吉林大学高等量子力学习题完整版

G G i − dθ nn ⋅ J =
G
G
G ˆ 的共同本 (τ ) 变为ψ jm (τ ' ) = e ψ jm (τ ) 。试证ψ jm (τ ' ) 是 J 2 和 J z' G ˆ 为 J 在 z ' 轴上的投影。 征函数，这里 J z'
jm i G G − dθ nn⋅ J =
2、 证明转动算符 e
4、 试利用 D 函数的幺正性，给出ψ 5、 对于无穷小转角 δϕ ，求证：
jm
j (τ ' ) = ∑ Dm ψ jm ' (τ ) 的逆变换关系式。 'm (αβγ ) m'
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1 j Dm i (δϕ x −iδϕ y ) j ( j + 1) − m(m + 1)δ m 'm+1 'm (δϕ ) = (1 − iδϕ z m)δ m 'm − 2 1 − i (δϕ x +iδϕ y ) j ( j + 1) − m(m − 1)δ m 'm−1 2
i − πS y =
G
G
G
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G
K。
† 角动量理论
1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定 义， 另一种是按坐标系转动时， 态函数的变换规律来定义， 试证明这两种定义是等价的。 2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
ˆ =J ˆ ± iJ ˆ ，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数 j ，相应 3、 定义角动量升降算符 J ± x y
理： Pl (cosθ ) =
† 不可约张量算符
1、 称按规律
G G ˆ (τ )U −1 (n ˆ (τ ' ) = ∑ D l (αβγ )T ˆ (τ ) U (n dθ n )T dθ n ) = T lm lm m 'm lm '
m'
ˆ (τ )(m = l , l − 1,",−l ) 为 l 阶不可约张量算符，试证明这个定义 变换的 2l + 1 个算符 T lm
G ( dθ ) 的矩阵表示。 2、 令坐标系 O − xyz 绕 z 轴转 dθ 角，试写出几何转动算符 Re z
3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴 n 转 dθ 角，在此转动下， 态函数由ψ ( x, y, z ) 变为ψ ( x' , y ' , z ' ) = U (n, dθ )ψ ( x, y, z ) 。试导出转动算符 U (n , dθ ) 的表达式，并由此说明，若体系在转动 U (n , dθ ) 下保持不变，则体系的轨道角动量为 守恒量。 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 S = 1 。 5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。 6、 试证明幺正算符 U 与复数共轭算符 K 的乘积为反幺正算符。 7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为 T = e 8、 试讨论由时间反演不变性引起的 Kramers 简并。
G
G
G
G
G
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m3 = ( − 1) j 2 + m 2 C jj13m 1 j2 m 2
2 j 3 + 1 j1 − m1 C j −m j m 2 j1 + 1 3 3 2 2 2 j 3 + 1 j2 m 2 C j m j −m 2 j2 + 1 3 3 1 1 2 j 3 + 1 j1m1 C j −m j m 2 j1 + 1 2 2 3 3
量本征函数。试证如此定义的Ψ JM J (τ ) 一定是角动量的本征函数。
ˆ || j >= ? 5、 求约化矩阵元 < l '|| YL || l >= ? ， < j '|| J
6、 一阶不可约张量算符在角动量表象中的矩阵元可按以下公式计算
ˆ < jm'| T 1M
G ˆ (J ⋅T ˆ ) | jm > < jm'| J 1 M ， | jm >= j ( j + 1)= 2
