非齐次线性方程组有非零解的条件及结构

其中 而导出组 于是，
为任意常数. 的基础解系的求法第五节已经解决！ 的求解问题就剩下如何求 的一
个特解！一般来说，解决方法如下： 只需在 中令所有的自由未知变量为零，即得 它的一个特解！不过，具体情况要求可以有所不同！
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例题 求
的通解.
解答 写出增广矩阵并对之作初等行变换化简，得
解答 写出增广矩阵并对之作初等行变换化简，得
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显然可见 原方程组有解 所以，当
，所以
时，原方程组有解，此时通解为
其中，k 为任意常数.
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例 k为何值时，线性方程组
有唯
一解，无解，有无穷多组解？若有解时，求出其解. 解 设线性方程组的系数矩阵为 ，则
当
时，即
时，线性方程组有唯一
解，由Cramer 法则求之得其解为
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当
时，线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为
阶梯型矩阵为
由于 当
所以方程组无解； 时，线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为
阶梯型矩阵为
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由于
所以方程组无穷解；
此时原方程组有同解方程组为
第四章 向量与线性方程组
§4.6
非齐次方程组有解 的条件及解的结构
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非齐次线性方程组与导出组 定义 与非齐次线性方程组 相同的齐次线性方程组 的系数矩阵相 称为
的导出组，或对应的齐次线性方程组. 非齐次线 性方程组
导出组
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非齐次线性方程组的解与其导出组解之间的关系 ① 若 则 ② 若 ③ 若 是 也是 是 是 的一个解, 是 的一个解,
其通解为
为任意常数；
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当
时，原方程组有同解方程组为
其通解为
为任意常数；
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课堂练习
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设
为四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩 为其解向量且
来自百度文库
求方程组的通解. 解 因 ，故 的导出组的基础解系含有
个向量. 由线性方程组解的性质知
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的增广矩阵，则
其中
是
的一个解，称为特解； 为导出组 的一个基
础解系，
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为任意常数.
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证明 设矩阵
的列向量组分别为
则非齐次线性方程组的向量形式为 ① 必要性 若 有解，则 可由向量组 与 等价, 即
线性表出示, 故向量组 充分性 设 其中 即向量组
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为
的极大无关组，则
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线性相关 （因 能由 能由 ② 当 则 是 线性表示 （因 线性表示 时，由 ① 知 仅有零解. 设 这表明方程组 ③ 设 为 是 的解，故 为
线性无关）
的极大无关组） 有解. 有解，且 的任意两解， 或者有 的解但唯一. 的任意
的一个给定解， 为 是导出组
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解，则
的解，故它可由基
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显然 因
，故原方程组有无穷解.
在
中令自由未知变量
得
的
一个特解为
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在
中令
得导出组的一个基础解系为
于是原方程组
的通解为
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其中
为任意常数.
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例题 写出如下方程组有解的充要条件，并求解.
的解； 的解，则 的一个解，则 ，其中 是 的解； 的任意解都 是导出组
可以表示为 的一个解. 证明
①，②显然，下面证明 ③. 令 ，由②知 是 的解. 于是
即结论③成立.
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非齐次线性方程组有解的条件及解的结构 定理 设 ① ② ③ 其通解为 矩阵 为 有解 时， 时， 有唯一解； 有无穷多解， 是线性方程组 的系数矩阵，
令
得通解为
其中 k 为任意常数.
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例题 已知非齐次方程组 讨论参数 取何值时，方程组有解，无解；当
有解时，试用其导出组的基础解系表示通解. 解答 写出增广矩阵并对之作初等行变换化简，得
① 当
时，
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，故原方程组无解；
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②当 当
时，
，故原方程组有解，此时 时，原方程组有同解方程组为
础解系 使得
线性表示，即存在数 ，即有
反之，对任意常数 总是 综上知， 是非齐次线性方程组 中 为任意常数.
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，容易证明形为
的解.
的全部解或通解，其
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非齐次线性方程组的求解法 以上定理完美地回答了开章提出的三个问题！ 显然，只要知道了 的一个特解 及其导出组
的基础解系，则其通解也就知道了，为
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于是 两式可得
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② 设有数
整理得
使得
由①知
线性无关，所以
由上式显然可见 所以 线性无关.
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为
的解，故
的通解为
其中 为任意常数.
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练习 设非齐次方程组
的导出组有基础解系
为
的一个特解，证明： 线性无关； 线性无关.
① ②
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证明 ① 设有数 由于 在 式两端同时左乘
使得
并由
式有
因 因向量组 故
为非齐次方程，故 线性无关，联立 线性无关；