复变函数3-3,4

C1
C2
z0 ⋅
C2
⋅ z1
推论 如果函数 f ( z ) 在单连通域 D内处处解 析, 那末积分 ∫ f ( z )dz 与连结起点及终点的路
C
线 C 无关.
6
不定积分的定义: 不定积分的定义 称 f ( z ) 的原函数的一般表达式 F ( z ) + c
(c 为任意常数 )为 f ( z ) 的不定积分 , 记作
∫ f ( z )dz = 0.
c
对解析函数而言，沿闭曲线的积分， 对解析函数而言，沿闭曲线的积分，不因 闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值
5
由定理得
∫ f (z)dz = C f (z)dz = ∫z ∫ C
1 2
z1
0
f (z)dz
B
B
z0 ⋅
C1
⋅ z1
24
3.4 柯西积分公式
分析 设 D 单连通 , f ( z ) 在 D 内解析 , 则
一般 f (z) f (z) 在 z 0 不解析 . ∴ ∫ dz ≠ 0 C z − z z − z0 0
由复合闭路定理得 , ∀ 包含 z 0 在内部的曲 线 C1 ⊂ C 的内部。
C z0 C1 D
∫
C
f (z) f (z) dz = ∫ dz C1 z − z z − z0 0
Leabharlann Baidu26
C1 = { z z − z 0 = δ (δ > 0可充分小 )}
C D z0 C1
27
C1 = { z z − z 0 = δ (δ > 0可充分小 )}
C D z0 C
28
C1 = { z z − z 0 = δ (δ > 0可充分小 )}
∵ f ( z )的连续性 , 在 C 上的函数值 f ( z ) 当 δ → 0时 , f ( z ) → f ( z 0 )
C
∴猜想积分
D
δ →0
∫
C
f (z) f (z) dz = ∫ dz → C1 z − z z − z0 0
C1
z0 C C1
1
→ f ( z0 )∫
1 dz = 2πif ( z0 ) z − z0
Γ
Γ1 : z − z0 = r 含在Γ的内部. 含在Γ的内部
根据 复合闭路定理 , 再利用
例2
⋅ z0
Γ 1
可得
19
∫
Γ
1 1 2π i , dz = ∫ dz = n+1 n+1 ( z − z0 ) ( z − z0 ) Γ1 0,
n = 0; n ≠ 0.
故
∫
Γ
2π i , n = 0 1 dz = n+1 ( z − z0 ) n ≠ 0. 0,
2z − 1 f (z) = 2 z −z
在复平面有两个奇点0和 在复平面有两个奇点 和1, 并且Γ 包含了这两个奇点. 并且Γ 包含了这两个奇点
y
o
1
x
Γ
17
在G内作两个互不包含也互不相交的正向 内作两个互不包含也互不相交的正向 圆周C 使得C 只包含奇点0, C2 只包含 圆周 1和C2, 使得 1只包含奇点 奇点1. 根据 复合闭路定理 , 奇点
复习与回顾
1
通过已知的实部虚部求函数
• • • •
偏积分法 线积分法 全微分法 不定积分法
2
回 顾：积分存在的条件及计算
（1）化成线积分 设 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 沿逐段光滑的曲线 C
连续, 则积分 ∫ f ( z )dz 存在, 且
C
∫C f (z)dz = ∫C u(x, y)dx − v(x, y)dy + i∫C v(x, y)dx + u(x, y)dy.
2z − 1 2z − 1 2z − 1 ∫ z 2 − z dz = ∫ z 2 − z dz + ∫ z 2 − z dz Γ C C
1 2
y
1 1 1 1 dz + ∫ dz + ∫ dz + ∫ dz =∫ z −1 z z −1 z C1 C1 C2 C2
C1
C2
1
o
x
= 0 + 2πi + 2πi + 0 = 4πi .
∫z
z1
0
f ( z )dz = G ( z1 ) − G ( z0 )
这里 z0 , z1 为域 B 内的两点.
7
例3 求 ∫0 z cos zdz 的值.
i
∫0 z cos zdz = ∫0 zd(sin z )
= [ z sin z ] − ∫0 sin zdz
i 0
i = [ z sin z + cos z ]0 = e −1 − 1.