6、 对于自旋为 1 / 2 和 1 的态函数，计算相应的 D 函数的矩阵表示。 7、 证明两个 D 函数的乘积满足如下关系
μ1 + μ 2 1 + m2 Dμj11m1 Dμj22m2 = ∑ Cll13μ C jjm Dμj1 + μ2m1 + m2 1l2 μ 2 1m1 j2 m2
j
8、 试利用上题结果及 D 函数与球谐函数的关系，推导出三个球谐函数的积分公式：
j
可表为 e
i G G − dθ nn⋅ J =
=e
i ˆ − αJ z =
e
i ˆ − βJ y =
e
i ˆ − γJ z =
，其中 α 、 β 、 γ 为欧拉角。
3、 证明 d 函数 d mm ' ( β ) =< jm'| e
i ˆ − βJ y =
| jm > 具有如下的对称性：
j m−m ' j j j d mm d mm ' ( β ) = ( −1) ' ( − β ) = d m 'm ( − β ) = d − m ' − m ( β )
与不可约张量算符的 Racah 定义是等价的。
ˆ (τ )和T ˆ (τ ) 分别为 l 阶和 l 阶不可约张量算符，求证由下式定义的算符 2、 设 T l1m1 1 l 2 m2 2 1 2 ˆ (τ τ ) 为 L 阶不可约张量算符： T LM 1 2 ˆ (τ τ ) = T 1 2 LM
m1m2
其中 α 为量子态标记。 4、 考虑一玻色子体系，其哈密顿量具有如下形式
H = ∑ Tα +
α =1
N
1 N ∑Vαβ 2 α , β (α ≠ β )
其中 T α = −
G G =2 2 ∇α 为单粒子动能算符，Vαβ = V (| rα − rβ |) 为两粒子相互作用能。选取 2m
i GG
p⋅r G −3 / 2 箱归一化的动量本征函数ψ ( r ) = L e = 作为单粒子波函数。试证明，哈密顿量 H
| j 1 m1 >| j 2 m2 > ，其中 < j ' m'| jm >= δ j ' j δ m 'm ，
∑C
j3m3 j1m1 j2 m2
< j 1 ' m1 '| j 1 m1 >= δ j1' j1 δ m1 'm1 ， < j 2 ' m2 '| j 2 m2 >= δ j 2 ' j 2 δ m2 'm2 。
试证明： | j 1 m1 >| j 2 m2 >=
∑C
jm
j3m3 j1m1 j2 m2
| jm >
9、 两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为 E nlj ，试证明：无论这两个粒子是玻色 子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数 J 必为偶数。
† D 函数
1、 设坐标系 O − xyz 绕空间任意轴 n 转 dθ n 角， 到达 O − x' y ' z ' 。 在该转动下角动量算符 J 的本征函数ψ
∫ Y μ (θϕ )Y μ
* l3
3
l2
2
(θϕ )Yl1μ1 (θϕ )dΩ =
(2l1 + 1)(2l2 + 1) l3 0 l3μ3 Cl1 0l2 0 Cl1μ1l2 μ2 4π (2l3 + 1)
9、 试证明 I =
∑Y
m
* lm
(θ1ϕ1 )Ylm (θ 2ϕ 2 ) 是坐标系转动下的不变量，进而证明球谐函数加法定 4π * Ylm (θ1ϕ1 )Ylm (θ 2ϕ 2 ) 。 ∑ 2l + 1 m
∑C
LM l1m1l2 m2
ˆ (τ )T ˆ T 1 l2 m2 (τ 2) 。 l1m1
ˆ ，其中 S ˆ 为张量算符，其表 3、 微观粒子间的相互作用位能，一般包含张量力项 VT ( r ) S 12 12
达式可写为
G G G G G G (σ 1 ⋅ r )(σ 2 ⋅ r ) ˆ − (σ 1 ⋅ σ 2 ) S12 = 3 2 r G G 2 G (S ⋅ r ) = 6 1 2 − 2S 2 r ˆ = ∑ (−) m Y2 m S 2− m
2、 试证明两个 Racah 系数乘积的求和公式
U ( j3 j1 jj2 ; j31 j12 ) = ∑ (−1) j1 + j2 + j3 + j12 + j23 + j31 + j U ( j1 j2 jj3 ; j12 j23 )U ( j2 j3 jj1 ; j23 j31 )
j23
