高中数学新课标选修2-2《第三章_复数》归纳整合

6．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 若复数 z1、z2 对应的向量O→Z1、O→Z2不共线，则复数 z1＋z2 是以 O→Z1、O→Z2为两邻边的平行四边形的对角线O→Z所对应的复数． (2)复数减法的几何意义 复数 z1－z2 是连接向量O→Z1 、O→Z2的终点，并指向 Z1 的向量所 对应的复数．
从而1z＋1＋z1z2z2＝
z1z1z＋1＋z2z2＝
1 z1
＝|z11|＝1.
【例 5】 已知 z∈C，解方程 z·z －3i z ＝1＋3i. 解 ∵z·z ＝|z|2，把方程变形为 z ＝－1＋1－3|z|2i，① 两边取模得| z |2＝|z|2＝1＋1－9|z|22. 整理得|z|4－11|z|2＋10＝0. 解得|z|2＝1 或|z|2＝10. 将其代入①得 z ＝－1 或 z ＝－1－3i. ∴z＝－1 或 z＝－1＋3i
＝－25－2412＋2i223i2＝2－12＋ 23i＝－1＋ 3i；
(2)－1＋2 23＋3ii＋1－2i2 006＝－1＋2 23＋3iiii＋－221i0013003
＝－i－2 23＋3ii－i11003＝i－－1 i＝i－i＝0.
专题三 共轭复数与模 共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关
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要点归纳 1．复数的概念：(1)虚数单位 i；(2)复数的代数形式 z＝a＋bi(a，b
∈R)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数． 2．复数集：
复a，数ba∈＋Rbi实数b＝0无有理理数数无整分限数数不循环小数 虚数b≠0纯非虚纯数虚数a＝a0≠ 0
3．复数的四则运算，若两个复数 z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，
a2，b2∈R)
(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(bຫໍສະໝຸດ Baidu＋b2)i；
(2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；
(4)
除
法
：
z1 z2
＝
a1a2＋b1b2＋a2b1－a1b2i a22＋b22
＝
a1a2＋b1b2 a22＋b22
( )．
法二 zz2－－21z＝z－z－121－1＝z－1－z－1 1 ＝(－i)－－1 i＝－i－－ii·i＝－2i. ∴zz2－－21z＋ z ＝－2i＋1＋i＝1－i.故选 A. 答案 A
【例 3】 计算：(1)12－＋23ii45；
(2)－1＋2 23＋3ii＋1－2i2 006.
解
(1)12－＋23ii45＝－2254－1＋12＋i4 23i5
5．复数的几何形式 (1)用向量O→Z表示复数 z＝a＋bi，(a，b∈R)，用点 Z(a，b)表示 复数 z＝a＋bi，(a，b∈R)，Z 称为 z 在复平面上的对 应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数 0)． (2)任何一个复数 z＝a＋bi 一一对应着复平面内一个点 Z(a，b)， 也一一对应着一个从原点出发的向量O→Z.
•专题二 复数的四则运算
• 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加 减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法 类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化， 要注意i2＝－1.在进行复数的运算时，要灵活利用 i，ω的性质，或适当变形创造条件，从而转化为 关于i，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应 用：
•专题一 复数的概念及几何意义
• 复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯 虚数、复数相等、复数的模等．有关复数的题目 不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答．
【例 1】 当实数 a 为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i. (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内； (4)复数 z 对应的点在直线 x－y＝0. 解 (1)z∈R⇔a2－3a＋2＝0， 解得 a＝1 或 a＝2.
(2)z 为纯虚数，aa22－－23aa＝＋02，≠0， 即aa＝ ≠01或 且aa＝ ≠22， . 故 a＝0.
(3)z 对应的点在第一象限，则aa22－－23aa＞＋02，＞0， ∴aa＜ ＜01， ，或 或aa＞ ＞22， ， ∴a＜0，或 a＞2. ∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0， ∴a＝2.
＋
a2ab221＋－ba212b2i(z2≠0)；
(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：in(n 为正整数)的周期性运算； (1±i)2＝±2i；若 ω＝－12± 23i，则 ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
4．共轭复数与复数的模 (1)若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，z＋ z 为实数，z－ z 为 纯虚数(b≠0)． (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，|z|＝ a2＋b2， 且 z·z ＝|z|2＝a2＋b2.
(1)设 ω＝－12± 23i，则 ω2＝ ω ，ω1 ＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(n∈N＋) 等． (2)12± 23i3＝－1. (3)作复数除法运算时，有如下技巧：ab＋－baii＝ba－＋abiiii＝aa＋＋bbiii＝i， 利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．
【例 2】 已知复数 z＝1－i，则zz2－－21z＋ z ＝ A．1－i B．－2i C．1＋i D．－2 解析 先计算 z1＝zz2－－21z，再计算 z1＋ z . 法一 zz2－－21z＝1－1i－2－i2－11－i＝－2i－－2i ＋2i ＝－－i2·ii＝－2i， ∴zz2－－21z＋ z ＝－2i＋1＋i＝1－i.故选 A.
复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用 下列结论简化解题过程： (1)|z|＝1⇔z＝ 1 ；
z (2)z∈R⇔ z ＝z； (3)z≠0，z 为纯虚数⇔ z ＝－z.
【例 4】 设 z1、z2∈C，且|z1|＝1，|z2|≠1，
求1＋z1＋z1z·2z2的值．
解 ∵|z1|＝1，∴|z1|2＝z1·z1 ＝1.