线EF。
b
1′
b
1
例2 作直线EF，使其垂直于直线AB和直线CD 。
f
e′
e f
例3 求点K到直线AB的距离（投影和实长）。
k′ b′
1′
分析
1.∵ab∥ox,∴AB∥V 则有k′1′⊥a′b′ 2.用直角三角形法求 出K1的实长便得解。
例1 判断两直线是否平行
a'
b'
x a
b
方法一：
看直线的方位：
由投影图可以看出
d'
ab、cd同向（均由后向前）；
a ' b '与c ' d '反向（a ' b '由上向
下，c ' d '由下向上）
c'
由此看出AB与CD不平行。
o
c
方法二：
看比例：
d
a' b' /c' d' ≈1,ab/cd＜1,
由此可知，AB不平行于CD。
2.作图
1）作ΔabB0,使∠α= 30° ∠A的对边为ΔZAB
o 2）过a′作直线平行于
Ox轴，与过b而垂直于 ox轴的直线交于一点b0
3）以b0为圆心以ΔZAB为
半径画圆弧，交bb0的延
长线于点b′ 4）用直线连接a′b′ 即为所求。
Δ ZAB
例3 已知CD∩AB=K，CD∥H， 求CD的正面投影。
例2 如图所示，判断两侧平线的相对位置。
方法三：
求第三投影(三个投影都 互相平行，则AB∥CD)
a'
Z a''
c' c''
bb'
d'
X
0 d''
c a
方法四： 看已知的二 直线是否共面
a' c'
b''
勇于开始，b才' 能找到成d'
功的路
X
0
YW
c a
b
d
d b
YH
只要证明AB与CD共面则有AB∥CD。 作辅助直线AD与BC的两面投影, 判断：AD与BC是两相交直线, 则AB与CD共面.
用点分割直线段之比 ，投影后保持不变的性 质判断。
c' b'
由水平投影可判断， 1'
点Ⅰ不属于直线AB，
故两直线交错。 a'
d'
x
o
a
d
1
b c
第五节 直角投影定理 直角投影定理：
• AB ⊥ BC，直角边 AB平行于投影面P(P面 可以被看作是H、V、W面）
互相垂直的两直线，当一边 为某投影面的平行线时，他们 在该投影面上的投影是直角。
aa ∥ 11∥ d d ∴ AB与CD共面
即AB//CD
返回
二、两相交直线
两直线相交有且仅有一个交点（E）
交点是相交两直线的公有点 （P面可以看作H、V、W面）
d' b' e'
Z
b'' d'' e''
D EB
c'
a'
c''
勇于开始，才能找到0成
A dp
CX
功的路
a
bp
d
e
c
e
ap
cp
b
因此，三对同面投影都相交，且
af
d
C
D
cp ap
fp（ep）
bp dp
eb c
YH
YH
• 交错两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也 不符合相交两直线的投影特性。
例1 判断两直线的相对位置
解法1:
c'
z
c''
作出侧面
b' b''
投影,由
d''
三面投影 a' d'
a''
可知,两 x
o
y
直线交错 a d
cb
y
例2 判断两直线的相对位置(解法2)
画法几何直线直线的相 对位置直角投影定理直
角三角性法
2020年4月29日星期三
• 第三章 直线
第一节 直线的投影 第二节 各种位置直线 第三节 一般位置线段的实长及其
对投影的倾角 第四节 两直线的相对位置 第五节 直角投影定理
第一节 直线的投影
AF Cα
(c)a f
E
G B
D
b
g e(d)
直线的投影仍为直线， 两点确定一条直线，直 线上两点的投影用直线 连接，就得到直线的投 影。
在三个直角三角形中，斜边为线段实长；一个直角边为某投影长，该投影与斜 边的夹角为该直线与投影面的夹角；夹角所对的边为线段两端点相应的坐标差。
AB线段实长
ΔZAB ΔYAB
AB线段实长
α
ab的长
a ' b '的长 ΔXAB
AB线段实长
γ
a '' b ''的长
例1 已知线段的实长AB，求它的水平投影。
Z
a'
Z a''
V a'
A
a''
b'
β
α b''
b' β
W
X
O
YW
X
α
0
a
B
b''
a
b
b
Y • （小结）投影面平行线的投影特性：
YH
• 1.在直线所平行的投影面上的投影，反映线段实长；它与投影轴的 夹角，分别反映直线与另两投影面夹角的真实大小。