ˆ (1) ⋅ T ˆ (2) | jmj j > 和 < j ' m' j ' j '| T ˆ (1) | jmj j > 3、 试计算矩阵元 < jmj1 ' j 2 '| T L L 1 2 1 2 LM 1 2
= ( − 1) j1 − m1 = ( − 1) j 2 + m 2
ˆ3 表象中， s ˆ1 = 7、 已知在 s
样的？ 8、 已知 | jm >=
m1m1
= ⎛0 1⎞ = ⎛0 − i⎞ ˆ1 表象中 s ˆ2 的矩阵表示是怎 ˆ2 = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ，s ⎜ ⎟ ⎟ ，问在 s 2 ⎝1 0⎠ 2⎜ ⎝i 0 ⎠
μ = μ 0 ( g L L + g S S ) ，其中 μ 0 为微观粒子的玻尔磁子。
G
G
G
† 多个角动量耦合
1、 试证明三个 C-G 系数乘积的求和公式
m2 m3m12
∑C
j12 m12 j1m1 j2 m2
m23 jm jm C jj223 m2 j3m3 C j12 m12 j3m3 = U ( j1 j 2 jj3 ; j12 j 23 )C j1m1 j23 m23 。
m
ˆ = 其中 S 2− m
C ∑ μ
2− m 1− μ ,1− m + μ
ˆ ˆ S ˆ S − μ − m + μ 。试证明 S12 的这三个定义是等价的。
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4、 设Ψ JM J (τ ) =
∑C
mM
JM J jmLM
ˆ (τ )ψ (τ ) ，其中 T ˆ (τ ) 为不可约张量算符，ψ (τ ) 为角动 T jm LM jm LM
的磁量子数 m 的取值范围。 4、 给出角量子数 j = 1 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。 5、 设总角动量算符 J = J 1 + J 2 ， J 1 、 J 2 相应的角量子数分别为 j1 和 j 2 ，试讨论总角动量 量子数 j 的取值情况。 6、 利用已知的 C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：
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+
+
+
+
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ˆ + | n >= 1 − n | n + 1 > a ˆ | n >= n | n − 1 > a ˆα = a ˆα a ˆα ，证明无论对玻色子还是费米子，均有 3、 令 n
+ + ˆα , a ˆα ˆα [n ]=a
+
ˆα , a ˆα ] = − a ˆα [n
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高等量子力学习题
† 量子力学中的对称性
ˆ 下保持不变，则必有 [ H ˆ ] = 0 。这里 H ˆ ,Q ˆ 为体系的哈密 1、 试证明：若体系在线性变换 Q ˆ 。进一步证明，若 Q ˆ 不显含时间，且存在逆变换 Q ˆ 为幺正的，则体系 顿算符，变换 Q
−1
可能有相应的守恒量存在。
称为一阶张量投影定理，试证明这一定理，进而证明这一定理的另一表达式
G ˆ | jm >< jm | ( J ⋅ T ˆ ) | jm > < jm'| J 1 M ˆ < jm'| T1M | jm >= 2 j ( j + 1)=
7、 试利用投影定理计算微观粒子的磁矩（即磁矩在 | jm > 态上的平均值） ，磁矩算符为
† 二次量子化方法
ˆ = a a ，且满足 {a, a } = 1 ， a = a 1、 给定算符 a ，a，n
2 + + +
+2
ˆ ˆ2 = n ˆ ；n = 0 ，试证：1） n
ˆ 对角化表象中，给出 a ，a 和 n ˆ 的矩阵表示。 的本征值只能取 1 和 0。2）在 n
+
ˆ, a ˆ } = 1，{a ˆ ,a ˆ } = {a, a ˆ} = 0 ，令 n ˆ=a ˆ a ˆ ，证明 2、 设 {a
4、 试证明一个角量子数为零的 9 − j 符号可化简为
⎧0 ⎪ ⎨ j3 ⎪j ⎩ 3
j2 j4 j 24
j2 ⎫ (−1) j2 + j3 + j24 + j34 ⎧ j ⎪ j 34 ⎬ = ⎨ (2 j2 + 1)(2 j3 + 1) ⎩ j 4 ⎪ j ⎭
j2 j3
j 34 ⎫ ⎬ j 24 ⎭