2017中考二轮专题复习《三角形中线等分面积问题的教学思考》

去伪存真，探求问题本质

—三角形中线等分面积问题的教学思考

三角形中线等分面积是义务教育教科书(苏科版)七年级下册数学一认识三角形专题中重要问题，它既是对三角形三边，三线(中线，角平分线，高线)关系的应用，同时也为后续三角形全等，相似等知识作铺垫.笔者在此以练习课的一道习题为例，通过两次解题教学的研究，谈谈自己在实践中一些体会与思考.

一、习题呈现

如图1，已知ABC ∆,,,D E F 分别是,BC AD 和EC 的中点，ABC ∆的面积为16，求BEF ∆的面积.

二、第一次教学

1.看似很简单，学生为什么不会做

首先回顾三角形中线等分面积的性质，借助于图象直观讲解如图2，以点,,D E F 为中点为例，探究: ,,ABD EBD ADF S S S ∆∆∆与ABC S ∆的关系.学生较容易掌握到中线等分面积的结论.通过引导，图114EBD EDC ABC S S S ∆∆∆==，由BF 是EC 的中线，得出18

EBF ABC S S ∆∆=.运用三次中线等分面积的性质进行求解，学生看似将问题理解透彻了，笔者一周后又以相同问题做了一次反馈调查，能正确求解的同学不足三分之一，教学效果引起笔者深思.

2.反思失败之因

问题根源:学生没有领悟中线等分面积问题的实质，三角形的中线为何能等分面积?多数同学无法从复杂的图形中分离出简单图形的模型.七年级下学期，刚刚涉及到几何，大多数学生对于几何图形的辨析能力比较薄弱.在第一次教学中，学生缺乏理解与参与思考的立足点，整个教学过程是老师领着学生的思维在走，学生并没能形成有效的启发与思考，因而不能形成有效的教学.

三、第二次教学

3. 1教学更注重从形式到思想的点拨

提问1 从三角形的面积公式入手(学生容易得出三角形的面积大小是通过底和高这两个量决定的，为下面研究中线等分面积作铺垫)

提问2 如图3 , ABD ∆与ABC ∆面积有怎样的联系?取AD 中点E ，如何比较BED S ∆与CED S ∆的大小，并说明它们与ABC S ∆有怎样的关系?(说明中线等分面积的实质)

提问3 在图4中，进一步，取EC 中点F ，连接BF 探求EBD S ∆与ABC S ∆的关系(通过图形分离，层层推进，训练他们几何的逻辑思维)

3. 2 进一步探究

如图5, ABC ∆的面积为,,S D E 分别是,BC AC 中点，连接,AD BE 相交于点O ，试比较的ABO S ∆与ODEC S 四边形的大小.

解法点拨 仍从两条中线,AD BE 入手，由这两条中线可以得到哪些三角形的面积?学生经过思考后得知，ABO S ∆、ODEC S 四边形与ABC S ∆并无明显数量关系，无法直接求解.但它们都可作为是ABD ∆与BEC ∆的一部分，引导学生“整体”中分离出“部分”，进而求解.

3. 3题型拓展

在上题的基础上，再取AB 的中点F ，连接FC 如图6所示.(1)比较OFB S ∆与OEC S ∆的大小.(2)你还能在图中找出哪些三角形面积相等.

解析 点拨(1)有了上题从“整体”到部分的经验，学生很快得出OFB OEC S S ∆∆=.对于问题(2)，学生们能列举出,,OFA OFB OAE OBC OBD ODC S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===，进一步得出 ,OFA ODC OEA OBD S S S S ∆∆∆∆==……细心观察的同学不难发现，ABC ∆三条中线把三角形分成的六个小部分的面积都相等.

3. 4模型应用

如图7 , ABC ∆中，,,D E F 分别是,CE AF 与BD 的中点，己知DEF ∆的面积为1，求ABC ∆的面积.

解法分析 此题难点在于由题中三个中点，在ABC ∆中无法找到相应的中线，无从寻求DEF ∆与ABC ∆的面积关系.如何让,,D E F 转化为相对应的中线是关键，连接,,AD BE CF 使其转化成三角形的中线，添加辅助线构造三个三角形.

由图8所示，学生们很快能够表示出,,ABF DBC AEC S S S ∆∆∆，从而求出ABC S ∆.

从复杂图形中分离出简单模型，从“整体”到“部分”对研究对象求解，学生理解更为流畅自然此时，他们不仅收获了这一类题的通法内涵，更为重要的是他们在思想层面上的领悟以及带来的自信与快乐，这是弥足珍贵的.从师生再到生生之间的交流，课堂中的灵动表现产生彼此信任不正是为师者不懈追求吗?