• 2.在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。
一直角边的直角三角形 中，另一直角边为AB水 平投影ab的长。
即：12=ab
a
b'
B
ΔZAB
1
2
o
b
例2 已知直线AB的α=30° 求作AB的正面投影。 b′
a′ x
a
b0 b
30° B0
1.分析
要求得a′b′，其实 就是求b′；要求得b′ 也就是想办法找到A、 B两点的Z坐标差或者 求出a′b′的长。
实长
β
实
a'
长
a'' γ
V
Z
X勇于开始b'，才能找a 到成0
b''
YW
a'
功的b路 α
A a''
实长
b'
βγ
W
YH
X
Bo α
0
在正面投影上求线段实长与倾角β
a B
b''
在水平投影上求线段实长与倾角α
b
在侧面投影上求线段实长与倾角γ
直角三角形求线段实长及其 与投影面的倾角中的三个三角形
设所求线段为AB
解：
1.过a任作一条直线ae； 2.在ae上截取a1=a b；
a2= a k 的长度
3.连接1b 4.作2k∥1b,与ab交于点k 5.过k作直线平行于ox轴 6.过c 、 d 作直线垂直于 ox,交上述直线于点c、d
三、交错直线
AB与CD交错，为什么他们在P面上的投影相交
呢？因为直线AB上的点F和直线CD上的点E位于
特 投影面平行线 平行于某一投影面而与其余
殊
两投影面倾斜
位
正平线（只平行于Ｖ面）
置
侧平线（只平行于Ｗ面）
直
水平线（只平行于Ｈ面）
线 投影面垂直线 垂直于某一投影面(平行于另
两投影面)
正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
返回
二、相对投影面各种位置直线的投影
一般位置直线AB
Z V
2) 水平线（投影面H的平行线AB
V）
Z
z
a' b'
a''
b''
a'
b'
A
a'' βγ B W
X
0
YW
b''
X
0
a
β
a
γ
b
Baidu Nhomakorabea
Y
投影特性：
b YH
1.a' b' // OX，a"b"// OYw；
2.a b = A B；
即：水平投影反映线段实长及β、γ角的真实大小。
3)侧平线（投影面W的平行线AB）
Z
指向P面的同一条投射线上，所以点F、E在P 面上 b'
b''
的投影重合，点F的投影可见，
c'
而点E的投影不可见。
c''
本题中点E、F是对V面的一对重影点；
e'
f'' e''
点E在前，所以点F的正面投影f '
(f ')
不可见。 X
SB F
X
d' a' 勇于开始，才能0找d到''a成''
功的路
YW
A
E
2) 铅垂线(投影面H的垂直线AB)
V a'
Z
a'
z
a''
A
b' X
a'' W
b'
b''
0
x
o
YW
b''
B
a(b)
Y
a(b)
YH
投影特性：1、 a b 积聚成一点
2、 a' b' ⊥ox,a'' b'' ⊥oyw 3、 a' b' = a'' b'' = AB
3) 侧垂线
V
Z
a'
b'
(投影面 W 的垂直线AB)
a′
k′ c′
b′ x
a
d′ o
20 68
k
d
c b
求k′同前。 由于CD∥H所以 c′d′∥ox轴。
同学们好！
第四节 两直线的相对位置
一.两平行直线
Z
BD
b′ d′
d″ b″
C
A
aP
cP
bP
dP
a′
c′
c″
勇于开始，才能找到成
a″
功的路
X
O
c
YW
a
分析：
1.已知AB∥CD,根据正投影图的作图法可知：
例1 如图中黑色的图形所示，作出分 线段AB为3:2的点c的两面投影。
c'
a' x
a
c
b'
作法：
1.过点a任作一条直线ae；
2.在ae上截取五等分；
勇功于的34..开路连在始接离，才b点能e；a找三到成等分点处作
0 直线平行于be，交ab上一 点c；
5.过点c作直线垂直于ox,
e 交 a′b′于点c′。 点C(c, c′)即为所求。
3.投影面垂直线
1)正垂线(投影面V的垂直线AB)
z
Z
a' (b')
a'' b''
V a' (b')A
a''
X
B
W
0 b''
x
o
