离散数学 第12章 树

虚边所示，它不连通，同时也含回路。
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12.2.1 生成树
e4
e5 e6
e1
e2
e7
e10 e9
e8
e3
e11
图12.2.1 余树概念示意图
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12.2.1 生成树
• 定理12.2.1 无向图G 具有生成树当且仅当G 是连通
图。
证 必要性显然。只需证明充分性。若G 中无回路， G 为自己的生成树。若G 中含圈，任取一圈，随意地
环（否则，可以将所有的环先删去），将m 条边按权从小到大
顺序排列，设为 e1, e2 ,。,em
中取的e边1在不T能中构，成然回后路依，次则检取查e
e2 , e3 j在T
, ,em。若 e j ( 中，否则弃去
j
ej
2)
。
与已在T
算法停止时得到的T 为G 的最小生成树（证明略）。
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12.2.2 最小代价生成树
S5 {e5 , e6 , e10 , e11} 、S6 {e9 , e8 , e11}、基本割集系统
为 (S1, S2 , S3 , S4 , S5 , S6 ) 。割集秩为6。连通图G 的割集
秩(G)。不因生成树的不同而改变，但不同生成树对 应的基本割集系统可以不同。
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12.2.2 最小代价生成树
m | E(G) || E(T) | n 1
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m n 1
12.2.1 生成树
• 推论12.2.2 设G 是n 阶m 条边的无向连通图， T 为G 的生成树，则T 的余树 中含T m条 n 1 边（即T 有 m n 条1 弦）。
由推论12.2.1立刻可知推论12.2.2正确。
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12.2.1 生成树
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12.1.2 树的一些性质
• 定理12.1.1 设 G V, E 是n阶m条边的无向 图，则下面各命题是等价的：
（1）G 是树。 （2）G 中任意两个顶点之间存在惟一的路径。 （3）G 中无回路且 m n 1 。
（4）G 是连通的且 m n 1 。
（5）G 是连通的且G 中任何边均为桥。 （6）G 中没有回路，但在任何两个不同的顶
离散数学讲义之
第十二章 树
主讲:熊焕亮
第十二章 树
• 树是图论中重要内容之一，在计算机科学技 术中有着广泛的应用。树的概念由数学家约 当（Jordan）给出了统一的定义。
• 在讨论本章内容之前，首先作个说明，就是 本章所谈回路均指初级回路（圈）或简单回 路，而不含复杂回路（有重复边出现的回 路）。
只含一条弦其余边均为树枝的圈，而且不同
的弦对应的圈也不同。
证 设 e (u,v) ，由定理12.1.1可知，在T中，
之间u存, v在惟一的路径
，则 (u,v) 满足(要u,v)求 ，e
不同的弦对应的圈也不同是显然的。
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12.2.1 生成树
• 由定理12.2.2，可以给出下面的定义。
定义12.2.3 设T 是n 阶m 条边的无向连通图G 的一棵生成树，设 e1，e2 , , em n1为T 的弦，设 Cr 为T 添加弦 er 产生的G 中只含弦 er ，其余边
C1 e6e4e5 C2 e7e2e1 C3 e8e9e2e1 C4 e10e3e5e2 C5 e11e3e5e2e9
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12.2.1 生成树
• 上图的圈秩为5，基本回路系统为{ }。 C1,C2,C3,C4,C5 从定义不难看出，无向连通图的圈秩与生成 树的选取无关，但不同生成树对应的基本回 路系统可能不同。
• 下面讨论求连通带权图中的最小生成树问题。
定义12.2.5 设无向连通带权图 G V, E,W ,T 是G 的一棵生成 树。T 的各边权之和称为T 的权，记作 W (T )。G 的所有生成树 中权最小的生成树称为G 的最小生成树。
求最小生成树已经有许多算法，这里介绍避圈法（Kruskal算 法）
设n 阶无向连通带权圈 G V , E,W 有m 条边。不妨设G 中没有
的割集是不同的也是显然的。
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12.2.1 生成树
• 定义12.2.4 设T 是n阶连通图G 的一棵生成树，e1,e2 , ,en1
为G T的对的应树生枝成，S树i 是TG由的树只枝含e树i生枝成e的i 的基割本集割，则称 S i 为
集，i 1,2, , n 1。并称 {S1, S2 , , Sn1} 为G 对应T 的基本 割集系统，称n-1为G 的割集秩，记作 (G)。.
