向量加法运算及其几何意义(教学设计)

2．2．1向量加法运算及其几何意义（教学设计）

[教学目标]

一、知识与能力：

1． 掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；

2． 能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算；

二、过程与方法：

1． 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；

2．体会数形结合的数学思想方法.

三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．

[教学重点]

向量加法定义的理解；向量加法的运算律．

[教学难点]

向量加法的意义

一、复习回顾，新课导入

1． 物理学中，两次位移,OA AB u u u r u u u r 的结果与位移OB u u u r 是相同的。

2． 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？

3． 引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

二、师生互动，新课讲解

1． 已知向量a,b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC u u u r 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即

a +

b =AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r

求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。

以同一点O 为起点的两个已知向量a ,b 为邻边作OABC Y ，则以O 为起点的对角线OC u u u r 就是a 与b 的和。我们把这种

作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量与任一向量a ，规定a +0=0+a =a

例1（课本P81例1） 已知向量a,b ，用两种方法（三角形和平行四边形法则）求作向量a+b 。

作法一：在平面内任取一点O ，作OA =u u u r a ，AB =u u u r b ，则OB =u u u r a+b .

作法二：在平面内任取一点O ，做OA =u u u r a ，OB =u u u r b ，以OA u u u r 、OB u u u r 为邻边作OBCA Y ，则OC =u u u r a+b 。

变式训练1：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？

2．归纳：

1. 两个向量的和仍是一个向量。

2. 当a,b 不共线时，a+b 的方向与a 、b 都不同向，且|a+b|<|a|+|b|.

3. 当a 与b 共线时，

(1)若a 与b 同向，则a+b 的方向与a 、b 同向，且|a+b|=|a|+|b|.

(2)若a 与b 反向，当|a|>|b|时，a+b 的方向与a 相同，且|a+b|=|a|-|b|；当|a|<|b|时，a+b 的方向与b 相同，且|a+b|=|b|-|a|.

3. 向量加法的运算律

探究：数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,b ∈R ，有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)，任意向量a,b 的加法是否也满足交换律和结合律？

要求学生画图进行探索.

（1） 如图作ABCD Y ，使AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，则BC =u u u r b ，DC =u u u r a ，

因为AC AB BC =+=u u u r u u u r u u u r a+b ，AC AD DC =+=u u u r u u u r u u u r a+b

所以，a+b=b+a

（2） 如图自平面内任一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，CD =u u u r c ，

因为()AD AC CD AB BC CD =+=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r (a+b)+c ，

()AD AB BD AB BC CD =+=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a+(b+c )，

所以(a+b)+c=a+(b+c).

例2： 一艘船以23的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。

解：如图，设AD u u u r 表示船向垂直于对岸的方向行驶的速度，AB u u u r 表示水流的速度，

以AD 、AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC u u u r 就是船实际航行的速度，

在Rt ∆ABC 中，||AB =u u u r 2km/h ，||BC =u u u r 23，所以22||||||4AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r

， 因为23tan 3CAB ∠=60CAB ∠=︒， 答：船实际航行速度的大小为4km/h ，方向与流速间的夹角为60︒。

变式训练2：摩托艇是抗洪抢险中的主要交通工具，设它在静水中的航行速度是每小时25千米，如果当时的水流速度是每小时15千米，那么该摩托艇向下游航行时，每小时能行________千米，它向上游航行时，每小时能行___________千米.(40、10)

课堂练习1：（课本P84练习NO ：1；2；3；4）

例3：(tb0140403)化简+FA BC CD DF +++（答：0）

变式训练3、(tb0140603)已知正方形ABCD 的边长为1，b BC c AC a AB ===,,，则|++|为（ ）。

（A ）0 （B ）3 （C ）2 （D ）22

三、课堂小结，巩固反思：

1． 在学习向量加法概念时，要结合物理学理解向量加法的意义；

2． 要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角线形法则，并能做出已知两个向量的和向量；