高一数学必修4任意角和弧度制

高一数学必修4任意角和弧度制

第一课时 1.1.1 任意角

教学要求：理解任意大小的角正角、负角和零角，掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角.

教学重点：理解概念，掌握终边相同角的表示法.

教学难点：理解角的任意大小.

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：初中所学的角是如何定义？角的范围？

（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；0°～360°）

2.讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？→说明研究推广角概念的必要性

（钟表；体操，如转体720°；自行车车轮；螺丝扳手）

二、讲授新课：

1.教学角的概念：

①定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转所形成的角叫零角.

②讨论：推广后角的大小情况怎样？（包括任意大小的正角、负角和零角）

③示意几个旋转例子，写出角的度数.

④如何将角放入坐标系中？→定义第几象限的角.

（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. ）

⑤练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？

⑥讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？

结论：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.

口答：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

⑦讨论：与60°终边相同的角有哪些？都可以用什么代数式表示？

与α终边相同的角如何表示？

⑧结论：与α角终边相同的角，都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z，写成集合呢？

⑨讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？

注意：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍

2.教学例题：

①出示例1：在0°～360°间，找出下列终边相同角：－150°、1040°、－940°.

（讨论计算方法：除以360求正余数→试练→订正）

②出示例2：写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角.

120°、－270°、1020°

（讨论计算方法：直接写，分析k的取值→试练→订正）

③ 讨论：上面如何求k 的值？ （解不等式法）

④ 练习：写出终边在x 轴上的角的集合，y 轴上呢？坐标轴上呢？第一象限呢？

⑤ 出示例3：写出终边直线在y =x 上的角的集合S , 并把S 中适合不等式360720α︒-≤<︒

的元素β写出来. （师生共练→小结）

3. 小结：角的推广；象限角的定义；终边相同角的表示；终边落在坐标轴时等；区间角表示.

三、巩固练习：

1. 写出终边在第一象限的角的集合？第二象限呢？第三象限呢？第四象限呢？直线y =-x 呢？

2. 作业：书P6 练习 3 ③④、4、5题.

第二课时：1.1.2 弧度制（一）

教学要求：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念. 教学重点：掌握换算.

教学难点：理解弧度意义.

教学过程：

一、复习准备：

1. 写出终边在x 轴上角的集合 .

2. 写出终边在y 轴上角的集合 .

3. 写出终边在第三象限角的集合 .

4. 写出终边在第一、三象限角的集合 .

5. 什么叫1°的角？计算扇形弧长的公式是怎样的？

二、讲授新课：

1. 教学弧度的意义：

① 如图：∠AOB 所对弧长分别为L 、L ’，半径分别为r 、r ’，求证：l r ＝''l r . ② 讨论：

l r 是否为定值？其值与什么有关系？→结论：l r ＝180

n π=定值. ③ 讨论：l r 在什么情况下为值为1？l r

是否可以作为角的度量？ ④ 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角. 用rad 表示，读作弧度. ⑤ 计算弧度：180°、360°→ 思考：－360°等于多少弧度？

⑥ 探究：完成书P7 表1.1-1后，讨论：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则α弧度数=？

⑦ 规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则α弧度数的绝对值为|α|＝l r

. 用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制. ⑧ 讨论：由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？

⑨ 讨论：1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？→度表示与弧度表示有啥不同？

－720°的圆心角、弧长、弧度如何看？

2 .教学例题：

①出示例1：角度与弧度互化：6730' ；35rad π.

分析：如何依据换算公式？（抓住：180︒=π rad ） → 如何设计算法？

→ 计算器操作： 模式选择 MODE MODE 1(2)；输入数据；功能键SHIFT DRG 1(2)=

② 练习：角度与弧度互化：0°；30°；45°；3π；2π

；120°；135°；150°；54

π ③ 讨论：引入弧度制的意义？（在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系）

④ 练习：用弧度制表示下列角的集合：终边在x 轴上； 终边在y 轴上.

3. 小结：弧度数定义；换算公式（180︒=π rad ）；弧度制与角度制互化.

三、巩固练习：

1. 教材P10 练习1、2题.

2. 用弧度制表示下列角的集合：终边在直线y =x ； 终边在第二象限； 终边在第一象限.

3. 作业：教材P11 5、7、8题.

第三课时：1.1.2 弧度制（二）

教学要求：更进一步理解弧度的意义，能熟练地进行弧度与角度的换算. 掌握弧长公式，能用弧度表示终边相同的角、象限角和终边在坐标轴上的角. 掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式

教学重点：掌握扇形弧长公式、面积公式.

教学难点：理解弧度制表示.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：什么叫1弧度的角？1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？扇形弧长公式？

2. 弧度与角度互换：－43π、310

π、－210°、75° 3. 口答下列特殊角的弧度数：0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、…

二、讲授新课：

1. 教学例题：

① 出示例：用弧度制推导：S 扇＝

12LR ；212S R α=扇. 分析：先求1弧度扇形的面积（12π

πR 2）→再求弧长为L 、半径为R 的扇形面积？ 方法二：根据扇形弧长公式、面积公式，结合换算公式转换.

② 练习：扇形半径为45，圆心角为120°，用弧度制求弧长、面积.

③ 出示例：计算sin

3π、tan1.5、cos 4π