C
A1 A2
E
A4 F A3
G C2 C1 I
H
D
这样由 EA1 A2 FA3 A4GA4 A3 HA2 A1 IE 作为边界Γ , 作为边界Γ 围成单连通区域. 围成单连通区域
14
f (z)在Γ 所围的区域内解析 由 柯西-古莎定理 在 所围的区域内解析, (柯西 古莎定理 柯西定理)
∫
Γ
f ( z )dz = 0.
C k =1 Ck
n
( 2) ∫ f ( z )dz = 0.
Γ
其中 C 及 C k 均取正方向;
这里 Γ 为由 C , C1 , C 2 , ⋯, C n 组成的复合闭路 (其方向是 : C 按逆时针进行 , C1 , C 2 , ⋯, C n按 顺时针进行 ).
13
不妨设n=2. 作两条辅助线 A1 A2 , A3 A4 (如图 如图). 证明 不妨设 如图
1 1 1 ∫C z( z 2 + 1) dz = ∫C1 z( z 2 + 1) dz + ∫C2 z( z 2 + 1) dz
21
利用柯西-古萨基本定理及重要公式 利用柯西 古萨基本定理及重要公式 1 1 1 1 1 1 = − ⋅ − ⋅ 2 z ( z + 1) z 2 z − i 2 z + i 由柯西由柯西-古萨基本定理有 1 1 ∫C1 2 ⋅ z − i dz = 0, 1 1 ∫C1 2 ⋅ z + i dz = 0, 1 1 1 ∫C2 zdz = 0, ∫C2 2 ⋅ z + i dz = 0,
∫ (z
C
2
+ z + 1)dz = ∫ ( z + z + 1)dz
2 0
2πa
1 3 1 2 8 3 3 2πa 2 2 = ( z + z + z) |0 = π a + 2π a + 2πa 3 2 3
10
柯西-古萨基本定理 柯西 古萨基本定理
(柯西积分定理 柯西积分定理) 柯西积分定理
如果函数 f ( z ) 在单连通域 D 内处处解析 , 那末函数 f ( z ) 沿 D 内的任何一条封闭曲线 C 的积分为零 :
∫ f ( z )dz = F ( z ) + c .
单 函 F(z) = ∫ f (ζ )dζ为 个 函 . 值 数 一 原 数
z0 z
定理三 类似于牛顿-莱布尼兹公式) (类似于牛顿-莱布尼兹公式) 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析 ,
G ( z ) 为 f ( z ) 的一个原函数 , 那末
15
在公共边界(辅助线 上 积分两次, 在公共边界 辅助线)上, 积分两次 方向 辅助线 相反, 积分值之和等于0. 相反 积分值之和等于 所以
∫C +C +C
− 1
− 2
f ( z )dz = 0.
− C1
∫
∫
C
f ( z )dz + ∫
f ( z )dz = ∫
f ( z )dz + ∫
f ( z )dz + ∫
∫ f ( z )dz = 0.
c
问题：如果区域是多连通， 问题：如果区域是多连通，以上定理可能 不再成立，那么将会是什么结论？ 不再成立，那么将会是什么结论？
11
7. 闭路变形原理
一个解析函数沿闭曲线的积分， 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲 线在区域内作连续变形而改变它的值. 线在区域内作连续变形而改变它的值 复合闭路定理 设 C 为 多连通域 D 内的一条简单闭曲线 ,
这一结果很重要. 这一结果很重要 进行比较. 与 例2 进行比较
Γ
⋅ z0
Γ 1
20
3 例12 沿指定路径C : z − i = 计算以下积分 2
∫
解
1 z ( z + 1)
2
1 z ( z + 1)
2
C
dz
在 C 内有两个奇点 z = 0及 z = i分别
以 z = 0及 z = i 为圆心 ,以 1 4 为半径作圆 C1及 C 2 , 则 由复合闭路定理有
n为正整数， C为以 z 0 为圆心， r为半径的正向圆周 。 为正整数， 为圆心，
4
柯西-古萨基本定理 柯西 古萨基本定理
(柯西积分定理 柯西积分定理) 柯西积分定理
