定积分的应用(二)微元法旋转曲面面积

§4 旋转曲面面积
一、微元法
定积分∫ f ( x)dx 是和式的极限 lim ∑ f (ξi )∆xi , 如果所研究的
a T →0 i =1 b n
问题总可以按“分割、近似求和与取极限”三个步骤能归结为求这 种和式的极限，那么，应用定积分就可以求出问题的结果。为了使
b
定积分的应用问题能简便地回归到求定积分∫ f ( x)dx上来，我们往往
2
2
dt .
3）、若平面光滑曲线 C由极坐标方程：r = r (θ ), θ ∈ [α , β ] ([α , β ] ⊂ [0, π ], r (θ ) ≥ 0 ), 则曲线 C 绕极轴旋转一周所得旋转曲面面积为： S = 2π ∫ r (θ ) sin θ
α β
[ r ′(θ ) ] + [ r (θ ) ] dθ .
二、旋转曲面的面积 1 ）、设平面光滑曲线C由直角坐标方程 y = f ( x), x ∈ [ a, b],（不妨 设 f ( x) ≥ 0）给出，则曲线C 绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为： S = 2π ∫ f ( x ) 1 + [ f ′( x) ] dx.
2 a b
3
证明（如图，用微元法导出公式） .
2 2
例1 计算圆 x 2 + y 2 = R 2 在[ x1 , x2 ] ⊂ [ − R , R ] 上的弧段绕x轴旋转一周所得旋球带的面积。
解： 对曲线y = R 2 − x 2 在区间[ x1 , x2 ] 上应用公式（3），得到
S = 2π ∫
x2 x1
R −x
2
2
x2 x2 1+ 2 = 2π ∫ dx = 2π R ( x2 − x1 ) . x1 R − x2
a a b b
只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果(所求量Q的最终值） 这种方法称为微元法，其特点是直观、简单、方便。在应用定积分解 决实际问题时经常被使用。 使用微元法的关键就是正确给出 ∆Q的近似表达式，即
2
∆Q ≈ f ( x) dx = dQ ⇔ ∆Q = f ( x )∆x + o( ∆x), 若不能保证： ∆Q = f ( x)∆x + o( ∆x)，则∆Q就不能用f ( x )∆x作为近似表达式，否则用 “微元法”将导致错误的结果。要严格检验：∆Q − f ( x) ∆x是否为∆x的 高阶无穷小，往往不是一件容易的事，因此对∆Q ≈ f ( x) ∆x的合理性要 特别小心。 对于前面所学过的平面图形面积公式、立体体积公式和弧长公式 都可以用微元法得到。
a
采用以下介绍的方法—微元法。 何谓微元法？ 一个待求的量 Q 若要用定积分表示出来，它必须要具备两个特性：
1
1）、Q是一个与其变量 x的变化区间 [ a, b]有关的量； 2）、Q对于[a, b]具有代数的可加性，即 Q = ∑ ∆Q 其中∆Q是[a, b]的子区间[ x, x + ∆x ]所对应的部分量。如果∆Q的近似表达 式是：∆Q ≈ f ( x )dx = dQ, 则要计算的量 Q = ∑ ∆Q = ∫ dQ = ∫ f ( x )dx.
2
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=12π a
2
∫
π
2 0
sin 4t cos tdt =
12 2 πa . 5
-5
o
-2 -4
x
星形线
6
特别当x1 =-R, x2 =R时，则得球的表面积S球 = 4π R 2 .
5
例2 计算由星形线：x = a cos3 t , y = a sin 3 t 绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积。
解： 由曲线关于y轴的对称性及公式（4），得
4
y
C
S = 4π ∫ 2 a sin 3 t
0
π
( −3a cos2 t sin t ) + ( 3a sin 2 t cos t )
y
∆S
y=f(x)
o
a
x
x +∆x
b
x
2）、若平面光滑曲线 C由参数方程： x = x (t ) ， y = y (t ), t ∈ [α , β ],
4
给出，且： y (t ) ≥ 0，则曲线 C 绕 x轴旋转一周所得旋转曲面面积为： S = 2π ∫ y (t )
α β
[ x ′( t ) ] + [ y ′( t ) ]