勇功于的开路a始，才能找到成
yH
a
b
b
Y
yH
投影特性：1. a' ( b' )积聚成一点 2. a b ⊥ Ox ； a '' b '' ⊥ Oz
3. a b = a'' b'' = AB
a'
b' Z
a''(b'')
A
B
W a''(b''
x
X
0)
o
YW
a
a
b
Y
b
YH
投影面垂直线的投影特性：
1.在与直线垂直的投影面上的投影积聚成一点。 2.在另外两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴且反映线段实长。
a′ k′
x 2
b′
a
1
k
b
z1 z
例2 侧平线上的点
已知AB的两面投影及其 上面的点K的正面投影， 求点K的水平投影。
B
逆定理也是成立的。
A
QC
bp
勇于开a'始，才能找到成 b'
功的路
c'
ap
cp
X
0
b
∵ AB ∥P，Bbp ⊥P ∴ AB⊥Bbp
c
又∵ AB⊥BC，
∴ AB⊥Q，即AB ⊥bpcp
a
∵ ab∥ AB, ∴ ab ⊥ Q, 即a pb p⊥b pcp
直角投影定理：交错二直线
互相垂直的两直线，当一边为某投影面的平行线时，他们在该投影 面上的投影是直角。
(AaP ∥ BbP ∥ CcP∥ DcP) ⊥P面，则平面AB bPaP ∥CDdPcP；
d b
YH
2.两个平行平面（AB bPaP与CDdPcP）与第三平面（P—可被看作是H、V、W面）相交，交线平行；
3.综上所述，我们可以得出：若空间两直线平行那么他们的同面投影也对应平行（如：
ab ∥ cd、a′b ′∥ c′d′、a″b ″∥ c″d″）
A
B
b'
根据已知条件
a'
，要求得ab，其方法
x
一是求得A、B两点
的Y坐标差(ΔYAB ) ；方法二是求得ab的
长。
此题有两解(多解
a
时一般只画一解）
o
b
方法二 已知线段的实长AB，求它的水平投影。
A
B
b'
解法二 此题有两解
a'
x
a' b' a
o
b
方法三：求出ab的长
A
B
a'
以AB两点的Z坐标差为 x
作CB//ab,则∠ABC为直线AB对投影面H的倾角α.
投影特性
直线倾斜于投影面其投影比实长短: ab=AB·cosα(类似性） 直线平行于投影面其投影反映线段实长: fg=FG（真实性） 直线垂直于投影面其投影积聚为一点(积聚性)
第二节 各种位置直线
一、直线的分类：
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
YH
交点符合点的三面投影特规律
a'' YW
例1 已知AB与CD相交，又知AB的两面投影及CD的正
面投影c d ，且CD平行于V面。求CD的水平投影
a
c
分析：
∵AB∩CD=K ∴K∈AB，K∈CD ∴k ∈ ab，k ∈ cd
k b
x
a 2 1 ec
b
d
o
d
a k /k b =ak/kb
又因为AB平行于W面，所以 cd//ox轴。用定比分点法求k。
o
利用点在线上分割线段 成定比，投影后不变的 性质作图。
第三节 一般位置线段的实长及其对投影面的倾角
直角三角形法
• 方法是：以线段在某一投影面上的 投影长为一直角边，两端点与这个投
Z
影面的距离差为另一直角边形成的直 角三角形。其斜边是线段的实长，斜 边与投影长的夹角就是该直线与这个 投影面的倾角。
b
2.投影面平行线
1) 正平线（投影面V的平行线AB）
Z
V
b'
Z
b'
b''
a'
B b''
X
A
αγ
W
0 a''
a' αγ
a''
X
0
勇于开始，才能找到成
YW
功的路
ab
a
b
投影特性：
Y
YH
1. a"b" // OZ ， a b// OX；
2. a' b' = A B；
3.正面投影反映α、γ角的真实大小。
Z a' a''
a' A a'' W
b' X
O b'' YW
X b' β αγ 0
勇功于的开路始，才a能找到成
Ba
b''
b
b Y
YH
• 一般位置直线的三个投影仍为直线；三个投影都倾斜 于投影轴；投影长度小于线段的实长；投影与投影轴的夹
角，不反映直线对投影面的倾角。
1.一般位置直线上点的投影
C是直线AB上的点 Z