如果函数 f ( z ) 在单连通域 D 内处处解析 , 那末函数 f ( z ) 沿 D 内的任何一条封闭曲线 C 的积分为零 :
i
i
i
此方法使用了微积分中“分部积分法” 此方法使用了微积分中“分部积分法”
8
例6
求
试沿区域 Im( z ) ≥ 0, Re( z ) ≥ 0 内的圆弧 z = 1,
∫
i
1
ln( z + 1) dz 的值. z +1
ln( z + 1) 在所设区域内解析 , 解 函数 z +1 2 ln ( z + 1) , 它的一个原函数为 2 i i ln( z + 1) ln 2 ( z + 1) 1 2 dz = = [ln (1 + i ) − ln 2 2] ∫1 z + 1 2 2 1
2 1 1 π π2 3 2 π ln 2 2 = ln 2 + i − ln 2 = − − ln 2 + i. 2 2 4 32 8 8
9
例7:求积分 求积分
∫
C
( z 2 + z + 1)dz
的值，其中积分路径C为连接0到 2πa 的值，其中积分路径C为连接0 的摆线： 的摆线： x = a (θ − sin θ ), y = a (1 − cos θ ). 解：
y C
• i
C2 C1
O
• −i
x
22
1 1 1 ∫C z( z 2 + 1)dz = ∫C1 zdz − ∫C2 2( z − i ) dz
1 = 2πi − ⋅ 2πi 2
= πi .
23
总
一、化成二型曲线积分
结
对一般可积分函数
因此目前为止计算积分方法： 因此目前为止计算积分方法：
二、若曲线为参数方程，可将其化作定积分。 若曲线为参数方程，可将其化作定积分。 三、若被积函数解析，积分曲线不封闭可利用不 若被积函数解析， 定积分求原函数，再利用牛顿 莱布尼兹公式 莱布尼兹公式。 定积分求原函数，再利用牛顿-莱布尼兹公式。 四、若函数在闭曲线所围区域内解析，则积分为 若函数在闭曲线所围区域内解析， 零。若函数不在闭曲线所围区域内完全解析，仅 若函数不在闭曲线所围区域内完全解析， 有有限个奇点，则利用复闭合定理。 有有限个奇点，则利用复闭合定理。
这个猜想是对的 , 这就是下面的定理 .
Γ
18
例11
求积分 ∫
Γ
1
( z − z0 )
n+1
dz , 其中Γ 为含 0的 其中Γ 为含z
任意分段光滑的简单闭曲线 为整数 任意分段光滑的简单闭曲线, n为整数. 简单闭曲线 为整数. 因为z 在闭曲线Γ 的内部, 解 因为 0在闭曲线Γ 的内部 故可取充分小的正数r 故可取充分小的正数 , 使得圆周
− C2
f ( z )dz = 0,
f ( z )dz .
C
C1
C2
为其它值时，可同样证明. 当 n 为其它值时，可同样证明
16
例9
计算积分 ∫
Γ
2z − 1 dz , 其中Γ为包含圆周 其中Γ 2 z −z
z = 1 在内的任意分段光滑正向简单闭曲线 在内的任意分段光滑正向简单闭曲线 曲线.
解 显然函数
C1 , C 2 , ⋯, C n 是在 C 内部的简单闭曲线 , 它们 互不包含也互不相交 , 并且以 C , C1 , C 2 , ⋯, C n 为边界的区域全含于 D,
C
C1 C2
如果 f ( z ) 在 D 内解析,
那末
D
C3
12
(1)∫ f ( z )dz = ∑ ∫ f ( z )dz ,
Γ = EA1 + A1 A2 + A2 F + FA3 + A3 A4 + A4G + GA4 + A4 A3 + A3 H + HA2 + A2 A1 + A1 I + IE .
C = EA1 + A1 I + IE ,
C1− = A2 F + FA3 + A3 H + HA2 ,
− C 2 = A4G + GA4 .
（2）用参数方程将积分化成定积分
设光滑曲线 C的参数方程为 z (t ) = x (t ) + iy (t ), 这里 α ≤ t ≤ β 。则
则
∫C f (z)dz = ∫a f [z(t)]⋅ z′(t)dt.
3
b
1 ） dz = 2πi，（n = 1 ∫ ( z − z0 ) n C
= 0，（n ≠ 1)