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第十二章 树
• 12.1 树的概念及性质 • 12.2 最小生成树 • 12.3 根树 • 12.4 树的应用*
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12.1树的概念及性质
• 12.1.1 树的定义 • 12.1.2 树的一些性质
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12.1.1 树的定义
• 定义12.1.1 若简单连通无回路的无向图称为无向树， 或简称树，常用表示树，平凡图称为平凡树。无向树 中度数为1的顶点称为树叶，度数大于等于2的顶点称 为分支点，只有一个顶点（无边）的简单图称为平凡
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12.2.1 生成树
• 定理12.2.3 设T 是连通图G 的一棵生成树，e为T 的 树枝，则G 中存在只含树枝e，其余边都是弦的割集，
且不同的树枝对应的割集也不同。
证 由定理12.1.1可知，e是T 的桥，因而 有T 两 e 个连通分支T1 和 T2，令 Se {e | e E(G)且e的两个端点分 别属于 V (T1) 和 V (T2 ) ，由构造显然可知 S e为G 的割集，e Se 且 S e 中除e外都是弦，所以 S e 为所求。不同树枝对应
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12.1.2 树的一些性质
• （3）（4）：只要证明G 是连通的。否则设
G 有s(s 2)个连通分支 G1,G2 ， ,Gs ,Gi 中均无
回路，因而
Gi
全为树，由（1）（2）（3）
n
s
可知，mi ni 1。于是m si ni s n s,由
于 s 2 ，这与m n 1 矛i盾1 。 i1
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12.2.1 生成树
• 任何无向连通图都有一种特殊的生成子图， 这就是树。
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T
12.2.1 生成树
• 定义12.2.1 设T 是无向图G 的子图并且为树，则称 T 为G 的树。若T 是G 的树且为生成子图，则称T 是G 的生成树。设T 的G 生成树，e E(G) 若 e E(T ) 则称e为T 的树枝，否则称e为T 的弦。并称导出子 图 G[E(G) E(T)]为T 的余树，记作 T 。 注意 T 不一定连通，也不一定不含回路。在图12.2.1 所示图中，实边图为该图的一棵生成树T ，余树T为
• 推论12.2.3 设T 是连通图G 的一棵生成树，T 为T 的余树，C 为G 中任意一个圈，
则 E(T ) E(C) 。 证 若 E(T ) E(C) ，则E(C) E(T ) 这说明C
为T 中圈，这与T 为树矛盾。
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12.2.1 生成树
• 定理12.2.2 设T 为无向连通图G 中一棵生成 树，e为T 的任意一条弦，则T e 中含G 中
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12.1.2 树的一些性质
• （4）（5）：若G 不连通，则存在两结点vi
和 （
v
v
j i
，，v在j ）vi ，和不v j 会之产间生无回通路路，，但此这时与增题加设边矛
盾。由于G 无回路，所以删去任一边，图便
不连通。
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12.1.2 树的一些性质
• （5）（6）：由于G 中每条边均为桥，因而 G 中无圈，又由于G 连通，所以G 为树，由 （1）（2）可知，u,v V , 且 u v，则u, v 之 间存在惟一的路径 ，则 (u, v)（（u, v ） 为加的新边）为中G 的圈，显然圈是惟一的。
树；若无向图G 至少有两个连通分支，则称G 为森林。
• 也就是说，（无向）树是连通无回路的简单图，后面 提到树时，如果没有特别说明都是指无向树，在证明 树的性质前，先回忆一下桥（或说割边）的定义，将 看到树的每一条边都是桥。
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12.1.1 树的定义
• 定义12.1.2 给定图G V, E ，说边 eE 是G 的 桥（割边），如果 p(G e) p(G) ，即G 中删除之
均为树枝的圈，称 Cr 为G 的对应T 的弦 er的
基本回路或基本圈， r 1,2, , m n 1。
并称{C1,C2 , G 为 ,Cmn1} 对应T 的基本回路系 统，称 m n 1为G 的圈秩，记作 (G).
