基本不等式学案

责任编辑： 刘强
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四、典型例题： 1、基本不等式成立的条件 【例 1】不等式 m 2 1 2m 中等号成立的条件是________。 2、基本不等式求最值 【例 2】已知 0 x 1 ，则 x(1 x) 的最大值是________。 3、基本不等式的实际应用 【例 3】 （1）用篱笆围一个面积为 100 m 2 的矩形菜园，问这个矩形的长和 宽各是多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和 宽各是多少时，菜园的面积最大，最大的面积是多少？
ab 的推导及应用。 2 教学难点：理解“当且仅当 a b 时取等号” 的意义
教学重点：基本不等式 ab
三、知识导学： 1、概念（基本不等式） ： 一般的,对于任意的实数 a,b ,我们有 ， 当且仅当 等号成立。特别的,如果 a 0,b 0 ,我们用 a、 b 分别代替 a,b ,可 得 。我们通常把上式写成 ab
2ab 2 ab a2 b2 。 ab ab 1 1 2 2 a b 4、最值定理： 两个实数 a 0, b 0, 若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当 a b 成立。 若它们的和为定值，则它们的积有最 值，当且仅当 a b 成立。 【注】最值定理条件：一正、二定、三相等。
【思考】函数 y
1 x( x 3) 的最小值是______。 x 3
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2013 级高一年级数学学科学案
参考答案
【例 1】 m 1 。 1 x (1 x) 2 1 1 【例 2】 。 【提示】 x(1 x) [ ] ，当且仅当 x 时，等号成立。 4 2 4 2 x m y m xy 100 【例 3】 （1）设菜园的长为 ，宽为 ，则 ，篱笆的长为 2( x y ) m 。 x y xy ，可得： x y 2 100 ， 2( x y ) 40 。 由 2 等号当且仅当 x y 时成立，此时 x y 10 。 因此， 矩形的长、 宽都为 10 m 时， 所用篱笆最短， 最短篱笆是 40 m 。 （2）设矩形菜园的长为 x m ，宽为 y m ，则 2( x y ) 36 ， x y 18 ， 矩 x y 18 9 ，可得 xy 81 ， 形菜园的面积为 xy m 2 。由 xy 2 2 当且仅当 x y ，即 x y 9 时，等号成立。 因此，这个矩形的长、宽都为 9 m 时，菜园的面积最大，最大面积 是 81 m 2 。 【例 4】设底面的长为 x m ，宽为 y m ，水池总造价为 z 元。根据题意，有： 4800 z 150 120 (2 3 x 2 3 y ) 240000 720( x y ) 3 由容积为 4800 m 3 ，可得： 3 xy 4800 。因此 xy 1600 。 由基本不等式，可得： 240000 720( x y ) 240000 720 2 xy ， 即： z 240000 720 2 1600 297600 。 当且仅当 x y ，即 x y 40 时，等号成立。 所以，将水池的地面设计成边长为 40 m 的正方形时总造价最低， 最 低总造价是 297600 元。 【课堂练习】 1、C。 【提示】对 A，当 x 0 时，不满足题意；对 B，只有当 ln x 1 ，即 x e 时取得，但 x e ，所以取不到 2 ；对 C，当 3 x 1 ， x 0 时， 3 x 3 x 取 得最小值 2 ；对 D，当 cos x 1 时， x 0 ，但 x 0 不在定义域内，所以取 不到 2 。 1 1 1 1 。 2、D。 【提示】因为 lg x lg y 2 ，所以 xy 100 。 2 x y xy 5 3、设使用 x 年平均费用最少。 由已知条件，汽车每年维修费用构成以 0.2 万元为首项， 0.2 万元为公差 0.2 0.2 x 的等差数列。因此汽车使用 x 年总的维修费用为 x 万元。 2 设汽车的年平均费用为 y 万元，则有： 0.2 0.2 x 10 0.9 x 10 x 0.1x 2 10 x 10 x 2 y 1 1 2 3。 x x x 10 x 10
【例4】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800立方米，深3 米，如果池底每平方米造价为150元，池壁每平方米造价为120元，怎样设计造价 最低?最低总造价是多少?
五、课堂练习： 1、 在下列函数中， 最小值是 2 的是 x 5 A. y ( x R, 且x 0) 5 x C. y 3 x 3 x ( x R )
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10 x ，即 x 10 时， y 取最小值。 x 10 答：汽车使用 10 年平均费用最少。 1 1 【思考】 5 。 【提示】 y x ( x 3) 3 2 3 5 。 x 3 x 3
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2013 级高一年级数学学科学案
学案类型： 新课
四平市第一高级中学
材料序号：
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编稿教师： 刘强
审稿教师： 刘 强
课题：3.4 基本不等式： ab
一、学习目标： 1、学会推导不等式 ab
ab 2
ab ，理解不等式的几何意义。 2
2、知道算术平均数、几何平均数的概念。 3、会用不等式求一些简单的最值问题。 二、学习重、难点：
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ab ( a 0,b 0 )。 2
时,
2、概念扩展： 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数 a,b , 且 a 0,b 0 ,
ab 是 a,b 的 2 ab 是叫做 a,b 的
，叫做 a,b 的算术平均数
，叫做 a,b 的几何平均数， 由基本不等式可得： a,b 的等差中项 ，特 a,b 的等比中项（ , ） 别的，当 a b 时， a,b 的等差中项等于 a,b 的等比中项。 3、总结： a2 b2 a 2 b 2 2ab ab ， a, b R ，当且仅当 a b 时，等号成立； 2 ab ab 2 ab ab ( ) ， a, b R * ，当且仅当 a b 时，等号成立。 2 2
（
）
1 (1 x e) ln x 1 (0 x ) D. y cos x cos x 2
B. y ln x
1 1 2、若 lg x lg y 2 ，则 的最小值为________。 x y 3、某种汽车，购车费用为 10 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约 为 0.9 万元，年维修费用第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元，问这种汽车 使用多少年时，它的年平均费用最少？