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12.2.1 生成树
• 在图12.2.1中，对应生成树的弦分别 为 e6 , e7 , e8 , e10 , e11 。设它们对应的基本回路分 别为 C1,C2 ,C3 ,C4 ,C5 ，从对应的弦开始，按顺 时针（也可都按逆时针）的顺序写出它们， 分别为
在图12.2.1所示图中，e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e9 ，为T 的树枝，
设它们对应的基本割集分别为
(S1, S2 , S3 , S4 , S。5 , 以S6 )树
枝为集合中第一个元素的方式写出它们（当然集合中
的元素是不讲顺序的，这里为了区分树枝和弦）。
S1 {e1, e7 , e8}、S2 、 {e2 , e7 , e8 , e10 , e11} S3 {e3 , e10 , e11} 、S4 {e4 , e6}
删除圈上的一条边，若再有圈再删除圈上的一条边， 直到最后无圈为止，易知所得图无圈（当然无回路）、
连通且为G 的生成子图，即G 的生成树。常称此种产
生生成树的方法为破圈法。
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m n 1
12.2.1 生成树
• 推论12.2.1 设G 为n 阶m 条边的无向连通图，
则 m 。n 1
证 由定理12.2.1可知，G 有生成树，设T为 G 的一棵生成树，则
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12.1.2 树的一些性质
• （6）（1）：只要证明G 是连通的。u,v V ,
且 u v，则新边 (u,v) G, 产生惟一的圈 C，
显然有 C (u,v) 为G 中u 到v 的通路，故u~v，
由 的u,任v 意性可知，G 是连通的。
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12.2 最小生成树
• 12.2.1 生成树 • 12.2.2 最小代价生成树
1
1
2
5
2
3
1
53
1
4
7
3
2
6
1
4
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12.3 根树
• 12.3.1 根树的定义 • 12.3.2 根树的分类
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12.3.1 根树的定义
• 定义 12.3.1 一个有向图，若略去所有有向边 的方向所得到的无向图是一棵树，则这个有 向图称为有向树。
点之间加一条新边，在所得图中得到惟一的 一个含新边的圈。
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12.1.2 树的一些性质
• 证 （1）（2）
对n作归纳，n=1时，m =0，显然有m =n-1。假设n= k时命题成立，现证n=k+1也成立。 由于G 连通而无回路，所以G 中至少有一个度数为1的
结点v0 ,在G 中删去v0 及其关联的边，便得到k个结点
（注意初级回路是路径的特殊情况），这与已知矛盾。
若G 中存在长度大于或等于2的圈，则圈上任何两个
顶点之间都存在两条不同的路径，这也引出矛盾，下
面用归纳法证明m=n-1。 n=1时，G 为平凡图，结论显然成立。设n k(k 1) 时结 论成立，当n=k+1时，设 e (u,v) 为G 中的一条边，由 于分设G别可为知中中无mi 的回 n顶路i 点，1 ,于数所是和以，边Gm-数em，为1 则两m2个ni1连kn,通1in分12,21支， 2G由1n,G归12 。纳。假设 ni , mi
• 例题12.2.1 求图12.2.2所示两个图中的最
小生成树。
1
1
2
2
3ห้องสมุดไป่ตู้
1
53
1
4
5
7
3
2
6
1
4
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12.2.2 最小代价生成树
• 解 用避圈法算法，求出的(a)中最小生成树
为图T1 12.2.3中（a）中实线边所示的生成 树，W(T1) 6 。（b）中的最小生成树（b）为图 12.2.3中实边所示的生成树T2 ，W (T2 ) 12 。
的连通而无回路的图，由归纳假设知它有k-1条边。 再将结点 v0 及其关联的边加回到原图G ，所以G 中含 有k+1个结点和k条边，符合公式m=n-1。 所以，G中无回路，且m=n-1。
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12.1.2 树的一些性质
• （2）（3）：首先证明G 中无回路。若G 中存在关 联某顶点v的环，则v到v存在长为0和1的两条路径
后会增加连通分支数。
显然，如果e是G 的桥，则有 p(G e) p(G) 1 ，即
删除一条边，最多增加一个连通分支，另一
方面，若e是G 的桥，则e不属于G 的任意回
路。
6
12.1.2 树的一些性质
• 无向树有许多性质，这些性质中有些既是树 的必要条件又是充分条件，因而都可以看作 树的等价定义，见下面定理